РАВНОГРАННЫЙ ТЕТРАЭДР И СИСТЕМА ТОЧЕЧНЫХ МАСС, РАВНОМОМЕНТНАЯ ТВЕРДОМУ ТЕЛУ

Никонова Екатерина Александровна

УДК 531.36 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 1 МБС 2010, 70Е15

Равногранный тетраэдр и система точечных масс, равномоментная твердому телу

Е. А. Никонова

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук,

Российская Федерация, 119333, Москва, ул. Вавилова, 44/2

Для цитирования: Никонова Е. А. Равногранный тетраэдр и система точечных масс, равномоментная твердому телу // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 1. С. 155-164. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.113

Рассматривается задача о равномоментности произвольного твердого тела и системы материальных точек равных масс. Показывается, что система четырех одинаковых масс, располагающихся в вершинах равногранного тетраэдра, равномоментна твердому телу. Строится система материальных точек равных масс, располагающихся в вершинах равногранного тетраэдра, равномоментная ядру кометы 67Р Чурюмова — Герасименко.

Ключевые слова: моменты инерции твердого тела, равномоментные системы тел, рав-ногранный тетраэдр, ядро кометы 67Р Чурюмова — Герасименко.

1. Введение. Две системы тел называются равномоментными, если их моменты инерции относительно всех прямых равны один другому [1]. Хорошо известно (см., например, [1], а также [2-7]), что тензор инерции любого твердого тела совпадает с тензором инерции некоторой системы из четырех одинаковых точечных масс. Указанная система масс будет равномоментной данному телу, если также выполнено, что масса тела и масса системы совпадают, а также совпадают центры их масс. Число материальных точек в системе не может быть меньше четырех, при условии, что тело не является плоским [1]. Двенадцать координат четырех точек должны удовлетворять девяти соотношениям: три соотношения для совпадения центров масс и шесть соотношений для совпадения компонент матриц инерции. Это обстоятельство предоставляет определенную свободу выбора точек.

Так, в [8] исследуется возможное расположение этих точечных масс. Показывается, что каждая система точечных масс с одним и тем же тензором инерции может быть параметризована элементами ортогональной группы по модулю четыре перестановок этих точек. Доказывается ряд утверждений об особенностях расположения точек в пространстве при наличии того или иного произвола. Так, например, оказывается, что при фиксированной матрице инерции можно указать систему точечных масс с такой же матрицей инерции, в которой одна из точек — произвольная. Кроме того, как оказалось, можно разместить две точечные массы на произвольной прямой или три точки в произвольной плоскости.

Рассмотрение системы точек, равномоментной данному телу, находит свое применение в задачах динамики твердых тел (см., например, [9-11]), поскольку именно значения моментов инерции тела фигурируют в динамических уравнениях Эйлера.

В [1] приводятся несложные математические рассуждения для построения системы, равномоментной данному телу, состоящей из четырех одинаковых точечных масс. Эти рассуждения опираются на преобразование координат вершин правильного тетраэдра. Эллипсоид инерции правильного тетраэдра с равными массами в вершинах, вписанного в сферу радиуса л/3, является единичной сферой. Проекция этой сферы в эллипсоид с полуосями, равными соответствующим радиусам инерции главных моментов инерции твердого тела, переводит правильный тетраэдр в наклонный, а система масс, находящихся в вершинах этого наклонного тетраэдра, будет искомой.

В настоящей работе показывается, что для заданного твердого тела существует равномоментная система одинаковых точечных масс, располагающихся в вершинах равногранного тетраэдра.

2. Равногранный тетраэдр. Согласно [12-14], тетраэдр называется равно-гранным, если все его грани — равные между собой треугольники. Как известно, у равногранного тетраэдра T бимедианы попарно перпендикулярны, являются общими серединными перпендикулярами соответствующих скрещивающихся ребер и их общая точка пересечения совпадает с барицентром тетраэдра. Тетраэдр T удобно ассоциировать с прямоугольным параллелепипедом P, длины сторон которого совпадают с длинам бимедиан тетраэдра T. Если в параллелепипеде P выбрать две противоположные грани, тогда концы их скрещивающихся диагоналей образуют равногранный тетраэдр T. Пусть длины ребер параллелепипеда P равны 2ai, 2a2, 2аз соответственно. Легко видеть, что с одним и тем же прямоугольным параллелепипедом P связаны два центрально симметричных друг другу равногранных тетраэдра Ti и T2, отличающихся выбором пары скрещивающихся диагоналей противоположных сторон параллелепипеда. Если задать жестко связанную с P правую систему координат OxiХ2Х3 с началом в барицентре P — точке O — и осями, направленными вдоль его ребер, то вершины Ai, Bi, Ci и Di тетраэдра Ti в этой системе координат задаются радиус-векторами

