О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма II рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 83-92

= Математика =

УДК 511.9

О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма II рода *

Е. Д. Ребров, С. В. Селиванов

Аннотация. Получены новые оценки погрешности приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода методом итерации с использованием параллелепипедальных сеток.

Ключевые слова: интегральное уравнения Фредгольма II рода, метод итерации, параллелепипедальные сетки.

Одним из важных классов интегральных уравнений является уравнение Фредгольма второго рода, то есть уравнение вида

V (?) = А ^ К, (?,и) V (и) йи + / (?) , (1)

ов

где Gs = [0; 1)а.

Характерная особенность уравнения (1) — его линейность: неизвестная функция р входит в него линейно.

Мы будем исследовать уравнение (1) для случая, когда свободный член / (?) и ядро Ка (?, и) этого уравнения принадлежат, соответственно, классам Еа(С\) и Еаа(С2). Определение классов см. в [4], стр. 48-49.

Первые работы по применению теоретико-числовых методов для приближенного решения уравнения (1) принадлежат Н. М. Коробову (см.

[3], [4]).

Цель данной работы — получить новые оценки погрешности приближенного решения уравнение Фредгольма второго рода методом итерации с применением параллелепипедальных сеток.

Сопоставим уравнению (1) оператор А\,/, определяемый равенством:

А\!V (?) = 9 (?) .

Это означает, что:

9 (?) = А\,/V (?) = А Л Ка (?,и) р(и)йи + / (?) . (2)

с3

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571).

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Пусть а > 1, Ks (t,u) Е Eas; f (t) , p (t) E Ef, тогда

axjp it) е Esa

\\A\fP {t) \\ea ^ \\f {t) \\ea + |A| • \\Ks (t,u) \\e.as • \\p (t) \\e? •(1 + 2((2а)У-

Доказательство. Пусть C2 = \\Ks(t,u)\\E^s, C1 = \\f (?)\\E*, C = = \\P it) \ \ ea, тогда *

О

Ks it,u) = V C(m,n)e2ni((rm’t)+(n’u)), \C(m,n)\ ----=C2-----;

4 ' ^ (m1...msn1...ns)a

C2

a

s)

m,n=—oo

oo

f t = £ Ci(m)e^'i(mi>, \ Ci(m) i < ( C'a ;

m

oo

p(t) = £ C(m)e2’i,mfi• \C(m)\ <

m=—o

Подставим данные равенства в соотношение (2): g it) = X jj I ^ C (m,n)e2ni((m'i)+(nu))) C (k)e2ni(ku)\ du+

)e

Gs \m>n=—<° j \k=—o

oo

+ ^2 Ci(m)e

2ni(m,t)

Перемножим абсолютно сходящиеся ряды и почленно проинтегрируем их произведение, получим

ОО ГГ '^О

g(t) = x c(m,n)C(k)e2ni(mt) e2ni(n+ku)du + ^ Ci(m)e2ni(rm’i).

rn,fi,k=—o Gs

Так как

e2ni(n+k,u) du / 1 при n + k 0,

\ 0 при n + k = 0,

Gs

Здесь и далее для вещественных х используем обозначения Коробова х = шах( |х |, 1).

и

*

то для д (і) справедливо равенство

ГО ОО

д (?) = Л 2 С(т,п)С(-п)е2^ + ^2 Сі(т)е2*т

т,п=-го т=—го

оо \ оо

= ^ Сі( т) + Л ^ С (т,п)С (-п)\ е2*т = ^ С2 (т)е2™(т^. т=—го \ п=—го / т=—го

Оценим модуль коэффициента С2(т):

ГО

\С2(т)\ = \Сі(т) + Л ^2 С(т,п)С(-п)\ ^

П=—го

Сі х ГО С2 с

<

+ Л £

(т і... т 3)а^ (т і... т 3пі ...п3)а (-пі... -п3)а

п=—оо

1 ' Сі + ЛС2С ^2 1 Сі + ЛС2С(1 + 2Є(2а))3

(ті... т3)а \ (пі.. .п3)2а (ті... т3)с

' п=—оо '

Таким образом показано, что функция д{?) = А\/V (?) принадлежит классу

ва и

\\д (?) Ив? < У (?) Ив? + А • (1 + 2((2а))а • IIV (?) К“ • \\Ка (?,и) ||е“.

А, следовательно, доказано, что оператор А\,/ при достаточно малом А является сжимающим отображением.

