CC BY
39
2018 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 5 (63). Вып. 3
МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
АСТРОНОМИЯ
УДК 521.19 МБС 70F15
Вращение абсолютно твердого тела в релятивистском приближении*
В. В. Пашкевич
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН,
Российская Федерация, 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65, корп. 1
Для цитирования: Пашкевич В. В. Вращение абсолютно твердого тела в релятивистском приближении // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 3. С. 494-508. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2018.313
В данной работе проводилось изучение релятивистского вращения абсолютно твердого тела. Релятивистское вращение абсолютно твердого тела порождается метрическими свойствами псевдориманова пространства общей теории относительности. Основная цель данного исследования — вывод функции Лагранжа для случая релятивистского вращения абсолютно твердого тела. Для этого рассматривается система точечных масс шг, в которой некоторая совокупность точечных масс йшп образует «абсолютно твердое тело» шп. Таким образом, выполняется условие, заключающееся в том, что расстояние между любыми двумя точечными массами этой совокупности йшп всегда остается неизменным. При этом тело шп может вращаться вокруг собственного центра масс с угловой скоростью |ш| >0. Остальные точечные массы ш^ из совокупности точечных масс Шг являются точечными телами, которые не вращаются. В результате функция Лагранжа для случая релятивистского вращения абсолютно твердого тела получается из функции Лагранжа системы невращающихся точечных масс в постньютоновом приближении.
Ключевые слова: вращение абсолютно твердого тела, функция Лагранжа, псевдори-маново пространство, общая теория относительности, пост-ньютоновое приближение.
Введение. Производится построение функции Лагранжа для случая, когда некоторая совокупность точечных масс тПа = ¿тп (см. рисунок) из всей системы точечных масс тг образует «абсолютно твердое тело» тп так, что для любых
* Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках сотрудничества между ЦКИ ПАН и ГАО РАН и персональных грантов Александра Бжезиньского и Иоланты Настулы. (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018
Рис. «Абсолютно твердое тело» mn, образованное некоторой совокупностью точечных масс dmn.
точечных масс mnp и mnq из совокупности тПа выполняется условие Anpnq = const [1]. При этом тело mn может вращаться вокруг собственного центра масс с угловой скоростью |ш| > 0, остальные точечные тела mj из совокупности mi не вращаются; mj является массой j-го тела.
Как известно, в общей теории относительности не существует понятия «абсолютно твердое тело» [2] ввиду конечности скорости распространения гравитационного взаимодействия. Однако погрешность, следующая из нашего предположения, пренебрежимо мало исказит моделируемое динамическое явление [3].
Вводится вспомогательная система координат OnI^I3 (см. рис.) с началом в центре масс «абсолютно твердого тела» mn и осями, соответственно параллельными осям барицентрической системы координат BI1I213. Вводится система координат Oni1i2i3 с началом в центре масс «абсолютно твердого тела» mn. Орты i1? i2, i3 направлены по главным осям инерции тела mn. Координатная система Oni^i3 вращается относительно барицентрической системы координат с угловой скоростью ш. Вектор Rj является барицентрическим вектором точечного тела mj; A*nj — вектор элемента массы dmn абсолютно твердого тела mn относительно точечного тела mj; Дnj — вектор центра масс абсолютно твердого тела mn относительно точечного тела mj.
