О приближенном вычислении коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между двумя плоскими выпуклыми четырехугольниками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.67+624.04:531/534

О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБЛУЧЕННОСТИ ПРИ ЛУЧИСТОМ ТЕПЛООБМЕНЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКИМИ ВЫПУКЛЫМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКАМИ В, Ю, Шадрин, Е, Ф, Софронова

Между поверхностями, в зависимости от их степени нагретости, происходит теплообмен излучением. Для расчета общего количества тепла, передаваемого излучением с поверхности 1 на поверхность 2, возникает необходимость вычисления коэффициентов облученности, которые являются геометрическими характеристиками взаиморасположения этих поверхностей.

Формулы точного вычисления коэффициентов облученности для плоских параллельных и перпендикулярных прямоугольников, основанные на применении формулы Стокса, предложены В. И. Костиным в работе [1].

Очевидно, что существует необходимость вычисления коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между поверхностями более сложной формы, расположенных в пространстве произвольным образом. При этом оказывается невозможным применение точных формул.

В данной работе предлагается приближенный метод вычисления коэффициентов облученности с помощью кубатурной формулы типа средних прямоугольников для двух произвольно расположенных в пространстве выпуклых четырехугольников, включая случаи, когда четырехугольники имеют общие стороны или взаимопересекаются. Прове© 2006 Шадрин В. Ю., Софронова Е. Ф.

Рис. 1. К определению коэффициента облученности.

дены численные эксперименты на основе программы, написанной на языке Turbo Pascal, анализ полученных результатов и их сравнение с известными модельными случаями. Коэффициент облученности с поверхности 1 на поверхность 2 определяется следующим образом [2,3]:

1 Г f eosAcosA m

2 = YJ J dFldF(1)

F F

где R — расстояние от элементарной поверхности dF на F до элементарной поверхности dF на F, въ А соответственно углы между R и нормальными векторами V и VV2 к dF и к dF соответственно, направ-

FF (см. рис. 1). Коэффициент облученности показывает долю лучистого потока, попадающую на поверхность 2, от всего потока, излучаемого поверхностью 1.

Алгоритм вычисления заключается в следующем. Пусть в про-

странстве даны два произвольно расположенных выпуклых четырехугольника F и F с заданными координатами вершин. Выбираем достаточно большие натуральные числа щ, mi, и разбиваем

противоположные стороны F та равное количество отрезков щ и m\ соответственно. Аналогично для четырехугольника F разбиваем противоположные стороны на равное количество отрезков П2 и m-2- Прямыми, соединяющими точки концов противоположных отрезков, на F± и F получим элементарные четырехугольники с площадями As^^ и As? -2 соответственно, где ¿i = 1,..., щ, .71 = 1,..., mi, ¿2 = 1,..., n, j = 1,..., m2. Выбираем та каждой элементарной площадке Asjj и As? -2 центрадьные точки ^¿j, ¿2, назовем их узлами кубатурной формулы, которые являются точками пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон элементарных четырехугольников. Очевидно, что координаты узлов и площади элементарных четырехугольников легко вычисляются.

Коэффициент облученности (1) будем вычислять по кубатурной формуле

щ mi щ m

к-* ^^¡HHHY. (2)

¿1=1 ¿1=1 ¿2 = 1 ¿2=1

где функция f имеет вид

_ cos Д cos /?2 ,„ч

Д2 ' W

В (3) cos Д в каждом узле вычисляются через скалярное произведение:

(ЛГЬ Д!_2)

C0S»1 = —---,

|АЧ|Й1-2|

где NVi — нормальный вектор плоскости первого четырехугольника Fi, r_2 — вектор, соединяющий центры элементарных площадок Asjiji и As? -2, направленный в сторону второй элементарной площадки па F • Аналогично вычисляются cos Д:

(N2^2-1)

COSp2 =

IN | |R-i

где N2 — нормальный вектор плоскости второго четырехугольника ^, д2— — вектор, соединяющий центры элементарных площадок Ав^^ и Дв? -2, направленный в сторону первой элементарной площадки па

В выражении (3) Я= \Й2 — \ = \Й1 — |.

Заметим, что суммирование ведется только в тех случаях, когда косинусы положительны, тем самым автоматически учитываются только те участки сторон четырехугольников, которые задействованы в лучистом теплообмене.

Приведем результаты вычислений, которые показывают достаточную точность полученных результатов и возможность применения предложенной кубатурной формулы. Для проверки правильности метода вычисления сначала приведем результаты вычисления коэффициентов облученности для стандартных случаев — двух параллельных и перпендикулярных прямоугольников, для которых коэффициенты вычисляются точно по формулам, приведенным в [1].

1. Параллельные прямоугольники. В табл. 1 приведены результаты вычислений для равных параллельных прямоугольников. Обозначения: а, Ъ — стороны прямоугольников, Н — расстояние между ними, £ — погрешность вычисленного коэффициента (абсолютная величина разности между точным и приближенным значениями), п±, ш\ — число разбиений противоположных сторон первого прямоугольника 1, П2, шз — число разбиений противоположных сторон второго прямоугольника 2.

В табл. 2-4 приведем результаты для двух перпендикулярных пряН

аЪ

ников 1 и 2.

