Определение локальных характеристик поля излучения методом «Излучающих линий» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ «ИЗЛУЧАЮЩИХ ЛИНИЙ»

В. И. Сокуренко, к. т. н, доц.

Постановка задачи. Расчет энергетических характеристик лучистого нагрева в излучающих системах, как известно, описывается наиболее точно интегральными уравнениями Фредгольма второго рода. Наиболее распространенными методами решения этих уравнений являются алгебраические или зональные методы, основанные на аппроксимации уравнений конечной системой линейных алгебраических уравнений, которая затем и решается [1].

В общем случае, система уравнений, описывающая лучистый теплообмен в системе п серых тел, разделенных диатермической средой, записанная для плотности результирующего излучения, имеет вид [7].

Е п и п

~г- - X иг Ф = X Ей ф - Еи ('• = 1,2,... п), (1)

Аг к=1 Ак к=1

где Ерез - плотность результирующего теплового потока на поверхности /-го тела;

А/ - поглощательная способность /-го тела;

7°

' соб1

Е°об- = - плотность собственного излучения абсолютно черного тела при температуре

/-го тела;

Я/ = 1 — А/ - коэффициент отражения /-го тела;

ф/к - средний угловой коэффициент облученности, характеризующий долю всей энергии,

излучаемой /-м телом, приходящуюся на поверхность к-того тела.

Система алгебраических уравнений (1) состоит из п уравнений и содержит в общем случае 2п неизвестных величин (п неизвестных Ерез и п неизвестных Есоб). По условию п величин задаются, а п - находятся из решения системы, но при этом предполагается, что поля угловых коэффициентов ф/к известны. В действительности, как правило, угловые коэффициенты

неизвестны и их приходится определять на первом этапе расчета в каждом конкретном случае. Существующие расчетные формулы, графики и номограммы для нахождения их значений имеются лишь для ограниченного числа пар тел (поверхностей) [2-4; 6; 9].

Решение задачи. В настоящей работе подробно излагается метод определения локальных угловых коэффициентов излучения применительно к излучающей системе, состоящей из двух тел, одно из которых имеет форму цилиндра или прямоугольной плоской пластины.

Расчеты показывают, что в довольно широкой области изменения диаметра цилиндра и ширины прямоугольной пластины, угловые коэффициенты с них на какие-либо другие поверхности практически не изменяются. А угловые коэффициенты на цилиндр и прямоугольник пропорциональны их поперечному размеру. Это обстоятельство позволяет перейти к рассмотрению цилиндра и прямоугольника с исчезающе малым поперечным размером. Такие тела в теоретической фотометрии называются «излучающими линиями» [5].

Для получения аналитических выражений для расчета локальных угловых коэффициентов, которые учитывали бы взаимное положение излучающей линии и элементарных площадок произвольной поверхности в единой формуле, поверхность и излучающую линию зададим уравнениями в прямоугольной системе координат (рис.1).

Оси системы координат Х,У,Х расположим так, чтобы излучающая линия проходила через ось У, а её фотометрическая плоскость совпадала с плоскостью У°Z. Начало координат -произвольное. Положение концов излучающей линии зададим точками оси У: А(°, У1, °) и В(°, У2, °). Примем У2 > У1. Пусть в принятой системе координат уравнение облучаемой поверхности имеет вид:

Е(х,у,г) = ° . (2)

В общем случае точки поверхности могут освещаться не всей излучающей линией, а лишь её частью, которая для выпуклой поверхности лежит в полупространстве, отделяемом плоскостью, касательной к поверхности в центре элементарной площадки (рис. 2). Координата

конца излучающей линии определяется точкой пересечения плоскости, касательной в данной точке М (х, у, 2) с осью У.

Рис. 1. Расчетная схема для задания вектора излучения в прямоугольной системе координат

Уравнение плоскости, касательной к поверхности (2) в точке М (х, у, 2):

ЪР ^ , ЪР __ , ЪР _ , . — (X - х) + — (У - у) + — (2 - 2) = 0 . Ъх Ъу

(3)

Уравнение оси излучающей линии

(X = 0,

и = 0.

