CC BY
0
2024 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 11 (69). Вып. 2
МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
АСТРОНОМИЯ
УДК 531.36 МБС 70Е15
О приближении поля притяжения твердого тела полем притяжения четверки материальных точек одинаковой массы
А. А. Буров, Е. А. Никонова, В. И. Никонов
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, Российская Федерация, 119333, Москва, ул. Вавилова, 44/2
Для цитирования: Буров А. А., Никонова Е. А., Никонов В. И. О приближении поля притяжения твердого тела полем притяжения четверки материальных точек одинаковой массы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11(69). Вып. 2. С. 385-394. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.211
Изучается задача о приближении гравитационного потенциала твердого тела потенциалом системы четырех одинаковых точечных масс. Рассматривая потенциал в виде разложения по параметру, характеризующему отношение среднего размера тела к расстоянию до пробной точки пространства, предлагается подход к построению приближенного выражения вплоть до слагаемых третьего порядка малости. Этот подход применяется для построения модели поля притяжения ядра кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко.
Ключевые слова: моменты инерции твердого тела, приближение потенциала притяжения, комета 67Р/Чурюмова — Герасименко.
1. Введение. Э. Дж. Раус ([1], с. 42 по русскому изданию1) предложил оригинальный, опирающийся на аффинные преобразования способ представления образованного интегралами инерции тензора второго порядка2 произвольного твердого тела как такого же тензора второго порядка для четверки материальных точек одинаковой массы. При таком подходе остается некоторая свобода выбора положения точек. В настоящей работе обсуждается вопрос о том, как воспользоваться этой свободой, чтобы не только осуществить указанное представление, но и наилучшим, в
1См. также [2], с. 31 по английскому изданию.
2Иногда именуемого тензором Эйлера — Пуансо. © Санкт-Петербургский государственный университет, 2024
смысле квадратичного уклонения, образом приблизить компоненты образованного интегралами инерции тензора третьего порядка. Интерес к данной задаче обусловлен тем обстоятельством, что компоненты этих тензоров второго и третьего порядков играют решающую роль в представлении потенциала притяжения небесных тел в виде ряда Лапласа (см., например, [3, 4]).
2. Интегралы инерции произвольных порядков. Пусть В — твердое тело, Ох1 Х2Х3 — связанная с этим телом правая декартова система координат. Величины
1и1и2Нз = //[хЧ1 х12 х13 ¿т(х) (1)
называют интегралами инерции, или компонентами тензора Эйлера — Пуансо порядка к = к\ + к2 + к3. Здесь х = (х1 ,х2,х3)Т — координаты радиуса-вектора Ор некоторой точки Р тела; ¿т(х) — элемент массы тела, сосредоточенной в точке Р [3, 4]. Интегралы инерции как коэффициенты присутствуют в разложении потенциала притяжения в ряд Лапласа (см. прил. 1).
Механическая интерпретация интегралов инерции младших порядков хорошо известна. Так /ооо = т, т.е. не что иное, как масса тела В. Далее, вектор тО& = (/1оо,/о1о,/оо1)Т определяет положение центра масс тела — точки Z. Наконец, образованный интегралами инерции тензор второго порядка
1 ( 12оо !цо !ю1
12 = /по /о2о 1о11
1 1 /1о1 1о11 /оо2
(2)
тесно связан с тензором инерции Л тела В относительно точки О с помощью соотношений
л = 1г(12)е-12, 12 = ^г(л)е-л, (3)
где 1г(-) — след матрицы; Е — единичная 3х 3-матрица. Как известно (см., например, [3, 5]), у тензоров Л и 12 общие собственные векторы, определяющие главные оси инерции тела.
3. Задача Рауса и ее обобщение. Задача, поставленная Э. Дж. Раусом, может быть сформулирована следующим образом. Пусть имеется четверка материальных точек одинаковой массы. Спрашивается, как расположить эти точки в пространстве, чтобы тензор инерции образованного ими твердого тела совпадал с главным центральным тензором инерции данного тела В, если предполагается, что суммарная масса точек равна массе тела В.