Радиус-вектор р элемента массы dmn тела mn в координатной системе Oni^i3 может быть представлен в виде р = £ii + n'i2 + Zi3. При этом все три координаты п, Z являются постоянными величинами. Радиус-вектор элемента dmn в координатной системе BI1I2I3 — Rn = XnI1 + Y*I2 + ZnI3, в проекциях на оси вращающейся системы координат Oni1i2i3 обозначается Rn = хПi1 + yni2 + zni3. Радиус-вектор центра масс тела mn в координатной системе BI1I2I3 обозначается Rn = XnI1 + YnI2 + Zn I3, в проекциях на оси вращающейся системы координат Oni1i2i3 — Rn = xni1 + yni2 + zni3. Эти три радиус-вектора связаны соотношением Rn = Rn + р. Почленное дифференцирование по времени дает Rn = Rn + р. Производные взяты здесь в барицентрической системе BI1I2I3; однако производную р будет удобнее понимать как производную в системе On I1I2I3, что допустимо
ввиду орбитального движения Оп 1^21з относительно 51x121з. В таком случае производная р, как скорость тела с неподвижной точкой, может быть выражена по формуле Эйлера р = ш х р и, следовательно, предыдущее равенство перепишется как И.П = Ип + ш х р. Здесь и далее символ х обозначает векторное произведение. Вектор угловой скорости в координатной системе Оп1х121з может быть представлен в виде ш = + ^2^2 + ^3^3, где Ш1,Ш2,шз —проекции вектора угловой скорости на главные оси инерции абсолютно твердого тела тп. Вектор кинетического момента вращательного движения абсолютно твердого тела тп представляется в виде Нп = ЛпШ1\1 + БпШ212 + Сп^з1з, где Ап,Вп,Сп —главные моменты инерции 2-го порядка абсолютно твердого тела тп:
Ап = У (у2 + С2)^тп; Вп = У (С2 +
Сп = У (С2 + 'П2)Лтп; dmn = р(С, п, ()d£dnd(;
тп
р(С,П,0 —функция распределения масс абсолютно твердого тела тп. В частном случае, если тело тп является однородным трехосным эллипсоидом с полуосями а, Ь, с, то его моменты инерции определяются следующими выражениями [4]:
Ап = 0.2тп(Ь2 + с2), Вп = 0.2тп(с2 + а2), Сп =0.2т„(а2 + Ь2).
Легко видеть, что если а,Ь, с ^ 0, то и Ап, Вп, Сп ^ 0.
1. Математическая модель задачи. Функция Лагранжа для случая релятивистского вращения абсолютно твердого тела может быть получена из функции Лагранжа системы невращающихся точечных масс в пост-ньютоновом приближении [5]:
с к=г
2-
2 —^ —^ Дгк
' к=г
с2 1 2
Д
К2 + {^тМ-
Отгтк
г к=г
Иг Ик Иг Ик
7Т) П I ТЭ __ ТЭ ь ^
(±1/ • К^ + Г1г • ---•
Д
гк
Дг
2
в=г
От3
. (1)
Здесь Ду = у/(Х{ - х^)2 + (у4 - + " = " н-д-и где 3 = к или з; Иг, Иг, Ик, Ик —барицентрические векторы положения и скорости г-й и к-й точечных масс соответственно; тг, тк, т8 —массы г-го, к-го и в-го точечных тел соответственно; с — скорость света в вакууме; О обозначает квадрат гауссовой гравитационной постоянной.
Функция Лагранжа, учитывающая взаимодействие абсолютно твердого тела тп с другими телами, может быть представлена следующим образом. Из суммы по индексу г выделяются члены с индексом п, соответствующие телу тп. При этом индекс 2 во второй сумме, если она есть, принимает все значения кроме значений, соответствующих индексу п. Оставляя в следующих разложениях сумм только члены,
соответствующие абсолютно твердому телу тп для одинарных сумм, и возмущающие члены между массами абсолютно твердого тела тп и других точечных тел для двойных сумм, можно представить эти суммы в следующем виде:
][> = Е ^ + ^
3 '
в теле тп вне тела шп
£5> = Е ^пз + Е ^ + Е ^3
г 1=г
3 к=3
возмущающие члены вне тела тп
возмущающие члены
(2)
1г,1и —некоторые фунции точечных тел, стоящие под суммами выражения (1).
После объединения подобных членов получаем функцию Лагранжа для случая релятивистского вращения абсолютно твердого тела тп:
Ьп
1
-Е^и;2 + ЕЕ
Од,тпт3
А*
Ч
+1 \ + | ЕЕ%^2 +
1 V—«.V—Ойтптз
т* П I "О * п • ±13 + И„
Д*
8-
п
К, ~ Г* 7
д*.
д*.
3 пз
1 ^^ I О&тп
~ о 171А
Д
п3
(3)
После естественной замены знаков суммирования по индексу п на знаки интегрирования по области тп эти члены принимают вид
Ьп = \.1 2(1тп + I
+ ~2 [ГС^т« + ЕС?т5
з [г]тп 3-2 Г <1тп
2 п А* ■ 2 ' / Д* ■
п3 п3
— — / Ш • И;
¿т„
А*
-5/К-
И* — ±3 •
д*
3 ^ •
Ип - Из dmn
А*
А*
2
2
Здесь и далее Д^- = |Ип — И- + р|. Очень часто в небесной механике р ^ Дп-. Таким образом, подынтегральные выражения разлагаются в ряд Тейлора по степеням параметра 1р1/Дп-, который является малой величиной, например, ввиду того,
2
2
что размеры больших тел Солнечной системы малы по сравнению с расстояниями между ними. В силу определения координатной системы Оп 1213 все интегралы вида
/ ^¿Шп, цЛшп, (¿Шп, ^¿тп, пСЛт-п, (^¿Шп
тождественно равны нулю (*) [4].