r^! = OAi = (ai, -а2, -as)T, гв1 = OBi = (-ai, -a2,a3)T, (1)

rCl = OCi = (-ai,a2, -a3)T, rDl = ODi = (ai,a2,a3)T,

а вершины A2, B2, C2 и D2 тетраэдра T2 в этой системе координат задаются радиус-векторами

ГА2 = OA2 = (ai,a2, -a3)T, Гв2 = °b2 = (-ai, a2, a3)T, (2)

rc2 = OC2 = (-ai, -a2, -a3)T, rD2 = OD2 = (ai, -a2, a3)T.

Центральная симметрия ставит вершины тетраэдров Ti и T2 в соответствие друг другу следующим образом

Ai ^ B2, Bi ^ A2, Ci ^ D2, Di ^ C2.

Понятие о производящей функций компонент тензора Эйлера — Пуансо однородного твердого тела, введенное в [15], может быть распространено и на системы точечных масс. Соответствующие интегралы необходимо заменить на суммы по точкам системы. Для равногранного тетраэдра Ti, координаты вершин которого имеют четное число отрицательных компонент, производящая функция имеет вид

Fi(t) = 4m (cosh (aiti) cosh (a2t2) cosh (a3t3) + sinh (aiti) sinh (a2t2) sinh (a3t3)),

где m — масса, сосредоточенная в каждой вершине тетраэдра, t = (ti,t2,t3)T — вектор параметров. Аналогично для равногранного тетраэдра; 72, координаты вершин которого имеют, соответственно, нечетное число отрицательных компонент, производящая функция имеет вид

F2(t) = 4m (cosh (aiti) cosh (a2t2) cosh (a3t3) — sinh (aiti) sinh (a2t2) sinh (a3t3)).

Замечание 1. Производящая функция F(t) параллелепипеда P, в вершинах которого сосредоточены равные массы m, является суммой функций Fi(t) и F2 (t):

F (t) = Fi (t) + F2 (t) = 8m cosh (aiti)cosh (a2t2)cosh (a3t3).

Оси OxiX2X3 являются главными центральными осями инерции тел Ti и 72, в этих осях главные центральные моменты тел T1 и T2 одинаковые и записываются как

Jk =4mjk, k = 1, 2, 3, j[ = a2 + a|, j2 = a\ + ai j3 = a\ + a2. (3)

Тензор инерции Л тела В и его тензор Эйлера — Пуансо второго порядка 12 связаны соотношениями

где Е — единичная матрица 3 х 3. У этих тензоров общие собственные векторы, а вместе с ними — и главные оси инерции (см., например, [16, 17]).

3. Система материальных точек, равномоментная данному телу. Приведем еще один способ, отличный от способа, данного в [1], построения системы четырех одинаковых точечных масс, равномоментной данному телу. В главных центральных осях инерции тела В зададим прямоугольный параллелепипед V, барицентр которого совпадает с центром масс тела, а ребра, параллельные его осям инерции, имеют полудлины

соответственно, где тв — масса тела В, а 1200, 1020, 1002 — компоненты тензора Эйлера — Пуансо второго порядка, записанного в главных центральных осях инерции тела В. Выберем любые две противоположные грани построенного параллелепипеда. Разместим на концах их скрещивающихся диагоналей точки с массами, равными четверти от массы тела тр = тв/4. Такая система четырех точечных масс будет равномоментной данному телу. Действительно, например, момент инерции системы точек относительно первой оси инерции равен

Принимая во внимание соотношение (4), имеем 1о20 + 1оо2 = Jl.

Замечание 2. Тензоры Эйлера — Пуансо старших порядков находят свое применение в механике космического полета. Они присутствуют в разложении ньютоновского потенциала притяжения по малому параметру (см., например, [17-19], а также [20-22]).

