Об ассоциированности решений диофантовых уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.6

ОБ АССОЦИИРОВАННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Э.Т. АВАНЕСОВ, В.А. ГУСЕВ, кандидаты физ.-мат. наук

В терминах сравнений приведена теорема об ассоциативности двух произвольных решений диофантовых уравнений, доказана оценка числа попарно не ассоциированных элементов модуля М с данной нормой.

Ключевые слова: диофантово уравнение, разложимые формы, рациональные числа, признак ассоциированности.

ON DECISIONS ASSOCIATIVITY OF DIOPHANTINE EQUATIONS

E.T. AVANESOV, VA GUSEV, Candidates of Physics and Mathematics

The authors consider the associativity theorem of two arbitrary decisions of Diophantine Equations using the comparison terms. The authors show the number estimation of not associated elements of M module with the given standard.

Key words: Diophantine Equation, decomposable forms, rational numbers, sing of associativity.

Рассмотрим вопрос о представлении целых рациональных чисел разложимыми формами.

Наряду с представлением целого рационального числа N полной формой

Г(х, у, г) = Шгт(х + уХ + гХ2) = N, (1)

исследуем и диофантово уравнение 1 (х, у) = х3 + р,х 2у - Р2 ху2 + рэ у3 = N. (2)

Для уравнений (1) и (2) представляет интерес разрешение вопросов расчета: 1) оценок величины решений; 2) нахождения представителей классов решений; 3) оценки числа попарно не ассоциированных элементов с данной нормой; 4) признака ассоциированности двух решений [1]; 5) критериев неразрешимости, частично распространяемых на произвольные уравнения

Г (х0, у1,..., хп ) = Norm(x0 + х1Х +... + хп-1Х п-1) = N.

(3)

Очевидно, уравнение (3; N = 1) всегда разрешимо, но не всегда можно найти целые значения для хI (I = 0,1,...,п -1), удовлетворяющие уравнению (3; N ф 1).

Пусть w = х0 + х1Х +... + хп-1Хп-1 - решение

(3), тогда если е = £ 0 + ^1Х +... + £ п-1Хп-1 - единица, то и ме тоже решение (3).

Исходя из некоторого определенного решения (3), можно, умножая на все решения (3; N = 1), получить бесчисленное множество решений уравнения (3).

Найденные таким путем решения принято называть классом решений, а сами решения из одного класса - ассоциированными [1].

Предварительно сформируем три леммы, справедливость которых очевидна и усматривается непосредственно.

ЛЕММА 1. Форма Г(х0,х1,...,хп-1) мультипликативна.

ЛЕММА 2. Пусть Г(м) = Normw , тогда

1

М = — Г (м) = х0 + х1Х +... + хп-1Хп-1 = Ф( х0, х1,..., хп-1) м

и все х1 = ф,-(х0,х1,...,хп-1) (I = 0,1,...,п -1) являют-

ся формами степени n -1 от переменных Xj с коэффициентами, зависящими от pj (j — 1,2,...,n).

ЛЕММА 3. Пусть

wz — wxwy, где

W x — Xo + X^K + ... + Xn _1^

wy — y0 + y1^ + ... + yn-1X

n-1 n-1

n-1

W z — Zo + Z^X + ... + Zn _1^

Тогда имеют место формулы, где принято

Ро — 1:

Zo = x0yо + РпИ 2 xi+Уп-1-j х /—1 j—о

(a1 + a2 +... + a/ 1)! /_\ a

——2----------— ■ n pmm

a1!a2 !...a

i -1

m—0

a1+2a2+...+ (/ - 1)a/-1 — I -1

k n-1n-1- j j—1

zk — 2 x/yk-j + 2 2 xj+1yn-1-t ■ 2 pn-k+m

j—0 j—1 t—0

(a1 + a2

m—0,m<k + a j-m-1)!

a1 j-m-1

(j-m-1)aj-m-1— I-1 a1!a2 !...aj-m-1!

х П РГ,

Г=0

к = 1, 2,... , п-2;

п-1 п-1п-1-у

гп-1 = 2 х1уп-1-1 +22 ху+1 уп-1-^ х I=0 у=1 ^=0

(^1 + а2 + ... + а;)! у а

х 2 ( 1 ! 2 !—у- п ртт.

а1+2а2+...+уау = у а1 !<а2 —ау ! т=1

Следующая теорема устанавливает арифметический признак ассоциированности двух решений. ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы два решения

мх = х0 + х1Х +... + хп-1Х‘ и Му = у 0 + у^ +... + уп_,Г

уравнения (3) при N ф 1 были ассоциированы, необходимо и достаточно, чтобы выполнились следующие сравнения:

n-1

n-1

n-1n-1-/

У0X0 + Pn 2 2 Уп-1- jXj+j *

/—1 j—0

(a1 + a2 + ... + a ■,)! j-1 a

* 2 . 2 ,-------j- ■ П Pa - 0(modN);

a1+2a2+...+(/-1)a/-1—/-1 a1 !a2 —a j-1 ! m—0

k _ n-1n-1-j _ j-1

2 yk-/x/ + 2 2 yn-1-t ■ xj+i 2 pn-k+m *

j—0 j—1 t—0 m—0,m<k

(a1 + a2 + ... + aj-m-1)!