Аналитические вычисления вспомогательных формул, выражений и интегралов, необходимых для определения функции Лагранжа (4), приводятся в приложении.
2. Вычисление функции Лагранжа. 2.1. Вычисление ньютоновой части функции Лагранжа. Первые два слагаемых выражения (4) относятся к ньютоновой части функции Лагранжа:
= \ / +
Используя разложение (28) (см. приложение), будем вычислять определенный интеграл, зависящий от И^,:
\ J Щ?д,тп = 2птп + ^ У (си х р)2(1тп. (5)
Подставляя в (5) вычисленный интеграл (35) из приложения, получаем 1 ¡' ■ 1 • 1
- / И*2д,тп = -П2птп + -Н„ • ш. (б)
тп
Легко видеть, что данное выражение представляет собой кинетическую энергию абсолютно твердого тела тп, которая является суммой кинетических энергий поступательного и вращательного движений тела тп соответственно.
Используя разложение (33) (см. приложение) вычислим другой определенный интеграл, не зависящий от ИЩ,:
Е Г ¿т Стз ' -
. Д* •
тп
= \ Х- - ¿7 / РЧтп + / \Р ■ (К» - Щ)]2Лтп \ . (7)
Подставляя в (7) вычисленные интегралы (36) и (37) из приложения, получаем
3 ■> Дпз 3 \ Дп3 2Дпз
х |Ап + Вп + Сп- Ап(хп - ж,-)2 + Вп(уп - + Сп{гп - | . (8)
п
Полученное выражение (8) является возмущающей функцией гравитационного взаимодействия абсолютно твердого тела тп с другими телами.
2.2. Вычисление пост-ньютоновой части функции Лагранжа. 2.2.1. Вычисление определенных интегралов, зависящих от И^,. Геодезическое вращение совокупности точечных масс, образующих тело тп, порождается постньютоновыми членами функции Лагранжа (4), содержащими угловую скорость ш вращения тела тп вокруг собственного центра масс, то есть зависящими от вектора барицентрической скорости И_п элемента dmn:
Ьп = ... +
J Г1*4йт„ + — I Б
• ,2 ¿тп
д
+...—
п3
7 [ъ* Т) г]'Шп - 2 / -
"2. У*
И* — Из
д*
-Из
Ип — И- dmn д*~ д*.
п3 п3
. (9)
Используя разложение (29) и применяя интегралы (38) и (35) из приложения, вычисляем определенный интеграл
1
2
с
^ I К*п4с1тп = + ^ I (рАпШ^) ¿тп + I (ш х р)2с1тп =
тп тп тп
1 1 в + с _А
= -Я-^гПп + -И2п(Апш\ + Впш1 + Спш\) + (упшз - гпш2)2 —-^--+
■ N2 Сп + Ап — Вп . ч 2 Ап + Вп — Сп , ,
+ [ХПШ1 - 1ПШ3] ----Ь {ХпШ2 ~ Уп^1) -^-• (Ю)
Применяя разложение (31) и интегралы (35), (39), (36) и (37) из приложения, вычисляем определенный интеграл