Лемма 2. Пусть |А| ^ ||к (г и)|| ^(!+2С(2а))в и ^ тогда опеРатоР А\,/

является сжатием, то есть

\\Axj Рі - Ах,/^ІІЕ? ^ ПІІРі - ^Це? .

Доказательство. Обозначим через Ах оператор Ах,/ при / = 0. Из определения Ах следует , что это линейный оператор и

Ах,/<Р (?) = АхР (?) + / (?) .

Отсюда следует, что

Ах,/<рі - Ах,/Р2 = Ахрі - Ахр2 = Ах(рі - Р2)

Применяя лемму 1 при / = 0, получим

\\Ах(Рі - Р2)\Еа < \Л\((1 + 2С(2а))3)\\рі (?) - Р2 (?) ||е? • \\К3 (ї,и) ||е2“.

Тогда при

ІЛІ ^ п

\Кз (і, и) Не?(1 + 2((2а))3

справедливо неравенство

\\АХ, / VI - А\/V2\\Ea ^ - V2\\Ea ,

что и требовалось доказать.

Теорема 1. Пусть д < 1 и

|А| < ------------д----------------------------------. (3)

11 \\Ка {к,й) ||в?(1 + 2С(2а))а ^

Тогда уравнение Фредгольма (1) имеет единственное решение и для него справедливо представление в виде ряда Неймана

л л

V (?) = / (?) + Е Ак Ка (?,Щ )Ка(П1,й2)...Ка(йк-1,йк )/(йк )йП1...ййк.

к=! Оак

Доказательство. Так как согласно лемме (2) при А, удовлетворяющем условию (3), оператор А\,/ является сжатием полного пространства Е^, то он имеет единственную неподвижную точку, то есть уравнение

А\/V {?) = V (?)

имеет единственное решение. Но это и означает, что V {к) решение уравнения (1).

Как известно, для любой точки хо полного пространства Е и сжимающего отображения А последовательность {хп}, где хп = Апх0, сходится к неподвижной точке оператора А в норме пространства Е. Применяя это к пространству Е = Е^, оператору А = А\,/, точке х0 = / (?) и норме || • ||Еа, получим, что ( ) ( )

Ап,// (?) ^ 1Р{?) ,

где V — решение уравнения (1). То есть

IV - Ап//Е ^ о, при п ^<х>. (4)

Так как

МхПо < (1 + 2С

для любой функции д(х) £ Е£, то из (4) следует, что

^ — А1\,//||с ^ 0, п ^ ж.

Другими словами, последовательность АП // равномерно сходится к решению уравнения (1).

Докажем по индукции, что

п

( ) Ак

к=! с

АП/// = / (?) + ^ Ак 11 Ка (?,й!) Ка(й!,й2). . . Ка(йк-1, йк)/(йк)йй!. . . ййк.

Действительно, (5) справедливо при п = 1, так как

Ал , // = / (?) + А Л Ка (?,й) /(й)йй.

Далее имеем

АпхУ/ = Ах,/(АI; / ) =

= Ах,/ |/(?) +^2 Л уу К8(і^,и1)К8(и1,и2)... К8(ик-1,ик)/(ик )(Ыл...(1йк I =

V к=1 Gs /

= / (т) + Ах I/ (т) + ^ Лк Ц Ks(t,й1)Ks(й1,й2)... Ks(йk-l,йk )/(йk)dй1 ...¿Пк | =

/ (г) + л ке (г,и) /(^¿и+

+ ^2 Ак+1 Л Ка(?,й1) \Ц К8(й1,й2)... К8 (йк-1,йк+1)/(йк+1)йй2...ййк+1 I йй1.

к=1 Gs \&Бк )

Так как для непрерывных функций порядок интегрирования произвольный, то

Кз(г, иі) I Кз(иі і и2'). . . Кз(ик,ик+і')/(йk+l')dй2. . . ¿ик+і | ¿иі —

\свк

— Кз(г,у иі') К'з(иіу и2). . . К' з(ик у ик+і) / ^'к+іУІ'У'і. . . ¿ик+і.