(5)

4mp(a2 + a3) = 4mp(Io2o/ms + I002 / mB) = /020 + I002.

Пример. [Ядро кометы 67Р Чурюмова — Герасименко]. В небесной механике при изучении динамики малых тел со сложным распределением масс, форма которых далека от шарообразной, последние могут быть представлены в виде совокупности нескольких точечных масс — это так называемая модель масконов (см., например, [23, 24], а также [25, 26]). Определим для ядра кометы 67Р Чурюмова — Герасименко модельную совокупность точечных масс, опирающуюся на равномо-ментную систему материальных точек, расположенных в вершинах равногранного тетраэдра. Будем полагать, что поверхность ядра кометы задается в рамках полиэдрального представления и определяется многогранником с треугольными гранями, содержащими 2842 вершин V, 8517 ребер £ и 5678 граней Т [27]. В [28] (см. также [29, 30]) предложен способ вычисления компонент тензоров Эйлера — Пуансо вплоть до четвертого порядка для тел, поверхность которых задается многогранником. Для рассматриваемой модели ядра кометы 67Р Чурюмова — Герасименко имеют место следующие значения для компонент тензора Эйлера — Пуансо второго порядка, записанного в главных центральных осях инерции, отнесенные к массе ядра кометы т:

1200/т = 1351909 м2, 1020/т = 543636 м2, 1002/т = 410371 м2.

Согласно (5), полудлины бимедиан равногранного тетраэдра принимают следующие значения:

о,1 = 1163 м, о,2 = 737 м, аз = 641 м,

и координаты его вершин могут быть вычислены по формуле (1) или (2). Иллюстрация ядра кометы 67Р Чурюмова — Герасименко с наложением системы эквимо-ментной системы точек с координатами (2) приведена на рисунке.

Ядро кометы 67P Чурюмова — Герасименко в проекциях на координатные плоскости. Вид вдоль оси Ох2 при Х2 < 0 (верхний ряд, слева), при Х2 > 0 (верхний ряд, справа), вдоль оси Охх, хх > 0 (нижний ряд, слева), вдоль оси Охз, хз > 0 (нижний ряд, справа).

Замечание 3. В [31-33] в рамках полиэдрального представления малых небесных тел предложен и реализован алгоритм построения приближения поля притя-

жения полем некоторого наперед заданного количества притягивающих центров. Алгоритм основан на так называемом методе ^-средних из теории распознавания образов и представляется итерационной процедурой, разбивающей исходное тело на заданное число непересекающихся частей, которые, в свою очередь, заменяются материальными точками с массами, равными массам получившихся частей.

Замечание 4. Отметим, что не только ядро кометы 67Р Чурюмова — Герасименко относится к контактно-двойным малым небесным объектам. В качестве примеров также следует указать ядра комет Галлея, Туттля, Борелли, Хартли (см., например, [34]), астероид Итокава (см., например, [35]), а также транснепту-новый объект 2014 MU69 Аррокот (см., например, [36, 37]).

4. Выводы. В работе рассмотрена задача о равномоментности произвольного твердого тела и системы одинаковых точечных масс, расположенных в вершинах равногранного тетраэдра. Приведен конструктивный алгоритм построения такой системы точечных масс. В качестве примера рассмотрено ядро кометы 67P Чурюмо-ва — Герасименко и для нее построена равномоментная система точечных масс.

Можно предложить некоторое обобщение понятия системы точечных масс, рав-номоментной данному телу, распространив его на случай совпадения моментов инерции старших порядков. Так, суммарное количество компонент тензоров Эйлера — Пуансо нулевого, первого, второго и третьего порядков равно двадцати [17]. Поэтому можно ставить вопрос о существовании системы из пяти материальных точек, вообще говоря, с различными массами, моменты инерции которой совпадают с моментами инерции данного тела вплоть до третьего порядка. Имеет место система из двадцати нелинейных уравнений для определения двадцати неизвестных — трех координат пяти точек и пяти масс.

Так, например, равногранные тетраэдры T1 и T2 равномоментны друг другу в классическом смысле, при этом они не являются равномоментными в предложенном расширенном смысле. Действительно, для 7i единственная ненулевая компонента тензора Эйлера — Паунсо третьего порядка имеет вид /щ T = 4maia2a3, при этом для 72 единственная ненулевая компонента тензора Эйлера — Паунсо третьего порядка отличается знаком и равна Iiii\j- = —4maia2a3.