3 /*тЧ =+=2dmn 3 * 2 ттп ЗИп / л т-> ^ « ( . , >2
2 / "-п дГ~ = 2 ™ Д- ^ 4ДЗ лАп + Вп + Сп- д2~[Лп(жп - х^) +
п3 п3 п3 п3
+ Вп(уп - Уз)2 + Сп(гп - - 2^3- {(НпСЫп - Ид)Нп)+
+ А п (Хп Х- )(Ш2Хп — ШзУп) + Вп(Уп — Уз Хп — ^¿п) + + Сп(^п — г- )(^1 Уп — Ш2Хп) + АпХп[^2(^п — г-) — шз(уп — у-)]+
+ ВпУп[^з(Хп — Х3 ) — Ш1(Хп — г- )] + Сп2*п[^1(Уп — Уз ) — ^2(Хп — Х3 )]} +
3
+ ——(Ап^ +Впш\ +Сп<4). (И)
2Дп-
Используя разложение (32) и интегралы (40), (36) и (37) из приложения, вычисляем определенный интеграл
7 /п* И г]'Шп - 7Р* И Шп 7К" ' В< Д IV I Г
— [Ап(хп - ж,-)2 + Вп(уп - у¿)2 + Сп(хп - х^)2] > +
Д2
4Д3 -
п]
+ А п(Хп Х3 )(и2Хп - ШзУп) + Вп(Уп - У3 )(и3 Хп - и1Хп)+ + Сп(гп - х^)(^1 Уп - Ш2Хп) + АпХп[^2(^п - х^) - шз(уп - у3)]+
+ БпУп[^з(Хп - ) - Ш1(Хп - Х3 )] + Сп ¿п["1(Уп - У3 ) - ^2(Хп - Ху )] } . (12)
Применяя разложение (34) и интегралы (36), (37), (41)-(44) и (46) из приложения, вычисляем определенный интеграл
1 г и* _И . ^ И* _И . ¿т
п3 п^ п^
х I + +ТГг1Ап(хп - Xз)2 + Вп{уп - Уз)2 + Сп(хп - х^)2} ) -
2Д3 ■ 1 4Д7
п3 п3
ЗКП • (Кп — 11д-)
2Д5 [-п-п^з У^П — ^3 ) ипУз\Уп — Уз ) ^п^з~ *3 )
-[Апху(хп - Ху) + Впуз(уп -Уз)+ Спх^(хп - х^)}-
п3
3^ • (и.«, — И^-).
2 д 5 ^-п^п -^з! I ^пУп\Уп Уз! I ^п^п \ ^3!
' |п ''п (■'' п ,) I Впуп(уп Уз) I ^ ' п п !' -- п --у ,)
п3
И п • И3 , . ^ „ , 1
п Сп) + „дз (Апхпху п УпУ3 + Сп Хп ) +
4Дп3 2Дп3
3 3 ' (Ип 3) р, л \ / \ / \
+- 2д5^-~[(Вп ~ АМхп - х^{уп - %)+
+ (Ап - Сп)ш2(Хп - )(Хп - Х3 ) + (Сп - Вп)Ш1(уп - У3 )(Хп - )] + 1
4Д3
п3
+ ТдТГ" \ (НпС^п - К^)1^')-
- Ап(Хп - Х3 )(ш2Хп - Ш3Уп) - Вп(Уп - У3 )(^3 Хп - и1Хп)-- Сп(Хп - Х3 )(и1 Уп - Ш2Хп) - АпХ п [&2 (Х п - Х3 ) - Ш3(уп - У3 )]-
- ВпУп[и3(Хп - Х3 ) - ич( Хп - Х3 )] - Сп Хп[ш1(Уп - У3 ) - Ш2(Хп - Х3 . (13)
2.2.2. Вычисление определенных интегралов, не зависящих от Ип. Вычислим оставшиеся пост-ньютоновые члены функции Лагранжа (4), не содержащие угловую скорость ш вращения тела тп вокруг собственного центра масс, то есть не зависящие
от вектора барицентрической скорости Ип элемента с!тп:
Ьп = ■ ■ ■ + \ ■ ■ ■ +
2 У Д^
п3
1 С I тт-^, От- \ 1 I С О!тп
Используя выражение (33) и применяя интегралы (36) и (37) из приложения, вычисляем определенный интеграл
3тЧ2 [ !тп т.
3112
_ , —3
2"3'/ Д* • 2 3ДМ- 4Д3.