(4)

Здесь х, у, 2 - координаты точки М;

X, У, 2 - текущие координаты точек касательной плоскости.

Решив совместно (3) и (4), получаем координату «видимого» конца излучающей линии:

1

У' = У =

У1 У12 ЪК

"Ъу

ЪР дк дк

-х +--у +--2

Ъх Ъу Ъ2

(5)

Излучающей линией освещается не вся поверхность, а лишь та её часть, которая ограничена контуром, соединяющим точки касания заданной поверхности плоскостями, проведенными из концов излучающей линии (рис. 3).

Рис. 2. К определению положения текущего конца излучающей линии

Уравнение плоскости, проходящей через точки А (0, У1, 0) и В (0, У2, 0), касающейся заданной поверхности, имеет вид:

ЪР ЪГ( ч ЪР . — х + — (у - У12)+ — 2 = 0. Ъх Ъу ' Ъе

Уравнение линии контура освещаемой поверхности определяется совместным решением уравнений (2) и (6).

Исходя из векторных представлений поля излучения [5], локальный угловой коэффициент ф 21 с элементарной площадки 2 произвольной поверхности Р (х, у, 2), внесенной в поле излучения тела 1 на это тело (рис.1) определяется скалярным произведением единичного вектора излучения ф и единичного вектора нормали п° в центре рассматриваемой площадки 2:

ф21 = (Ф-П°) . (7)

У;

Р (х, у, г) =0

Рис. 3. К определению линии контура облучаемой поверхности

Единичный вектор нормали п° к элементарной площадке 2 освещаемой поверхности в

точке М (х, у, 2) определится направляющими косинусами:

где

св8 ап

п° = созахI + соза ] + соза2к, др

_ дт

дР дх

(8)

(9)

+

др V дУ у

+

др д2

(т = х, у, 2).

Единичный вектор излучения ф в точке М (х, у, 2) также может быть записан через составляющие, параллельные ортам I, ], к :

- Е Ех - Е - Е - - - Т

ф = — = -1+- ]+- к = ф хг + ф у] + ф гк'

соб 1 соб 1 соб 1 соб 1

(10)

где Е - вектор излучения тела 1;

Есоб] - плотность собственного излучения тела 1.

Представляя (8) и (10) в (7), получаем следующее выражение для локального углового коэффициента:

Ф 21 = Ф хсоза х + ф усо8а + ф 2соза 2. (11)

Значения ф х, ф , ф 2 можно найти, используя общие принципы построения поля излучения от излучающих линий [5]. Вектор ф в точке М (х, у, 2) условно направим в сторону

излучающей линии. В этом случае, выражения для фх, ф фг можно представить в виде

функции координат и «видимого» поперечного размера 8 излучающей поверхности (цилиндра, пластины).

ф у =

фг =

п го 8 I

2п V

/(7°)—/Ш

■ 2 / ■ 2 т г

у° — sm у0\ С

2

ж г,

/ (/о ) — / (у"о }

о

(12)

где г0 - кратчайшее расстояние от точки М (х, у, 2) до излучающей линии

у0 и у0 - углы, под которыми видны участки излучающей линии из точки М (х, у, 2) элементарной площадки 2 облучаемой поверхности.

, , У — У

У о =

(13)

У О = агс*8~

го

У — У

(14)

1 (у'о ) =1 (2У0+ып2Уо ) = | 1 (У'о )= 1 (2Уо + ) = |

У, — У (У, — У )го аг^—-+ - у 1 'о

г0 г2 + (У, — У )2

у2 — У (У 2 — У Уо

аг^—-+ у 2 ' о

го г20 +(У2 — У )2

(15)

. 2 , .2, (У, — У)'

sm уо — у0 = ——--

2

У—У )2

(16)

го2 +(У, — У)2 г02 + (У2 — У)2 ' С = 1 и по знаку совпадает с большей по модулю разностью (У, — У) и (У2 — У) .

Если за излучающую линию принята цилиндрическая поверхность малого диаметра с1, то в (12) 8 = с1. В случае если излучающей линией заменена прямоугольная пластина шириной I, то в (12):

£ ^

Значения углов у'0 и у"0, а также соответствующих функций от них /(у'0) и /(у'0) определяются по (14) - (16) с учетом знаков при У, У,, У2.

