CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 72
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 531.391:521.93
Приближенное решение задачи Лиувилля в переменных действие-
угол для задачи Эйлера-Пуансо
Баркин М.Ю.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия
e-mail: barkin@yandex.ru
Аннотация.
Исследуется возмущенное вращательное движение изолированного небесного тела с изменяемой геометрией масс в постановке Лиувилля, но на основе уравнений движения в переменных действие - угол для задачи Эйлера - Пуансо. Построены уравнения движения в указанных переменных и методом малого параметра получено их приближенное решение. Предполагается, что тело испытывает малые изменения геометрии масс.
Ключевые слова: переменные действие-угол, невозмущенное движение Эйлера -Пуансо, задача Лиувилля, ряды Фурье, эллиптический интеграл
Введение
В данной работе дается решение задачи Лиувилля о вращательном движении тела с изменяемой геометрией масс на основе уравнений вращательного движения небесного тела в переменных действие-угол, введенных на основе решения задачи Эйлера - Пуансо. Полученные результаты представляют важный интерес для исследований в небесной механике и геодинамике. Они позволяют выявить новые эффекты в движении полюса и в суточном вращении планет и астероидов. В первую
очередь эти результаты представляют интерес для исследования влияния перераспределения масс небесных тел на движение их полюсов и на осевое суточное вращение, что является очень важным в задачах навигации. Введение переменных действие-угол дается в известных статьях Садова [1], Киношита [2], Козлова [3] и др.. Мы используем эти результаты, включая вопросы построения рядов Фурье для направляющих косинусов [1], их произведений и квадратов [4], [5]. Последние результаты являются важными для вывода уравнений движения в переменных действие-угол и для построения аналитического решения задачи Лиувилля методами теории возмущений.
Постановка задачи. Переменные действие-угол Для описания вращательного движения тела с изменяемой геометрией масс введем следующие системы координат. 0ХУ2 - декартовая система координат с началом в центре масс тела и с осями, сохраняющими фиксированные направления в пространстве. В случае вращения Земли в качестве подобной системы координат обычно выбирается геоцентрическая эклиптическая система координат данной эпохи (например, 1ТКР 2000). О^пС - главные центральные оси инерции изменяемой планеты, а О%0ц0£0 - главные центральные оси инерции планеты, если пренебрегаем какими-либо вариациями ее динамического строения. В общем случае система координат О^пС совершает определенные движения по отношению к базовой системе координат планеты О%0ц0£0. Введем обозначения: А0, В0 и С0 - главные центральные моменты инерции планеты, если пренебречь какими - либо ее изменениями (назовем ее модельной планетой). Эти моменты инерции в общем
случае учитывают постоянные составляющие, обусловленные вращательной деформацией планеты. Для определенности полагаем С0 >В0 > А0(С0- полярный момент инерции, соответствующий оси инерции С£0; В0 и Аз - моменты инерции, соответствующие экваториальным осям инерции недеформированного тела 0£0 и 0п0). Для простоты будем считать, что центр масс изменяемой планеты (с переменными моментами инерции) совпадает с центром масс модельной планеты (с постоянными главными моментами инерции).
Будем изучать вращательное движение слабодеформируемого тела с произвольными осевыми моментами инерции А, В и С :
А = А) + ЗА , В = В0 + ЗВ , С = С0 + ЗС , и с малыми произведениями инерции, Б = ЗБ, Е = ЗЕ, ^ = З¥ . ЗА, ЗВ,..., З¥ являются малыми величинами по сравнению с моментами инерции А,, В0 и С0 (для Земли они имеют порядок 10-10) и они предполагаются известными функциями времени. В нашей работе эти вариации представляются либо тригонометрическими функциями времени (например, с годовыми и полугодовыми периодами) либо линейными функциями времени, описывающими медленные вековые изменения планеты (ее тензора инерции и относительного кинетического момента). Обозначим проекции вектора относительного кинетического момента через Р = ЗР, Q = ЗQ и Я = ЗЯ. По условию задачи они являются заданными функциями времени.
