CC BY
36
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2012, том 55, №5__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Ф.М.Мирпоччоев
О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА
Худжандский государственный университет им. академика Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 31.01.2012 г.)
В работе найдена оптимальная квадратурная формула для классов функций, имеющих по норме пространство Ь2 ограниченного градиента.
Ключевые слова: квадратурная формула - криволинейный интеграл - погрешность - узлы.
1. Рассмотрим задачу о приближённом вычислении криволинейного интеграла первого рода
3 (/; ч) = | ч(р)/ (1)
г
где весовая функция ч(Р) > 0, Р єГ, а функция /(Р) = /(X, у) определена и непрерывна вдоль
кривой Г . Интегралу (1) сопоставим квадратурную формулу
N
3(/; ч) - К(/; ч) = Е ак/(Рк X (2)
к=1
использующую линейные комбинации нескольких значений подынтегральной функции, где Рк еГ, к = 1, N. Сумму Ьы (/; д) , как обычно [1-3], будем называть квадратурной суммой. Для достижения высокой точности вычислений при заданном N нужно возможно лучшим образом воспользоваться выбором а и Р . Через (Р) обозначим класс плоских спрямляемых кривых Г, у которых длина равна L, кривизна кусочно-непрерывна и все кривые из (Р) расположены в области
Q = {(X,у) : X2 + у2 < Р2} . Известно [4], что параметрические уравнения кривой Ге^(Р), отнесённой к длине дуги s как параметру в прямоугольной системе координат Оху, имеют вид
X = х(5), у = у(у), 0 < 5 < Р. (3)
Обозначим через ^ е [0,Р], к = 1,2,...,N, значения длины дуги s кривой Г , которые соответствуют точкам Р на Г, и перепишем формулу (2) следующим образом:
Р N
| д( ФХ у(э))/(x(s), у(^ ак/(х(Эк \ у(Эк))+RN (ч;/ ;Г; A, £), (4)
0 к=1
Адрес для корреспонденции: Мирпоччоев Фуркат Маруфджонович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, пр. Мавлонбекова 1, Худжандский государственный университет. E-mail: Furkat79@mail.ru
где x = x(s), y = y(s) - параметрические уравнения кривой Г, представленные в форме (3) , A = {ак}f=1 - вектор-коэффициенты, S = {sk}^ (0<s <...<sN <L), Rn(q; f;Г;A,S) - погрешность формулы (4) на функции f .
Пусть задан класс W(1)L(M;Q), M > 0 функции f (P) = f (x,y), у которых почти всюду в области Q существуют частные производные cf / dx, df / ду и выполняется неравенство
|| grad у) ||l ( q ) < M. (5)
Для каждой функции f е W(1)L (M; Q) и каждой кривой Ге Ше (L) погрешность формулы Rn (q; f ;Г, A, S) имеет вполне определённое численное значение
L N
Rn (q;f;Г; Л S) = j q( x(s) y(s))f (x(s) y(s))ds - 2 aJ(x(sk \ y(sk)).
0 k=1
За величину, характеризующую точность квадратурной формулы (4) для всех функций из класса W(1) L (M ;Q) на кривой Ге Ше (L), как правило, принимают число
Rn (q; W(1)L2 (M; Q); Г; A, S) = sup {| 2 (q f; Г A, S) |: f е W(1)L2 (M; Q)}.
Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций W(1) L2 (M ;Q) на классе кривых Ше (L) обозначим
Rn (q;W(1)L2(M;Q);Kq(L); A,S) = = sup {Rw (q; W(1)L2 (M; Q); Г; A, S) : Г е Ше (L)}.
Для получения оптимальной квадратурной формулы для всех функций f е W*1L (M- 5 Q) и кривых ГеШд(L) полагаем, что соотношение (2) является точным для констант, то есть
Г N
j ds = 2 ak = L.
Г k=1
Требуется при фиксированном векторе узлов S * = {s^ }^ определить нижнюю грань
Sn (q;W (|> i,(M; Q); Kq (L); S *j =
= inf R„(q;W™4(M;Q); (I); A, S *J. (6)
Если существует вектор коэффициентов A0 = {а° }N=l, для которого в равенстве (6) реализуется нижняя грань, то этот вектор определяет оптимальную по коэффициентам квадратурную формулу на
классах функции Ж(1)Р2(М;Q) и кривых (Р). Задача (6) называется задачей Сарда [5]. Записав
для произвольной функции / е Ш1Р (М; Q), как функции одного переменного /(х(5), у(5)), формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши, остаток квадратурной формулы (4) представим в виде
RN (д; / ;Г; А, Б) =
д/(x(s),у(5)) д/(x(s),у(5)) ду_
дх & ду &
\
■ К( 5) Ж,
(7)
где
о _ ) 1, и > 0,
] 0, и < 0.
