О ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© 8Ьу^ V.

О ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

В.АШвец,

кандидат педагог. наук, профессор, Национальный педуниверситет им. М.П.Драгоманова,

г. Киев, УКРАИНА

Розглянут1 проблемы прикладноХ спршиованоспп штлъного курсу математики, розкрито сутшстъ поняття «прикчадна спрямованктъ штлъного курсу математики», запропоноваш методы та засоби реалгзацН прикладноХ спрямованоспй штлъного курсу математики.

Анализ материалов «Отчета о мировом развитии 1996» [1], подготовленных Мировым банком на основании тестирования математических и естественнонаучных знаний учащихся и студентов некоторых высокоразвитых стран, среди которых были и страны СНГ (страны бывшего СССР), показывает совершенно разное понимание степени важности этих знаний, а, следовательно, и разное отношение к их формированию. Так, на-

пример, если акцентировать внимание в обучении учащихся на одной из следующих целей обучения:

1) сформировать систему знаний;

2) научить применять знания на практике;

3) научить применять знания в нестандартных ситуациях;

то вырисовывается разное видение отдельными странами степени их важности (рис. 1).

Канада

Франция

Британия

Страны СНГ

2,0

Знание Применение

фактов знаний на

практике

Рис.

(На рисунке изображены отклонения от среднего значения для выборки школьников 9-13 лет).

Приведенные на рисунке графики свидетельствуют о том, что в странах бывшего СССР, традиционно, приоритетной была цель - сформировать у учащихся средних школ глубокие и прочные математические и естественнонаучные знания, а двум другим уделялось внимания меньше. В других

Применение знаний в нестандартных ситуациях

1

странах, как видно из рисунка, приоритетность целей иная.

Украина, став самостоятельным государством, реформируя систему образования, пытается исправить такой перекос. Во всех последующих государственных нормативных документах, касающихся проблемы содержания математического образования, требований к математической подготовке учащихся, профилиза-ции школы и т.п., говорится об усилении

прикладной направленности школьного курса математики. Смена информацион-но-знаниевой парадигмы образования на компетентностную не только поощряет делать это, но и обязывает. Утверждать, что уже много сделано в этом направлении нельзя в силу разных причин: и инерционность системы образования, и сложности в решении данной проблемы, и отсутствие надлежащего материального обеспечения и т.п. Но подвижки, хоть и малые, все таки есть.

Прикладная направленность школьного курса математики, как проблема которую нужно решать и как цель обучения математике, зазвучала в «Концепции математического образования 12-летней школы» [2], в «Концепции профильного образования в старшей школе» [3], в «Государственном стандарте базового школьного среднего образования: Образовательная отрасль Математика» [4], в программах по математике для средней школы и других документах. На разработку технологий ее решения были направлены научные исследования З.И.Слепкань, Н.О.Соколенко, А.В.Прус, Н.Я.Игнатенка, В.А.Швеца и других украинских математиков-методистов. В частности, они исследовали и продолжают исследовать проблемы прикладной направленности школьных курсов алгебры и начал анализа [10], [11]; стереометрии [8], [9], [12]; интегрированного школьного курса «Математика» [6] и т.п. Менее успешно пока эта проблема решается в современных школьных учебниках по математике.

Впервые определение понятия «Прикладная направленность школьного курса математики» было дано советским педагогом-математиком В.В. Фирсовым. Затем оно усовершенствовалось другими учеными. В нашем понимании суть прикладной направленности школьного курса математики заключается в осуществлении целенаправленных содержательных и методологических связей математики с практикой, что предусматривает введение в школьную математику таких специфических моментов, которые характерны для исследования прикладных задач математическими методами. Под прикладными задачами мы понимаем зада-

чи, которые возникают за пределами математики, но решение которых требует применения математического аппарата.

Радикальным методом реализации прикладной направленности школьного курса математики есть математическое моделирование, а наиболее эффективным средством - прикладные задачи, решение которых требует глубоких знаний не только математики, но и других наук.