п3 п3 п3
х + Вп + Сп - ~^[Ап(хп - ж,-)2 + Вп(уп - Уз)2 + Сп(гп - г^2} [> . (15)
пз
Применяя разложение (30) и интегралы (45), (36) и (37) из приложения, вычисляем определенный интеграл
е 5?11
3
1 1 Д7" Д7
п- пк
д*
Отк . / —— I атпг,
к пк
-!тп
1 От3 Отк
Л Л +
1
+ 2
3к
(Ип — И-) • (Ип — Ик) 1 1
2 , Дпз Дпк
3 к ■>
Д2. Д2,
п- пк
+ ^
11
+
2 V Дпк
(Ап + Вп + Сп) —
1
д2 д2 [Ап(х„ - Хз)(хп - хк) + Вп(уп - Уз){Уп - Ук) +
пз пк
3
+ сп(гп - - хк)] - тгг-^[Ап(хп - х¿)2 + Вп(уп - у^2 +
2Дп-
3
+ сп{хп - } - 2д4 [Ап(хп - хк) +Вп{уп-ук) + сп{хп - хк) } \ . (16)
Используя (8), вычисляем определенный интеграл
2
1 (Г О!тп
1 ./ ~К3
1
^ О2 т3
2 ^
з
Ап,- + 2ДЗ .
Ап + Вп + Сп —
-^¿г[Ап{хп-Хз)2+ Вп{уп-уз)2+ Сп{гп-г^)2] [> } . (17)
пз
2
2
2
Опуская малые члены < о(Дп6) из (17), в результате получаем
1 I ( О!тгЛ Отп От з I 1 . „
=--д^\шп + ж\Ап + Вп + Сп-
-Ж1Ап(хп -Хэ)2 +Вп{уп -Уз)2 +Сп(гп - ^)2]|| . (18)
3. Результаты. Пост-ньютоновая часть функции Лагранжа абсолютно твердого тела тп может быть представлена в следующем виде:
ДЬп = ДЬпо К0) + ДЬщ К) + ДЬп2 (и2), (19)
где Кк,к = 1, 2, 3, являются компонентами угловой скорости вращения абсолютно твердого тела тп.
После приведения подобных членов дополнительная часть ДЬп0 (к0), не зависящая от компонент угловой скорости ко, имеет вид
лг . 0. 1 • 4 ^Отз I (3^п 3^2 71Ип • Из\ [ 1
8с2 " " ^ с2 \V2An, 1 2Д„, 2Д„, ) ' 2Д2/
3
х + Вп + Сп- Д2- [Ап(хп - ж,-)2 + Вп{уп - у3)2 + Сп(гп - г^2} | J -Ип • (Ип — Из)1Из • (Ип — Из)
-¿¿I _
2Д3
пз К
15 1
[Ап(хп - ж,-)2 + Вп(уп - Уз)2 + Сп(гп - г^)2] }> -
311 п • (Ип — И-)
пз )
И)
[Ап(Хп — Хз )Х- + Вп(Уп — Уз )Уз + Сп(гп — г- )г- ] —
2Д5 ^ п \ 3) 3 1 -^пуУп УЗ/УЗ 1 ^
2Дп-
Ип • Из , . _ _ ч 1
(А п в„ + Сп) 0 дз [^п^п^'з Bnynyj )
1
+ 2
_
ддз ^-"-п I I ^п; I „ДЗ
4Д п3 2Д пз
1 ^^ ч От- Ото I
д д„, 1т™+
3=п 0=п
(Ип — Из) • (!*.„ — Щ) 1 | 1
Д2 .Д2, 2 \ Д2 ■ Д2,
п- пк \ п- пк
(Ап + Вп + Сп) —
1
Д2 Д2 [Ап(хп - ху)(хп - хк) + вп(уп - уз)(уп ~ Ук)+
п- пк
3
+ Сп(гп - г^)(гп - гк)\ - ^-^[А„(хп - х3)2 + Вп(уп - Уз)2 +
2Дп3
+ Сп(гп - гу-)2] - 4
2Дпк
[Ап(Хп - Хк ) + Вп(Уп - Ук )2 + Сп (Хп - Хк )2] | -
Сшп 3 1 , . „
т» + ^г{Ап + Вп + сп-
3=п п3 \ п3
д2 [Ап(хп - ж,-)2 + Вп(уп - у¿)2 + Сп(гп - г^)2] [> ). (20)
п3
Если тело тп является сферически симметричным, т.е. Ап = Вп = Сп = 1п, то выражение (20) принимает вид
^ 1 • 4 ^ Ст3 I 311 п 7Ип • — 3--п • — Т АЬпМ = птп + ад-"»» " ^д—" -¡Д^7«"
3=п \ 3 3 п3
К-п • (К-п — • (К-п — К-^') 15К„ • (Ип — КзЩ ■ (Ип — 1*.^)
— 3 — . (21)
2Д3- п ' 4Д5
п п3
