CC BY
13
УДК 519.67+624.04:531/534 В. Ю. Шадрин, М. Ф. Семенов, Г. И. Иванов
КОЭФФИЦИЕНТЫ ОБЛУЧЕННОСТИ МЕЖДУ КРУГАМИ ПРИ НАЛИЧИИ МЕЖДУ НИМИ ЛОКАЛЬНОГО ПРЕПЯТСТВИЯ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
При расчете лучистого теплообмена между различными поверхностями конечных размеров по закону Стефана-Больцмана возникает необходимость вычисления коэффициентов облученности (угловых коэффициентов). В литературе описаны методы точного вычисления коэффициентов облученности для основных простых поверхностей, расположенных в определенном порядке. Эти методы применяются только при отсутствии препятствий между поверхностями, участвующими в лучистом теплообмене. При наличии локального препятствия или, наоборот, проема для лучистого теплообмена эти методы не работают. В простейших случаях можно вычислять коэффициенты облученности при наличии препятствий или проемов, используя трудоемкие методы, основанные на свойствах коэффициентов облученности для замкнутых систем. В данной работе предлагается приближенный метод вычисления коэффициентов облученности, основанный на кубатурной формуле, аналогичной квадратурной формуле средних прямоугольников между двумя кругами при наличии между ними локальных препятствий. Проведены численные эксперименты, результаты которых показывают достаточную точность предложенного метода. Предлагаемый метод может быть применен при практическом расчете коэффициентов облученности лучистого теплообмена различных нагревательных элементов при проектировании технических, жилых зданий и сооружений.
Ключевые слова: лучистый теплообмен, закон Стефана-Больцмана, коэффициент облученности, численные методы, численное интегрирование, кубатурная формула, формула средних прямоугольников, поверхностный интеграл второго рода, равномерное разбиение круга, узлы кубатурной формулы.
V. Yu. Shadrin, M. F. Semenov, M. F. Ivanov
Irradiance Coefficients between Circles with Local Obstacles in Form of Rectangle
When calculating the radiative heat transfer between the surfaces of finite size on the law of Stefan-Boltz-mann is necessary to calculate the irradiance coefficients (angular coefficient). The literature describes methods for accurate calculation of the irradiance of the coefficients for the basic simple surfaces, arranged in a certain order. These methods apply only when there are no obstacles between the surfaces involved in
ШАДРИН Василий Юрьевич - к. ф.-м. н., доц., проф. каф. высшей математики ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.
E-mail: vshadr@mail.ru
SHADRIN Vasily Yurievich - Сandidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Mathematics, Institute of Mathematics and Informatics, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.
СЕМЕНОВ Михаил Федорович - к. ф.-м. н.
E-mail: sem.mi@mail.ru
SEMENOV Mikhail Fedorovich - Сandidate of Physical and Mathematical Sciences.
ИВАНОВ Гаврил Иванович - к. ф.-м. н., доц. каф. высшей математики ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.
E-mail: ivganya@mail.ru
IVANOV Gavril Ivanovich - Сandidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematics, Institute of Mathematics and Informatics, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.
radiant heat transfer. If there is an obstacle or a local, on the contrary, the opening for radiant heat transfer, these methods do not work. In the simplest cases, you can calculate the irradiance ratios in the presence of obstacles or openings, using labor-intensive methods based on the properties of irradiance coefficients for closed systems. In this paper, we propose an approximate method for calculating irradiance coefficients, based on rules similar to the quadrature formula of average rectangles, between the two circles when there are local obstacles in the form of rectangle. The results of numerical experiments show sufficient accuracy of the proposed method. The proposed method can be used in the calculation of the irradiance coefficients of different heating elements in the design of technical, living buildings and constructions.
Keywords: radiative heat transfer, law of Stefan-Boltzmann, irradiance coefficient, numerical methods, numerical integration, cubature formula, a formula of average rectangles, surface integral of the second kind, uniform partitions of the circle, nodes of the cubature formula.