Решение Э. Дж. Рауса (см. [1], с. 42, см. также [2], с. 31) приведем в следующем изложении. Пусть начало системы отсчета Ох1 х2хз совпадает с центром масс тела В, а ее оси направлены по главным центральным осям инерции тела. Обозначим А, В', С и П' как вершины правильного тетраэдра с центром в точке О. Введем связанную с тетраэдром систему отсчета О^1 £2 £з такую, что в ней координаты векторов ОА', ОВ', ОС' и ОП' для определенности имеют вид
а' = (-1,1,1)т, Ь' = (1, -1,1)т, с' = (1,1,-1)т, а' = (-1,-1,-1)т.
Положение системы отсчета 0£\£2^3 относительно системы отсчета 0x1 Х2Х3 задается ортогональной матрицей
1 1 ai a2 аз
S= в1 в2 вз
\ Yi Y2 Y3
зависящей в общем случае от трех параметров, например, корабельных углов у, в, ф [6]:
а\ =с(озф cos в, а2 =sin в, а3 = —sin ф cos в,
в1 =sin у sin ф — cos у cos ф sin в, =cos у cos в, вз =sin у cos ф + cos у sin в sin ф,
Yi =cos у sin ф+sin у cos ф sin в, 72 = — sin у cos в, y3 = cos у cos ф — sin у sin в sin ф.
Иными словами, координаты векторов ОС, OB', ОС' и OD' в системе отсчета OxiХ2Х3 записываются как
a' = Sa', b' = Sb', c' = Sc', d' = Sd'.
Наконец, выполним преобразование T: растянем тетраэдр вдоль осей системы отсчета Ох\х2х3 в уП^оо/тШ, \//020/mR2 и у//002/mR2 раз соответственно. Здесь R — характерный размер тела B, например радиус шара, объем которого равен объему тела. Это преобразование имеет вид
y/hoo/mR? О О
Т : х = Тх", Т = I 0 ^/ого/тД2 О
О О \J /002/ mR2
В итоге, координаты векторов oA, oB, oC и oD определяются соотношениями
a = TSa' = (a1,a2,a3)T, b = TSb' = (b1,b2,b3)T,
c = TSc' = (ci, C2, c3)T, d = TSd' = (di,d2,d3)T,
где компоненты радиусов-векторов являются функциями от углов: ai = ai(p, в, ф), bi = bi(р, в, ф), Ci = Ci(p, в, ф), di = di(p, в, ф), i = 1, 2, 3.
Если за единицу длины принята величина R, то вычисление тензора Эйлера — Пуансо второго порядка для тетраэдра ABCD, в вершинах которого сосредоточены одинаковые массы т/4, завершает решение задачи Рауса. В системе отсчета Oxix2x3 этот тензор имеет вид
( I200 0 0 I2 = ( 0 I020 0 V 0 0 I002
Для полученной таким образом четверки точек тензор Эйлера — Пуансо второго порядка совпадает с тензором Эйлера — Пуансо второго порядка для тела B при любых значениях углов (р, ф, в). Такой произвол дает возможность разместить оси так, чтобы также приблизить компоненты тензора Эйлера — Пуансо третьего порядка3 наилучшим образом в смысле минимума функции:
3Где суммирование ведется по циклической перестановке (a ^ b ^ c ^ d).
С = С{я>АФ)= Е Е • (4)
ki + k2 + кз =3 \(a^b^c^d) J
Об этом пойдет речь в следующем разделе.
4. Нахождение минимального значения функции (4) для кометы 67P/Чурюмова — Герасименко. Итак, ставится задача определения значений углов (у, ф, в), при которых функция (4) достигает минимального значения.
Эту задачу предлагается решать численно, с помощью так называемого метода роя частиц [7, 8], для кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко.
Замечание. Как известно, ядро кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко имеет сложное распределение масс, его форма далека от шарообразной. При изучении таких малых тел в небесной механике используется модель масконов. В настоящей работе продолжается начатое в [9] построение такой модели: кроме равномоментности системы точечных масс и ядра кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко, появляется дополнительное требование на приближение моментов инерции третьего порядка.