* 2 ----------------------!—!---------—'

a1+...+(j-m-1)aj-m-1—j-m-1 a1 !a2 !...aj-m-1!

j-m-1

* П Pat - 0(modN),

f—0

k — 1, 2,..., n -2;

n-1 _ n-1n-1- j _

2 Уп-1-/x/ + 2 2 Уп-W ■ Xj+/ *

j—1 j—1 i—0

(a1 + a2 + ... + a j)!

a1+2a2+...+jaj—j a1 !a2 !..-aj !

j

* П Pmm - 0(modN),

m—1

где Xs(s — 0,1,...,n -1) определены из лемм 1 и 2. Доказательство.

Если два решения wx и wy ассоциированы, то справедливо равенство wy — ewx, или

we 1------ ~

s — —e — — wvwx , из чего и вытекает необходи-wx N у X

мость условия.

Наоборот, если вышеуказанные сравнения выполняются, то получим

Wx • wy — N(£0 + ^X +... + £п-1Xn-1) с целыми коэффициентами £j.

Тогда имеем N ■ Nn-1 — Nn ■ F(£0 + ^X +... + £n-1Xn-1),

F(£0 + ^X +... + £n-1Xn-1) — 1, а значит, wx и wy

ассоциированы.

Важный частный случай для уравнения (3) формулируется следующим образом:

ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы два решения

Wj — Xj + yjX + ZjX2 (/ — 1, 2)

уравнения (1) были ассоциированы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие сравнения:

X2 X + Рз( У2?1 + Z2/1) + P1P2Z2Z1 - 0(mod N);

X2V1 + У 2У1 + Р2( У 2^1 + Z2/1) +

+(Р1Р2 + P3)Z2Z| - 0(modN);

X2Z1 + У2 X1 + Z2 X1 + Р1( y 2Z1 + Z2 У1) +

+(р2 + p2)z2z1 - 0(mod N), где

X1 — X12 - Р2У12 + (р| - P1P3)Z12 + P1X1y1 +

+(Р12 + 2P2)X1Z1 - (P1P2 + Рз)у^1;

У1 — -Р1У12 + (Р1Р2 + P3)Z12 - X1y1 - P12y1Z1;

Z1 — У12 - P2Z12 - X1Z1 + P1y1Z1.

Пусть тп(N) число попарно не ассоциированных элементов модуля Mn(X) с данной нормой N или, другими словами, количество классов ассоциированных решений уравнения (3).

ТЕОРЕМА 3. Имеет место неравенство Tn (N) < [с(п )N ],

Ck

где с(п) — п max -п±г1.

р<п k Р

Здесь р - простое число; max рассматривается на Ck

всех дробях п+.k-1 , превышающих единицу.

Pk

Доказательство.

Известно, что тп(N) < y(N), где y(N) - количество целых неотрицательных решений диофан-това уравнения

У1У 2... у к — N. (4)

Учитывая каноническое разложение N:

N — pj1p22...pf , где 2 < Р1 < Р2 < ... < Pt , устанавливаем мультипликативность Tn(N), из чего следует

Tn(N) <Г1 Яп (Yj). j—1

где qn (у) - число целых неотрицательных решений диофантова уравнения Z1 + Z2 + ... + Zn — У .

Но Яп(Y) — суу+ п-1, поэтому

Tn (N) <п -Y+n-1.

/—1

Оценим тп(pY). Так как значение элемента u — pk растет быстрее, нежели парабола k-й степени u — —k+k-1, то существует лишь конечное число

целых положительных k, заполняющих начальный отрезок натурального ряда и таких, что выполняется неравенство

—k+k-1 > Pk . (5)

Отметим, что для всех остальных значений k, начиная с некоторого, неравенство (5) будет противоположного смысла.

Из указанного конечного набора чисел K можно выбрать такое k0 (может быть не одно), что 1

дробь -r—jk+k-1 будет наибольшей, т. е.

Р

s^k s^k 0

сп+k-1 < сп+k 0-1 pk ~ pk0 '

Tn(PY) < Cp(n) ■ PY, где

Тогда получим ■'р

ск ск 0

ср (п )тах ^ = сп±к0-1, р к рк рк0

и остается использовать мультипликативность Тп (N).

Теорема 3 доказана.

В качестве иллюстрации приведем некоторые вычисленные согласно теореме 3 оценки тп N) для частных значений п, а именно:

Г з 1 Г10 1 Г 17б 1

- N 2 , T4N) < —N 3 , T6(N) < —N 24

Список литературы

1. Аванесов Э.Т., Гусев В.А. Ассоциированные решения диофантовых уравнений: мат-лы Междунар. науч.-техн. конф. (XV Бенардосовские чтения). Т. 1. - Иваново, 2009. - С. 107.

Аванесов Эдуард Тигранович,

Пятигорский государственный технологический университет,

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики,

телефон 8-928-З60-З7-49.

Гусев Владимир Алексеевич,

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина»

кандидат физико-математических наук, профессор,

зам. декана факультета информатики и вычислительной техники,

e-mail: dekan@ivtf.ispu.ru

З