Дополнительная часть ДЬп1 (и^), линейно зависящая от компонент угловой скорости Шк после приведения подобных членов, имеет вид
АЬпМ) = -Е Щ^Ж { (н«(к™ - (Iй- -) ) +
3=п п3 ^ 4 ^
3
+ о(Сп - [{уп - Уз){хп - ¿з) + (гп - г^)(уп - %)] +
+ 2 ~ Сп)ш2 [(-г„ - г^)(хп - + (хп - xJ•)(¿n - ¿¿)] + 3
+ 2 ~ 1(х„ - х^)(уп - Уз) + (уп - Уз){хп - -
3 -И^" 3 ' ( Ип И 3 )г/ \/ \/ _ а \
--2д2-— [\хп - Хз)(уп - Уз)из(Вп - Ап)+
2Дп3
+ (Хп - Х3 )(Хп - Х3 )ш2(Ап - Сп ) + (Уп - У3 )(Хп - Х3 )ш1(Сп - Вп)] |. (22)
Эта дополнительная часть функции Лагранжа для случая геодезического вращения абсолютно твердого тела была получена в наших предыдущих исследованиях [6]. Для случая сферически симметричного тела тп выражение (22) принимает вид
АЬпМ) = -Е ^¿Г (Нп(Ъп ~ и,) - . (23)
3
Дополнительная часть ДЬп2 (ик), квадратично зависящая от компонент угловой ско-
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 3 503
рости , после приведения подобных членов имеет вид
Ошз
2 3=П Дпз
+
ЕОшп
-¿г
з=п
/ . ■ \ 2 Ап + Вп — Сп , . . ,2 Сп + Ап — Вп {ХПШ2-УПШ1) ----V [ХПШЗ - ХпШ1) ---
+
. / ■ ■ \ 2 Вп + Сп — Ап
+ (Уп^з ~ ---
• (24)
Для случая сферически симметричного тела шп выражение (24) принимает вид
= —
2
3=п
зФп
(25)
Заключение. В результате данного исследования впервые в явном виде выведена функция Лагранжа вращения абсолютно твердого тела шп в пост-ньютоновом приближении:
-КеыЮ-а + (26)
Т — ТГ
ьп — ьп
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для вычисления определенных интегралов в (4) удобно иметь следующие вспомогательные формулы и выражения, при этом используется тождественные преобразования смешанного произведения векторов:
2 2 2 2
тЧ*2
■ + 2(И.пшр) + (ш х р)2 — ■ + 2(рИп^) + (ш х р)
■■ — ■■ + (■ шр) — ■■ + (рК-о ш);
д*
д^. + 2р ■ (Кп - И,) + Р2 = Ап]М+ 2Р'(К- ^ + ;
дпз дпз
1 1
д7" пз Дпз
1 1 и
д^ ~ Ж V
пз пз {
1 1
д*3" пз ~ д3" пз
р • (■ — ■)
р2 , З[р • (■ — Из)]2
1 - 2
Д3.
пз
р • (К-п — К-з)
д2.
пз
2Д3
п р
+
пз 2
2Д5 ■
пз
+ •.
[р ■ (К-п - К-з)]2
д2.
пз
Д4-
пз
+ ••
З
р- (й-п - Из) зр2 15[р-(Я,п-Я,^}2
Д5-
пз
2Д5 .
пз
+
2Д7 .
пз
+
(27)
В разложениях подынтегральных выражений сохранены только главные члены разложения и члены, зависящие от угловой скорости ш или содержащие р не выше (и не ниже в силу (*)) второй степени:
■п2 — Кп + (ш х р)2; (28)
■4 — ■ + 4 (рКп^2 + 2Кп(ш х р)2; (29)
1 = 1 I р (Ип -Щ)р- (Ип -Щ) _ _ Р1
К3Ки Лп,Апк \ + А2П]А2пк 2Д2. 2Д2,+
, З[р-(КП-К3-)]2 , 3[р • (Кп — Ид;)]21 _ + 2Д4 ■ + 2А\ [' 0 '
п3 пк )
Щ? И.2 (шхр)2 о(рКпси)р.(Кп-К3-) -2 р2
Кз АпЛ А„, дз, "*2Дз/
ЗИ-2 [р • (Ига — В-з)]2 .
