CC BY
30
ХОНКУЛОВ У.Х.
О ПРИМЕНЕНИЯХ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБУЧЕНИИ ЭЛЕМЕ НТОВ СТОХАСТИКИ
Аннотация. В статье рассматриваются проблемы обучения элементов стохастики математики в лицеях и колледжах с использованием компьютерных технологий. Также в статье приведены методы решения задач по стохастике с использованием некоторых статистических функций
электронные таблицы MS EXCEL. Здесь же приводятся некоторые идеи сравнения методик преподавания стохастики в различных странах и переход к новым более мощным R-средам.
Ключевые слова: стохастика, комбинаторика, гипергеометрическое распределение, компьютерные технологии, электронные таблицы (MS EXCEL), статические функции, вычислительные алгоритмы.
KHONKULOV U.KH.
ON THE APPLICATION OF COMPUTER TECHNOLOGIES IN TEACHING ELEMENTS OF STOCHASTICS
Abstract. The manuscript discusses problems of teaching elements of stochastics of Mathematics in lyceums and colleges using computer technologies. The manuscript also lists methods of solving stochastics problems using certain statistical functions of MS EXCEL electronic tables. Also, specific ideas of comparing methods of teaching of stochastics in different countries are given, as well as the transition to new more powerful R environments is provided. Keywords: stochastics, theory of combinations, hypergeometric distribution, computer technologies, electronic tables (MS EXCEL), statistical functions, computational algorithms.
На современном этапе развития мировоззренческих взглядов в науке и обществе наряду с детерминистическими представлениями существенно значимое место занимают и вероятностно-статистические концепции образования. Возникновения и становления этих концепций привели к образованию нового направления и в современной математике с собирательным названием стохастика. Это направление объединяет теоретические основы и прикладные методы теории вероятностей и математической статистики, комбинаторики и методы дискретной конечной математики, использующие классическое определение вероятности, случайных событий. Теоретическая база стохастики основывается на современную теорию вероятностей и статистики массовых случайных явлений.
На рубеже ХХ-ХХ1 вв. элементы стохастики внедрены в среднем звене системы всеобщего математического образования, и участие стохастики в процессе обучение связано с развитием и расширением современных статистических методов науке и технике, производстве, экономике и других областяхчеловеческой деятельности ([1, 2, 5, 7]).
В частности, по роду наших занятий мы отметим, что в последнее время элементы стохастики получили большое распространение в средней школе и в системе колледжей Узбекистана и России. С чем это связано? Прежде всего, с воспитательными аспектами развития мышления школьников и учащихся колледжей. В самом деле, чувство наивероятного события сродни здравому смыслу. Очевидно, что при определенных условия дать «достоверную» оценку событию довольно трудно, особенно если она не подкреплена опытом. Но если есть, более-менее, точные параметры для «прикидки», что то же самое, что и оценка события, мы аргументированно можем судить о правдоподобности возможного результата (исхода) оцениваемого события. Самым простым примером может служить игра и принятие решения. Понятно, что в теории игр точные оценки вероятных ответных действий противника приводят к выигрышу. Принятие решений с учетом конъюнктуры в тактике и стратегии поведения на рынке производителю товаров даст однозначные преимущества перед своими конкурентами. Принятие решений в конфликтной ситуации, с должной степенью её оценки, предположим, опыта проведения противником действий, может облегчить выбор решения для разряжения напряжений. Далее, конечно же, современные средства (компьютерные технологии) в области оце-
нок обратных связей при выполнения принятого решения дают возможность управляющему или лицу, принимающему решение, корректировать информацию и давать новые вводные при последующем принятии решений. Таким образом, для дальнейшего развития мышления (воспитания мышления) будущего специалиста в различных сферах человеческой деятельности воспитание «вероятностного чувства» играет, возможно, решающую роль. Здесь мы заметим, что в современной образовательной деятельности различных стран теория вероятностей в программах средней школы занимает весьма значительное место, например, в программах китайской общеобразовательной школы.
В продолжение же темы развития вероятностного мышления возникает еще и аналитическая задача оптимизации выбранных стратегий игры, которая ставит ряд педагогических и методических задач развития базовой основы системы обучения.
