ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В СЛУЧАЕ ПОДОБНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531

Науразбаев М.А.

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры транспортная техника,

организация перевозок и строительство Актюбинский региональный университет им. К. Жубанова

(г. Актобе, Казахстан)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В СЛУЧАЕ ПОДОБНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ

Аннотация: в работе рассматривается вращение твердого тела переменного состава вокруг неподвижной точки. Моменты инерции тела пропорциональны функции времени. Дана геометрическая интерпретация рассматриваемого движения.

Ключевые слова: Механика. Динамика. Вращение твердого тела. Моменты инерции. Геометрическая интерпретация.

Согласно теореме Шаля [1, с. 155] всякое движение свободного твердого тела можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранной точки тела, и движения (вращения) около этой точки как неподвижной; в динамике часто выбирают за такую точку центр масс твердого тела. Тогда движение будет слагаться из поступательного движения, определяемого движением центра масс, и движения тела около центра масс как неподвижной точки.

Рассмотрим вращательное движение твердого тела переменного состава вокруг неподвижной точки. Введем правые декартовы системы координат с общим началом О в центре масс тела: ОХУ! - инерциальная система, Охуг - система главных осей инерции.

Положение главных осей определяется однозначно углами Эйлера: <р = (Ь, х), ф = (X, Ь), в = (1, г),

где L - линия узлов координатных плоскостей Оху и OXY.

Пусть К - кинетический момент тела и М - момент внешних сил. Тогда теорема об изменении кинетического момента относительно инерциальной системы отсчета дает уравнение [2, с. 155]:

dt

Проектируя это уравнение на главные оси инерции получим, что движение тела описывается динамическими и кинематическими уравнениями Эйлера:

+ (С - B)qr = Mх;

dt

в dq + (А - С)рт = му; (1) dt

dr

с — + (В - А)рq = Mz, dt

■ п ■ dw d6

р = sm9sm<p + cos^—;

dt dt

q = sm(pcos(p Ё^- sin ф —; (2)

dt dt

r = cos6 + Ёфф, dt dt

где p,q,r - составляющие вектора угловой скорости; А, В, С - главные моменты инерции. Системы (1), (2) представляют собой систему шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций времени р, q, г, ф, у, е.

В данной работе рассматривается случай Эйлера - Пуансо (М = 0), когда системы (1) и (2) независимы. Предполагается, что моменты инерции изменяются пропорционально одной функции f(t)\ A = A0f(t),B=B0f(t),C = C0f(t) .

Система уравнений (1) принимает вид:

Л Híf + (C0 - ^ )fqr = О dt

Во ИкП + (Ао - С0- о; (3)

м

Со Ш + (Во - Ао)р,- - о.

м

Система уравнений (3) имеет два первых интеграла. Один - типа интеграла энергии:

1 [лор2 + Во д2 + Со г2)/2 - к ,

где к - произвольная постоянная. Левая часть этого равенства есть удвоенная кинетическая энергия. Это равенство получается, если сложить уравнения (3), предварительно умножив их на pf, qf, rf соответственно.

Другой интеграл - типа интеграла площадей (А20 р2 + В2 ц2 + СЦг2)/2 = К2, где К- произвольная постоянная. Это равенство получается путем суммирования уравнений (3), умноженных на A2pf, B2qf, С2г[ соответственно.

Используя два последних интеграла можно дать геометрическую интерпретацию движения тела (аналоги теорем Пуансо).

Рассмотрим подвижную систему отсчета с началом в неподвижной точке О и с осями, направленными по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точки О.

Будем, согласно Пуансо, называть полюсом Р точку пересечения мгновенной оси вращения (т.е. мгновенной угловой скорости со) с эллипсоидом инерции. Обозначим через р радиус-вектор полюса Р относительно неподвижной точки. Тогда можно вывести следующие утверждения (аналоги теорем Пуансо):

1) Проекция мгновенной угловой скорости со на направление кинетического момента есть величина постоянная;

2) Длина радиуса- вектора полюса р пропорциональна величине угловой скорости со;

3) Касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе Р

перпендикулярна кинетическому моменту в каждый момент времени и движется, оставаясь параллельной некоторому своему начальному положению.

Отличительной особенностью рассматриваемого случая является то, что эллипсоид инерции тела изменяется с течением времени.

В частном случае, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, интегрирование уравнений движения для случая Эйлера - Пуансо доводится до конца в элементарных функциях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики // М. Наука.1967. ч. 2. С. 183 - 201;

Яблонский А.А., Никифорова В.Н. Курс теоретической механики // М. Высшая школа. 2006. ч. 2. С. 257 - 274.

Naurazbayev M.A.

PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Transport Technology, Organization of Transportation and Construction (Kazakhstan)

ROTATIONAL MOTION OF THE BODY IN THE CASE OF A SIMILAR CHANGE OF THE ELLIPSOID OF INERTIA

Abstract: the rotation of a rigid body of variable composition around a fixed point is considered. The moments of inertia of the body are proportional to the function of time. A geometric interpretation of the considered movement is given.

Keywords: mechanics, dynamics, rotation of a rigid body, the moments of inertia, geometric interpretation.