Есть разные подходы к определению математического моделирования. Более глубоко и подробно о них сказано в диссертационном исследовании Л.Л.Панчен-ко [7]. В нашем понимании математическое моделирование - процесс установления соответствия данному реальному объекту или явлению некоторого математического объекта, который называется математической моделью. Оно широко используется в научных исследованиях, обучении, управлении, практической деятельности. В данной статье речь идет об использовании математического моделирования как метода в обучении учащихся математике с целью усилить ее прикладную направленность (научить применять математику в нестандартных ситуациях).

Математическое моделирование как процесс состоит из нескольких этапов:

1.Предварительный анализ объекта исследования с целью определения главных параметров, существенных и несущественных связей, главных характеристик, законов, которые присущи явлению или объекту;

2.Построение математической модели;

3.Реализация математической модели математическими методами;

4.Выбор (или разработка) алгоритма для реализации математической модели с помощью компьютера;

5.Создание или выбор программ, которые «переводят» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык;

6.Проведение вычислительного эксперимента;

7. Анализ полученных результатов и перенесение их на объект, который исследуется [7, с. 21-22].

Названную последовательность этапов называют расширенной схемой ма-

®

тематического моделирования. Естественно, что для обучения математики в школе она нуждается в упрощении. Во время обучения школьников математике чаще всего используют этапы 1, 2, 3 и 7, а такую схему называют упрощенной схемой математического моделирования. В общем виде она предусматривает:

- перевод прикладной задачи с естественного языка той области, где она возникла, на язык математики (I этап);

- решение полученной математической задачи (II этап);

- интерпретация полученных результатов, т.е. перевод решений математической задачи с языка математики на язык той области, где она возникла (III этап).

Следует заметить, что решению прикладной задачи присущи все этапы математического моделирования. Схематически это выглядит следующим образом (рис. 2).

МЗ II этап РМЗ

+

> I этап к + ± III этап

Постановка задачи > г Решение задач и w

ПЗ РПЗ

(ПЗ - прикладная задача, МЗ - математическая задача, РМЗ - решения математической задачи, РПЗ - решения прикладной задачи).

Проведенный нами констатирующий эксперимент показал (в эксперименте приняло участие болем 1500 учащихся старших классов), что наиболее трудным для учеников является I этап (+ -очень слабо владеют навыками перевода ПЗ с естественного языка на язык математики, создания адекватной математической модели). Если же им предложить готовую или помочь создать математическую модель прикладной задачи (уравнение, систему уравнений, функцию и т.п.), то с ее решением они справляются хорошо ( + - хорошо). Менее успешным, по сравнению с II этапом, является III этап (± - не всегда учащиеся умеют интерпретировать решения математической задачи как решения прикладной задачи, осуществлять проверку решений).

Для эффективной организации учебной деятельности учащихся по решению прикладных задач нами были выделены, для каждого из указанных выше этапов, соответствующие методиче-

Рис. 2

ские приемы и ориентировочные действия (наиболее общие):

I этап: - использовать эвристические вопросы (эвристические предписания, специальные эвристики, которые используются при изучении конкретного учебного материала);

- абстрагироваться от свойств объекта, несущественных для построения адекватной модели;

- помочь учащимся четко указать отличия между объектом и его моделью;

- сформулировать условия и требования прикладной задачи на языке математики.

II этап: - использовать (при необходимости) источники дополнительных данных и теоретических сведений;

- использовать иллюстративные чертежи или эскизы, которые помогают найти решения математической задачи;

- использовать (при необходимости) математические задачи - двойники;

- систематически использовать ИКТ для выполнения рисунков, проведения вычислений;

- довести найденное решение до числового значения или расчетной формулы.

III этап: - осуществить отбор тех ре-

шений математической задачи, которые будут решениями прикладной задачи, училвая область определения данных задачи, осуществляя проверку решения;

- оценить (при необходимости) степень точности полученных результатов.