Здесь же мы хотели бы обратить внимание коллег на такие смежные (педагогически перспективные) дисциплины и методы, как МАС и МАИС, которые стоило бы включать в элективные курсы средней школы и колледжей.
Привлечение компьютерных технологий для улучшения учебного процесса сыграло большую благотворительную роль в реформировании системы образования в целом. В частности, в итоге применения компьютерных технологий в процессе преподавания математики можно заметить появление следующих положительных результатов:
— компьютерные технологии позволяют осуществлять оперативное управление межпредметными связями, а также укрепить внутренние интеграционные связи математических дисциплин;
— способствуют формированию у учеников профессиональных навыков и компетенций в классификациях прикладных задач математики;
— демонстрировать методы построения математических моделей реальных явлений, получение конкретных численных решений сложных и абстрактных математических задач;
— развивать умение использовать вычислительные алгоритмы для симуляции изучаемого явления.
В недавнем прошлом задачи, которые описаны выше, входили в ряд так называемых проблем кибернетики — науки об общих закономерностях процессов управления и связи в сложных системах, включая как машины, так и живые организмы. Поэтому в процессе обучения учащихся следует фоном изложения материала сделать исторический путь изменения сложности задач, решаемых человечеством в последние две тысячи лет. При этом стоит как методический прием предложить студентам и учащимся заняться формализацией известных задач, что, безусловно, влечет интерес к предмету стохастика и истории развития нашей науки. Другим аспектом стохастики — естественный переход к понятию информации и обработки информации, при этом упорядочение информации высвечивает нам и другую сторону изучения мира, именно — борьба с хаосом. Вероятность появления хаоса в процессе современного обучения возросла с повышением скорости обращения информации. Одна и та же информация в различных контекстных средах оказывается неузнаваемой учащимися или плохо узнаваемой. Поэтому, используя компьютерные технологии, можно управлять «временем» восприятия количества информации, регламентировать порции «новой» и «старой» учебной информации, представлять её голографические стороны и срезы. И в этом случае мы приходим к тому, что плотность распределения учебной информации должна приводить к нормальному закону распределения вероятности её восприятия. Но тогда учет среды, а мы знаем, что она неоднородна в одной академической группе, приводит нас к убеждению, что эффект от введения стохастики в учебный процесс объединяет весь предметный ряд школьных курсов и учебных курсов колледжей, а самое важное: позволяет использовать его для выравнивания мотивационных возможностей всех учащихся академических групп.
При использовании компьютерных технологий в преподавании стохастики, наряду с известными специальными пакет-программами, предназначенными для выполнения математических операций (MAPLE, Grafer, Statistica, Math CAD и др.), приходится привлекать и электронные таблицы MS EXCEL, входящие в пакет MICROSOFT OFFICE. Это достаточно хорошо известные прикладные программы, но их можно отнести к «классическим» пакетам, но относительно «маломощным» техническим средствам.
Поэтому, конечно же, следует отдельно обратить внимание на педагогический эффект привлечения в процессе обучения языка и среды R. Одно только погружение в эту среду дает возможность учащемуся столкнуться с задачами многоступенчатого усложнения, эффективно моделирующими сложности будущей профессиональной деятельности. В этой среде возникает весьма много вариативных задач, решение которых позволяет достигать целей образовательного процесса.
Приведем мнение одного из наших коллег, который в процессе обучения в вузе (РГГУ) пробовал различные модели обучения статистике студентов.
«Среди преимуществ IBM SPSS Statistics выделю:
- Удобная загрузка данных различных форматов (Excel, SAS, через OLE DB, через ODBC Direct Driver).
- Наличие как командного языка, так и разветвленной системы меню для прямого доступа к различным процедурам статистического анализа.
- Графические средства вывода результатов.
- Встроенный модуль Statistics Coach, интерактивным образом предлагающий адекватный метод анализа.
Недостатками IBM SPSS Statistics, на мой взгляд, являются:
- платность даже для студентов;
- необходимость получения (дополнительно оплачиваемых) модулей, содержащих специальные процедуры;
- поддержка только 32-разрядных операционных систем Linux, хотя Windows поддерживаются как 32-разрядные, так и 64-разрядные».
И далее, альтернативой системы IBM SPSS Statistics является, как утверждает наш коллега, система R.
« Достоинствами обсуждаемой системы я считаю:
- Распространение программы под GNU Public License.
