CC BY
45
Том 284
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
1974
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ СИНХРОННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
В. П. ЛИТВИНОВ, А. В. ЛООС, Г. А. СИПАИЛОВ
(Представлена научным семинаром кафедр электрических машин и аппаратов
и общей электротехники)
Переходные процессы в синхронных импульсных генераторах описываются нелинейной системой дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых не представляется возможным вследствие наличия периодических коэффициентов и необходимости учета насыщения магнитной цепи.
Решение дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, даже без учета насыщения или при приближенном учете его,
дает сложные выражения для токов и потокосцеплений [1 ]. В связи с этим большое значение приобретают исследования по исходной системе уравнений без введения упрощающих допущений с помощью АВМ и ЭЦВМ. Однако использование результатов расчетов, представляемых в виде графиков и таблиц, имеет известные трудности. Поэтому получение универсальной аналитической формулы, которая позволила бы рассчитывать значения выходных характеристик при любых сочетаниях параметров, не прибегая к сложному математическому аппарату, является важной задачей. Эту задачу позволяют решать методы планирования экспериментов, разработанные в современной математической статистике [2].
Рассмотрим решение этой задачи на примере синхронного импульсного генератора с коммутирующим устройством в цепи ротора, принципиальная схема которого приведена на рис. 1.
Работа такого генератора описана в [3]. Следует отметить, что в процессе работы происходит изменение структуры цепей генератора при замыкании коммутирующего аппарата К-2. Это обстоятельство вызывает еще большую сложность при решении поставленной задачи. Урав-
Рис. 1. Принципиальная схема синхронного импульсного генератора
нения переходных процессов при учете насыщения магнитной цепи рассматриваемого импульсного генератора имеют'вид:
рУс+игс+гн)=0,
pWf+ifrf=Uf9 !pWDd+iDdrDd-^of (i)
P^Dq+iDgrDq— О,
где
—(^с—^мн cosy—^«sin y),
Lbc
if=-L(Wf-widH),
Lif
¿Dd = (^Dd—Фш),
LoDd
= oqn),
LhDq
^s^h siny),
В уравнениях (1) приняты следующие обозначения: ic, if, ¿о^, ioq — токи соответственно обмоток статора, возбуждения и демпферных по продольной и поперечной осям;
(гс + гн)> rDd, —активные сопротивления соответственно ста-торной обмотки с нагрузкой, возбуждения и демпферных по продольной и поперечной осям;
Ulc,Laf, LaDd, LqDq— индуктивности рассеяний соответственно ста-торной обмотки возбуждения и демпферных по продольной и поперечной осям;
т] — насыщенное значение индуктивного сопротивления взаимоиндукции, определяемое результирующим потоком в воздушном зазоре; — напряжение обмотки возбуждения; ^Ч^, 'Vf^Dd, ^Dq — потокосцепления обмоток соответственно ста-торной возбуждения и демпферных по продольной и поперечной осям;
^s, ^orfK, Ч^н— потокосцепления соответственно в зазоре машины и его проекции по продольной и поперечной осям.
В качестве объекта исследования используем модель синхронного импульсного генератора, составленную по уравнениям (1), которая адекватно описывает поведение реальной машины. Выбирая сочетания параметров модели по определенному плану, можно получить в результате обработки данных опытов простую математическую модель генератора, связывающую выходные характеристики с его параметрами.
Математическая модель импульсного генератора может быть представлена некоторой функцией
где
а — выходная характеристика, подлежащая исследованию,
хь х2, Хз,..., хк—параметры генератора, которыми можно варьировать.
Аналитическое выражение функции (2) можно представить в виде полинома
я --- Ро+2 Рл+2 +2 М г+.... (3)
¿=1 (=1
■где
р0, ¡З,-, Р,7 р»—коэффициенты полинома.
Эксперименты, построенные по определенному плану, позволяют вычислить коэффициенты Ь0, Ъц,Ъц , которые являются статистическими оценками для теоретических коэффициентов р0, Рь Р/у, Ргг и получить уравнение (3) в виде
+ (4)
где
у — значение выходной характеристики, предсказанное уравнением.
В .качестве параметров импульсного генератора, влияние которых на выходные характеристики подлежит исследованию, выбраны сверхпереходные индуктивные сопротивления статора и ротора. Динамическая постоянная Hj = oo, т.е. (о = соп81;. Выходные характеристики генератора в данном примере было решено оценить двумя показателями: ¿Уд — амплитудой ударного тока, —энергией, выделяемой в активной нагрузке за один импульс ударного тока.
Значения токов и энергии приводятся в общепринятой системе относительных единиц [4.].
