Об оптимальных квадратурных формулах для приближённого интегрирования криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Л.Г.Файзмамадова

ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ

В работе рассматривается задача отыскания наилучших квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов функций и классов кривых.

Ключевые слова: определённый интеграл - погрешность - верхняя грань погрешности - формула трапеций.

1. Пусть функция /(М) = /(х, у) определена и интегрируема вдоль кривой Г ^ Я2 и

Пусть на кривой Г установлено положительное направление так, что положение точки

М = М(х, у) е Г может быть определено длиною дуги £ = АМ, отсчитываемой от начальной точки А . Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями

а функция /(М) , заданная в точках кривой, сведётся к сложной функции /(х(^), у(з)) от переменной ^. В этом случае криволинейный интеграл (1) запишется в виде следующего определённого интеграла

Горно-металлургический институт Таджикистана

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 30.10.2012 г.)

(1)

г

г

х = x(s), y = y(s), 0 < s < L,

L

J (f ;Г) = J f (x(s), y(s))ds.

(2)

0

Всякая квадратурная формула вида

N

(3)

Адрес для корреспонденции: Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна. 735730, Республика Таджикистан, Согдийская область, г. Чкаловск, ул. Московская, 6, Горно-металлургический институт Таджикистана. E-mail: lola-0771@mail.ru

для приближённого вычисления интеграла (2) задаётся векторами коэффициентов Р = {рк и £ = {^ , где р, р2,..., рж - произвольные действительные числа, 0 < ^ < ^ < ... < < % < Ь .

Через (Ь) обозначим класс плоских спрямляемых кривых Г с непрерывной кривизной, расположенных в области Q = {(х, у) : х2 + у2 < Ь } и у которых длина не более Ь, а через ^(КQ) := К(2)Ьр (К;Q), 1 < р < - класс функций {/(х(я),у(я))}, для которых /(х(0), у(0)) = 0, /'Х(х(0), у(0)) = 0, /' (х(0), у(0)) = 0, имеющих почти всюду в области Q част-

д 2f

dx2-i' ду'

ные производные ^ 2_.—-, i = 0,1,2 и удовлетворяющих условиям

( L ^17 Р V2f(x(s), y(s))|| = ( j|V2f(x(s), y(s)) |p ds < K, 1 < p <x,

Lp [0,L ]

p V 0 У

||V2/(x(s), y(s))|^ = swpvrai (x(s), y(s))| : (x, у) е q}< K, p = ®.

Здесь, как обычно, оператор "V " определяется равенством

V = f dx +1-■^, а V2f (x(s), y(s)) := V(Vf (x(s), y(s))) = dx ds ду ds

=d2f. (dx Y+2 ddf df. (dy Y

dx2 ^ ds у dxdy ds ds ду2 v ds у

Для каждой функции f е W^2p(K;Q) и каждой кривой Ге (L) остаток квадратурной формулы (3) имеет вполне определённое значение

| Rn (f; Г; P, S) |=| J(f; Г) - LN (f; Г; P, S) |.

За величину, характеризующую точность квадратурной формулы для всех функций f е W^2p (K; Q) , заданных на кривой Ге (L), примем число [1,2]

Rn (wff(K; Q);T P, S) = sup {| RN (f ;Г; P, S) |: f е WO; Q)}.

Наибольшую погрешность квадратурной формулы (3) всего класса функций Wq2J(K;Q) на классе кривых Ng (L) обозначим

Rn (Wo0(K;Q);9Tq(L);P,S) = supR(W$(K;Q№P,S) : Г е Nq(L)}.

Для получения квадратурной формулы, которую можно было бы считать оптимальной для всех функций f е Wq2 (K; Q) и всех кривых Ге (L), полагаем, что соотношение (3) является точным

Г N

для функций f (x(s), y(s)) = c = const, что приводит к выполнению равенства I ds = ^ рк = L .

