Элементарное решение одного кубического диофантова уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

40

4. Jungnickel D. Finite fields: Structure and Arithmetics. Mannheim ; Leipzig ; Wien ; Zürich, 1993.

5. Lidl R., Niederreiter H. Finite fields (Second edition). Cambridge University Press, 1997.

Об авторах

Сергей Иванович Алешников — канд. техн. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

Марина Валерьевна Алешникова — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

Андрей Александрович Горбачёв — канд. техн. наук, доц., Калининградский государственный технический университет.

E-mail: [email protected]

About the authors

Dr Sergey Aleshnikov, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]

Marina Aleshnikova, head teacher, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]

Dr Andrey Gorbachev, ass. prof., Kaliningrad State Technical University.

E-mail: [email protected]

УДК 511

С. И. Алешников, М. В. Алешникова, А. А. Горбачёв

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО КУБИЧЕСКОГО ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ

Представлен элементарный подход к решению кубического диофан-това уравнения y2 = x3 - 22s, зависящего от одного натурального параметра s. Получено полное решение для всех значений s.

An elementary approach to solving of the cubic Diophantine equations y2 = x3 - 2 2s, depending on one natural parameter s is presented. The full solving for all values s is received.

Ключевые слова: диофантово уравнение, квадратичное поле, число классов, уравнение Пелля, делимость, целые гауссовы числа, фундаментальная единица.

Key words: Diophantine equation, quadratic field, class number, Pell equation, divisibility, Gaussian integers, fundamental unit.

© Алешников С. И., Алешникова М. В., Горбачёв А. А., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 40-47.

Введение

Криптосистемы на основе квадратичных полей используют конечную группу классов дробных идеалов, в частности необходимо вычислять (или хотя бы оценивать) порядок этой группы — число классов Н квадратичного поля. Кроме того, важнейшая задача в криптографии на решетках — задача отыскания коротких образующих неглавных идеалов в квадратичных расширениях круговых числовых полей. Наконец, проблема отыскания целых точек эллиптических кривых не решена до конца и также представляет собой проблему решения кубического диофантова уравнения.

В статье [3] проблема оценки числа классов квадратичного поля связывается с решением диофантовых уравнений следующего вида:

1 + 4b2k2n = da2, a, b, k, n e N, k > 1, n > 1. (1)

В [6] Лу доказал, что при a = b = 1 в уравнении (1) число классов h(d) квадратичного поля Q(y[d ), где d — натуральное число, свободное от квадратов, удовлетворяет условию

h(d) = 0 (mod n). (2)

В работе [5] Ли показал, что если b = 1, n > 2, число 2kn + ajd является фундаментальным решением уравнения Пелля x - dy2 = - 1 и наибольший обший делитель (p, (q - 1)q) = 1 для каждого нечетного простого делителя p\n и q \ k, то условие (2) выполняется, за исключением набора (a, d, k, n) = (5, 41, 2, 4).

В [2] доказано, что если b = 1, n > 2, 2kn + ^Jd является фундаментальным решением уравнения Пелля x2 - dy2 = -1, a ^ kn/2 и 2 не делит k, то (2) выполняется.

В [3] главный результат следующий.

Если b = 1, n > 2 и имеет место одно из условий:

1) всякий простой делитель числа a делит d;

2) (p, q2 _ 1) = 1 для каждого нечетного простого числа p числа n и простого делителя q числа a;

3) a ^ 0,5k0,4226n или a ^ 0,5k0,5527n и k нечетно, то (2) выполняется.

Уравнение, аналогичное (1), изучается в [7; 8]. Его разрешимость также связывается с оценкой числа классов квадратичного поля.

Целью этой работы стало отыскание целочисленных решений уравнения

41

y 2 = x3 - 22s.

