Равномерное разбиение сферы и его применение для вычисления коэффициентов облученности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 519.67+624.04:531/534

РАВНОМЕРНОЕ РАЗБИЕНИЕ СФЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБЛУЧЕННОСТИ М. Ф. Семенов, В. Ю. Шадрин

Аннотация. Предложен метод равномерного разбиения сферы, которое можно применить для численного интегрирования поверхностных интегралов по сфере. Приводятся результаты численных экспериментов вычисления коэффициентов облученности.

Ключевые слова: сфера, разбиение, узлы кубатурной формулы, коэффициент облученности.

M. F. Semenov and V. Yu. Shadrin. Uniform Partition of a Sphere and Its Application to Computing Irradiance Coefficients.

Abstract: We propose a method of uniform partition of a sphere which can be applied for the numerical integration of surface inegrals over the sphere. The results are given of numerical experiments for calculating irradiance coefficients. Keywords: sphere, partition, nodes of a cubature formula, irradiance coefficient.

Пусть дана сфера с центром в начале координат 0(0, 0, 0) и с радиусом R. Выберем натуральное число п и положим a = an = 2n+i • Вокруг «северного полюса» с координатами (0, 0, R) описываем сегмент с центральным углом an, далее сверху вниз верхнюю полусферу разбиваем на n поясов с одинаковыми центральными углами an. Площадь сегмента при «полюсе» равна

а

S = 2тгRh, где h = R — R eos —. ' А 2

Если пронумеровать пояса сверху вниз i = 1, 2,..., n, то площадь ¿-го пояса равна

Si = 2nRhi,

где hi = Rsin (n — i + l)an — Rsin (n — í)an = 2i?sin ^ sin¿a„.

Рассмотрим отношение площади i-го пояса Si к площади «полюса» S:

Si 2 sin ian

= 5 = li^T-

Целая часть этого числа [/Uni] означает количество равновеликих секторов с площадями, равными площади «полюса», из которых состоит ¿-й пояс.

Положим ipi = — ani, 6ц = ——, ¿ = 1,2,.... гг., 7 = 1,2,..., \ипЛ. Опре-

2 J Мni

делим упорядоченное множество равномерно распределенных точек на верхней

(g 2015 Семенов М. Ф., Шадрин В. Ю.

полусфере Un = {(xj, yij, Zj)}. Координаты точек вычисляются по следующим формулам:

xij = R cos pi cos 6ij, yij = R cos pi sin , Zj = R sin pi,

i = 1, 2, ...,n, j = 1, 2,..., [^„ij.

Аналогично определим упорядоченное множество равномерно распределенных точек на нижней полусфере Us = {(xij, yij, zij-)}. Координаты точек вычисляются по следующим формулам:

xij = R cos pi cos 0ij-, yij = R cos pi sin 0ij-, zij- = —R sin pi,

i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., [^„ij. К этим множествам добавим «северный полюс» Pn с координатами

x2n+1,1 = У2„+1,1 = °j Z2n+1,1 = R и «южный полюс» Ps с координатами

x2n+2,1 = У2„+2,1 = ° Z2n+2,1 = —R.

Таким образом получили упорядоченное множество точек (узлов), которые равномерно распределены по всей сфере:

U = Un и US U PN U PS .

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

(1) lim ^„1 = 8;

n—► ^

(2) lim üaa. - М-

n—TO „ п '

16

n.

(3) 16 < < g i = 1,2,...

v ' П — i — ' ' '

Доказательство. (1) Имеем

п

Mm r 2sina„ 2sin"2n+i q lim //„i = lim —— = lim — = lim ---- = 8.

n^oo n^oo 1 n^oo tg n^oo tg ^2n+l)

Это означает, что в первом поясе возле «северного полюса» при n ^ ж количество секторов с площадью, равной площади полюса, стремится к 8. Заметим, что, как показано в [1], в плоском случае при аналогичном разбиении круга в первом кольце расположено ровно 8 секторов с площадью, равной площади центрального круга.

(2) Имеем

.. Unn ,. 1 2 sin nan 1 2 sin n^ 4(2n+l) 16 lim - = lim — ---- = lim — • —j-,-!—r- = 2 • lim - = —.

^ n—>oo n tg (д • 2n+l) n^oo ПТГ TT

n—>oo TL n—>oo TL * ™ a

(3) Очевидно, что для всех г = 1, 2,..., п имеет место оценка

ni

п i

Теорема доказана.

Рассмотрим применение предложенного разбиения для приближенного вычисления коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между поверхностями, одной из которых является сфера.

Множество узлов U можно взять в качестве узлов для кубатурной формулы, аналогичной формуле, предложенной в [1,2].

Коэффициент облученности (угловой коэффициент) F1-2 с поверхности 1 с площадью Ai на поверхность 2 с площадью A2 определяется следующим образом [3]:

1 И cos j3i cos в2 dAidA2 .

Fi-2-tJJ-^-' (1)

A1A2

где R — расстояние от элементарной площадки dA1 на A1 до элементарной площадки dA2 на A2, 0ь02 — углы между R и нормальными векторами NV1 и N2 к dA1 и к dA2 соответственно, направленными в сторону другой поверхности. Коэффициент облученности показывает долю лучистого потока, попадающую на поверхность 2, от всего потока, излучаемого поверхностью 1.