В табл. 1 приведены основные уровни и интервалы варьирования параметров ха=Хг, хя=Х2,
Таблица 1
Параметр Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень Нижний уровень
, х1 0,05 001 0,06 0,04
хг 0 05 001 0,06 0,04
х3 0 046 0,022 0,068 0,024
XI 0,016 0 007 0,023 0,009
Хъ 0,016 0 007 0.023 0,009
Кодированные безразмерные параметры определяются соотношением
= , (5)
1
где
Х1 — кодированное текущее значение параметра;
г
л о
Х1 — натуральное текущее значение параметра;
Х10—натуральное значение нулевого уровня;
Хг —натуральное значение интервала варьирования.
Для определения коэффициентов 60, Ьь Ьц,Ьи было решено воспользоваться униформ-рототабельным планом, ядром которого является полуреплика 25-1 с генерирующим соотношением:
Хг, = Х1 Х2Х$Х±.
В данном случае существенное влияние на значение выхода оказывают не только линейные эффекты, но и парные взаимодействия, поэтому линейное приближение здесь неприемлемо. Используем для описания поверхности отклика (выходных характеристик) полином второго порядка. Для этого необходимо варьировать переменные не менее, чем на трех уровнях, что достигается применением так называемого композиционного планирования, в котором к ядру, образованному планированием для линейного приближения, добавляют ряд «звездных точек».
Звездное плечо определяется по формуле
а = 2*-"4 ,
где
р — количество линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.
Оптимальными композиционными планами являются униформ-ро-тотабельные планы, позволяющие получить симметричные информа1 ц'ионные контуры и являющиеся в то же время почти ортогональными, благодаря чему коэффициенты регрессии при необходимости могут быть оценены независимым образом [2]. Матрица композиционного ро-тотабельного униформ-планирования второго порядка для к —5 и результаты опытов представлены в табл. 2.
Общее число коэффициентов регрессии при к=5 равно числу сочетаний
га „ (к+сI)!
а\кГ'
где
й — степень полинома, •
£ — число независимых переменных.
Данная дробная реплика базируется на полном факторном эксперименте типа 24, т.е. число опытов ядра равно пс = 16.
Необходимое число точек «звезды» должно составлять
па = 26=10.
Общее число точек плана составляет М=пс~\-па+п0 , где мо=10 — число точек в центре плана, найденное из условия получения коэффициента Я4, влияющего на вид информационного профиля, меньшим единицы:
А __ к(п'0+пп) <1 4 (*+2)л„ '
где
Таблица 2
№ п/п Хя Ух
1 + + + 4- + + 15,7 23,85
2 + _ + + • р — 17,3 26,8
3 — — 16,0 26,9
4 4- — + -Ь 4" 17,2 27,6
5 + Л- — — 27,6 33,7
6 ~г 4- — + + 31 36,1
7 -ь — — + 30 36,45
8 —н- __ — •— -4- — 31,7 45,4
9 4- -2- — — 16,9 26,8
10 1 — + — + 19,3 30,2
11 —г — + — + 17,0 28,75
12 "Г — — + — — Г9.2 33,35
13 1 + -г — -— + 29,6 34,3
14 + — — _ 35,3 45
15 1 + — — — — 33,35 44,8
16 —г~ — — - - — 1 . 36,4 47,7
17 +2 0 0 0 0 19,95 30,25
18 -2 0 0 0 0 25,25 39,55
19 + 0 + 2 0 0 0 21,8 31,00
20 + 0 —2 0 0 0 22,75 38,6
21 + 0 0 +2 0 0 13,95 22,9
22 + 0 0 —2 0 0 49,1 2,0
23 + 0 0 0 +2 0 20,0 30,7
24 ~г 0 0 0 -2 0 24,2 30,4
25 0 0 0 0 +2 22,0 32,7
26 -ь 0 0 0 0 —2 22Д 36,9
27 + 0 0 0 0 0 21,9 34,65
Таблица 3
Параметры и их взаимодействия у, У-2
коэффициенты ¿>о. Ьц, Ьц
21,0* 34,2*
Х1 -1,238* —2,3*
X, —0,419* —2,05*
—7,77* —2,39*
— 1,205* —2,145*
X* —0,055* —1,09*
Х> 0,216* 0,0865*
0,128* 0,867*
А 2,5* —4,78*
А 0,1133* 0,975*
0,0915* 0,867*
Х^Хо —0,312* —0,145
Х1Х:, 0,417* 0,84*
Х\Х± 0,343* ~ 0,416*
ХхХь 0,1245 0,006
—0,488* 1,03*
х:х\ 0,0967 0,1515
ХъХъ —0,118 0,1325
0,516* 0,392*
Х2Х7у 0,0486 0,688*
Х,ХЪ 0,248* 0,0126
Коэффициенты полиномов определяются по формулам [2]. Значения коэффициентов приведены в табл. 3.
После нахождения коэффициентов полиномов, по критерию Стью-дента проверяется их значимость. При этом все значимые коэффициенты должны быть больше произведения диспрессии коэффициентов о2{Ь} на коэффициент Стьюдента I, взятый при достоверной вероятности 0,95 и числе степеней свободы /£=л0 —1,(/табл=2,262).