(3)

42

1. Случай четного y

Положим y = 2y'. Тогда из уравнения (3) следует, что x четно, т. е. x = 2x '. После подстановки и сокращения на 4 уравнение (3) сводится к виду

y'2 = 2x '3 - 22(s-1), (4)

откуда видно, что y' четно, т. е. y ' = 2y ''. Уравнение (4) после сокращения приобретает вид

2y''2 = x'3 - 22s-3,

следовательно, x' четно, т. е. x' = 2x''. После постановки в предыдущее уравнение и сокращения получаем

y''2 = 4x''3 - 22(s-2). (5)

Продолжая анализ четности, получаем, что замена x = 4x ', y = 8y''' сводит уравнение (3) к виду

y'''2 = 2x''3 - 22(s-3), (6)

что возвращает нас к первоначальному виду (3), если положить s = s - 3. При этом x = 4x", y = 8y'''. Это означает, что если (x, y) — решение уравнения (3) для s = 1, то (22x, 23y) — решение уравнения (3) для s = 4, далее (24x, 26y) — решение (3) для s = 7. По индукции для произвольного s = 1

2s-2

(mod 3) получаем решение (2 3 x, 2s-1 y). Заметим, что этот результат справедлив, даже если первоначальное y = y в решении уравнения (6) нечетно.

Рассмотрим частные случаи значений s. 1. Для s = 1 уравнение (4) сводится к

2x'3 = y '2 +1 = (1 - iy ' )(1 + iy '). Легко проверить, что (1 - iy' , 1 + iy' ) = 1 + i. Тогда

1 - iy ' = i(1 + i)u, 1 + iy ' = -i(1 + i)v для некоторых взаимно простых u и v из кольца Z[i]. Тогда

2x 3 = (1 + i)2uv = 2iuv,

33

значит, x (-i) = uv.

Так как u, v взаимно просты, то u = (-b + ia)3 для некоторых целых a и b. Значит, 1 + iy ' = i(1 + i)(-b + ia)3 = (1 + i)(a + ib)3.

Сравнение действительной и мнимой частей последнего равенства дает

(а + Ь)(а2 - 4аЬ + Ь2) = 1.

Это возможно лишь при а = 1, Ь = 0 или а = 0, Ь = 1, откуда у' = +1. Следовательно, у = +2, х = 2.

2. Для в = 2 уравнение (5) сводится к

у''2 +1 = (у '' + 0(у'' -г) = 4х''3, откуда следует, что у" нечетно. Вновь нетрудно убедиться, что для не-

ГГ / ГГ ■ ГГ ^ ■

четного у выполняется (у + г, у - г) = 1 + г. Как и в предыдущем случае,

у" + г = (1 + г)и, у" - г = (1 + г)у для некоторых взаимно простых и и V из кольца 7\г[]. Тогда

4х "3 = (1 + г)2т = 2г^,

откуда т = 2(-г')х"3 = 2(г'х")3 = (1 + г')(1 - г')(г'х")3.

С учетом взаимной простоты и и V возможны следующие двенадцать случаев:

1) и = 2(а + гЬ)3, V = (а' + гЬ' )3;

2) и = (а + гЬ)3, V = 2(а' + гЬ' )3;

3) и = (1 + г)(а + гЬ)3, V = (1 - г)(а' + гЬ')3;

4) и = (1 - г)(а + гЬ)3, V = (1 + г)(а' + гЬ')3;

5) и = 2(гх ")3, V = 1;

6) и = 1, V = 2(гх")3;

7) и = 1 + г, V = (1 - г')(г'х")3;

8) и = 2, V = (гх")3;

9) и = (гх ")3, V = 2;

10) и = (1 - г)(гх")3, V = 1 + г;

11) и = 1 - г, V = (1 + г)(гх ")3;

12) и = (1 + г)(гх")3, V = 1 - г.

Сравнивая действительные и мнимые части предыдущих соотношений, получаем, что при нечетном у и в = 2 уравнение не имеет целочисленных решений.

3. Аналогично рассматриваются случаи в = 3, 4, 5. Получаем, что при в = 3 имеется решение х = 4, у = 0. Для в = 4 получаем решения (8, +16), (20, +88).