В качестве невозмущенного движения примем движение твердого тела по Эйлеру - Пуансо. На данном этапе исследования пренебрежем деформациями,
вызванными собственным вращением тела. Подчеркнем, что изменяемое тело имеет произвольные динамические сжатия (произвольные значения моментов инерции). В данной работе все три осевых момента инерции являются произвольными. Это позволило упростить исследование и аналитические построения и дало возможность для полного и детального описания кинематических и динамических эффектов в возмущенных вращательных движениях. Также используется широкий набор формул невозмущенного вращательного движения Эйлера, в частности известные результаты Садова [40] и другие важные исследований этой проблемы ([2], [5]) и др.
Переменные действие-угол в задаче Эйлера - Пуансо обозначим как I, 9 (I = 1,2,3) и введем их в рассмотрение с помощью формул канонического преобразования, полученных в работах ([2], [5], ):
ь = о П У +лто )-1, а = /2, н = /з, (1)
Кл/к2 +Л2 т=0 еП2тЛ
-А еИ та . „ -А 8И та . „
1 = 9+У—7 ^ть 8 = 92+У—гтг"7 ^тъ к = 9
т=1 теп 2та т=1 тъп 2та
где = 1, ^т0 = 0 (т > 1),
а = ЛЩХ1 а = —п— р Г arеtgк х1, 1' = ^. (2)
2К (X) 2К (X) ^ X )
Здесь К (X) и р - полный и неполный эллиптические интегралы первого сорта [6]. Модуль этих интегралов X и параметр к определяются формулами:
х2 = к2 ^к2 = с°(А В()), (3)
^0 г0 Л) (В0 - С0)
где p0, г0 (д0 = 0) - начальные значения компонент угловой скорости для принятого момента времени.
Наряду с формулами невозмущенного движения в виде рядов (1) - (3) приведем аналогичные выражения в эллиптических функциях [1]:
¿и С — 9)
L = 12к Л Ж ] , G = I2, H = I3, h = 93,
(4)
g = 92 +
^(1+ К )(К + Л2)
к
29 П Г |,ки]-П [ ат f П 9.1
Ж
где u - аргумент эллиптических функций,
2К (Л)
u =-9.
ж
(5)
П(ж/2,к\Л) и п(z,к2,Л) (z = атu) - полный и неполный эллиптический интеграл третьего рода [6].
Угловые переменные 9 и 92 в невозмущенном движении являются линейными функциями времени:
91 = Щ + я(0), 92 = Щ + 920):
(6)
где п и п2 - частоты невозмущенного эйлеровского движения
12 (А - С)
жк
2 АС
^(1 + К )(к2 + Л)К (Л)
(7)
П2 =
С
А-С П(ж/2,К2,Л)
1---
К (Л)
А
(8)
Индекс (0) в (6) означает начальные значения соответствующих переменных; п1
и п2 - частоты задачи Эйлера-Пуансо. Формулы (7), (8) определяют частоты задачи
П1 =
2
Эйлера-Пуансо для движений в областях I, II как функции частоты 12/С.
I 12 А - С „
параметров задачи Л,к и динамического сжатия (А - С) / А: п = п[—,-,Л,к
С А
(г =1,2). Po, д0 = 0,
г0- начальные значения компонент угловой скорости р, д и г, соответственно. Уравнения движения в переменных действие-угол
В переменных действие-угол ^, 9 (г = 1,2,3) уравнения вращательного движения
слабодеформируемого тела можно записать в виде [7]:
'<9=££, Ё,(,=1,2,3)
^ д1г (г д9
К = к0 (^12) + К1 (I1,Iз,9l,92,9з,t)
(9) (10)
Здесь Н 0 гамильтониан невозмущенного движения [1],
Г 2 (
К =^
0 2 А
1 +
А - С к
2
С Л2 + к2
(11)
а Н1 - возмущающая функция, обусловленная временными вариациями геометрии масс планеты [8],
К1 = К1(1) + К1(2) + К1(3)
К
(1)
2 С
1G2 - 32 | З]2 - 2ЗС22 (G2 -32) 008 21
(12) (13)
К (2) =
21С
2З£22 (о2 - 32) 8т 21 + 2ЗС21ТО7-3 L8т I + 2З£21>/G2 - L2 L0081
(14)
К(3) = -— 1 С
(ЗР8тI + З(0081)у/02 -3 + 1зЗЯ
(15)
1
1
Все составляющие гамильтониана (12), (13) - (15) здесь записаны в переменных Андуайе L, G и l. Однако, эти составляющие гамильтониана должны быть представлены функциями переменных действие-угол. Это может быть сделано с помощью формул (1) и широкого ряда формул невозмущенного эйлеровского движения, полученных в [5]. В частности важное прикладное значение здесь имеют ряды Фурье для направляющих косинусов aj, для их взаимных произведений и
квадратов и др. Именно эти комбинации направляющих косинусов фигурируют в выражениях (11) - (14). Последние формулы приведены в работе [5] и мы будем ими пользоваться. Они приводятся ниже.