В [9] для вычисления инерциальных характеристик ядра кометы 67P/Чурюмо-ва — Герасименко в предположении о постоянстве ее плотности была использована триангуляционная сетка, состоящая из 2842 вершин и 5678 граней, заданных в некоторой системе отсчета 5X1X2X3 [10].
Согласно выполненным в работе [9] вычислениям, объем ядра кометы, радиус шара такого же объема и положение центра масс ядра кометы в упомянутой системе отсчета имеют вид
VB = I0/p = 18637936033 м3, R « 1645 м,
sO = I1/m = (15, -30, 20)Т м.
В этих же осях компоненты тензора I2, отнесенные к массе ядра кометы, записываются как (в квадратных метрах)
1351556 -2380 -22882 I2/m = | -2380 544188 6306 -22882 6306 411705
Единичные собственные векторы этого тензора, образующие правую тройку в осях SX1X2X3, имеют вид
0.9997 0.00387 0.02449
e1 = | -0.0026 I , e2 = | 0.99867 I , e3 = | -0.05157 -0.0247 0.05149 0.99837
Эти векторы задают главные центральные оси инерции, определяющие базис Ож1 Х2Х3. Отвечающие им собственные значения, отнесенные к массе кометы, имеют вид (в квадратных метрах)
J1/m = 954007, J2/m = 1762279, J3/m = 1895545.
Следуя [11—13], вычислим компоненты тензоров I3/m, выписанных в осях Ox1 Х2Х3. Значения приведены в таблице.
/зоо = 182733857 /021 = -16165563 /012 = 43393481 /озо = 88450027 /102 = -67599384
/111 = -81354341 /ооз = -17819800 /201 = 242694220 /210 = -341622002 /120 = 13856796
В таблице прил. 2, представлены результаты расчета, выполненного с помощью роевого алгоритма, завершившего свою работу за 145 итераций после того, как изменение значения функции (4) стало не превосходить 10_ 15 на протяжении 20 последовательных итераций. Последняя строка таблицы содержит значения углов
^ = -0.09737895, в* = -0.15747746, ф* = -0.17917317, (5)
доставляющие найденное минимальное значение функции (4). Это значение составляет
£(¥>, в, « 0.0094465395711. (6)
Относительно используемой системы отсчета радиус-векторы вершин тетраэдра, приближающего тело, имеют вид (в метрах)
а = (-1107, 549, 795)т, Ь = (1517, -649,464)т,
с = (743, 901, -672)т, а = (-1152, -801, -586)т.
Замечание 1. В [9] предложено альтернативное, опирающееся на свойства рав-ногранного тетраэдра, решение задачи Рауса, описанной в разделе 3. Применительно к ядру кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко это решение определило систему материальных точек равных масс, радиусы-векторы которых в системе отсчета Ох1 Х2Х3 имеют вид (в метрах)
а = (-1163, 737, 641)т, Ь = (1163, -737, 641)т,
с' = (1163, 737, -641)т, а' = (-1163, -737, -641)т.
В принятых нами обозначениях, этому решению соответствует случай = 0, в = 0, ф = 0, т. е. Я — единичная матрица. Значение функции (4) при этих значениях углов
в, Ф)\^=о,в=о,ф=о « 0.02237145772. (7)
Величина (7) существенно превосходит величину (6), т.е. решение, найденное в [9], не доставляет минимума функции (4).
Вместе с тем вычисления показывают, что углы между соответствующими векторами имеют следующие значения:
/(а, а') « 9°23', /(Ь, Ь') « 12°39', /(с, с') « 16°49', /(а, а') « 3°13'.
Таким образом, отклонение соответствующих радиусов-векторов точечных масс от вычисленных в работе [9] не превышает 17°. С геометрической точки зрения расположение построенной четверки масс мало отличается от соответствующей четверки из работы [9].
На рисунке приведены проекции на координатные плоскости системы отсчета Ох1 Х2Х3 ядра кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко и соответствующих систем точечных масс для решения, полученного в [9], и для найденного решения (5).