В случае если элементарная площадка 2 освещается не всей излучающей линией, а лишь ее частью, то в уравнения (14) - (16) следует подставлять значения У, и У2, вычисленные по (5).

Вышеприведенные соотношения являются математической основой предлагаемого метода определения локальных угловых коэффициентов в системе двух тел конечных размеров, одно из которых имеет поверхность в виде прямоугольной пластины или цилиндра.

Определение локальных угловых коэффициентов проводится в следующей последовательности.

1. Задаем исходные данные по размерам и взаимному положению излучающих тел.

2. Излучающую линию совмещаем с осью У, а для излучающей линии - пластины за фотометрическую плоскость принимаем плоскость У0Z.

2

г

о

г

о

3. Начало системы координат выбираем так, чтобы уравнение облучаемой поверхности имело наиболее простой вид и обеспечивалось ясное представление о положении элементарных площадок на облучаемой поверхности.

4. Записываем уравнение поверхности.

5. Решая совместно (2) и (6) находим уравнение линии контура освещаемой поверхности (в большинстве случаев это очевидно).

6. Если элементарные площадки заданной поверхности «видят» не всю излучающую линию, а различные ее части, то текущие координаты конца излучающей линии следует находить по формуле (5).

7. Там, где это удобно для задания положения элементарных площадок на облучаемой поверхности можно произвести преобразование координат.

8. По формуле (9), с учетом знаков, вычисляют направляющие косинусы единичной нормали к заданной элементарной площадке рассматриваемой поверхности.

9. Из формулы (11), подставляя в нее (12) и вычисленные значения направляющих косинусов вектора n0, с учетом (13-16) получаем выражения локальных угловых коэффициентов с элементарных площадок 2 заданной поверхности на излучающую линию 1.

Пример. Рассмотрим систему двух тел: плоская поверхность F и параллельная ей излучающая линия - пластина шириной t. (табл. - первый рисунок).

Пусть расстояние от излучающей линии до плоскости равно а и в - угол между плоскостями Y0Z и F. Один из концов излучающей линии 1 поместим в начало координат. Пусть это будет У\ = 0 .

Запишем уравнение плоскости F в принятой системе координат:

xcosfi + zsinfi - a = 0 ; (17)

Плоскость F освещается всей излучающей линией, но только одной из ее сторон. Единичный вектор нормали n0 в точке М (х, у, z) поверхности F направим в сторону излучающей линии, как и вектор излучения, тогда направляющие косинусы, вычисленные по (9) будут равны:

cos a x = -cosв,

cos ay = 0, (18)

cos a z = - sin в.

В соответствии с (12), (11), (17), (18) локальный угловой коэффициент с элементарной площадки 2, центром которой является точкаМ (x, y, z), на излучающую линию 1 определится:

фя = t(«of + ) | z [f (,/ )-Ж)] | = T7t4Y71 z [f (,;)-f W)] I (19)

п (x2 + z2)' n(x2 + z2)'

Значения функций f(y'0) и f(y"0) определяются по (15) с учетом их знаков.

Результаты исследования. В таблице приведены расчетные формулы для локальных угловых коэффициентов излучения, полученные изложенным методом для некоторых случаев взаимного положения излучаемой линии и облучаемой поверхности F(x, y, z) = 0 .

Формулы достаточно просты и пригодны для практических расчетов в широком интервале изменения геометрических размеров тел и их взаимного расположения. Сравнение результатов расчетов локальных угловых коэффициентов по формулам таблицы и некоторым имеющимся точным зависимостям [2, 5, 8] показывает, что уже при отношениях длины излучающей линии к своему поперечному размеру, равных 5, и отношениях расстояний от линии до облучаемой поверхности к поперечному размеру линии, равных 2, величина погрешности не превышает 710 %. Погрешность вычислений значительно уменьшается с увеличением упомянутых отношений.

Средние угловые коэффициенты излучения в рассматриваемых излучающих системах определяются интегрированием локальных угловых коэффициентов излучения по поверхности F(x,y,z) = 0.