В первую часть возмущающего Гамильтониана (13) входят сомножителями следующие функции переменных Андуайе: cos2в, sin20cos2l. Во вторую часть возмущающего Гамильтониана сомножителями входят следующие функции переменных Андуайе:
sin2 esin2l , sin в cos в sin l, sin в cos в cos l. Наконец в третью часть Гамильтониана (15) сомножителями входят: sin в sin l, sin в cos l, cos в или направляющие косинусы b31, b32 и b33. Выразим другие указанные выше сомножители через квадраты и произведения направляющих косинусов. В результате три слагаемых возмущающего Гамильтониана запишем следующим образом:
G2
K,(1) =
1 2IC0
3 - b323 j SJ2 - 2SC22 (b322 - b321 )
(16)
G2
K1(2) = C ( lSS22b31b32 + 5C21b31b33 + 5S21b32b33 ) , (17)
IC0
К1(3) =-—(ЗРЬ31 + З(Ь32 +ЗЯЬ33). (18)
С0
Таким образом, для построения уравнений движения (9) - (15) необходимо иметь ряды Фурье в переменных действие - угол для следующих направляющих косинусов, их произведений и квадратов:
Ь31, Ь32 , Ь33 ; Ь31Ь32 , Ь31Ь33, Ь32Ь33 ; Ь31, Ь32 , Ь33 . (19)
Для упрощения процедуры построения аналогичных рядов Фурье для составляющих возмущающей функции можно воспользоваться простыми геометрическими соотношениями для комбинаций направляющих косинусов:
Ь321 + Ь322 + Ь33 = 1 , Ь31Ь32 + Ь31Ь33 + Ь32Ь33 = 0 . (20)
Формулы для направляющих косинусов и компонент угловой скорости в
эллиптических функциях
Пусть О%0ц0£0 декартовская система координат с осями направленными вдоль главных центральных осей инерции небесного тела в его недеформированном состоянии. Будем пренебрегать малыми эффектами, вызванными смещениями точки О относительно центра масс. Пусть ю - вектор угловой скорости вращения системы координат О^пЛоСо (с компонентами р, д и г в этих осях) по отношению к основной системе координат ОХУ2, оси которой имеют фиксированные направления в пространстве. Пусть А0, В0 и С0 - главные моменты инерции тела (в его недеформированном состоянии) относительно осей Ох, Оу и 0z.
Таким образом, базовыми переменными у нас являются канонические переменные Андуайе:
L, G, H, l, g, h. (21)
Эти переменные связаны с вектором кинетического момента вращательного движения тела G. Здесь L и H - проекции вектора G на оси Oz и OZ, введенных систем координат. Пусть переменные р ив - углы, которые образует вектор кинетического момента G с указанными координатными осями Oz и OZ. При этом: L = G cose и H = G cos р. Геометрический смысл других переменных Андуайе из (16) детально описан в работе [7].
Заметим, что формулы преобразования от переменных Андуайе к переменным "действие-угол" позволяют выразить компоненты угловой скорости тела p, q, r и направляющие косинусы его осей bij в переменных "действие - угол": lt, щ (i = 1,2,3). Уже отмечалось, что переменные действие-угол (для задачи Эйлера -Пуансо) вводились различными авторами. Среди этих работ выделяются статьи Садова [1] и Киношита [2].