Ядро кометы 67P/Чурюмова — Герасименко в проекциях на координатные плоскости. Четыре изображения верхнего ряда отвечают решению, полученному в [9]. Четыре изображения в нижнем ряду, представленные в аналогичных проекциях, отвечают найденным углам ф*, 0* и ф*.
Замечание 2. Естественно, что полученные результаты должны быть чувствительными как к выбору триангуляционной сетки (ср. [12]), так и к точности ее задания. В настоящей работе задача о чувствительности результатов к точности триангуляционной сетки не рассматривается.
Замечание 3. Как справедливо подмечено рецензентом, более точная оценка параметров (6) по сравнению с полученной ранее оценкой (7) из работы [9] достигнута за счет более трудоемкого метода роя частиц. Спрашивается, насколько оправдано использование более трудоемкого метода для получения на первый взгляд не очень существенного уточнения. Понятно, что качество приближения потенциала оценивается качеством приближения тех или иных «интересных» траекторий. Из ныне используемых наиболее точным приближением потенциала считается приближение Вернера — Ширса [14, 15]. Сравнительный анализ траекторий, полученных в приближении Вернера — Ширса, траекторий, полученных в рамках приближения из работы [9], и траекторий, полученных в рамках приближения, полученного в настоящей работе, составляет тему отдельного исследования.
Исторические замечания. Примечательно, что задача Э.Дж. Рауса о приближении инерционных свойств тела инерционными свойствами системы точечных масс, скорее всего, не является предметом постоянного внимания специалистов. Если работы середины XX в. [16-18], по всей видимости, носили чисто академический характер, то работы конца XX — начала XXI в. [19-25] скорее всего были инициированы инженерными задачами, а также задачами из небесной механики. Вместе с тем работы, посвященные наилучшему приближению интегралов инерции третьего и более высоких порядков за счет надлежащего выбора положения четырех точек, авторам неизвестны.
5. Выводы. С помощью роевого метода безградиентной минимизации осуществлен поиск тетраэдра с равными точечными массами в вершинах такой, что его главные центральные моменты инерции совпадают с главными центральными моментами инерции ядра кометы 67Р/Чурюмова — Герасименко, а моменты инерции третьего порядка приближены наилучшим образом.
При реализации эффективно использовалось восходящее к Э. Дж. Раусу предположение о равенстве масс, расположенных в вершинах тетраэдра. Распространение подхода на случай, когда массы в вершинах не равны между собой, представляет собой содержательную задачу, требующую дальнейшей работы.
Литература
1. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. Москва, Наука (1983).
2. Routh E. J. The elementary part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: Being Part I. of a treatise on the whole subject. London, Macmillan & Co (1891).
3. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.. Москва, Наука (1968).
4. Кошляков Н. С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. Москва, Высшая школа (1970).
5. Dobrovolskis A. R. Inertia of Any Polyhedron. Icarus 124 (2), 698-704 (1996). https://doi.org /10.1006/icar.1996.0243
6. Лурье А. И. Аналитическая механика. Москва, Госфизмат (1961).
7. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization. Proceedings of ICNN'95 — International Conference on Neural Networks, Perth, WA, Australia 4, 1942-1948 (1995). https://doi.org/10.1109/ICNN.1995.488968
8. Poli R., Kennedy J., Blackwell T. Particle swarm optimization: an overview. Swarm Intelligence 1, 33-57 (2007). https://doi.org/10.1007/s11721-007-0002-0
9. Никонова Е. А. Равногранный тетраэдр и система точечных масс, равномоментная твердому телу. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 10 (1), 155-164 (2023). https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.113
10. Gaskell R., Jorda L., Capanna C., Hviid S., Gutierrez P. SPC SHAP5 CARTESIAN PLATE MODEL FOR COMET 67P/C-G 6K PLATES, RO-C-MULTI-5-67P-SHAPE-V2.0:CG_SPC_SHAP5 _006K_CART, NASA Planetary Data System and ESA Planetary Science Archive (2017).