Начинать знакомить учащихся с методом математического моделирования, на наш взгляд, следует с 5-го класса. Такое пропедевтическое обучение во время изучения математики должно завершиться в 6 классе сформированностью у учащихся представлений о том, что числовые выражения, пропорции - это числовые модели, которые изучаются математикой. В следующих, старших классах, такое обучения методу математического моделирования должно стать систематическим. Как это делать на практике - готовых методических рекомендаций и технологий пока нет. Это проблема, которая ждет своего решения как для основной, так и для старшей профильной школы.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих решения прикладных задач методом математического моделирования, которые помогут сформировать и объяснить окончательные выводы данной статьи.

Пример 1. (Задача 44. [5, с. 35]) Из двух городов А и В одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста. Первый едет со скоростью 16 км/ч, а второй - 18 км/ч. Какое расстояние будет между этими велосипе-

(Более подробно эти приемы и действия описаны в учебном пособии [12]).

Когда, где и каким математическим моделированием следует заниматься, обучая учащихся математике показывает таблица 1.

Таблица 1

дистами через 4 часа после начала движения, если известно, что расстояние между городами равно 246 км?

Решение задачи I этап. Сначала следует выяснить с учащимися, что такое скорость движения велосипедиста и если она постоянна, то какое имеется в виду движение. Затем следует узнать, сколько километров проехал каждый из велосипедистов за 4 часа. Для этого нужно будет 16 умножить на 4 (расстояние, которое проехал первый велосипедист), а потом 18 умножить на 4 (расстояние, которое проехал второй велосипедист). А еще проще: сложить 16 и 18, и умножить полученную сумму на 4. Таким образом, узнаем сколько проехали оба велосипедистами за 4 часа. Тогда расстояние между велосипедистами можно найти путем вычитания от 246 результата, полученного в предыдущем действии. Очень хорошо проходит этот этап, если использовать компьютерные презентации. Глядя на них учащиеся четко понимают почему скорости складываются, почему выполняются именно такие действия. В итоге приходим к числовому выражению : 246 -(16 +18)4. Говорим учащимся, что такое выражение называ-

Учебные дисциплины Математика (арифметика) , геометрия Алгебра и начала анализа, стереометрия

Классы 5-6 7-9 10-12

Математическое моделирование (вид) Числовое , - ное , - ное,статистическое

Математические модели (виды) Числовые выражения, пропорции ... , уравнения и их системы, неравенства и их системы, функции и их графики ... - метрические фигуры ... Алгебраические и транс, уравнений и их системы, неравенства и их системы, функции и их графики, , , , стереометрические фигуры и геометрические тела ...

ют математической моделью.

II этап. Для того, чтобы решить поставленную задачу, нужно вычислить составленное числовое выражение. Таким образом, имеем математическую задачу:

Найти значение числового выражения: 246 -(16 +18) - 4. Ее решение у учащихся трудностей не вызывает. Они быстро вспоминают порядок выполнения действий и находят результат: 110.

III этап. Число 110 это не только значение числового выражение, оно показывает, какое расстояние в километрах было между велосипедистами через

4 часа после начала движения. После выяснения этих обстоятельств учащиеся приходят к ответу на поставленный в прикладной задаче вопрос.

Ответ. Через 4 часа расстояние между велосипедистами будет равно 110 км.

Пример 2. (Задача 44. [5, с. 112]). Три бригады рабочих получили за совместную работу 49200 грн. В первой бригаде было 6 рабочих и они работали

5 дней. Во второй бригаде было 8 рабочих и они работали 6 дней. А в третьей бригаде было 5 рабочих, но они работали 9 дней. Сколько денег заработала каждая бригада, если оплата проводилась по одинаковым расценкам?

Решение задачи

I этап. Учащихся следует ознакомить с тем, что в такого рода случаях бухгалтерия вводит такую величину как человеко-дни. Затем показать, что первая бригада затратила на выполнение работы 6 - 4 = 30 (человеко-дней) вторая - 8 - 6 = 48 (человеко-дней), третья -5 - 9 = 45 (человеко-дней). Далее подводим учащихся к тому, что заработанную совместно сумму денег 49200 грн. следует разделить пропорционально числам 30:48:45 или 10:16:15. Тогда получаем математическую задачу: "Число 49200 разделить на части пропорционально числам 10:16:15".