Введение
Как известно [1-5], точное аналитическое вычисление коэффициентов облученности (угловых коэффициентов) при лучистом теплообмене между поверхностями произвольной геометрии представляется невозможным в связи с большими трудностями при интегрировании. Точное вычисление возможно лишь для некоторых поверхностей, расположенных в определенном порядке. Для более сложных систем при наличии между ними локальных препятствий иногда удается вычислять коэффициенты облученности с помощью свойства распределительности, что представляет собой очень трудоемкий процесс. В работе [6] был предложен приближенный метод вычисления коэффициентов облученности между произвольными выпуклыми четырехугольниками, основанный на кубатурной формуле, которая является многомерным аналогом формулы средних прямоугольников. В работе [7] рассмотрен случай применения этого метода для вычисления коэффициентов облученности между выпуклыми четырехугольниками при наличии между ними локальных препятствий или проемов. Дальнейшее развитие этого метода получено в работах [8-10].
В данной работе предлагается приближенный метод вычисления коэффициентов облученности между кругами, когда между ними имеются локальные препятствия в виде прямоугольника. Круги могут быть расположены в пространстве произвольным образом: параллельно, перпендикулярно или под углом. Для вычисления коэффициента облученности нужно вводить радиус круга, координаты центра и нормального вектора круга в положительном направлении, т. е. в направлении поверхности, участвующей в лучистом теплообмене. Если имеется локальное препятствие или проем в виде четырехугольника, то ввод координат вершин не играет роли.
Коэффициент облученности и кубатурная формула
Коэффициент облученности (угловой коэффициент) F с поверхности 1 с площадью Л1 на поверхность 2 с площадьюЛ2 определяется следующим образом [1]:
If, cos в cos в2dA,dA2
F1-2 = А II -1 J 1 2' (1)
A1 a A2 nR
где R - расстояние от элементарной площадки dAl на Л1 до элементарной площадки dA2 на Л2, вр в2 - углы между R и нормальными векторами N и N2 к dAl и к dA2 соответственно, направленными в сторону другой поверхности (рис. 1). Коэффициент облученности показывает долю лучистого потока, попадающую на поверхность 2, от всего потока, излучаемого поверхностью 1.
Приближенное вычисление двукратного поверхностного интеграла второго рода (1) проведем с помощью кубатурной формулы, которая является многомерным аналогом формулы средних прямоугольников и основана на определении данного интеграла. Идея состоит в разбиении кругов, участвующих в лучистом теплообмене, на элементарные четырехугольники и в выборе в качестве узлов кубатурной формулы средних точек этих площадок, принадлежащих кругу. Тогда кубатурная формула имеет вид
(2)
Рис. 1. К определению коэффициента облученности
1 n mi П2 m2 , ч
F-2 =—Х X X X/ (ми , Mj ) As^
п/Ч !i =!Л=1!2 =1л
где nl, ml - числа разбиений сторон четырехугольника 1, n2, m2 - числа разбиений сторон четырехугольника 2, M^j eAs^j , Mi2eAs, гральная функция
cos p1 cos в2
h,l2J2 - узлы кубатурной формулы, подынте-
f (М: ¡ , M' n )
J V чл '2л )
R
-12
R12 = MkJl Mhh, R21 = Mi2h Mj в = z((, R2, ), ft = R2i),
A^i j, Asi2j - площади элементарных площадок (рис. 2). Косинусы вычисляются через скалярное произведение:
cos в = Д-R- ,cos в2 = i Nl'^
\Nl\ • *12
N2 • R21
В четырехкратном суммировании (2) учитываются только слагаемые с узлами, участвующими в лучистом теплообмене, т. е. те слагаемые, для которых cos Д > 0, cos в2 > 0.