11. Буров А. А., Никонов В. И. Вычисление потенциала притяжения астероида (433) Эрос с точностью до членов четвертого порядка. Доклады Российской Академии наук. Физика,, технические науки 492 (1), 58-62 (2020). https://doi.org/10.31857/S2686740020030086
12. Буров А. А., Никонов В. И. Чувствительность значений компонент тензоров Эйлера— Пуансо к выбору триангуляционной сетки поверхности тела. Журнал вычислительной математики и математической физики 60 (10), 1764-1776 (2020). https://doi.org/10.31857/S0044466920100063
13. Burov A. A., Nikonov V.I. Inertial characteristics of higher orders and dynamics in a proximity of a small celestial body. Russian Journal of Nonlinear Dynamics 16 (2), 259-273 (2020). https://doi.org/10.20537/nd200203
14. Werner R. A. The gravitational potential of a homogeneous polyhedron or don't cut corners. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 59 (3), 253-278 (1994). https://doi.org/10.1007/BF00692875
15. Werner R. A., Scheeres D. J. Exterior gravitation of a polyhedron derived and compared with harmonic and mascon gravitation representations of asteroid 4769 Castalia. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 65 (3), 313-344 (1996). https://doi.org/10.1007/BF00053511
16. Franklin Ph. Equimomental systems. Studies in Applied Mathematics 8 (1-4), 129-140 (1929).
17. Sommerville D.M.Y. Equimomental tetrads of a rigid body. Math. Notes 26, 10-11 (1930). https://doi.org/10.1017/S1757748900002127
18. Talbot A. Equimomental systems. The Mathematical Gazette 36 (316), 95-110 (1952). https://doi.org/10.2307/3610326
19. Huang N. C. Equimomental system of rigidly connected equal particles. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 16 (6), 1194-1196 (1993). https://doi.org/10.2514/3.21150
20. Gil Chica F. J., Perez Polo M., Perez Molina M. Note on an apparently forgotten theorem about solid rigid dynamics. European Journal of Physics 35 (4), art. 045003 (2014). https://doi.org/10.1088/0143-0807/35/4/045003
21. Chaudhary H., Saha S. K. Balancing of shaking forces and shaking moments for planar mechanisms using the equimomental systems. Mechanism and Machine Theory 43 (3), 310-334 (2008). https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2007.04.003
22. Selig J.M. Geometric Fundamentals of Robotics. 2nd ed. Berlin, Springer (2005).
23. Selig J. M. Equimomental systems and robot dynamics. IMA Mathematics of Robotics, Sept. 9-11, 2015. Oxford, St Anne's College (2015).
24. Laus L. P., Selig J. M. Rigid body dynamics using equimomental systems of point-masses. Acta Mechanica 231, 221-236 (2020). https://doi.org/10.1007/s00707-019-02543-3
25. Nunez N. N. R., Vieira R. S., Martins D. Equimomental systems representations of point-masses of planar rigid-bodies. Acta Mechanica 234, 5565-5580 (2023). https://doi.org/10.1007/s00707-023-03683-3
Статья поступила в редакцию 26 августа 2023 г.;
доработана 1 ноября 2023 г.; рекомендована к печати 9 ноября 2023 г.
Контактная информация:
Буров Александр Анатольевич — д-р физ.-мат. наук, доц., вед. науч. сотр.; jtm@narod.ru Никонова Екатерина Александровна — канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр.; nikonova.ekaterina.a@gmail.com
Никонов Василий Иванович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр.; nikon_v@list.ru
On the approximation of the field of attraction of a rigid body by the field of attraction of four material points of the same mass
A. A. Burov, E. A. Nikonova, V. I. Nikonov
Federal Research Center "Computing Science and Control" of the Russian Academy of Sciences, 44/2, ul. Vavilova, Moscow, 119333, Russian Federation
For citation: Burov A. A., Nikonova E. A., Nikonov V. I. On the approximation of the field of attraction of a rigid body by the field of attraction of four material points of the same mass. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2024, vol. 11 (69), issue 2, pp. 385-394. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.211 (In Russian)
The problem of approximation of the gravitational potential of a rigid body by the potential of a system of four identical point masses is studied. Considering the potential in the form of expansion by a parameter characterizing the ratio of the mean body size to the distance to the test point of space, an approach is proposed to construct an approximate expression up to the terms of the third order of smallness. This approach is used to construct a model of the field of attraction for the comet nucleus (67P)Churyumov — Gerasimenko. Keywords: moments of inertia of a rigid body, approximation of the potential of attraction, comet (67P)Churyumov — Gerasimenko.