Литература

1. Routh E. J. The elementary part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: Being Part I. Of a treatise on the whole subject. London, Macmillan and Co (1882).

2. Loudon W. L. An elementary treatise on rigid dynamics. New York; London, The Macmillan Company (1896).

3. Franklin Ph. Equimomental systems. ¡Studies in Applied Mathematics 8 (1—4), 129—140 (1929).

4. Sommerville D.M.Y. Equimomental tetrads of a rigid body. Math. Notes 26, 10-11 (1930). https://doi.org/10.1017/S1757748900002127

5. Talbot A. Equimomental systems. The Mathematical Gazette 36 (316), 95-110 (1952). https://doi.org/10.2307/3610326

6. Huang N.C. Equimomental system of rigidly connected equal particles. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 16 (6), 1194-1196 (1993). https://doi.org/10.2514/3.21150

7. Gil Chica F. J., Perez Polo M., Perez Molina M. Note on an apparently forgotten theorem about solid rigid dynamics. European Journal of Physics 35 (4), 045003 (2014). https://doi.org/10.1088/0143-0807/35/4/045003

8. Laus L. P., Selig J. M. Rigid body dynamics using equimomental systems of point-masses. Acta Mechanica 231, 221-236 (2020). https://doi.org/10.1007/s00707-019-02543-3

9. Selig J. M. Geometric Fundamentals of Robotics, 2nd ed. Berlin, Springer (2005).

10. Selig J. M. Equimomental systems and robot dynamics. IMA Mathematics of Robotics, Sept. 911, 2015. Oxford, St Anne's College (2015).

11. Laus L. P., Selig J. M. Rigid body dynamics using equimomental systems of point-masses. Acta Mechanica 231, 221-236 (2020). https://doi.org/10.1007/s00707-019-02543-3

12. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. Вып. 31. Сер. Библиотечка «Квант». Москва, Наука (1984).

13. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: в 3 т. Т. 2. Стереометрия, преобразования пространства. Москва, МЦНМО (2006).

14. Никонова Е.А. О стационарных движениях равногранного тетраэдра с неподвижной точкой в центральном поле сил. Прикладная математика и механика 86 (2), 153-168 (2022). https://doi.org/10.31857/S0032823522020096

15. Буров А.А., Никонова Е.А. Производящая функция компонент тензора Эйлера — Пуансо. Доклады Российской академии наук. Физика,, технические науки 498, 53-56 (2021). https://doi.org/10.31857/S2686740021030068

16. Dobrovolskis A. R. Inertia of Any Polyhedron. Icarus 124 (2), 698-704 (1996). https://doi.org/10.1006/icar.1996.0243

17. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.. Москва, Наука (1968).

18. Meirovitch L. Methods of analytical dynamics. New York, McGraw-Hill Book Company (1970).

19. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. Москва, Наука (1977).

20. Meirovitch L. On the effects of higher-order inertia integrals on the attitude stability of Earth-pointing satellites. Journal of the Astronautical Sciences 15 (1), 14-18 (1968).

21. Суликашвили P. С. О влиянии моментов инерции третьего и четвертого порядка на движение твердого тела. Прикладная математика и механика 51 (2), 268-274 (1987).

22. Суликашвили Р. С. Стационарные движения тел, допускающих группу симметрии правильных многогранников в ньютоновском поле сил. Прикладная математика и механика 53 (4), 582-586 (1989).

23. Koch K. R., Morrison F.A. Simple Layer Model of the Geopotential from a Combination of Satellite and Gravity Data. Journal of Geophysical Research 75 (8), 1483-1492 (1970). https://doi.org/10.1029/JB075i008p01483

24. Melosh H. J. Mascons and the Moon's Orientation. Earth and Planetary Science Letters 25 (3), 322-326 (1975). https://doi.org/10.1016/0012-821X(75)90248-4

25. Chanut T. G.G., Aljbaae S., Carruba V. Mascon gravitation model using a shaped polyhedral source. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 450 (4), 3742-3749 (2015). https://doi.org/10.1093/mnras/stv845

26. Wittick P. T., Russell R. P. Mascon models for small body gravity fields. AIAA/AAS Astrody-namics Specialist Conference 162, 2003-2020 (2018).