При в = 5 уравнение не имеет целочисленных решений.

43

44

2. Случай нечетного y

Перепишем уравнение (3) в вице

y2 + 22s = х3

или эквивалентно в кольце целых гауссовых чисел Z[i]

(2s + iy)(2s - iy) = х3.

Лемма. Для целого нечетного y числа 2s + iy и 2s - iy взаимно просты в Z[i].

Доказательство леммы элементарно. Из нее сразу следует, что каждое из чисел 2s + iy и 2s - iy является кубом

2s + iy = (a + ibf, где a и b — целые, откуда получаем

2s = a3 - 3ab2 = a(a2 - 3b2), (7)

y = 3a2b - b3 = b(3a2 - b2). (8)

Из этого следует, что a является степенью 2, а b нечетно. Из выражения (7) следует равенство

3b2 = — + a2. (9)

a

Так как b нечетно, то слагаемые в правой части (9) должны иметь разную четность. Ясно, что -2s / a четно, а a2 нечетно при a = +1, -2s / a нечетно, а a2 четно при a = +2s. Таким образом, получаем четыре возможных значения для a: a = +1 и a = +2s и, значит, имеем следующие четыре случая.

1. Если a = 1, то 3b2 = 1 - 2s < 0, чего не может быть.

2. Если a = -1, то 3b2 = 2 s + 1, откуда следует, что b нечетно, а согласно (8) тогда y четно, что противоречит исходному предположению, следовательно, и этот случай невозможен.

3. Если a = 2s, то 3b2 = a2 - 1 = 22s - 1 = (2s - 1)(2s + 1) — произведение двух идущих подряд нечетных чисел. Так как 2s не делится на 3, то остаток от деления 2s на 3 равен либо 1, либо 2.

В обоих случаях тогда произведение (2s - 1)(2s + 1) делится на 3, т. е. b2 = (22s - 1)/3 — целое число.

Последнее равенство можно переписать в виде

22s - 3b2 = (2s - bß )(2s + bß ) = 1.

Это означает, что числа 2s - и 2s + являются единицами вещественного квадратичного поля

Q(>/3 ).

Найдем фундаментальную единицу этого поля. Для этого разложим m = ф в цепную дробь:

ao = [ф ] =1;

i 1 Тз +1 r ] l

ai = —¡=г- = —¡=- =-, откуда ai = [ai| = 1;

ь/з) Тз -1 2 7

a2 = 1 = —1— = ф + 1, откуда a2 = [a2] = 2; {a1) a 1 -1

1 1 S +1

аз =- =- =- = a1, откуда аз = a1.

{a2) a2 - 2 2

Это означает, что ф> = [1,1,2] — периодическая цепная дробь с периодом l = 2. При этом фундаментальная единица имеет вид / = pl-1 + qU1m. Найдем подходящую дробь с номером l - 1 = 1:

Р1-1 = El = 2

qi-1 qi 1

Таким образом, фундаментальная единица / = 2 + "\/з , а любая единица поля ) равна

е = +(2 + ф )n = + упф . Для различных n получаем:

n = 1

(2 + ф )l = 2 + ф , откуда xn = 2, yn = 1;

и = 2: (2 + -у/3 )2 = 7 + 4^3 , откуда хп = 7, уп = 4; п = 3: (2 + ф )3 = 26 + 15/3 , откуда хп = 26, уп = 15; и = 4: (2 + ф )4 = 97 + 5^/3 , откуда хп = 97, уп = 56; п = 5: (2 + ф )5 = 362 + 20^/3 , откуда хп = 362, уп = 209. Индукция по п показывает, что

хп+1 = 4хп — Хп—1, уп+1 = 4уп — уп—1, (10)

где вдобавок х0 = 1, у0 = 0, т. е.

(2 + ф )п+1 = (4хп — хп—1) + (4уп — уп—1) ф .