- Доступность как исходных текстов, так и бинарных модулей в обширной сети репозита-риев CRAN (The Comprehensive R Archive Network). Для России — это сервер cran.gis-lab.info.
- Наличие установочного пакета под Windows (работает как на 32-х, так и на 64-разрядной Vista). Случайно выяснилось, что установка не требует прав администратора под Windows XP.
- Возможность установки из репозитария в Linux (у меня работает на 64-разрядной версии Ubuntu 9.10).
- Наличие собственного языка программирования статистических процедур R, фактически ставшим стандартом. Он, например, полностью поддерживается новой системой IBM SPSS Statistics Developer.
- Этот язык является расширением языка S, разработанным в Bell Labs, в настоящее время составляющим основу коммерческой системы S-PLUS. Большинство программ, написанных для S-PLUS, может легко быть исполнено в среде R.
- Возможность обмена данными с электронными таблицами.
- Возможность сохранения всей истории вычислений для целей документирования» (ИНТЕРНЕТ-ресурс «Среда статистических вычислений R: опыт использования в преподавании»).
Однако понятно, что для широкого использования языка и среды R необходимо подготовить учащихся к её восприятию, в достаточной степени обеспечить знакомство учащихся с алгоритмами, языками программирования, дать им возможность научиться писать простенькие программы на языках программирования. Но, как легко заметить, что последнее как раз и есть задачи творческого учителя или преподавателя. Однако доступ к этой среде не везде возможен, например, он плохо формируется в низкоскоростных сетях, и поэтому в «классических» академических условиях можно развивать «статистический ресурс».
Известно, что входящая в программное обеспечение компьютера программа MS EXCEL под управлением операционной орбиты WINDOWS, в основном предназначена для составления и обработки электронных таблиц, которые широко используются в решении экономиче-
тт — ooíëдëy ,
ских задач. Но, несмотря на это, воспользовавшись « », — мастер-функцией, нахо-
дящейся в меню «Вставка» этой программы, можно решать и задачи стохастики [3,4,6].
Предварительно напомним классическое определение вероятности случайных событий.
Пусть ^ — некоторое конечное множество элементов, которые интерпретируются как исходы некоторого случайного эксперимента. Любое подмножество Л объявляется случай-
п (Л) А
ным событием. Если означает число элементов множество , то вероятность события
Л
определяется равенством
Р(Л) = ^ Л = П У ' . (1)
{«1, а2ап }
Пусть задано множество , которые мы будем называть генеральной совокупно-
k
стью. Выборкой объема из генеральной совокупности является упорядоченная последовательность
{а,,а, ,...,а, }, 1 < I < п, 7 = .
{а. ,а ,...,а }, 1 < I < п, 7 = 1,2,...,к.
J2, ' Jк )' -11 ' ' ' '
Эту последовательность можно образовывать следующим образом: первый элемент 1
а
выберем из всей генеральной совокупности. Следующий элемент 2 выберем из генеральной
а] а7
совокупности без элемента 1 ; элемент 3 выберем из генеральной совокупности без эле-
а ] а.
ментов 1 и 2 , и т. д. Полученные таким образом выборки называются выборками без возвращения. Ясно, что в этом случае должно быть k < п.
Гипергеометрическое распределение.
Пусть генеральная совокупность состоит из урны, содержащей п шаров, из них ^ белых
и п п1 черных. Производится выборка без возвращения объема k , какова вероятность того,
к
что в выборке будет_белых шаров? Для постановленной задачи множество элементарных
исходов ^ состоит из всех возможных выборок без возвращения объема к из генеральной совокупности объема п .
п(а) = Скп , к = 1,2,...,п.