27. Gaskell R., Jorda L., Capanna C., Hviid S., Gutierrez P. SPC SHAP5 CARTESIAN PLATE MODEL for COMET 67P/C-G 6K PLATES, RO-C-MULTI-5-67P-SHAPE-V2.0:CG_SPC_SHAP5_006K_CART, NASA Planetary Data System and ESA Planetary Science Archive (2017).

28. Буров А. А., Никонов В. И. Вычисление потенциала притяжения астероида (433) Эрос с точностью до членов четвертого порядка. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки 492 (1), 58-62 (2020). https://doi.org/10.31857/S2686740020030086

29. Буров А. А., Никонов В. И. Чувствительность значений компонент тензоров Эйлера— Пуансо к выбору триангуляционной сетки поверхности тела. Журнал вычислительной математики и математической физики 60 (10), 1764-1776 (2020). https://doi.org/10.31857 /S0044466920100063

30. Burov A. A., Nikonov V. I. Inertial characteristics of higher orders and dynamics in a proximity of a small celestial body. Russian Journal of Nonlinear Dynamics 16 (2), 259-273 (2020). https://doi.org/10.20537/nd200203

31. Burov A. A. Guerman A. D., Nikonova E.A., Nikonov V.I. Approximation for attraction field of irregular celestial bodies using four massive points. Acta Astronautica 157, 225-232 (2019). https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2018.11.030

32. Буров А. А., Герман А. Д., Никонов В. И. Использование метода K-средних для агрегирования масс продолговатых небесных тел. Космические исследования 57 (4), 283-289 (2019). https://doi.org/10.1134/S0023420619040022

33. Буров А. А., Герман А. Д., Распопова Е.А., Никонов В. И. О применении K-средних для определения распределения масс гантелеобразных небесных тел. Нелинейная динамика 14 (1), 4552 (2018). https://doi.org/10.20537/nd1801004

34. Lages J., Shevchenko 1.1., Rollin G. Chaotic dynamics around cometary nuclei. Icarus 307, 391-399 (2018). https://doi.org/10.1016/j.icarus.2017.10.035

35. Lages J., Shepelyansky D.L., Shevchenko I.I. Chaotic Zones around Rotating Small Bodies. Astronomical Journal 153 (6), 272 (2017). https://doi.org/10.3847/1538-3881/aa7203