г k=1

Задача состоит в отыскании величины [3]

En(W0(K;Q);NHq(L)) = mfR(W^(K;Q);NHQ(L);P,S): (P,S) е Л}, (4)

где Л - множество всех векторов (P, S), для которых квадратурная формула (3) имеет смысл. Если существуют P0 = {p°k}N=l и S0 = такие, для которых

En (Wk(K; Q), NQ (L)) = Rn (Wkk(K;Q); Nq (L); P°, S0),

то квадратурная формула с этим вектором коэффициентов и вектором узлов называется наилучшей.

Используя определение класса Wо 2) (K;Q) для произвольной функции, принадлежащей этому классу, получим представление

L

f (x(s), y(s)) = I (s -1)+ V2f (x(t), y(t ))dt, (5)

где -1)+ = шах(^ - 0). Подставляя функцию (5) в квадратурную формулу (3), для погрешности получим формулу

ь

Кы (/;Г) := Я„ (/;Г; Р, Б) = ¡V2/Ш, у(з)) Ф (6)

где

1 N

Ф 2(s) =-(L - s)2 Pk (Sk - S)+-

2 k=1

Из равенства (6) с учётом неравенства Гёльдера имеем:

L

Rn (f ;Г; P, S)| < || V2f (x(s), y(s)) | • I (s) ds

L

Vp (L \v q

<

¡IV2 f (x(s), y(s)) I pds •|J^(s)|d

ч k

'L V/q

<

K| j^2(s)|?ds

<

V k

, p_1 + q'1 = 1,1 < q <да. (7)

k

k

k

Непосредственными вычислениями легко проверить, что для кривой Г* ^ ^^ (Ь), заданной параметрическими уравнениями

х^) = ^2 , у(^) = ^, 0 < 5 < Ь,

и определённой на кривой Г*, функция

х(5)Г 1

у( 5')( 1

/0(х(5), у(5)) = | I ^ф(ы)Ши Ш + | I Ш,

0 V 0

0 V 0

где

N"1/Р

Ф) = КI ||ф2(5)|Ш • |ф2(п)\42(м),

| N ^

ф2(и) = 1 (Ь "^¡2и)2 Рк (*к , (ф) = ф^

2 к=1 >/2

в неравенстве (7) достигается равенство. В самом деле, поскольку

( ь Т1/Р

V2/,(х(5),у(5)) = КI || (2(5) • I (2(5) Г"11ф2(5),

то

RN(/;Г;Р,£) = }V2/0(х(5),у(5))= К( {^(^Ш

\1/Г

Таким образом, правая часть неравенства (7) является точной верхней гранью погрешности квадратурной формулы (3) на классах функций (К ;0) и кривых (Ь):

RN (ЖР (К; Q); N.Q (Ь); Р, £) = КI }| Ф2 (5)

у Г

(8)

(р 1 + г 1 = 1,1 < г <ю).

Полагая с = р^ /Ь, ^ = ^ /Ь, к = 1,2,...,N , перепишем функцию Ф2(5) в следующем виде

(2(5) = ь2

ал— ^2_V

2( ь ^ 2 ь '1ь ьл

= Ь2

211 - т1 -2 с - -

N

Ь

к=1

Ь

:= Ь2 / Ь).

(9)

Учитывая (9), из правой части равенства (8) получаем

/ 1

^(К}(К;б);N(Ь);Р,Б) = КЬ2+"I ¡| ф» ^

(р~1 + ц 1 = 1, 1 < ц < да). Отсюда, согласно равенству (4), имеем

£„(Ж$(К;б);Ыа(Ь)) = 1пГ | Г| Ф» | qds

р б ак ^к И

В работе [4], в частности, доказано, что величина

N1/ц

у/ц

Вы = 1пГ I ¡|Ф2С*)|^

а,, ,а,, •>

у/ц

принимает минимум для значений

ак =

5 «V 5 •••5

2 N + ^Я2Ц(1)

1

к = 1,2,..., N-1,

а =

2N +

2к

2N

, к = 1,2,...,n,

(10)

(11)

где ^ (/) - многочлен вида t2 + Ш + Ь, наименее уклоняющийся от нуля в метрике

Ьц[-1,1], 1 < д <да. При этом

Вм = 2-:[2 N + >/я-(1)]-

Таким образом, мы приходим к следующему результату.