"Г о л 5 >
2Д5 .
п3
вд- _ г{;, г} у (р^ш)р ■ (пп — и.^) пп ■ щР\
Д* . ~ ~А~ ДЗ" 2Д3 ■
п3 п3 п3 п3
| ЗК„ • Щ [р ■ (Ип - И..,-)]2 _ . . + 2Д5, ' [ '
р2 3[р • (И» - Ид-)]2 _
+ " ол5 ЗЛ ; (33)
Д^ Дп3 2Д3. 2Д5.
п3 п3 п3 п3
В-п ' т ~ ' (В-п ~ В-з) _ Г*„ ' (В» ~ ]Г{.7 • (Ип - К3-)
д*3 д3.
п3 п3
Г 3р2 15[р • (Кп - И.,-)]2 1
х\ ^ ^ г
+ вф. {р. К„ + (Р(К„ - к,»} - •(%-«*> х
Дп3 Дп3
х { —п • (Ип - )р • И—3 + Р • ИпИ3 • (Ип - —3 ) + (р(Ип - )ш)И3 • (Ип - )
(34)
Вычисление некоторых вспомогательных интегралов.
J (ш х р)2атп = J [(и2( - Ш3'п)2 + (и3^ - Ш1()2 + (ищ - Ш202Цтп
АпШ2 + ВпШ2 + Спи32 = Нп • ш; (35) 1
I Р2г1тп = 1'(е+Л2+ С2Мт„ = Ап + Вп + Сп); (36)
тп тп
! [р • (Ип - Щ^¿Шп = J [(Хп - Х3)2^2 + (Уп - У3)2п2 + (Хп - Х3)2(2^Шп = тп тп
= 1 {А2^(Ап + Вп + Сп) - 2[(хп - Хз)2Ап + (Уп - Уз)2Вп + (гп - г^2Сп}} ; (37)
1
1
(рИпш) ¿Шп —
— / [(^3 — Х^)2е2 + ^— ад)2,2 + Х— ^)2с2 ]ш —
тп
= Т2 {{Уп^з - хпш2)2{Вп + Сп- Ап) + (гпШ1 - хпш3)2(Сп + Ап - Вп)+
+(±п^2 — Уп^г)2(Ап + Вп — Оп)} ; (38)
(рКпш)р ^ (Кп — ■)Ш — 1(УпШ3 — ^2)(Хп — Хз^¿Шп+
тп
+ ! (¿п^1 — Хп^з)(Уп — Уз)т2Лшп + J (Хп^2 — УпШ1)(Хп — Хз)C2dшn —
тп тп
= ^ |(Н„(К„ - Кз)Е1„) + (Сп - Вп)ш1[(уп - Уз)хп + (хп - хз)уп} + + (Ап — Сп)ш2[(гп — хз )Х п + (Хп — Хз )Хп]+
+ (Вп — Ап )^э[(Хп — Хз )у п + (Уп — Уз )Хп]}; (39)
{рЩш)р ■ (Ып - Из)(1тп = -|(Н„(К„ - Нд)Нд)+
+ (Оп — Вп М[(Уп — Уз )з + (Хп — Хз )У з ]+ + (Ап — Сп)Ш2[(Хп — Хз )Хз + (Хп — Хз )хз ] +
+ (Вп — Ап)^з [(Хп — Хз )У з + (Уп — Уз )Х з ] (40)
К (К К )
И.З • р{Пп - Из) • рдтп = 2"-ЩАп + Вп + Сп)~
— [Хз (Хп — Хз )Ап + Уз (Уп — Уз )Вп + Хз (Хп — Хз )Оп ]; (41)
йп ■ р(Кп - Из) ■ рс1тп = К",(К2" + Вп + Сп)~
— [Хп (Хп — Хз )Ап + Уп(Уп — Уз )Вп + Хп(Хп — Хз )Оп ]; (42) КК
!*.„ • рИз ■ р<],тп = ——~(Ап + Вп + Сп) [Х п Хз Ап + УпУз В п + ХпХз Оп]; (43)
J (p(Rn - Rj)ш)р ■ (Rn - Rj)dmn = (Cn - Бп)ш1(уп - yj)(zn - Zj)+
mn
+ (An - Cn)^2(Zn - Zj )(xn - Xj) + (Bn - An)u3(xn - Xj )(yn - yj); (44)
/„. (R, - R>• ,R„ - R,„im„ = "'."'(Л.. + В., + «,)-
mn
- [An (xn - Xj )(xn - Xk) + Bn(yn - yj )(yn - у к) + Cn (Zn - Zj )(zn - zk)]; (45)
J (p(R„ - Rj)u)p ■ iljdrrin = i |(H„Rj(R„ - R3-))+
mn
+ (Cn - Bn)^i[(yn - yj)Zj + (Zn - Zj)y j]+ + (An - Cn)w2[(Zn - Zj )Xj + (Xn - Xj )Zj ] +
+ (Bn - An)w3[(Xn - Xj)y j + (yn - yj)X j^. (46)
Благодарность. Исследования проводились в Главной (Пулковской) астрономической обсерватории Российской академии наук (ГАО РАН) под руководством Георгия Ивановича Ерошкина и в Центре космических исследований Польской академии наук (ЦКИ ПАН).