Следовательно,
пх к С1
В свою очередь, из всех белых шаров белых шаров можно выбрать способа-
к — к1 п — п, _ Сп—п1
ми, остальные черных шаров из всех 1 черных шаров можно выбрать спо-
собами. При этом очевидно, любой из белых шаров может сочетаться с любым набором чёр-
Лк1,к
ных шаров. Следовательно, если обозначим через 1 событие, которое состоит в попада-
к к1
нии в выборку без возвращения объема точно белых шаров. Таким образом, число
Лк1,к пьп
элементов множество
ni n—n '
n (A^ ) =
l n1,n/
и искомая вероятность, согласно формуле (1)
cki —ki
р(А£)_ p,,(kbk)_ cniCpv (2)
cn
Набор чисел
Рщл (0,к), Pn1,n(1,к),...,Pn1n (к,к)
образует так называемое гипергеометрическое распределение. Следовательно,
к
I Pn1,n (к1, к) _ 1, 0 < ni
< щ < n
к1_0
и из формулы (2) получаем следующее тождество для комбинаторных чисел
k
к, ^-к, ^
I Ск1 ск—к1 _ ск, 0 < n < n. (3)
Z—i n1 n—n1 " ' 1 v /
к1 _0
Доказательство тождества (3), приведенное в учебниках по математике, является сложным и трудным.
Пример 1. В 1990-х годах существовала популярная разновидность лотереи — название «Спортлото». Участник лотереи из 49 наименований видов спорта (обозначенных просто цифрами) называет шесть. Выигрыш определяется тем, сколько наименований он угадал из шести других наименований, которые в момент розыгрыша лотереи определяются с помощью специального механического устройства, реализующего на глазах у публики случайный выбор. Спрашивается, какого вероятность того, что участник угадает все шесть наименований? Пять наименований и т. д.?
Нетрудно видеть, что это есть не что иное, как задача о гипергеометрическом распределении, где в генеральной совокупности, состоящей из 49 предметов, владельцам лотерейного билета выделено шесть «белых». Поэтому вероятность того, что из случайно выбранных ше-
к1
сти предметов предметов окажутся «белыми» (совпадут с отмеченными владельцам билета), равно 6,49 ( 1 ), где объём выборки к равен. Например, вероятность угадать все шесть наименований (максимальный выигрыш) равна
С 6 С0
Рб,49 (6,6) _ СССз _(с69)—1 « 7,2-10—8
С 49
В связи с гипергеометрическим распределением (2) можно сделать одно замечание о природе задач теории вероятностей и математической статистики. Зная состав генеральной совокупности, мы с помощью гипергеометрического распределения можем выяснить, каким может быть состав выборки. Эта типичная прямая задача теории вероятностей. Но в естественных науках обычно приходится решать обратные задачи — по составу выборок определять природу генеральных совокупностей, такого рода обратные задачи и составляют содержание математического статистики.
Из формулы (2) видно, что гипергеометрическое вероятностное распределение
Pn1,n (кЬ к )_ P (n, nb к, к1)
имеет довольно сложный вид, и оно определено, когда его параметры удовлетворяют условиям
к1 < min (к, n1) ,max (к, n1 )< n
Функция входит в специальный класс гипергеометрических функций. В силу
Региональные проблемы преобразования экономики, №8, 2015 рщ,п (kbk ) = P (п пьk, h)
того, что сказано в последних фразах при конкретных вычислениях, связанных с гипергеометрических распределением, необходимым становится привлечение компьютеров. В частности, оценочное выражение (4) для вероятности максимального получено компьютером.
Пример 2. (Выборочный контроль качества продукции). Пусть в партии объема N изделий, представленной техническому контролю, имеется D дефектных предметов. Во многих случаях проводить сплошную проверку всех N изделий представляется невозможным, и в таких случаях применяется выборочный контроль качества, суть которого заключается в следующем. Из генеральной совокупности N изделий по схеме без возвращения берется выборка объема п, и через d = d (п)обозначим число дефектных изделий при назначении некоторого положительного числа, называемого приемочным числом. Далее, в случае d<c представленная партия изделий принимается, а в случае d>c отвергается (см. [6]). Приведенный вариант выборочного контроля укладывается в модель гипергеометрического распределения, и для него важным является вычисление вероятности события A, которое заключается в появлении d дефектных изделий в выборке объема п Если дефектные изделия интерпретируются как «белые шары», то согласно формуле (2) получаем равенство
cn—d cd
P (A)= CN—Dr^- (5)
Теперь приведем применение компьютеров в вычислении вероятности P(A) события A, Правая часть формулы (5) представляет собой функцию
cn—d cd
P (d, n, D, N) = CN—Dn n ,
CN
которая в программе MS EXCEL называется статистической функцией «ГИПЕРГЕОМЕТ».