Здесь наряду с указанными результатами Садова и Киношита используются результаты по рассматриваемой проблеме из статьи [5]. В этой работе был получен широкий набор результатов по исследованию невозмущенного эйлеровского движения. Эти результаты включают ряды Фурье в переменных действие-угол для канонических переменных Андуайе, для произведений и квадратов направляющих косинусов тела btj (определяющих ориентацию осей тела по отношению к
промежуточной системе координат, связанной с вектором кинетического момента вращательного движения), для компонент угловой скорости p, q, r (а также их высших степеней); геометрическая и динамическая интерпретация свойств
невозмущенного движения и т.д. Эти результаты составляют основу исследований данной статьи.
В невозмущенном движении переменные / (I = 1,2,3), углы р(0), <20) и <р3
являются постоянными. Индекс (0) означает начальные значения соответствующих переменных; п1 и п2 - частоты задачи Эйлера-Пуансо. Постоянные значения переменных: О = 12, Н = 13, к = р3 в невозмущенном движении характеризуют постоянство вектора кинетического момента С деформируемого тела. Угол р между осью Ог с фиксированным направлением в пространстве и вектором С имеет постоянное значение р = р0:
/ //2 - ^
С08 р0 = -вШ р0 = -" • (22)
12 12
Модуль эллиптических функций и интегралов X (3) определяется как функция переменных /1, /2 в результате обращения зависимости, построенной в работах Садова [1], Киношита [2], зависимости
А- = Л(Х), (23)
12
где
Л (4) =
пК+44
П fП ,к2,л)-4 K (4)
(24)
К ^ 2' J к2
По общей теории невозмущенного эйлеровского движения направляющие косинусы главных осей инерции планеты в базовой системе координат определяются следующими формулами [1]:
ЬГГ = cosg cosl - sin g sinlcos0 =
(
ТГ+к
2
вп и
\
>/1 + к2 вп и ео8 8 + sign Ь0 , К = ёи и еп и вт 8
\ 0^/Кчх J
Ь21 = вт 8 еов I + еов 8 бш I еоъв-
-1
вп2 и
+ К вп и вт 8 - sign Ь0 . К = ёп и еп и еов 8
Ь31 = втввт I =
X
х/К2^
геп и,
Ъ12 =-еов 8 вт I - sin 8 еов I еоъв-
(
— i
вп2 и
. К1+к .
еп и еов 8 - sign Ь0 ; ^ ==- вп и ап и sin 8
Л
4КГ+1
(25)
Ъ22 =-sin 8 sin I + еов 8 еов I еоъв-
(
— i
вп2 и
1 + К2
еп и вт 8 + sign Ь0 ^ ==■ вп и ёп и еов 8
Л
К+1
Ъз2 = «швеовI = впи ,
\1 К +х
Ъ13 = sin 8 вт в =
X
и sin 8
Ъ23 =-еов 8 sin в '■
X
вп и еов 8:
Ъ33 = еовв = ^^К ап и
В (25) переменная 8 и аргумент и определяются формулами (4), (5).
Формулы (25) представляют направляющие косинусы осей тела Ъц как функции переменных 9, 92 и параметров X, к . С учетом зависимостей (1) - (8) можно говорить, что эти формулы выражают зависимость направляющих косинусов Ъ{. от
2
2
2
переменных действие-угол: l¡ ,9 (i = 1,2). Аналогичные представления в эллиптических функциях Якоби были получены для проекций угловой скорости [1]:
G Я p =--, cn u ,
A,J к2 + Я2
G Я41 + К
q =---, sn u, (26)
вК+Я
G к л
r =--, dn u .