Автор выражает благодарность рецензентам за полезные советы и рекомендации.
Литература
1. Суслов Г. К. Теоретическая механика. M.: ОГИЗ, 1946.
2. Klioner S. A. Angular velocity of rotation of extended bodies in general relativity // Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System / eds S. Ferraz-Mello et al. 1996. P. 309—320.
3. Xu C., Tao J.-H., Wu X. Post Newtonian Rigid Body. 2003. URL: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0306015 (дата обращения: 11.04.2018).
4. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М., 1951.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1967. 460 с.
6. Eroshkin G. I., Pashkevich V. V. Numerical simulation of the rotation motion of the Earth and Moon // Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies, IAU Colloquium 165 / eds I. M. Wytrzyszczak, J. H. Lieske, R. A. Feldman. Dordrecht: Kluwer, 1997. P. 275-281.
Статья поступила в редакцию 14 февраля 2018 г.; рекомендована в печать 22 марта 2018 г. Контактная информация:
Пашкевич Владимир Витальевич — канд. физ.-мат. наук; apeks@gaoran.ru
Rigid body rotation in relativistic approximation
V. V. Pashkevich
Pulkovo Observatory of RAS, Pulkovskoe shaussee, 65-1, St. Petersburg, 196140, Russian Federation
For citation: Pashkevich V. V. Rigid body rotation in relativistic approximation. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 3, pp. 494-508. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.313
In this research, relativistic rotation of a rigid body, which is generated by metric properties of Riman space of general relativity, is studied. The main purpose of this investigation is to obtain Lagrange function for the relativistic rotation of a rigid body. In order to attain this aims the whole system of point masses mi, in which a certain set of point masses dmn forms an "absolutely rigid body" mn in such a way that the condition of a constant distance between any two point masses from the set of point masses dmn holds, was investigated. In this case, the body mn can rotate around its own center of mass with angular velocity |w|> 0. The remaining point masses mj from the set mi are point bodies, which do not rotate. Lagrange function for the relativistic rotation of a rigid body is deriving from Lagrange function of the non-rotation point of masses system in the post-newtonian approximation.
Keywords: rigid body rotation, Lagrange function, Riman space, general relativity, post-newtonian approximation.
References
1. Suslov G.K., Theoretical mechanics (OGIZ Publ., Moscow, 1946) [in Russian].
2. Klioner S.A., "Angular velocity of rotation of extended bodies in general relativity", Dynamics, Ephemerides and Astrometry of the Solar System, 309—320 (eds S. Ferraz-Mello et al., 1996).
3. Xu C., Tao J.-H., Wu X., "Post Newtonian Rigid Body". Available at: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0306015 (accessed April 11, 2018).
4. MacMillan W. D., Dynamics of rigid bodies (New York, London, 1936).
5. Landau L. D., Lifshitz E. M., The Classical Theory of Fields (Nauka, Moscow, 1967) [in Russian].
6. Eroshkin G.I., Pashkevich V.V., "Numerical simulation of the rotation motion of the Earth and Moon", Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies, IAU Colloquium 165, 275-281 (eds I. M. Wytrzyszczak, J. H. Lieske, R. A. Feldman, Kluwer, Dordrecht, 1997).
Author's information:
Vladimir V. Pashkevich — apeks@gaoran.ru