II этап. Решаем поставленную математическую задачу.

1) 10+16+15=41 - сумма всех частей.

2) 49200:41 -10=12000 - первая часть числа.

3) 49200:41-16+19200 - вторая часть числа.

4) 49200:41-15=18000 - третья часть числа.

III этап. Так как первая бригада затратила на работу 30 человеко-дней, то она заработала 12000 грн., вторая бригада, которая затратила на работу 48 человеко-дней, заработала 19200 грн., а третья- 18000 грн.

Ответ. 12000 грн., 19200 грн., 18000 грн.

Пример 3. (Задача 3. [6, с.13]). В начале года есть возможность положить в банк на счет 1640 грн., но в конце года нужно будет снять со счета 882 грн., а через год снова 882 грн. Под какой процент нужно внести деньги в банк, чтобы такие операции состоялись?

Решение задачи

I этап. Пусть х% - ежегодные проценты начисления банка. Тогда к концу года банк начислит (0,01х-1640) грн и на счету будет (1640+0,01х-1640) грн. или 1640(1+0,01х) грн.

В начале второго года на счету в банке будет (1640(1+0,01х)-882) грн. На эту сумму будут начислены процентные начисления: (0,01х(1640 (1+0,01х)-882)) грн. К концу второго года на счету в банке будет следующая сумма денег: (1640(1+0,01х) -

882+0,01х(1640(1 +0,01х)-882) грн.

Или (1640(1+0,01х)-882)- (1+0,01х). по условию задачи она должна равняться 882 грн. (Иначе нельзя будет снять такую сумму со счета).

Получаем уравнение:

(1640(1+0,01х)-882)-(1+0,01х)=882, которое является математической моделью прикладной задачи.

II этап. Решить уравнение: (1640(1+0,01х)-882)-(1+0,01х)=882.

Введем замену 1+0,01х=у. Тогда имеем уравнение: 1640у2-882у-882=0.

Разделив его на 2 получаем: 820у2-441у-441=0.

Находим по формуле корни

У1 =

21

861

— и y2 =-

41 820

III этап. Возвращаясь к переменной х, замечаем, что значение у не удовлетворяет условию прикладной задачи. 861

Поэтому 1 + 0,01х:

820

, откуда х=5%.

Ответ: деньги нужно вложить в тот банк, где ежегодные процентные начисления составляют не меньше 5%.

Пример 4. (Задача 8.20 [12.с. 136]). Женщины индианских племен, живущие возле реки Амазонки, во время сбора семян водных растений часто берут с собой маленьких детей. Для безопасности малышей они усаживают их на листья амазонского Лотоса. Каждый листок в поперечнике достигает 2 м, а его края высоко загнуты вверх. Поэтому детям есть место для игры и они из ли-

Рис. 3

После просмотра этих презентаций демонстрируем учащимся картинку с ведром и выясняем, что такое ведро может содержать 10 л воды. (Таких данных в условии задачи нет, но это известно из жизненного опыта). Попутно замечаем, что ведро имеет форму усеченного конуса.

Далее договариваемся (идеализируем ситуацию), что исследователь насыпал песок на листок Лотоса сначала на средину, постепенно расширяя радиус своих действий, иначе такой листок может опрокинуться быстрее, чем через 10 высыпанных ведер песка. Когда учащиеся все это осознают, тогда ставим вопрос: «Что требуется выяснить, чтобы ответить на вопрос задачи?» Учащиеся отвечают: «Нужно найти массу десяти ведер песка». Таким образом, приходим к следующей математической задаче.