36. Stern S.A., Weaver H.A., Spencer J.R., Olkin C.B., Gladstone G.R., Grundy W.M., Moore J. M., Cruikshank D. P., Elliott H. A., McKinnon W. B., Parker J. W., Verbiscer A. J., Young L. A., Aguilar D.A., Albers J.M., Andert T., Andrews J. P., Bagenal F., Banks M.E., Bauer B.A., Bau-man J. A., Bechtold K.E., Beddingfield C.B., Behrooz N., Beisser K. B., Benecchi S.D., Bernardoni E., Beyer R.A., Bhaskaran S., Bierson C.J., Binzel R.P., Birath E.M., Bird M.K., Boone D.R., Bowman A. F., Bray V.J., Britt D.T., Brown E. L., Buckley M.R., Buie M.W., Buratti B. J., Burke L.M., Bushman S. S., Carcich B. S., Chaikin A. L., Chavez C. L., Cheng A. F., Colwell E. J., Conard S. J., Conner M. P., Conrad C. A., Cook J. C., Cooper S. B., Custodio O. S., Dalle Ore C. M., Deboy C. C., Dharmavaram P., Dhingra R. D., Dunn G. F., Earle A. M., Egan A. F., Eisig J., El-Maarry M. R., Engelbrecht C., Enke1 B.L., Ercol C.J., Fattig E.D., Ferrell C.L., Finley T. J., Firer J., Fischetti J., Folkner W. M., Fosbury M. N., Fountain G. H., Freeze J. M., Gabasova L., Glaze L. S., Green J. L., Griffith G.A., Guo Y., Hahn M., Hals D.W., Hamilton D.P., Hamilton S.A., Hanley J. J., Harch A., Harmon K. A., Hart H. M., Hayes J., Hersman C. B., Hill M. E., Hill T. A., Hofgartner J. D., Holdridge M. E., Horanyi M., Hosadurga A., Howard A.D., Howett C.J. A., Jaskulek S. E., Jennings D.E., Jensen J.R., Jones M. R., Kang H. K., Katz D. J., Kaufmann D. E., Kavelaars J. J., Keane J. T., Keleher G. P., Kinczyk M., Kochte M. C., Kollmann P., Krimigis S. M., Kruizinga G. L., Kusnierkiewicz D. Y., Lahr M. S., Lauer T. R., Lawrence G. B., Lee J. E., Lessac-Chenen E. J., Linscott I. R., Lisse C. M., Lunsford A. W., Mages D. M., Mallder V. A., Martin N. P., May B. H., McComas D. J., McNutt Jr. R. L., Mehoke D.S., Mehoke T.S., Nelson D.S., Nguyen H.D., Nunez J. I., Ocampo A.C., Owen W.M., Oxton G.K., Parker A.H., Patzold M., Pelgrift J.Y., Pelletier F. J., Pineau J. P., Piquette M.R., Porter S. B., Protopapa S., Quirico E., Redfern J. A., Regiec A. L., Reitsema H.J., Reuter D.C., Richardson D. C., Riedel J. E., Ritterbush M. A., Robbins S. J., Rodgers D. J., Rogers G. D., Rose D. M., Rosendall P. E., Runyon K. D., Ryschkewitsch M. G., Saina M. M., Salinas M. J., Schenk P. M., Scher-rer J. R., Schlei W. R., Schmitt B., Schultz D. J., Schurr D. C., Scipioni F., Sepan R. L., Shelton R. G., Showalter M. R., Simon M., Singer K. N., Stahlheber E. W., Stanbridge D. R., Stansberry J. A., Steffl A. J., Strobel D.F., Stothoff M.M., Stryk T., Stuart J.R., Summers M.E., Tapley M.B., Taylor A., Taylor H.W., Tedford R. M., Throop H.B., Turner L. S., Umurhan O.M., Van Eck J., Velez D., Versteeg M. H., Vincent M. A., Webbert R. W., Weidner S. E., Weigle G. E., Wendel J. R., White O. L., Whittenburg K. E., Williams B.G., Williams K.E., Williams S.P., Winters H. L., Zangari A.M., Zur-buchen T. H. Initial results from the New Horizons exploration of 2014 MU69, a small Kuiper Belt object. SScience 364 (6441), Art. no eaaw 9771 (2019). https://doi.org/10.1126/science.aaw9771

37. Rollin G., Shevchenko I. I. Lages J. Dynamical environments of MU69 and similar objects. Icarus 357, Art. no 114178 (2021). https://doi.org/10.1016/j.icarus.2020.114178

Статья поступила в редакцию 31 мая 2022 г.;

доработана 20 августа 2022 г.; рекомендована к печати 8 сентября 2022 г.

Контактная информация:

Никонова Екатерина Александровна — мл. науч. сотр.; nikonova.ekaterina.a@gmail.com

Isosceles tetrahedron and an equimomental system of a rigid body

E. A. Nikonova

Federal Research Center "Computer Science and Control" of the Russian Academy of Sciences, 44/2, ul. Vavilova, Moscow, 119333, Russian Federation

For citation: Nikonova E. А. Isosceles tetrahedron and an equimomental system of a rigid body. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 1, pp. 155-164. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.113 (In Russian)

The problem of equimomental systems of a rigid body is considered. It is shown that the system of four equal masses located at the vertices of an isosceles tetrahedron is equimomental

to a given rigid body. A system of material points of equal masses located at the vertices of

an isosceles tetrahedron, which is equimomental of cometary nuclei of 67P Churyumov —

Gerasimenko, has been constructed.

Keywords : moments of inertia of a rigid body, equimomental systems of rigid bodies, isosceles tetrahedron, comet 67P Churyumov — Gerasimenko.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

References

1. Routh E. J. The elementary part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: Being Part I. Of a treatise on the whole subject. London, Macmillan and Co (1882).

2. Loudon W. L. An elementary treatise on rigid dynamics. New York; London, The Macmillan Company (1896).

3. Franklin Ph. Equimomental systems. Studies in Applied Mathematics 8 (1—4), 129—140 (1929).