Приближенное вычисление двукратного поверхностного интеграла второго рода (1) проведем с помощью кубатурной формулы, которая является многомерным аналогом формулы средних прямоугольников, основанным на определении данного интеграла. Идея состоит в разбиении поверхностей, участвующих в лучистом теплообмене, на элементарные площадки и в выборе в качестве узлов кубатурной формулы «средних» точек этих площадок. Тогда кубатурная формула примет вид

1 ni mi П2 m2

= /(МШ1' )bsilh A Si2j2, (2)

¿1 = 1 ji = 1 ¿2 = 1 j2 = 1

где n1 x m1 — количество элементарных площадок поверхности 1, n2 х m2 — количество элементарных площадок поверхности 2, Miij1 £ Asi1j1, Mi2j2 £ Asi2j2 — узлы кубатурной формулы,

f (Miiji ,Mi2j2 )

cos в1 cos 02

Ж2 !

Я12 — Мщ! И12П, Я21 — М12П М^и"!, 01 — АМ 1,Й12), 02 — /(N2^21),

, Ав^2— площади элементарных площадок. Косинусы вычисляются через скалярное произведение:

„ N1 ■ Я12 N2 ■ Я 21 СО3 01 = —---, СОЭ 02

|NNi||Ri2| INV2IIR21I

В четырехкратном суммировании (2) учитываются только слагаемые с узлами, участвующими в лучистом теплообмене, т. е. те слагаемые, для которых cos 01 > 0, cos 02 > 0.

В табл. 1 приведены результаты вычислений для вложенных концентрических сфер с общим центром в начале координат и с радиусами R1 = 2 и R2 = 1.

Рис. 1. Равномерное разбиение. Рис. 2. Географическое разбиение.

Очевидно, что коэффициент облученности наружной сферы со стороны внутренней сферы равен 1. В первом столбце указаны значения площади элементарных площадок Д$. Во втором столбце РР означает «равномерное разбиение», ГР — «географическое разбиение». При равномерном разбиении (рис. 1) все площадки имеют почти одинаковую указанную площадь, при географическом разбиении (рис. 2) указанную площадь будут иметь площадки, расположенные выше и ниже «экватора», остальные площадки, очевидно, будут иметь меньшую площадь. Тем не менее, измельчение сетки возле «полюсов» при географическом разбиении не приводит к улучшению результатов вычислений. Как видно из табл. 1, имеет место сходимость кубатурной формулы к точному значению с увеличением числа узлов разбиения сферы, причем равномерное разбиение предпочтительнее не только с точки зрения быстроты вычисления, но и точности кубатурной формулы.

В табл. 2 приведены результаты тестовой задачи вычисления коэффициента облученности со сферы радиуса Я = 1 на внутреннюю поверхность куба, содержащего данную сферу. Центры куба и сферы совпадают, ребро куба равно 4.

По свойству замкнутости коэффициента облученности сумма коэффициентов облученности на отдельные грани куба должна равняться 1. Каждая грань куба разбивалась на 400 х 400 элементарных квадратиков площадью 0.0001, элементарный сектор сферы при равномерном разбиении имеет площадь 0.0001181, при географическом разбиении наибольший элементарный сектор при «экваторе» имеет такую же площадь 0.0001181. Через ^ — обозначается коэффициент облученности со сферы на г-ю грань, через е — погрешность вычисления.

Как видим, результаты данного численного эксперимента также показывают, что применение узлов предложенного равномерного разбиения предпочтительнее обычного географического разбиения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Семенов М. Ф., Шадрин В. Ю. Об одном разбиении круга и его применении для вычисления коэффициентов облученности при лучистом теплообмене // Мат. I Междунар. науч.-практ. конф. «Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения». Липецк, 2013. Т. 1. С. 28-31.

2. Софронова Е. Ф., Шадрин В. Ю. О приближенном вычислении коэффициентов облученности при лучистом теплообмене между двумя плоскими выпуклыми четырехугольниками // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, № 1. С. 166-174.

Таблица 1. Численные результаты для вложенных сфер

Площадь Способ Число узлов Число узлов Погрешность Время счета

Д5 разбиения 51 52 в секундах

0.0671150 РР 726 202 0.000115448 < 1

ГР 2354 589 0.005913457 < 1

0.0082660 РР 6060 1574 0.000002844 < 1

ГР 19105 4777 0.000800807 4

0.0046685 РР 10676 2746 0.000007244 1

ГР 33826 8457 0.000463989 11

0.0021060 РР 23788 6060 0.000000447 7

ГР 74984 18747 0.000210775 67

0.0011890 РР 42094 10676 0.000000200 20

ГР 132813 33204 0.000119545 130

0.0006285 РР 79290 20022 0.000000145 70

ГР 251256 62815 0.000063867 480

0.0003915 РР 128128 32294 0.000000122 190

ГР 403356 100840 0.000039819 1335

0.0001925 РР 260866 65590 0.000000106 780

ГР 820332 205084 0.000019831 5460

Таблица 2. Численные результаты для сферы, вложенной в куб

Равномерное разбиение Географическое разбиение

0.1667937281 0.1666543690

Рв-2 0.1667937281 0.1666543690

^Я-З 0.1666035189 0.1666656458

0.1666035191 0.1666656458

0.1666035189 0.1666656457

Рв-ч 0.1666035191 0.1666656458

Сумма 1.0000015322 0.9999713211

£ 0.0000015322 -0.0000286789

3. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975.

Статья поступила 28 января 2015 г.

Семенов Михаил Федорович, Шадрин Василий Юрьевич Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск, 677801, Республика Саха (Якутия) зеш.ш1@шаИ .ги, узЬадгФшаИ . ги