С(к+1)в

Из равномерной сходимости последовательности Ах,// следует, что

ГО

лк ■ ■ Кзуь,иі;і із

к=і п

^ в к

рт =/ ?) + Е Лк К з (і, иі) Кз(иі, и2). . . К з (ик-і, /и,к )/(ик ^^...¿ик,

и этот ряд равномерно сходится на Сз. Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Пусть выполняется условие теоремы, тогда для решения уравнения (1) справедливо соотношение

Р = / + Е Лк Кз(і, и!) К з (їіі, 1І2')... Кз(ик-і, ик)/(ик )(Ші...сШк +

+ п-----• 0 41IIе? , где \0\ ^ (1 + 2С(2а)У

Доказательство. Имеем

Лк Ц К з (?, иі) К з(иі, и2). ..Кз^к-^к)/(ик )(Мі. ..¿ик = Акх/ (?) . У в к

Отсюда следует, что

<

к=п+і у

£ Лк ¡1 Kз^tуйl)Kз(йlуй2)■.. Kз(йk-l,йk)/^йkУ^иі-у-і^ик

« £ ИАЛП?) в.

к=п+1

Так как Ал линейный оператор и для его нормы ||Ал|| по лемме (1) справедливо неравенство

||Ал|| < 1А№а (?,й) ||в2а« • (1 + 2С(2а))а < д, то ЦАПЦ < ||Ал||п < дп.

Поэтому

<

^2 Лк Кз(т, 'и,і)Кз(иі, и2)... Кз(у,к-1, ‘и,к)/(ик)dйl■■■dйk

к=п+і У

у в к

пп+і!\/ЙНю

< £ пк\\/ (0 Не

к=п+і

Отсюда следует, что

1-п

^2 Л/1 Кз(т, иі)Кз(і1і, и2~)... Кз(і1к—і,ик)/^¿щ. . ^ик

пп+і\\/(?)\\е?

к=п+і г<

у в к

< (1 + 2((2а)) чем следствие полностью доказано.

<

с

1-п

Теперь нам потребуется следующий результат из работы [1] о погрешности интегрирования по параллелепипедальным сеткам.

Пусть р > 1 — натуральное число и для целых гі,... , гк (1 ^ к ^ в - 1) функция Нр(1, гі,..., г к) определена равенством

Ир(1,гі, ...,гк) =

х=і

£р

х"2(1 -2(^І)2...(і-2ігкхІУ2. (в)

р

р

р

Еа

Еа

Теорема 2. Пусть p — простое число. Если при Zi = ai достигается минимум функции Hp(l,zi) на интервале 1 ^ Zi ^ p — 1, и при найденных ai,...,ak-i при Zk = ak достигается минимум функции Hp(1, a\,..., ak-i, Zk) на интервале 1 ^ Zk ^ p — 1 (1 ^ к ^ s — 1), то целые

1, ai, a2,..., as-1 будут оптимальными коэффициентами по модулю p и

Hp(1,ai,...,ak-i) < 1+ (у) 10(lnp + 2)2k 2 (1 ^ к < s).

Доказательство. См. [1, с. 105].

Рассмотрим множество Mn(1, ai,..., as-i) из N точек

Mk = (Ш}-Ьт})’ (к = 0,1.....N - D,

которое, как известно ([4, с. 74], называется параллелепипедальной сеткой и используется для построения многомерных квадратурных формул вида:

i i N— i

= N Zf{Maf}'Aa-Nr}) - RNf (7)

o o k=0

где Rn [f ] — погрешность квадратурной формулы.

Докажем следующий результат, который будет следовать из теоремы 2.

Теорема 3. Пусть p — простое число. Если целые 1, ai, a2,..., as-i вычислены по алгоритму теоремы 2, то для погрешности квадратурной формулы (7) с параллелепипедальной сеткой Mp(1, ai,..., as-i) при а ^ 2 на классе Ef справедлива оценка

R[f]| « (2^L) 102 (lnp++ 2)i‘~li° f Ищ. (8)

Доказательство. Как показал Н. М. Коробов, если f (x) <Е Ef (а > > 1), то для погрешности приближенного интегрирования по формуле (7) справедлива оценка:

D ^N (mi + aim2 + ... + as-ims) /„ч

I Rn[f] К WfШечЕ --------{m¡ ■ ■ --------------. (9)

m =—ж

Воспользуемся известным равенством

ГГ (1 ) Л W Sp(mi + Zim2 + ... + Zkmk+i) f .

Hr(l,Zi,...,Zk) - £ -Mm.) Mm.+ Л--------------’ (10)

где

rn,,..., шк+1 = -ж Ф(m i )...^(mk+ i )

1, при m = 0,

ф(m) = ^ n 2 =0 (11)

1 Пт m2, при m = 0.