Приведем численные результаты для двух произвольных четырехугольников с общей стороной (рис. 2). В этом случае формулы из [1] не применимы. О правильности вычислений можно судить только по характеру изменения значений вычисленных коэффициентов в зави-

Таблица 1. Параллельные прямоугольники.

1 прямоуг. 2 прямоуг. У1-2 = У2-1

щ ТО1 П-2 Ш2 Вычисл. Точное е

а = 1 6 = 1 к= 1 10 10 10 10 0.200430 0.199825 0.00061

30 30 30 30 0.199976 0.199825 0.00015

50 50 50 50 0.199849 0.199825 0.00002

а= 40 6 = 40 к= 1 40 40 40 40 0.984150 0.951073 0.03308

60 60 60 60 0.955553 0.951073 0.00448

70 70 70 70 0.953112 0.951073 0.00204

а = 3 6 = 20 Н= 10 30 30 30 30 0.103215 0.103179 0.00004

40 20 40 20 0.103203 0.103179 0.00002

Рис. 2. Перпендикулярные Рис. 3. Четырехугольники прямоугольники. с общей стороной.

Таблица 2. Равные прямоугольники — = ^_1).

1 прямоуг. 2 прямоуг. VI-2 = У2-1

щ Ш1 П-2 Ш2 Вычнсл. Точное е

а = 1 Ъ= 1 к= 1 20 20 20 20 0.207565 0.200044 0.00752

40 40 40 40 0.202547 0.200044 0.00250

70 70 70 70 0.200108 0.200044 0.00006

Таблица 3. Неравные прямоугольники.

1 прямоуг. 2 прямоуг. VI-2

щ ТО1 П-2 Ш2 Вычнсл. Точное е

а = 5 6= 25 к= 1 30 30 30 30 0.094121 0.080879 0.01324

30 30 30 40 0.083236 0.080879 0.00236

Таблица 4. Неравные прямоугольники.

1 прямоуг. 2 прямоуг. У2-1

щ ТО1 П-2 Ш2 Вычисл. Точное е

а = 5 6= 25 /1= 1 30 30 30 30 0.018845 0.016194 0.00265

30 30 30 40 0.017878 0.016194 0.00168

Таблица 5. Равные четырехугольники с общей стороной.

Стороны Угол а ¥>1-2 ¥2-1

а = 1, 6 = 2, с = 3, (¿ = 4 ¿ = 4, е=1, / = 2,з = 3 ^ = = 6.26 180° 0.00000 0.00000

120° 0.02142 0.02142

60° 0.42913 0.42913

30° 0.62634 0.62634

Таблица 6. Неравные четырехугольники с общей стороной.

Стороны Угол а ¥1-2 ¥2-1

а = 7, 6 = 2, с = 5, (¿ = 4 (¿ = 4, е=1, / = 2, з = 3 = 16.8, = 6.26 180° 0.00000 0.00000

120° 0.00847 0.02655

60° 0.19483 0.27352

30° 0.40452 0.57392

симости от изменения угла между плоскостями. Углы подбирались из соображений быстрого и точного вычисления координат четырехугольников. Обозначения: а, Ь С ^ — стороны четырехугольника 1, й е, /, д — стороны четырехугольника 2. Сторона й общая, а — угол между плоскостями четырехугольников, ^ и ^ соответственно их площади. Очевидно, что при уменьшении угла коэффициенты облученности должны увеличиваться, что видно из таблицы результатов. Численные результаты приводятся для п = т\ = П2 = = 50.

4. Опирающиеся четырехугольники. Численные эксперимен-

а

угольников 1 и 2 (см. рис. 3). По предложенной кубатурной формуле вычисляются коэффициенты облученности ^и ^Затем четы-

Таблица 7. Опирающиеся четырехугольники.

а = 2.2, Ь 3.0, с =2.2, (.

к. 1 = .т. п.

^ = 5.20, F2 = = 10.0, ^з = 4.6, = 5.4

а = 30°

да-2 = 0.395688 да -з = 0.304980 да-4 = 0.090847

да-1 = 0.205606 да = 0.316945 да-1 = 0.110791

рехугольник 2 делится на две части: 3 и 4 (рис. 3), и вычисляются в отдельности коэффициенты облученности да_з, да — и да_4, да — .

Адекватность предложенного метода проверяется выполнением свойств распределительности

да-2 = да _(з+4 = да _3 ^ + да -4 (4)

и

да — = да — ^з + да—(5)

В табл. 7 приведем результаты вычислений для одного случая. Число разбиений: щ = т = П2 = т2 = 50. Обозначения в табл. 7: а, Ь, с, (I — последовательные стороны четырехугольника 1; к, I, т, п — последовательные стороны четырехугольника 2; ^ — площадь четырехугольника 1; ^ — площадь четырехугольника 2; ^ = ^ + где — площади соответственно частей 3 и 4 четырехугольника

2; а — острый угол между четырехугольниками.

Легко проверить, что с точностью до 0.0002 свойства распределительности (4) и (5) выполняются.

Таким образом, предложенный метод позволяет с достаточной точностью вычислять коэффициенты облученности для любых двух выпуклых четырехугольников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Костин В. И. Расчет коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между плоскими поверхностями конечных размеров // Изв. вузов. Строительство. 1994. № 7, 8. С. 65-68.

2. Богословский В. Н. Тепловой режим здания. М.: Стройиздат, 1979.

3. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975.

г. Якутск

26 февраля 2006 г.