Cyl к2 + Я2
Ряды Фурье для направляющих косинусов bij по кратным переменных угол
Воспользуемся результатами известных и указанных выше работ [1] и др. и приведем следующие представления рядов Фурье для направляющих косинусов тела и для проекций угловой скорости его вращательного движения на лавные оси инерции. Для направляющих косинусов имеем следующие разложения для направляющих косинусов (в вещественной форме):
= п У [sin[(2m +1)9 + я] + sin[(2m +1)9 -9
11 I ^ 7Т „1, ГМ™ i i \ А „Л
2К>/к2 + Я2 m=0 [ sh[(2m +1)d-a] sh[(2m +1)d + a
= п У [cos[(2m +1)^1 +92] + cos[(2m +1)91 -9] 21 = 2K>/к2 +Я2 ¿0{ sh[(2m +1)d-a] + sh[(2m+1)d + a
b = п У cos (2m +1)9 31" к4к + Я2 m=o ch (2m +1) d '
b =-П I 1 + к2 У J sin[(2m +1)91 + 92] - sin[(2m +1)91 -9 Ь22 = nvV , 02 ¿ "
2K V к2 +Я2 m=0[ ch[(2m +1)d-a] ch[(2m+1)d + a
b =-П 1 + к2 у sin(2m +1)91 (27)
32 KV к2 +Я2 ¿o sh(2m +1)d '
Ъ = ПК У
13 2^^/КГ+Xi т=0
Ъ = ПК У
23 2К>/ К + XX т=0
sin (2т91 + 92) вт (2т91 -92) вИ(2тй -а) вИ(2тй + а)
еов (2т91 + 92) еов (2т91 -92)
(1 + ^0 )-\
вИ (2тй-а) вИ (2тй + а)
(1 + ^0 )"
ПК
К =
33 K^/К+XГт=0 ьИ2тй т0;
■А еов2т9 с ч-1
Ъ = П у еов (2т +1)9
31" к4К + х2 т=0 еИ (2т +1) й '
Ъ =-П = к V
1+ К2 у вт(2т +1)9
К + X2 т=0 вИ (2т +1) й
где д00 = 1, дт0 = 0 а1; т > 1, а параметры й = й(X), а = а(X,к) и q = q(X) определяются формулами (2) в терминах полных и неполных эллиптических интегралов первого рода. В невозмущенном эйлеровском движении q ,а, X -постоянные; 9, 92 - линейные функции времени (6) - (8).
Здесь будем использовать ряды Фурье для произведений и квадратов направляющих косинусов Ъц для построения тригонометрических разложений
соответствующих составляющих возмущающего гамильтониана (16) - (18). Они также должны использоваться при построении аналогичных разложений силовой функции ньютоновского притяжения между Землей и Луной (а также Землей и Солнцем).
Ряды Фурье для произведений и квадратов направляющих косинусов Ъ^ЪЛ
Ряды Фурье для произведений и квадратов направляющих косинусов Ъц были выведены в работах [5], . Они обладают следующей структурой:
,, _ у ь«,}п,к) Н (тп+т2?2 )]
ъ1]ъпк / 1 ът ,т, | . / \
1 2 Чт (тФ\ + т2п2)
Причем все разложения содержат, либо только синусы, или только косинусы указанных в (28) аргументов. Коэффициенты рядов (28) выражаются через параметры Х и к в терминах полных эллиптических интегралов первого, второго и третьего сортов, а также через гиперболические функции двух аргументов й и а, которые в свою очередь выражаются через полные и неполные эллиптические интегралы первого и второго сортов (1) - (3).
Приведем явные выражения для вековых (постоянных) компонент указанных
рядов:
ъ0,0
К (1 + К)-Е 2К (к2 + Х2)
Ь(1.2;1.2) и0,0
1 +
(1 + К)(Е - К) К (к2 + XX)
ъ:
(1.3;1.3)
0,0
к2Е
i--
К (к2 +Х2)
ъ(2.1;1.2) ъ0,0
пк
4К>/ к2 +Х2
ъ(2.1;2.1) ъ0,0
К (1 + к2)-Е 2К(к2 +Х2) ,
ъ(2.2;1.1) ъ0,0
пк
4К\1 к2 +Х2
(29)
ъ(2.2;2.2) ъ0,0
1+
(1 + к2)(Е - К) К (к2 +ХХ)
ъ(2.3;2.3) ъ0,0
1-
к2Е
К (к2 +Х2)
Ъ(3.1;3.1) _ Е Х'К Ъ(3.2;3.2)
ъ0,0 _ „ I 2 , ъ0
К (к2 +Х2)
0,0
(1 + к2)(Е - К) К (к2 +Х2)
, ъ
(3.3;3.3)
к2Е
К (к2 +Х2)
Выражения (24) и полные ряды (23) удовлетворяют известным геометрическим соотношениям между произведениями и квадратами направляющих косинусов. Аналогичные ряды были получены непосредственно для канонических переменных Андуайе (см. (1),(2)).