References
1. Routh E. J. Dynamics of a system of rigid bodies. Vol. 1. Transl. from English. Moscow, Nauka Publ. (1983). (In Russian)
2. Routh E. J. The elementary part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: Being Part I. of a treatise on the whole subject. London, Macmillan & Co. (1891).
3. Duboshin G. N. Celestial Mechanics. Fundamental Problems and Methods. Moscow, Nauka Publ. (1968). (In Russian)
4. Koshlyakov N.S., Gliner E. B., Smirnov M.M. Partial differential equations of mathematical physics. Moscow, Vysshaia shkola Publ. (1970). (In Russian)
5. Dobrovolskis A. R. Inertia of Any Polyhedron. Icarus 124 (2), 698-704 (1996). https://doi.org /10.1006/icar.1996.0243
6. Lurie A.I. Analytical Mechanics. Moscow, Gosfizmat Publ. (1961). (In Russian)
7. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization. Proceedings of ICNN'95 — International Conference on Neural Networks, Perth, WA, Australia 1995, 4, 1942-1948 (1995). https://doi.org/10.1109/ICNN.1995.488968
8. Poli R., Kennedy J., Blackwell T. Particle swarm optimization: an overview. Swarm Intelligence. 1, 33-57 (2007). https://doi.org/10.1007/s11721-007-0002-0
9. Nikonova E. A. Isosceles Tetrahedron and an Equimomental System of a Rigid Body. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 10 (1), 155—164 (2023). https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.113 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 56 (1), 119-124 (2023). https://doi.org/10.1134/S1063454123010107].
10. Gaskell R., Jorda L., Capanna C., Hviid S., Gutierrez P. SPC SHAP5 CARTESIAN PLATE MODEL FOR COMET 67P/C-G 6K PLATES, RO-C-MULTI-5-67P-SHAPE-V2.0:CG_SPC_SHAP5 _ 006K_ CART, NASA Planetary Data System and ESA Planetary Science Archive (2017).
11. Burov A. A., Nikonov V. I. Computation of Attraction Potential of Asteroid (433) Eros with an Accuracy up to the Terms of the Fourth Order. Reports of the Russian Academy of Sciences. Physics, technical sciences 492 (1), 58-62 (2020). https://doi.org/10.31857/S2686740020030086 (In Russian) [Eng. transl.: Doklady Physics 65 (5), 164-168 (2020). https://doi.org/10.1134/S1028335820050080].
12. Burov A. A., Nikonov V. I. Sensitivity of the Euler-Poinsot Tensor Values to the Choice of the Body Surface Triangulation Mesh. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics 60 (10), 1764-1776 (2020). https://doi.org/10.31857/S0044466920100063 (In Russian) [Eng. transl.: Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics 60 (10), 1708-1720 (2020). https://doi.org/10.1134/S0965542520100061].
13. Burov A. A., Nikonov V.I. Inertial characteristics of higher orders and dynamics in a proximity of a small celestial body. Russian Journal of Nonlinear Dynamics 16 (2), 259-273 (2020). https://doi.org/10.20537/nd200203
14. Werner R. A. The gravitational potential of a homogeneous polyhedron or don't cut corners. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 59 (3), 253-278 (1994). https://doi.org/10.1007/BF00692875
15. Werner R. A., Scheeres D. J. Exterior gravitation of a polyhedron derived and compared with harmonic and mascon gravitation representations of asteroid 4769 Castalia. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 65 (3), 313-344 (1996). https://doi.org/10.1007/BF00053511