Значения диспрессий для коэффициентов вычислялись по формулам:
2 А КЦк+2)аЦу] N
(6)
°2[Ьи\
N
А[(к+\)К-(к-1)]с^{у}
1 Ьп
А
N
[KN
N
N 2 2 4«
и=1
1
2К[(к+2)К~к\
где
о2{у} —диспрессия опытов в центре плана, и — номер опыта, i —0 ,1, 2, 3...
Значимые коэффициенты отмечены в табл. 3 звездочкой. Адекватность полиномов проверялась по критерию Фишера [2]. Получив значения коэффициентов для кодированных параметров с помощью (5), легко перейти к записи полиномов в натуральных величинах. Тогда полиномы для ударного тока и энергии в активной нагрузке имеют вид:
iyd=68-349 ха+88 ¿¡-865,2 Rc—727 rDd+ +2160 х? +1280 х7+5160 ^+2318 r2Dd+
+1870 rlQ—3120хах«+1890 xdRc+ +4900 rod. —2220 x"qRc-\-3350 RcrDd+
+5060 rD<fDq-% (7)
lVr=142—1610x^—1707 jc^+455,7/?c—1356,8 rDd~ —928 rDq+ 8650 +8670*?—9880 Rl+ + 19850 r2Dd+17700 rbg+8400 xdxq+5945 xdrDd +
+4680 x'qRc+2545 RcrDd+4465 RcrDq. (8)
Полученные в результате эксперимента математические зависимости можно рассматривать как инструмент исследования синхронного им-
пульсного генератора при различных сочетаниях параметров. С помощью полиномов можно оценить вклад, вносимый каждым из параметров, т. е. провести качественное исследование импульсного генератора. В рассматриваемом примере на величину ударного тока наибольшее влияние оказывает сопротивление статора (7>3 = 7,77). Более
ое ЬО
30
20
10
О
слабое влияние оказывает сверхпереходное индуктивное сопротивление хч демпферной обмотки по оси ^ (62 = 0,419).
Из парных взаимодействий следует отметить примерно соизмеримые ИсГоб!, Хй ГШ.
о.е
30
20 10 О
Рис. 3. Зависимость, г~ ^ ---опыт,-----расчет
С ид \ \ к \
NN
ч
$01 ОМ ОМЗ ом 0.05
Рис. 2. Зависимость ¿ул—ДЯг ), -)пыт,------расчет
На величину энергии в активной нагрузке наибольшее влияние оказывают 7?с(63=2,39), -М¿>1=2,3) и меньшее гО(/(65 = 1,09).
Из парных взаимодействий следует отметить влияние
п » н
Хй Ха Гоа*хя
• Проведенный анализ полученных полиномов соответствует физическим представлениям переходных процессов в синхронных импульсных генераторах [5].
При помощи полученных математических зависимостей можно находить значения выходных характеристик синхронного импульсного генератора с учетом всех параметров, насыщения магнитной цепи ротора. Также можно построить «зоны существования» различных значений 1уд ]№г от параметров генератора в принятых интервалах варьирования последних [6].
С помощью «зон существования» можно выяснить, реализуемы ли требования, предъявляемые к /уд, в заданном диапазоне изменения параметров. Если требования реализуемы, то можно определить значения параметров генератора для получения требуемых характеристик, и обратно: по параметрам определить значения выходных характеристик.
На рис. 2 представлена зависимость амплитудного значения ударного тока от рассчитанная по полным дифференциальным уравнениям на аналоговой машине МН-14'и'с помощью полинома (7). Погрешность при этом не превышает-5%. Расчет для энергии (8) в активной нагрузке также дал хорошую сходимость, где погрешность составляет не более 7% (рис. 3).
Таким образом, показанная возможность получения на основе методов планирования эксперимента зависимостей выходных характеристик от параметров синхронного импульсного генератора может широко .использоваться для расчетов ударного тока, энергии в индуктивной и активной нагрузках, а также в процессе проектирования подобных машин.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. П. Литвинов, А. В. Л о о с, Э. И. С о б к о. Аналитическое решение уравнений переходных процессов синхронного импульсного генератора. Настоящий сборник.
2. В. В. Н а л и м о в, Н. А. Ч е р н о в а. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М., к<Наука», 1965.
3. Г. А. Сипайлов, А. В. Л о о с, Э. И. С о б к о, В. П. Литвинов. Синхронный импульсный генератор с высокой частотой следования импульсов. Известия ТПИ, т. 265, 1972.
4. А. И. в а ж н о в. Основы теории переходных процессов синхронной машины. ГЭИ, 1960.
5. Г. А. С и п а й л о в, А. В. Л о о с. К выбору демпферной обмотки ударного генератора. Известия ТПИ, т. 152, 1966.
6. И. П. Копылов, Н. Ф. Ильинский, Н. Л. Кузнецов. О применении метода планирования эксперимента к задачам анализа и синтеза электрических маачт «Электричество», 1970, № 2.