1
2
1
2
1
1
2
2
Чтобы записать уравнения движения в переменных действие-угол воспользуемся известными рядами Фурье для следующих направляющих косинусов Ъ, их квадратов и произведений, соответствующих рассматриваемому случаю вращения Земли [5]:
Ь31 = Ё ^+1,0 СС8 (2т +1)9
Ь(31)
Ъ2т+1,0
п
Ку/к2 +А2 еИ (2т +1) ё
п
1+к
1
Ъз2 = ЕС^8- (2т +1)91, ку к +Л2 (2т +1)
(30)
Ъзз = Ъ03о3) + Ё Ъ23т3,0ео82т91, Ъ
п=1
(33) 2т,0
пк
Ку/к2 + Л2 еИ тё
Ъ(33) = пк
0,0 '
Для квадратов направляющих косинусов имеем аналогичные ряды Фурье:
Ъ321 = Ъ0Г + Ё Ъ2П1,031)ео8 2т91
п=1
Ъ(31,31) Ъ0,0
Е -Л'2К К (к2 +А2),
Ъ(31,31) _
Ъ2т,0 „ 2
п
т
К2 (к2 + Л2) 8И2тё '
Ъ322 = Ъ0302,32) + Ё Ъ2П2,032) ео8 2тя
п=1
(1 + к2)(Е - К)
,(32,32) = V /У" "/ ,(32,32)
Ъ0,0 __ / 2 „9\ , Ъ2т,0
К (к2 +А2)
п2 (1 +к2) т К2 (к2 + Л2) 8И2тё
(31)
Ъ323 = Ъ0303,33) + Ё Ъ23т3;033)ео8 2т91.
т=1
Ъ(33,33) Ъ0,0
к2Е
К (к2 +А2)'
Ъ(33,33) 2т,0
п
2 к2
т
К2 (к2 + Л2) 8И2тё
Эти ряды удовлетворяют соответствующему соотношению из (20).
1
0
т
1
Приведем также аналогичные разложения для трех произведений
направляющих косинусов: ъ31ъ32, ъ31ъ33, ъ32ъ;
33
ъ31ъ32 _ У ъ2т2,031) 2т^1
и_1
ъ(32,31) ъ2т,0
тт+К2
т
К2 (к2 +Х2) сИ2тй
ъ31ъ33 _ у ъ2т2^^Т0 с°8 (2т + т)Пт
ъ(33,31) ъ2т+1,0
л2 к
2т +1
2К2 (к2 +Х2) 8И(2т +1)й
(32)
ъ32ъ33 _ У С+Г^п (2т + т)Пт
т_0
ъ(32,33) ъ2т+1,0
п2к
•>/1+К2
2т +1
2К2 (к2 +Х2)' сИ (2т + 1)й
Ряд Фурье для гамильтониана задачи Лиувилля в переменных действие - угол
Рассмотрим первую часть возмущенного гамильтониана (16). Воспользуемся простыми соотношениями, которые следуют из приведенных выше рядов Фурье (30), (32):
ъ323 - 3 _ 30 + У 32т С°8 2тП ,
3 т_1
у __1 у
пК
т
К (к2 +Х2) 3
К2 (к2 +Х2) ^тй'
ъ322 - ъ321 _ С0 + У С2т 2тП
т_1
О _
(2 + К)Е-(1 + К +Х2)К К (к2 +Х2)
С. _
п( 2 + К)
т
2т К2(к2 +Х2)' 8И2тй
Для рассматриваемой части возмущающей функции получаем выражение
К
(1)
2 О
С2 ( 30^72 + 2С0^С22 )
1 С 2 '
21а
532 У 32т С°8 2тП + 25О22 У С2т С°8 2тП | •
V т_1
т_1
0
т
1
Подставим теперь временные циклические вариации коэффициентов геопотенциала
8] 2 = Ё]2") ео8 (ву + а2")), 8С22 = Ё )ео8 (а^г + <))
и окончательно получаем
К1 =-^О2 Ё [ ] 0 ] 2" )ео8 с + а2")) + 2^ )ео8 С + а£))]
0 N
2
о21 Ё Ё ]2N)]2т ео8 (су + а2N)) ео8 2тфх + 2Ё Ё С22^)С2т ео8 (су + <)) ео8 2тфх
0 V т=1 N
п=1 N
или
К(1) = - о2 Ё [ ] ) ] Л) ео8 (су + а2N)) + 2С22*' )С0 (Л) ео8 (со^ + <))]
0 N
(33)
4
О2ЁЁ{]2N)]2т(Л) ео8(су + а2**) + 2тр1) + ео8(су + а2N) -2тр1)
0 т=1 N
+ТС£ С т (Л)
ео8 (со^ + а22^) +
2т91) + ео8 (сг + а2N) - 2т91)]}
Возмущения во вращении планеты, вызванные временными вариациями основных коэффициентов второй гармоники геопотенциала
Теперь вычисляем частные производные функции (33) по переменным действие-угол:
ЭК« _ 1
ЭД 2 ]С,
О2 Ё
0 N
д] 0 + 2 ]
V д/2 О У
]N) ео8 (сг + а!?)) + 2
дС0 + 2 С.