Таким образом, чтобы число 23 + ^/3 было единицей, необходимо, чтобы

23 = хп+1 (11)

для некоторых п и б. Из условия (11) сразу следует, что хп+1 четно.

Из равенств (10) получается, что числа хп—1 и хп+1 имеют одинаковую четность.

Из предыдущего хп+1 четно, если и только если п + 1 нечетно, т. е. п четно.

45

Подстановки (10) дают

Xn+1 = 4xn - Xn-1 = 4xn - (4xn-2 - Xn-3) = 4(xn - xn-2) + Xn-3 =

= 4(xn - Xn-2) + (4xn-4 - Xn-5) = 4(xn - Xn-2 + Xn-4) - Xn-5 = • • • = i n-2 Л n

= 4

Xn xn- 2 + xn-4 ••• + ( 1)

= 4

n-2 Л

xn xn- 2 + xn-4 ••• + ( 1)

+(-1)2 Xi =

+ (-1)2 • 2 = 2C„

46

где

C = 2

n

n- 2 Л

Xn Xn-2 + Xn-4 ••• + ( 1)

+ (-1)2 -

нечетное число. С учетом этих вычислений равенство (11) сводится к 2б1 = Сп. Это возможно лишь при б = 1. При этом получаем а = 2, Ь = +1. Тогда формула (8) дает у = +11, а из уравнения (3) находим х = 5.

4. Если а = -28, то 3Ь2 = а2 + 1 = 22б + 1. Мы уже доказали, что 228 - 1 делится на 3, т. е. 22б - 1 = 3к, откуда 22б + 1 = 3к + 2 и не делится на 3, это противоречие. Таким образом, этот случай невозможен.

В итоге для нечетного у уравнение имеет целочисленные решения только при б = 1.

Заключение

Уравнение (3) имеет следующие целочисленных решения:

1) для б = 1: (2, +2), (5, +11);

2) для б = 2: решений нет;

3) для б = 3: (4, 0).

Далее:

( 2й+1 Л ( 2 й-2 Л

4) для s = 1 (mod 3):

2 3 , + 2s

5 • 2 3 , +11 • 2

s-1

5) для s = 2 (mod 3): решений нет;

( 2s Л

6) для s = 0 (mod 3):

2 3 , 0

Непосредственное применение системы компьютерной алгебры Maple для s = 10 дает решения:

(128, 1024), (128, -1024), (320, 5632), (320, 5632),

что соответствует полученным результатам^

Список литературы

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М., 1987.

2. Cao Z. F. Diophantine equations and divisibility of class number of real quadratic fields // Acta Mathematica, Sinica. 1994. Vol. 37. P. 625-631.

3. Dong X. L., Cao Z. F. Diophantine Equations and Class Numbers of Real Quadratic Fields // Acta Arithmetica, XCVII. 2001. Vol. 4. P. 313-328.

4. Jacobson M. J., Williams H. C. Solving the Pell Equation. Springer Science + Business Media, LLC 2009.

5. Le M. Divisibility of class number of the real quadratic field Q — // 47

Acta Mathematica, Sinica. 1990. Vol. 33. P. 565 - 574.

6. Lu H. W. Divisibility of class number of some real quadratic fields / / Ibid. 1985. Vol. 28. P. 756 - 762.

7. Yuan P. Z. Divisibility of class numbers of real quadratic fields // Ibid. 1998.Vol. 41. P. 525-530.

8. Yuan P. Z. Some basic problems in Diophantine equations. Ph.D. Thesis. Sichuan University, 1997.

Об авторах

Сергей Иванович Алешников — канд. техн. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]

Марина Валерьевна Алешникова — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]

Андрей Александрович Горбачёв — канд. техн. наук, доц., Калининградский государственный технический университет. E-mail: [email protected]

About the authors

Dr Sergey Aleshnikov, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

Marina Aleshnikova, head teacher, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

Dr Andrey Gorbachev, ass. prof., Kaliningrad State Technical University. E-mail: [email protected]