II этап. Чему равна масса 10 ведер песка, если каждое ведро вмещает 10 л воды? Дети быстро соображают что нужно узнать массу одного ведра песка. Для этого следует установить плотность песка, воспользовавшись сведениями из физики. Далее решение задачи выглядит следующим образом:

стка не выпадают. Один исследователь для определения грузоподъемности листка насыпал на него 10 ведер песка. Только тогда листок утонул. Какой вес может выдержать один такой листок?

Решение задачи I этап. Совершенно ясно, что учащиеся очень плохо представляют себе что такое амазонский Лотос, какую форму он имеет. Демонстрируем им с помощью компьютера иллюстративный материал (рис. 3 и рис. 4).

Рис. 4

3

1) 1 л воды занимает объем 1 дм3, 1

дм3 =10 10 10=1000 (см3),

1 см3=

1

(дм ); 2) плотность песка р ~ 1,5

1000

г

3

см

или р ~ 1,5

кг

дм3

m

Тогда масса песка в одном ведре 15 кг, а масса деся-

1,5-^ -10 м

дм

ти ведер песка М = 15 кг ■ 10 = 150 кг .

III этап. Если исследователь равномерно и аккуратно насыпал песок ведром на листок Лотоса, то грузоподъемность такого листка равна приблизительно 150 кг. Конечно, это приближенное значение и не каждый листок выдержит такой вес. Если учесть что вес маленького ребенка равняется, в среднем до 10 кг, то на таком листке могли бы сесть до 15 малышей.

Ответ: Листок амазонского Лотоса может удержать груз весом до 150 кг и не утонуть.

Пример 5. (Задача 1.1 [7, с. 23]). Нужно построить открытый цилиндрический резервуар с объемом У0 и тол-

(ш)

© 8Ьу^ V.

щиной стенки ё. Каким должны быть размеры резервуара при минимальных затратах материала?

Решение задачи I этап. Если учащиеся плохо представляют такой резервуар, то им следует показать картинки (с помощью компьютерных презентаций) на которых такие резервуары изображены. Далее изобразить его осевое сечение (рис. 5).

С

Рис. 5

Пусть ё толщина стенки, х - радиус основания внутреннего цилиндра, х + ё

- радиус основания внешнего цилиндра, И - высота внутреннего цилиндра, И + ё

- высота внешнего цилиндра. Тогда, по известной формуле, имеем:

¥0 = пх2 И - объем внутреннего цилиндра;

V1 = п(х + ё)) ё - объем днища цилиндра;

У2 = п(х + ё)2 И - объем

внешнего

цилиндра.

Объем затраченного материала V будет равен: V = V) + V - V0. Или

V2 = п(х + ё)) И + п((х + ё)) - х2 )и = = пё(х + ё)) + пё(ё2 + 2хё) .

По условию задачи V0 = пх2 И, откуда И = . Тогда

пх

V = пё (х + ё)) + Ц- (ё2 + 2ёх) (1)

х

Соотношение (1) выражает зависимость между величиной V и независимой переменной х и может быть представлено в виде функции

V (х) = пё (х + ё)) + ^(2 хё2 + ё 2 2 (2)

х

Это и есть математическая модель

рассматриваемой прикладной задачи.

II этап. Поскольку в исходной задаче требуется чтобы объем затраченного материала был минимальным, то исследуем функцию (2) на экстремум при х>0:

2У0( х + ё )ё

V,( х) = 2пё (х + ё)

х

Из этого равенства находим, что

3 К

х = 31— , при этом

0.

И = А

лх

п3

' 0

3 п

Чтобы показать, что функция V (х) имеет минимальное значение при

3 К -

х =31—, найдем ее вторую производ-

ную: V "(х) = 2пё +

2V0 ё (2 х + 3ё)

х

Вычислим значение второй произ-

водной в точке х

V'

. Имеем:

2пё 3

+ 2^ ё

V

23/ ^ + 3ё п

/

Очевидно, что V 3— > 0. Следова-V п )

тельно, функция V(х) достигает мини-

3 V

мума в точке х =31— .