V д/2 О у
С22" )ео8 (
с))
N
N
1
1
4 С
О2 ЁЁ^ ] 2N)
и=1 N
д]2т + 2 ]2т
V д/2 "
о
ео8 (су + а'2 N) +
2ту>1) + ео8 (
+ ео8 (+ а^)
- 2тф1)
1
+2 С
(N) 22
дС0 „ С0
2т + 2 2т
V д/2 о
ео8 (су + а2£) + 2тфх) + ео8 (+ а{22) - 2т91)]
дК(1)_ 1
д^ 2 ]С{
О2ЁЁ{т]2N)]2т [81п(
0 т=1 N
8ш (сг + а(N) +
2тф1) - 81п (сг + а2
(N)
2тр1)
+2тС{^ )С2т
8ш (амг + а2£) + :
2т(() - 81п ((окг
(г + )
2т()]}.
дК((
(1)
Э/т
2 /а
с 2 У
Э3П
0 3 (N)
д/т
2
С°в
+ а2N)
)+ 2
да
0 )
д/т
с2") с°8
( + а<2^у
1
N
4
С
2 УУ
т_1 N
3
(N)
д.3
2т
д/т
С°в (
у( N) 2
+
2т(() + С°8 (
у( N) 2
2т(()
1
N
N
+2С
(N) 22
да
д/1
С°в
( + )
+
2т(() + С°8 (
(О^ + а22^)
2т()
т
Эти частные производные вычисляются при невозмущенных значениях переменых
действие-угол. Возмущения первого порядка для переменных действие-угол имеют
следующий вид:
с, Г дК^ и д2К0 -Т гдК((" х гдК((1) ,
о/( _-| , 1 йг, 5( _—5/, + I—^ йг, 5% _ I—(— йг. (35)
1 -1 д(( д/? 1 Л д/( -1 д/2 4 У
И кроме того имеем: 5/2 _ 0, 5/3 _ 0,5(3 _ 0.
Вычисляя интегралы в формулах (35), получим следующие выражения для
возмущений первого порядка переменных действие- угол:
5/, _-| ——йг 1 1 (
5/(
С2
2 3С0 т_1 N
УУ
т ■<
3 (N) 3 3 2 3 2т
с°8 (о^г + а2N) +
2т(() с°8 (
с°8 (+ а2
(N)
2т(()
( + 2тп(
2тп1
(36)
+2С(N )С
22 с2т
с°8 (а^г + а2N) +
2т(() с°8 (
с°8 (+a2N)
- 2т(()
( + 2тп(
(„ - 2тт
Для возмущений других переменных действие-угол можно записать аналогичные
формулы, которы здесь опустим для краткости изложения.