Теорема. Среди всех квадратурных формул вида (3) для приближённого вычисления криволинейного интеграла первого рода (2) на классе функций ^^(К;б) (1 < р < да) и классе кривых

(Ь) наилучшей является формула

¡. / (м = £р*. / (м •)+(/;Г),

Г к=1

2

где р* = а*Ь,М* = М(х(о*Ь), у(о*Ь)), с* и о* определены равенствами (10) и (11), х = х(5), у = у(5) - параметрические уравнение кривой Г, Ь - её длина. Для минимальной оценки погрешности формулы (12) на указанных классах функций и кривых имеет место оценка

КТ г

<к><к; ®; ^(Ь))=• (р- + т' = 1 1 <Г

Отметим некоторые частные случаи доказанной теоремы.

Следствие 1. Пусть р = 1 (г = да). Тогда R ^(1) есть многочлен Чебышёва

1 2 1 1 Т (1) = сов(2агссо81) = 1 — —, ^ ^(1) = —, коэффициенты и узлы имеют вид:

* 2л/2Ь

рк=^т-, к = 1,2,..., N — 1;

к 2>/2/ +1

* _ + 1)ь рN = 2yí2N+1;

* * 2л[2кЬ 5*:=о*Ь=22&к+1 •к=1n•

При этом

КТ2

^ (ж0(,2)(к ;q); n (ь)) =

(2>/2/ + 1)2'

Следствие 2. Пусть р = 2 (г = 2). Тогда ^ 2(1) есть многочлен Лежандра

2 1 2

/2 (1) = х ——, ^ 2 (1) = —, а коэффициенты и узлы имеют вид:

р*=20^2, к=12--/"1; * _ (л/3 +у2) ь

2%/3к 2^3/+72!

5* :=о*ь = ^—к = 1,2,...,

и тогда

3кь5/2

(ж,2)( к ;q); (ь))=+ггг

Следствие 3.Пусть р = да(ц = 1). В этом случае Щ 1(t) есть многочлен Чебышёва второго

s1п(3arccos t) 2 1 3

рода б ^) =-. — = t--, Щ1 (1) = — и коэффициенты и узлы имеют вид:

4>я

-12

При этом

р* =

4Ь

4 N ^>/3

,к = 1,2,...,n -1;

р* =

(2 + л/33)Ь _

4N ^>/3 ;

* * Т 4кЬ

ь = тг;—/т

4 N + у 3

, к = 1,2,..., n.

^ (ок; б); n6 (ь)) =

кь3

(4n + >/э)2'

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б. - Укр. матем. журн., 1986, т.38, 5, с.643-645 с.

2. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.415-419.

3. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 256 с.

4. Аксень М Б., Турецкий А.Х. - ДАН СССР, 1966, т.166, 5, с.1019-1021.

Поступило 01.11.2012 г.

Л.Г.Файзмамадова

ДАР БОРАИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ОПТИМАЛИИ ТАЦРИБИ ХИСОБ НАМУДАНИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КА^ХАТТАИ НАВЪИ ЯКУМ БАРОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^О ВА ХАТ^ОИ КА^

Донишкадаи ку^й-металлургии Тоцикистон

Дар макола масъалаи кофтукови формулами квадратурии бехтарини такрибан х,исоб намудани интегралх,ои качхаттаи навъи якум барои баъзе синфи функсиях,о ва хатх,ои кач х,ал карда шудааст.

Калима^ои калиди: интеграли муайян - хатоги - уудуди болоии хатоги - формулаи трапетсияуо.

L.G.Fayzmamadova

ON OPTIMAL QUADRATURE FORMULAS FOR APPROXIMATION INTEGRATION OF CURVILINEAR INTEGRALS OF FIRST KIND FOR SOME

CLASSES OF FUNCTION AND CURVES

The Institute of Mining and Smelting of Tajikistan In this paper is considered a problem of finding the best quadrature formula for approximate calculation of curvilinear integrals of first kind for some classes of functions and curves. Key words: definite integral - error - upper bound error - the trapezium formula.