16. Franklin Ph. Equimomental systems. Studies in Applied Mathematics 8 (1-4), 129-140 (1929).
17. Sommerville D.M.Y. Equimomental tetrads of a rigid body. Math. Notes 1930. 26, 10-11 (1930). https://doi.org/10.1017/S1757748900002127
18. Talbot A. Equimomental systems. The Mathematical Gazette 36 (316), 95-110 (1952). https://doi.org/10.2307/3610326
19. Huang N. C. Equimomental system of rigidly connected equal particles. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 16 (6), 1194-1196 (1993). https://doi.org/10.2514/3.21150
20. Gil Chica F. J., Perez Polo M., Perez Molina M. Note on an apparently forgotten theorem about solid rigid dynamics. European Journal of Physics 35 (4), art. 045003 (2014). https://doi.org/10.1088/0143-0807/35/4/045003
21. Chaudhary H., Saha S.K. Balancing of shaking forces and shaking moments for planar mechanisms using the equimomental systems. Mechanism and Machine Theory 43 (3), 310-334 (2008). https://doi.org/10.1016/jj.mechmachtheory.2007.04.003
22. Selig J.M. Geometric Fundamentals of Robotics. 2nd ed. Springer, Berlin (2005).
23. Selig J. M. Equimomental systems and robot dynamics. IMA Mathematics of Robotics, Sept. 9-11, 2015. Oxford, St Anne's College (2015).
24. Laus L. P., Selig J. M. Rigid body dynamics using equimomental systems of point-masses. Acta Mechanica 231, 221-236 (2020). https://doi.org/10.1007/s00707-019-02543-3
25. Nunez N. N. R., Vieira R. S., Martins D. Equimomental systems representations of point-masses of planar rigid-bodies. Acta Mechanica 234, 5565-5580 (2023). https://doi.org/10.1007/s00707-023-03683-3
Received: August 26, 2023 Revised: November 1, 2023 Accepted: November 9, 2023
Authors' information:
Alexander A. Burov — jtm@narod.ru
Ekaterina A. Nikonova — nikonova.ekaterina.a@gmail.com
Vasily I. Nikonov — nikon_v@list.ru
Приложение 1.
Потенциал сил гравитационного тяготения и интегралы инерции различных порядков
Если В — твердое тело е центром масс в точке О, а Ох1— связанная с этим телом правая декартова система координат, то в точке Р, положение которой задается радиусом-вектором О^ = г = (г1,г2,гз)т, г = \]г\ + г\ + г\, потенциал иN поля гравитационного притяжения тела В допускает представление в виде (см., например, [3, 4])
( — !)к дк (1N
^ = Е к^'кз' дхк1дхк2дхка Ы ' (8)
к=0 к1 + к2 + кз = к к1-к2-к3 ■ дх1 дх2 дх3 V/
где &1, к2, кз — неотрицательные целые числа; О — гравитационная постоянная; 1к1 к2 кз — описание выше, в разделе 2, интегралы инерции порядка к = к1 + к2 + к3.
Приложение 2.
Итерации метода безградиентной минимизации
Значения углов в, ф в радианах и соответствующие им величины функции С(<р,в,ф)
Номер итерации V в -Ф £(<р,в,-ф)
1 0.01525497 0.20434528 0.16669413 0.04724611880
2 -0.07251879 0.07559017 0.13172898 0.03652842035
3 -0.11473688 -0.01194712 -0.07043501 0.01780898082
4 -0.25925574 -0.1276443 -0.07007915 0.01447984160
5 -0.2855786 -0.26485684 -0.14788059 0.01178003361
6 -0.04126288 -0.24973747 -0.13657628 0.01144894846
7 -0.10929887 -0.14329311 -0.19081401 0.00951869958
11 -0.11479271 -0.14914261 -0.19206269 0.00951864937
15 -0.10602144 -0.14569386 -0.19520838 0.00951428992
34 -0.09348174 -0.15828296 -0.17781406 0.00944843962
60 -0.09719712 -0.15744585 -0.17923352 0.00944654177
90 -0.09734441 -0.15747287 -0.17917998 0.00944653964
114 -0.09737813 -0.15747717 -0.17917308 0.00944653957
125 -0.09737886 -0.15747747 -0.17917316 0.00944653957
145 -0.09737895 -0.15747746 -0.17917317 0.00944653957