Аналогичные вычисления для возмущений переменных действие-угол можно реализовать для двух других составляющих возмущающего гамильтониана. Например, построим тригонометрическое представление для составляющей
К(2) = -С-О2 Ё (28^11ЪъхЪЪ1 + 8С1ХЪъръъ + 8^1ХЬЪ1ЪЪЪ). (37)
]С0 т=0
Далее следует воспользоваться тремя рядами Фурье
и и ^ - О ^ пЧ1 + к т
Ъ31Ъ32 = Ё и2т 81п2тф , и2т =--——--—--,
31 32 2т К2(к2 +Л2) еИ2тй
Ъ31Ъ33 = Ё Е2т+1 ео8 (2т + Е2т+1 = 2 ^^ ' ^ ^ ^ , , (3 8)
т=0 2К2 (к2 +Л2) 8И(2т +1)а
, , . „ 1+ К 2т +1
b32b33 = Z F2m+1 Sln ( 2т + 1) , F2,
„=о 2т+1 2K2 (К +А2) СП( 2т-
2К2 (к2 +Л2) еИ (2т +1) й
А также принятыми тригонометрическими представлениями вариаций коэффициентов геопотенциала:
8^22 = Ё ^ео8 (^г + РР), (39)
N
^ = Z CN cos (fly + <Л)), = Z S2№ cos (fly + Д™)
В результате эту часть гамильтониана
^1(2) = -C- G2 Z DA sin 2т^1 (40)
JC0 т=0
+ jC G 2 Z [ E2m+1#C21 cos (2т +1) (P1 + F2m+lSS 21 sin (2т + 1) (P1 ]
JC0 т=0
удается представить тригонометрическим разложением, на основе которого нетрудно вычислить возмущения переменных действие-угол первого порядка.
N
N
Аналогичным образом строится тригонометрическое разложение третьей части возмущающего гамильтониана:
К(3) = - G х (41)
C0
(X X X
SPZ Р2м+1 cos (2m +1) <Pi + SQZ Q2m+1 sin (2m +1) p + SRR0 + SRZ cos 2mp 1,
m=0 m=0 m=1 J
где используются вспомогательные разложения и обозначения:
п 1
b31 = Z Pm+1 cos (2m +1) P, Pím+1 = , . 2 • + 1)/f , (42)
m=0 KVК + Л2 ch(2m +1)d
b32 = Z Q2m+1 sin (2m + 1)P1, Q П 1 1
m=0
2m+1 kV к2 + I sh(2m+1)d
X ПК 1
Ь33 = R0 + Z R2m c°s2mP, R2m =-1 , „ , '
m=1 KV К2 + I2 ch md
R = ПК
R0 -
2K VK+I2
Если воспользоваться формулами для вариаций компонент относительного кинетического момента:
SP = у P cos (aNt + aN), SQ = у Qn cos (aNt + ), (43)
N N
SR = Zrn cos(aNt +rN),
N
то получим тригонометрическое представление возмущающего гамильтониана. Повторяя вновь рассмотренную выше процедуру вычисления интегралов в (35), можно получить аналитические формулы для возмущений первого порядка
переменных действие-угол, обусловленных циклическими (в частности годовыми и полугодовыми) вариациями геометрии масс планеты.
Здесь теория возмущений строится на основе общего невозмущенного движения произвольного твердого тела по Эйлеру-Пуансо. Эти результаты представляют интерес для исследования влияния перераспределения масс Земли и других небесных тел на движение полюсов и на осевое суточное вращение. Библиографический список
1. Садов Ю.А. (1970) Переменные действие-угол в задаче Эйлера-Пуансо. ПММ. Т. 34. Вып. 5, 1970, С. 962-964.
2. Kinoshita H. First-order Perturbations of the Two Finite Body Problem. Publ. Astron. Soc. Japan., V.24, N4, 1972, pp. 423-457.
3. Козлов В.В. (1980) Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М. Изд-во МГУ, 1980. - 232 с.
4. Баркин Ю.В., Борисов А.В. (1989) Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела // Депонировано в ВИНИТИ АН СССР. №5037-В-89. МВТУ им. Баумана. М., 1989, 103 с.
5. Barkin Yu.V. (1998) Unperturbed Chandler motion and perturbation theory of the rotation motion of deformable celestial bodies.// Astronomical and Astrophysical Transactions. V.17. Issue 3, 1998, pp. 179-219.
6. Аксенов Е.П. (1986) Специальные функции в небесной механике. М., Наука, 1986. - 320 c.
7. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.,"Наука", 1977. - 328с.
8. Barkin Yu.V. Perturbed rotational motion of weakly deformable celestial bodies // Astronomical and Astrophysical Transactions. Vol.19. Issue 1, 2000, pp. 19-65. doi: 10.1080/10556790008241350.