Разбиение круга
Для задания круга вводятся координаты центра C(xC,yC,zC), радиус R, координаты нормального вектора N(xN,yN, zN), обращенного в сторону излучаемой или излучающей поверхности и перпендикулярного к кругу. По нормальному вектору вычисляются его направляющие косинусы cos a, cos в, cos у. Для вычисления узлов, расположенных в круге, строится квадрат, описывающий данный круг, две противоположные стороны которого параллельны координатной плоскости Oxy. Если круг параллелен плоскости Oxy, то строится квадрат со сторонами, параллельными осям Ox и Oy, в противном случае координаты вершин квадрата вычисляются по формулам
А
R (cos в + cosacos/) R (-cosa + cos в cos y)
Ус
D
D
sin y
R (-cos в + cos a cos y) sin y
R (-cos в - cosacos/) sin y
sin y
; zC - R sin y
Ус
Ус
R (cosa+ cos в cos y) ^
—---; zC - R sin y
sin y
R (cosa - cos в cos y)
sin y
C
R (cos в - cosacos y) R (- cosa - cos ecos/)
---Ус+—-:--;zc
sin y
sin y
- R sin y
R sin y
Рис. 2. Узлы кубатурной формулы
Затем строятся узлы для квадрата аналогично алгоритму для четырехугольников. В суммировании задействованы только те узлы квадрата, которые принадлежат кругу, т. е. узлы М(х,у, z), для которых выполнено условие:
Вычисление коэффициента облученности между параллельными кругами в случае отсутствия препятствия
В случае, когда между кругами нет препятствия, имеется возможность проверить точность вычислений, так как в [1] имеется аналитическая формула для коэффициента облученности между двумя параллельными кругами с общей осью. Рассмотрим два параллельных круга с общей осью с радиусами Я1 = 0,5 м и Я2 = 1,0 м на расстоянии Н = 3 м (рис. 3). Точные значения коэффициентов облученности F1_2 = 0,09779424, F2_1 = 0,02444856. Приведем вычисленные предложенным методом приближенные значения коэффициентов облученности в табл. 1.
Рис. 3. Коэффициент облученности между двумя параллельными кругами в случае отсутствия препятствия
Рис. 4. Коэффициент облученности между двумя параллельными кругами в случае наличия препятствия
Таблица 1
Коэффициент облученности между параллельными кругами без препятствия
п1 т1 П2 т2 ^-1 61-2
100 100 200 200 0,09790157 0,02447539 0,00010733
200 200 400 400 0,09783965 0,02445991 0,00004541
Из табл. 1 видна сходимость кубатурной формулы с порядком 0(№), где И2 - площадь элементарной площадки. Погрешность е1-2 = - .
Вычисление коэффициента облученности между параллельными кругами в случае наличия препятствия
Пусть имеются два параллельных круга на одной оси одинакового радиуса Я = 1 м на расстоянии Н = 3 м. Исследуем изменение коэффициента облученности с одного круга на другой в случае наличия между ними квадратного препятствия со стороной а = 1,6 м на расстоянии Ь (0 < L < 3) (рис. 4). Результаты экспериментов приведены в табл. 2 для п1 = т1 = п2 = т2 = 100. Точное значение коэффициента облученности без препятствия равно F¡'-2 = F2t_1 = 0,09167309.
Таблица 2
Коэффициент облученности между параллельными кругами при наличии между ними препятствия
Ь ^-2 Ь ^-2
0 0,01794650 3,00 0,01794650
0,01 0,01785132 2,99 0,01785132
0,05 0,01633625 2,95 0,01633625
0,10 0,01474096 2,90 0,01474096
0,50 0,00563207 2,50 0,00563207
1,00 0,00313801 2,00 0,00313801
1,50 0,00258291
Из табл. 2 видно, что минимальное значение коэффициента облученности достигается при расположении препятствия посередине между кругами, участвующими в лучистом теплообмене, максимальное значение достигается при расположении препятствия на излучателе или на приемнике.
Заключение
Таким образом, разработан метод вычисления коэффициентов облученности между двумя кругами, расположенными в пространстве произвольным образом (параллельно, перпендикулярно, на пересечении друг друга). Предложенный приближенный метод вычисления коэффициентов облученности между двумя кругами может быть применен и в случае наличия между ними локального препятствия в виде прямоугольника или, наоборот, проема для лучистого теплообмена. Разработано программное обеспечение вычисления коэффициентов облученности и проведены численные эксперименты, которые показывают достаточную точность предложенного метода и возможность применения данного метода при практических расчетах. Численные эксперименты проведены для простых случаев расположения кругов и препятствий, когда возможно точное вычисление коэффициента облученности.
Л и т е р а т у р а
1. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. - М.: Мир, 1975. - 934 с.
2. Богословский В. Н. Строительная теплофизика (теплофизические основы отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха). - М.: Высшая школа, 1982. - 415 с.
3. Якоб М. Вопросы теплопередачи. - М.: Издательство иностранной литературы, 1960. - 518 с.
4. Костин В. И. Расчет коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между плоскими поверхностями конечных размеров // Изв. вузов. Строительство. - 1994. - № 7, 8. - С. 65-68.