Получим

т=—оо

5м(ті + аіШ2 + ... + а3-іш3) (п2 \

^ --------(Ші • ... • Ш3 )2--- (НГ(1’^---^ - 1 <

2 /77 \ 2з

пЛ V 16 А 3 1°(1п Р + 2)2з—2 _ ( 2л/2п\ 3 10(1п р + 2)2(з—і)

6 ) \3 ) р2 V 3 ) р2

Так как при а ^ 2 справедливо неравенство

(12)

5м(ті + аіШ2 + ... + аз-іШз) ^

т =—ж / ос

(ті • ... • Шз)

' 5м(ті + ат2 + ... + аз-іШз)

< \Ші Т аіШ2 і . . . Т аз-іШз) (13)

^ і (Ші • ... • Шз)2 I ’

\т =—оо

то теорема доказана.

Для удобства положим а0 _ 1.

Теорема 4. Пусть ¡(г) е Е^С); К3 (г,и) е Е%3(Ох); |А| <

^ С ( 1+2С,(2а))а’ У < 1’ а ^ 2. Тогда для функции р (¿) — решения уравнения (1) справедливо равенство:

п лГ N—і г

* (?) _ Л?) + Е N Е к ? м*і) П к (Мк—і ’Мкі )ї (м*г)+

г=і к=0 і=2

каз(і— і) 1 Г каз(і— і)+з— і

где Мкі _Ц -р ' )..........( р)) (° < к < Р - 1, 1 < * < 8)>

\в(і)\ < (1 + 2((2а)У, \ві(і)\ < 1.

Доказательство. Применяя к каждому интегралу в следствии из теоремы (1) квадратурную формулу с параллелепипедальными сетками

Шао\ І Шаз(к—і)

рр

и используя теоремы 1 и 3, получим

п дк — і

^ _ (Мті ,Мт2 ,...,Мтк )

Р?) _ f (0 + Е N Е к (?, Мтг ) Л К (Мті— і, Мті)/ (Мтг) +

к= і т=0 і=2

2

+ 9^+1©(t)ll/ (?) Не;

+ *<« ±

1 — q z=[ V з ) po

|©i| < 1 (14)

и теорема доказана.

Заметим, что сумму

n N—i k

K(t, Mmi) K(Mmj—i, Mmj)f (Mmn)

k=1 m=0 j=2

можно расписать по схеме Горнера

n ч k N — 1 к

J2 N Е K <?, Mmi)]J K <Mmj— 1, Mmj )f (Mmn) =

к=1 m=0 j=2

1 N—1

= N^2 (Ж(?,Mm1 )f<Mml) + ^2K<t,Mml)x

m=0

xf <Mm2 )K <Mm1, Mm2) + ■ ■ ■ + ^П K <t, Mmx )K <Mm1, Mm2) ■ ■ ■ K <Mmn—1, Mmn)x 1 N —1

Xf <Mmn)) = N^2 Ж <t,Mm1 )<f <Mm1 ) + \K <Mm1 , Mm2 ) <f <Mm2 ) + ■■■ +

m=0

+XK<Mmn—1, Mmn)f <Mmn)) ■ ■ ■ ) ■

Таким образом, для вычисления одного приближенного значения решения интегрального уравнения потребуется вычислить Nn значений ядра и Nn + 1 значений свободного члена.

Если же для каждого интеграла использовать квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками, не связанные между собой, то объем вычислений увеличится, а именно, потребуется вычислить Nnn++1 значений ядра и Nn + 1 значений свободного члена.

Список литературы

1. Добровольский М.Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник. Тула: Из-во ТГПУ, 2004. Т.5. Вып.1(9). С.95-121.

2. Добровольский Н.М., Коробов Н.М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток // Чебышевский сборник. Современные проблемы теории чисел и ее приложения: тр. IV Международной конференции. Тула: Из-во ТГПУ, 2001. Т.2. С.41-53.

3. Коробов Н.М. О приближенном решении интегральных уравнений // ДАН СССР. 1959. Т.128, №2. С.235-238.

4. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦНМО, 2004.

Ребров Евгений Дмитриевич (pilot87@mail.ru), аспирант, кафедра теории чисел, Московский педагогический государственный университет.

Селиванов Сергей Валерьевич, аспирант, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

An approximate solution of the Fredholm integral equation of

second type

E.D. Rebrov, S.V. Selivanov

Abstract. New estimates of approximate solution to the Fredholm integral equation of second type by the method of iteration using parallelepiped grids.

Keywords: Fredholm integral equation of second type, method of iteration, parallelepiped grids.

Rebrov Evgeny (pilot87@mail.ru), postgraduate student, department of number theory, Moscow State Pedagogical University.

Selivanov Sergey, postgraduate student, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 10.06.2012