( дх V ( ёу V
Используя неравенство Коши-Буняковского с учётом (5) и тождество I — I +1 — I = 1, из
I У I у
соотношения (7) получаем
\RN (д; / ;Г; А, Б )\<
ч1/2
<
I \ ёга^ /(х(5), у(5)) \2 ‘111 £($) \2
У V 0
ч1/2
<
<М -I |\ К(^) \2 V 0 у
(8)
Рассмотрим кривую Г* е (Р) , которая задана параметрическими уравнениями
. . 5 , . 5
х := х(5) = ^=, у := у(5) = ^=, 0 < 5 < Р,
и выберем функцию /* е Ш4Р2 (М; Q) в виде
где
х у
/ * ( х, у) = | 1 (р(г )д,
(р(1) = М -1|К\ 1 - \ К($) \ 51%пК(1),
N
Д5) = | д(х(4), у(1 М - £ ак(5** - >/25)+. >/2* ' '
к=1
Р
0
Р
Р
Подставляя / * и Г* в (7), нетрудно убедиться, что в (8) имеет место знак равенства. Следовательно, правая часть (8) будет точной верхней границей на классах функции Ж(1) Р2 (М ;0) и кри-
вых (Р)
,1/2
Яы (ч; Ж(1)Р2 (М; 0); N (Р); А, Б) = МI || К($) |2 ds
(9)
Таким образом, поставленная выше задача сводится к нахождению минимума интеграла, стоящего в правой части формулы (9), при фиксированных узлах, если варьировать коэффициентами а . Чтобы решить эту задачу, преобразуем выражение, стоящее под знаком исследуемого интеграла. С этой целью заметим, что
Ё а(хк -5)0 =
к=1
С, для 0 < 5 < 5*,
с к, для 5к-1 <5 < & 0, для 5* < 5 < L,
где
С =
Ё^а, к=і, 2,..., N.
(10)
Следуя схемам рассуждений в работах [5,6], введём в рассмотрение систему функций
{и^ (5)}і=1, определённых следующим образо
м
п,г
(5) = {1, для 5 є (5k-l, 5к); 0, для 5 Є (5k-l, 5к)}^1
где положим 50 = 0 .
Исходя из принятых обозначений, интеграл, стоящий в правой части (9), запишем в виде
Р Р Р N
I^2 (5^5 = | |Ч(х(ї), у(ї))dt - Ё Скик(5)
0 0 5 к=1
ds.
(11)
Заметим при этом, что система функций {ик (5)}^ определяется при помощи фиксированных узлов 0 <5* <5* <...<5^ <Р и ортогональна на отрезке [0;Р]. Задача сведена к такому выбору коэффициентов С,, чтобы интеграл (11) принимал наименьшее значение. Хорошо известно [7, с.304-312], что интеграл (11) принимает наименьшее значение, если являются коэффициентами Фурье
р
функции | ч(х(і), у(/'))dt в системе функции {ик (5)}^! :
2
і р I р 1
Ск =— II I Ч(х(і), у(і))^ ик (5М5
Вк 0 V 5 )
Л 5к IР
— 11 I ч(х(і), у(і))dt
ds,
(12)
где
р
Вк =| ик2(5¥5
* *
= 5к- 5к-1.
Наименьшее значение интеграла (11), который достигается при , определённых равенством (12), равно
2
|1| Ч(х(1), У(1М ^ -Ё В
0 V 5 ) к=1
'Л.
(13)
Зная ск , из формул (10) легко определить коэффициенты ак наилучшей квадратурной формулы для класса Ж(1) Р2 (М ;Q) с фиксированными узлами Б * = {5* }^1, а именно
ак Ск Ск+1,к 1, 2,..., N;Сп+1 0.
Если учесть (13), то для этой формулы будем иметь следующую точную оценку
£„ (д;Ж(|) 12(М; Q); N (Р), Б1 =
(14)
РI Р N
--М111 I ч(х(Г), у())dt - Ё В
0 V 5 ) к=1
'кСк
(15)
Приведём примеры.
к -1
1. Пусть д( х^), у(^)) = 1, Б * = {5* : 5* =---Р^=\. По формулам (12), (14) и (15) легко вы-
числить, что
N -1
ак=—— (к = 1,2,...,N-1), аы =------------ ----,
к N - 1 ^ 2(Ж -1)
£» | (%(М; 0); N (Р), Б *1 =
Р2
^73( N -1)'
2. Пусть д(х(?),у(?)) = t. Применяя формулы (12) и (14), получаем:
а- =~ (5-+1 - 5--1)(5--1 + Ч \+1), (к = 12,..., N -1),
6
к-1
0
aN г (3 sN-1 sN-1 ' sN sN).
6
Применяя оценку (15), будем иметь
(t;Wll^Р(М;Q);ЭТQ(Р),Б’ ) =
[2Р5 1 N ]:/2
=М\ТГ-]'£(^-])-Р-] 1']]\ . (16)
[ 15 36 к=\ \
В частном случае, как и в предыдущем случае, полагая
к -1
5к := 5*= — Р(к = 1,2,...,N),
N — 1
для оптимальной по коэффициентам
(к- 1)Р2 ЛГ 1 -Р2 3N-2 г2
а, =-(к = 1,2,...,N -1), аы =------------------ Р
к N -1 2 6(N -1)2
квадратурной формулы (16) найдём выражение погрешности
Р2
£n LIщ LLL; L); f (L), S *1 =
W3( N -1)'
Поступило 01.02.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979, 256 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.:Наука, 1975, 632 с.
3. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967, 500 с.
4. Финников С.П. Курс дифференциальной геометрии. - М.:Гостехиздат, 1952, 343 с.
5. Sard A. - American J. of Math., 1949, LXXI, рр. 80-91
6. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.415-419.
7. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.: Гостехиздат, 1949, 688 с.
Ф.М.Мирпоччоев
ДАР БОРАИ ХИСОБКУНИИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛИ КА^ХАТТАИ ЧИНСИ ЯКУМ
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Рафуров
Дар макола формулаи квадратурии оптималй барои синфхои функсияхои дорои гради-енти махдуд аз руи нормаи фазои L2 ёфта шудааст.
Калимаои калиди: формулаи квадратуры - интеграли кацхатта - хатоги - гиреууо.
F. М.Мirpochchoev
ON THE APPROXIMATE CALCULATION CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND
B.Gafurov State University of Khujand In article was founded an optimal quadrature formula for the classes of function which has the norm in L2 space bounded by gradient.
Key words: quadrature formula - curvilinear integral - error - node.