5. Спэрроу Э. М., Сесс Р. Д. Теплообмен излучением. - Л.: Энергия, 1971. - 294 с.
6. Софронова Е. Ф., Шадрин В. Ю. О приближенном вычислении коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между двумя плоскими выпуклыми четырехугольниками // Математические заметки ЯГУ. - 2006. - Т. 13, вып. 1. - С. - 166-174.
7. Шадрин В. Ю., Семенов М. Ф. Приближенное вычисление коэффициентов облученности при
лучистом теплообмене между плоскими поверхностями конечных размеров при наличии между ними локальных препятствий // Труды 1-й Международной научно-практической конференции «Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения». - 2013. - С. 9-13.
8. Шадрин В. Ю., Семенов М. Ф. Об одном разбиении круга и его применении для вычисления коэффициентов облученности при лучистом теплообмене // Труды 1-й Международной научно-практической конференции «Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения». - 2013. - С. 28-31.
9. Шадрин В. Ю., Хохолов В. Б. Об одном разбиении треугольника и его применении для вычисления коэффициентов облученности при лучистом теплообмене // Сборник статей 2-й Международной научно-практической конференции «Теоретические и практические вопросы развития научной мысли в современном мире». - 2013. - С. 25-31.
10. Семенов М. Ф., Шадрин В. Ю. Равномерное разбиение сферы и его применение для вычисления коэффициентов облученности // Математические заметки СВФУ. - 2015. - Т. 22, № 1. - C. 104-108.
R e f e r e n c e s
1. Zigel' R., Khauell Dzh. Teploobmen izlucheniem. - M.: Mir, 1975. - 934 s.
2. Bogoslovskii V. N. Stroitel'naia teplofizika (teplofizicheskie osnovy otopleniia, ventiliatsii i konditsio-nirovaniia vozdukha). - M.: Vysshaia shkola, 1982. - 415 s.
3. Iakob M. Voprosy teploperedachi. - M.: Izdatel'stvo inostrannoi literatury, 1960. - 518 s.
4. Kostin V. I. Raschet koeffitsientov obluchennosti pri luchistom teploobmene mezhdu ploskimi poverkh-nostiami konechnykh razmerov // Izv. vuzov. Stroitel'stvo. - 1994. - № 7, 8. - S. 65-68.
5. Sperrou E. M., Sess R. D. Teploobmen izlucheniem. - L.: Energiia, 1971. - 294 s.
6. Sofronova E. F., Shadrin V. Iu. O priblizhennom vychislenii koeffitsientov obluchennosti pri luchistom teploobmene mezhdu dvumia ploskimi vypuklymi chetyrekhugol'nikami // Matematicheskie zametki IaGU. - 2006. - T. 13, vyp. 1. - C. - 166-174.
7. Shadrin V. Iu., Semenov M. F. Priblizhennoe vychislenie koeffitsientov obluchennosti pri luchistom teploobmene mezhdu ploskimi poverkhnostiami konechnykh razmerov pri nalichii mezhdu nimi lokal'nykh prepiatstvii // Trudy 1-i Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii «Sovremennaia nauka: aktu-al'nye problemy i puti ikh resheniia». - 2013. - S. 9-13.
8. Shadrin V. Iu., Semenov M. F. Ob odnom razbienii kruga i ego primenenii dlia vychisleniia koeffitsientov obluchennosti pri luchistom teploobmene // Trudy 1-i Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii «Sovremennaia nauka: aktual'nye problemy i puti ikh resheniia». - 2013. - S. 28-31.
9. Shadrin V. Iu., Khokholov V. B. Ob odnom razbienii treugol'nika i ego primenenii dlia vychisleniia koeffitsientov obluchennosti pri luchistom teploobmene // Sbornik statei 2-i Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii «Teoreticheskie i prakticheskie voprosy razvitiia nauchnoi mysli v sovremennom mire». - 2013. - S. 25-31.
10. Semenov M. F., Shadrin V. Iu. Ravnomernoe razbienie sfery i ego primenenie dlia vychisleniia koeffitsientov obluchennosti // Matematicheskie zametki SVFU. - 2015. - T. 22, № 1. - C. 104-108.
^■Hir^ir