Синтаксис функции:
ГИПЕРГЕОМЕТ (число_успехов_в_выборке; раз-
мер_выборки;число_успехов_в_совокупности; размер_совокупности).
d -число_успехов_в_выборке (это количество успешных испытаний в выборке); п-размер_выборки (это размер выборки); D-число —успехов_в_совокупности (это количество успешных испытаний в генеральной совокупности); ^размер_совокупности (это размер генеральной совокупности).
Используя функцию «ГИПЕРГЕОМЕТ», найдём вероятность по приведенным в таблице данным:
d 7 10 11 9
п 17 20 30 35
D 11 14 20 15
N 24 30 40 42
Алгоритм вычисления:
Например, соответственно ячейкам А3, А4, А5, А6, А7 введите переменные «d», «п», «D»,
Р(с1, п, D, N) = п
«Ы», « N » ;
— соответственно ячейкам С3, С4, С5, С6, D3, D4, D5, D6, Е3, Е4, Е5, Е6 введите величины таблицы в формате чисел;
— в ячейку В7 напишите формулу «=ГИПЕРГЕОМЕТ(В3;В4;В5;В6)» или обозначьте ячейку В7, для чего мышку установите поверх ячейки и один раз нажмите левую кнопку.
Зайдите в расположенный в графе Меню «Вставка ^ -функция» и выберите пункт
«категория ^ статистические». Из окна «Выберите функцию» обозначьте статистическую функцию «ГИПЕРГЕОМЕТ» и нажмите кнопку «ОК». В результате откроется окно «Аргументы функции», в котором соответственно внести в окна «число_успехов_в_выборке, размервыборки, число_успехов_в_совокупности, размерсовокупности» формулы В3; В4; В5; В6 и нажмите кнопку «ОК» .
Из правой нижней точки ячейки В7 потяните вправо в ячейку Е7, в итоге получим искомые вероятности.
Приведите все сведения из всех ячеек в самый подходящий формат (рис.).
Придав переменным величины из таблицы, получим следующий результат
Так как данные величины переменных являются большими числами и требуют много времени для вычислительных работ, эффективнее будет найти вероятности с помощью электронных таблиц MS EXCEL. Широкое использование математических методов с помощью компьютеров приводит к созданию новых возможностей познания законов реального мира и внедрения их в практическую деятельность. Компьютер является значимым средством дальнейшего развития и появления усовершенствованных форм управления производством и повышения эффективности труда.
Литература
1. Новиков, Д. А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). — М., 2004.
2. Эштемиров, С. Электронные таблицы. —Т., 2006.
3. Резников, Ф. А. Быстро и легко осваиваем работу на компьютере. — М. : «Триумф», 2002.
4. Henk, Tijms. Understanding Probability Chance Rules in Everyday Life. Vrije University. — Amsterdam : Cambridge University Press, 2004. P. 56-68.
5. Жаров, В. К., Форманов, Ш. К., Хонкулов, У. Х. О статистическом методе в педагогическом эксперименте в условиях современного учебного процесса // Вестник МГОУ. Сер. «Педагогика», 2012. № 3. С. 104-110.
6. Браунли, К. А. Статистическая теория и методология в науке и технике. — М., 1977.
7. Хонкулов, У. Х. Применение информационных технологий в обучении стохастики // Физика, математика и информатика. 2010. № 2. С. 53-58.
References:
1. Novikov, D. A. Statistical methods in pedagogical research (types of cases). — M., 2004.
2. Astemirov, S. spreadsheet. —T., 2006.
3. Reznikov, A. F. Quickly and easily mastered the work on the computer. — M. : "Triumph", 2002.
4. Henk, Tijms. Understanding Probability Chance Rules in Everyday Life. Vrije University. — Amsterdam : Cambridge University Press, 2004. P. 56-68.
5. Zharov, V. K., Forman, S. K., Jankulov, W. H. a statistical method, the pedagogical experiment in the modern educational process // Vestnik MGOU. Ser. "Pedagogy", 2012. No. 3. P. 104 to 110.
6. Brownlee, K. A. Statistical theory and methodology in science and engineering. — M., 1977.
7. Jankulov, W. H. the Application of information technologies in teaching stochastics // Physics, mathematics and computer science. 2010. No. 2. S. 53-58.