V п

III этап. В исходной задаче спрашивалось, какие размеры должен иметь резервуар. То есть, какими должны быть его глубина И и радиус внутренней окружности х. Из предыдущей математи-

- ь 3 К

ческой задачи имеем И = х =31— .

V п

Мы не случайно в приведенных примерах упоминаем об использовании

1

4

компьютера (использование компьютерных презентаций). Наш опыт показывает, что это очень мощное средство, которое делает процесс решения прикладных задач более эффективным, интенсивным и результативным. Поэтому решение прикладных задач по математике с использованием компьютерных презентаций (как средства) позволяет:

- существенно усилить и интенсифицировать процесс формирования у школьников умений применять математические знания на практике, в нестандартных условиях;

- эффективно осуществлять как межпредметные связи математики с другими школьными предметами, так и внутрипредметные;

- повысить практическую подготовку учащихся по математике, учить их овладевать методом математического моделирования;

- формировать у учащихся научную картину мира, положительные мотивы к учению, умение видеть реальный мир сквозь «математические очки».

Создание систем красивых и содержательных прикладных задач, презентаций, эффективных методических рекомендаций по их решению - широкая методическая проблема, которая инициирует ряд новых актуальных научных исследований в области теории и методики обучения математики. Надеюсь она заинтересует тех, кто ищет тему для научной работы.

1. From Plan to Market/ World Development Report 1996 published for the Worlk by Oxford University Press, p. 124-125.

2. KoHifenifin математичноХ oceimu 12-

pimioi школи: Проект // Математика в школ1. - 2002. - №2. - С. 12-17.

3. KoHifenifin профыъного навчання в

// . . . - 2003. - №24. - С.32.

4. : -ково-методичне видання/ Упоряд. Н.С.Прокопенко, Н.П.Щеканъ. - Хартв: ТОРС1НГ ПЛЮС, 2005. - 272 с.

5. Лук 'янова С. Розе 'язування тексто-вих задач арифметичними способами в 5-6 кл. - К.: Вид. дт „Штльний ceim". Вид. Л. Гачщина, 2006. - 128 с.

6. . ., . . -тематичш задачi з фтансовим змктом в основнт школ1. - X.: Вид. група „Основа", 2004. - 96 .

7. . . -тематичного моделювання в npoifeci навчання майбутшх учителгв математики: Дис....канд пед. нук:13.00.02. /Half. Пед. Ун. . . - ., 2006.-260 .

8. . .

штльного курсу стереометрй': Дис. ...

. . : 13.00.02 / . . -. . . - ., 2007. - 203 .

9. ., . -вашсть стереометрй: 10-11 кл. - К. : Шк.. ceim,, 2007. - 128 с.

10. Соколенке Л. О. Методика реалгза-ifi'i прикладноХ спрянованоспй штлъного курсу алгебри i початтв анал1зу: Дис. ... канд.

. : 13.00.02 / . . . -¡меш МЛ. Драгоманова. - К, 1997. - 245 с.

11. . .

задач з алгебри i початтв анал1зу: Навч.-метод. поЫбник для вчителгв i учшв 10-11 кл. серед.шк, лщеХв та г1мназт ф1з..-мат. спрямування. - К: Тираж, 1997. - 127с.

12. . ., . . -тика прикладноХ спрянованоспп штчьного курсу стереометрй': Навчалъний nocionrn. - Житомир: Вид^о ЖДУ т. !.Франка, 2007. -156 с.

Резюме. Швец В.А. ПРИКЛАДНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ ШКОЛЬНОГО КУРСА

.

курса математики, раскрывается сущность понятия «прикладная направленность школьного курса математики», предлагаются методы и средства реачизагщи прикчадной направленности школьного курса математики.

Summary. Shvets V. THE PRACTICAL VALUE OF THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS. The report deals with the practical value of the school course of mathematics. The essence of the concept «The practical value of the school course of mathematics is revealed». Also different methods and means of realization the practical value of the school course of the mathematics are considered.

Надшшла до редакци 12.11.2008р.

(ш)