Таблица

Расчетные формулы для локальных угловых коэффициентов излучения j2i в некоторых системах двух тел (поверхностей)

Излучающая линия параллельна плоскости

за

ф 2, = кх^/о'—м)

для цилиндра з = (, 2 = а .

ы

для пластины з =

^х2 +

Излучающая линия перпендикулярна плоскости

ф 2, =

2пп

• 2 / • 2 гг\

з/п у0 — з/п у0

для цилиндра з = (, для пластины з = tзinв .

Окончание табл.

Излучающая линия параллельна цилиндру

для цилиндра з = (, Ь = 0,

для пластины

з =

Ясоза\

асозас

ф

з(Ьз/па + асоза — Я)

к[а2 + Ь2 + Я2 — 2Я(Ьз/па + асозасо

у! а2 + Ь2 + Я2 — 2Я(Ьз/па +

/0) — /(у0)\.

Излучающая линия, скрещивающаяся с цилиндром под углом 90°

для цилиндра з = ( , Ь = о ,

для пластины

t \а — Ясоза\

ф 2, =

2п

л]х2 + (а — Ясозас2

з/па | з/п у о — з/п у'02(а — Ясозасоза)\/(у'0) — /(у"0)\

^х2 + (а — Ясозас2 х2 + (а — Ясозас

Излучающая линия внутри цилиндрической полости

з

а

з

з

М (х, у, г)

X

для цилиндра 5 = й, Ь = 0,

для пластины

5 =

t \Rcosa + а

^а^+Ь^+Ё^+^ЕЬ^па+Оожс

Ф

21 ж[а2 + Ь2 + Е2 + 2Е(Ь$та + асо$асо]

8(Ь&1па + асояа + Е) , , . .. „

/(Уо) - /(Уо ) •

Выводы. Предложенный метод определения локальных угловых коэффициентов излучения не только позволяет получить расчетные формулы для их вычисления, но и способствует дальнейшему развитию теории поля излучения.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Адрианов В. Н. Основы радиационного и сложного теплообмена. - М.: «Энергия», 1972.464 с.

2. Блох А. Г. Основы теплообмена излучением. - М-Л.: Госэнергоиздат. 1962.М-365 с.

3. Ключников А. Д., Теплопередача излучением в огнетехнических установках. / А. Д. Ключников, Г. П. Иванцов. - М.: Энергия, 1970. - 400 с.

4. Кутателадзе С. С. Справочник по теплопередаче. / С. С. Кутателадзе, В. М. Боришанский. -М-Л.: Госэнергоиздат, 1959. - 315 с.

5. Сапожников Р. А. Теоретическая фотометрия. - Л.: Энергетика, 1967. - 315 с.

6. Сперроу Э. М. Теплообмен излучением. / Э. М. Сперроу, Р. Д. Сесс. - Энергия, Ленинградское отделение, 1971. - 294 с.

7. Суринов Ю. А. Теоретические основы зонального метода расчета лучистого теплообмена в высокотемпературных промышленных электрических печах. / Ю. А. Суринов // Известия вузов СССР. - Энергетика. 1964. - С. 43-52.

8. Суринов Ю. А. Исследование локальных и средних угловых коэффициентов излучения для пары концентрических цилиндров конечной длины. / Ю. А. Суринов, С. В. Хорольский. // Инженерно-физический журнал. - 1968. -Т. XIV. - № 6. - С. 1081-1088.

9. Фаворский О. Н. Вопросы теплообмена в космосе. / О. Н. Фаворский, Я. С. Каданер. - М.: Высшая школа, 1967. - 239 с.

УДК 536.3

Определение локальных характеристик поля излучения методом «излучающих линий» /В. И. Сокуренко //Вкник ПридншровськоТ державноТ академн будiвництва та архiтектури. - Днiпропетровськ: ПДАБА, 2009. - № 1. - С. 31 - 38. - рис. 3. - табл. 1. -Бiблiогр.: (9 назв.).

Изложен метод и приведены расчетные формулы для определения локальных угловых коэффициентов в некоторых системах двух произвольно расположенных тел, одно из которых является цилиндром или прямоугольником.