Динамические эффекты во вращении Земли, вызванные годовыми и полугодовыми циклическими перераспределениями масс планеты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика к Математическое

моделирование

Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 04. С. 17-41.

Б01: 10.7463/шаШш.0416.0850749

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 521.1

Динамические эффекты во вращении Земли, вызванные годовыми и полугодовыми циклическими перераспределениями масс планеты

_ 1 Л

Баркин М. Ю.1'

03.07.2016 17.07.2016

Ьагкш:ЙУапс1е;ци

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Основная цель работы заключается в построении приближенного аналитического решения задачи Лиувилля и в детальном изучении годовых и полугодовых возмущений в движении полюса оси вращения и в осевом вращении Земли, вызванных вариациями коэффициентов геопотенциала. В работе выполнено исследование влияния годовых и полугодовых вариаций тензора инерции Земли на вариации переменных Андуайе и проекций угловой скорости вращения Земли. Определены численные параметры годового движения полюса, вызванного годовой вариацией геометрии масс Земли в хорошем согласии с параметрами этого движения, которые были получены на основе астрометрических наблюдений известными авторами (Джефрисс, Яцкив, Рыхлова, Сидоренков и др.). Определены параметры полугодового колебания полюса Земли, а также тонкие эффекты в движении полюса с малыми амплитудами порядка микросекунд дуги. Современная астрометрия, космическая астрометрия приближаются к этому уровню точности и уже изучаются эффекты в десятки микросекунд дуги.

Ключевые слова: геопотенциал, переменные Андуайе, метод лазерной локации, геометрия масс, гамильтониан

Введение

В этой работе будем исследовать возмущенное вращательное движение осесиммет-ричного тела (планеты) с изменяемой геометрией масс. Небесное тело (Земля) рассматривается как изолированное, т.е. гравитационные моменты, обусловленные гравитационным притяжением внешних небесных тел (Луны и Солнца) не учитываются. Т.е. все внимание здесь концентрируется на изучении динамических эффектов во вращательном движении Земли, вызванных изменением ее геометрии масс. Причем данные о подобной изменяемости будем черпать из данных космической геодезии о вариациях гравитационного поля

Земли. Также здесь изучается роль вариаций компонент относительного углового момента частиц планеты в земной системе координат.

Одно из преимуществ разрабатываемого подхода состоит в том, что для построения подобных моделей и самих уравнений вращательного движения можно привлечь данные о вариациях коэффициентов второй гармоники геопотенциала, полученные спутниковыми методами, методами космической геодезии. Т.е. минуя трудоемкие процессы построения возбуждающих функций для всех процессов перераспределения масс Земли (атмосферных, океанических, грунтовых вод, ледников, плит и др.). Спутниковые методы позволяют учесть изменения геометрии масс сразу для всей системы Земля, т.е. суммарные (интегральные) эффекты от перераспределния атмосферных, океанических масс, от перераспределений грунтовых флюидных масс, а также лунно-солнечные приливные деформации мантии и др.).

Постановка задачи. Уравнения движения

Рассмотрим слабодеформируемое тело, предполагая, что его частицы в процессе движения тела либо слабо отклоняются от своих первоначальных положений, либо смещаются заданным образом во времени с малой скоростью. Предполагаем, что тело имеет внутреннюю твердую оболочку и внешнюю деформируемую оболочку.

Исследование опирается на канонические уравнения вращательного движения сла-бодеформируемого тела в переменных Андуайе Ь, О, Н, I, g, к . Они имеют вид:

дК ЛЬ дК

С дЬ' С д1

дК СО- дК

Ж дО ' С дg

Ск дК СН дК

(1)

Ж дН' М дк '

где гамильтониан представляет собой сумму невозмущенного гамильтониана К0 и возмущающего гамильтониана Кг.

Невозмущенный гамильтониан соответствует свободному вращению осесимметрич-ного тела с двумя равными моментами инерции ( Д = В0) и посредством упругого коэффициента V учитывает поправки к моментам инерции из за деформаций тела вызванных сбственным вращением.

Здесь приведем выражения для указнных составляющих гамильтониана:

К о =1Ь2 0 2

1 1

Л

1 ^ 1

Г Л ^ " V10 'Т ^ " V. (2)

ио Д У 2 Д

Возмущающий гамильтониан Кх описывает основные эффекты изменения геометрии масс планеты и вариаций относительного кинетического момента. Эта составляющая

гамильтониана (в случае Земли) содержит сомножителем малый параметр /и = 10 10. Эффекты второго порядка малости связанные с указанными вариациями и трехосностью эллипсоида инерции Земли отнесены к составляющим гамильтониана второго порядка и здесь не рассматриваются.

С целью более детального исследования решения уравнений Лиувилля в канонических переменных Андуайе возмущающий Гамильтониан К представим в виде суммы трех слагаемых

К = К(1) + К(2) + К

(3)

К(1) =■

2 С

102 - Ь2 ] 832 - 28С22 {в2 - Ь2) соб 21

К(2) =-

2!Сп

28$22 {в2 - Ь ) бШ 21 + 28С21 л/в!2 - Ь2 Ь БШ I + 28^ л/в2 - Ь2 Ь СОБ I

К(3) = -— 1 С

{8Р бШ I + 80 СОБ I )\1 в2 - Ь2 + Ь8Я

(3)

(4)

(5)

(6)

Составляющая возмущающего гамильтониана К(1) описывает влияние на невозмущенное (чандлеровское) движение временных вариаций основных коэффициентов геопотенциала 8^ и 8С22. Вторая составляющая К:(2) играет важную роль для изучения колебаний полюса Земли и описывает влияние вариаций произведений инерции Земли (или вариаций соответствующих коэффициентов геопотенциала 8С21, 8£21 и 8^2). Третья составляющая описывает влияние на вращение планеты временных вариаций проекций относительного кинетического момента планеты 8Р, 8<2 и 8Я . Дифференциальные уравнения имеют стандартный вид уравнений, содержащих малый параметр ^ .

Наша задача построить приближенное решение уравнений движения (1) - (6). Для этого воспользуемся методом малого параметра. В рассматриваемой задаче параметр

¡Л~ 10 10 является исключительно малым, поэтому здесь ограничимся построением лишь первого приближения. Для простоты записи формул не будем отдельно выделять малый параметр, а ограничимся рассмотрением формул первого приближения.

При ¡1 = 0 возмущающий гамильтониан К обращается в нуль, т.е.

К = К =1Ь

1 1

С

V С0

А

1

1

{1 - 2у)+2 02 7" {1 - 2у)

и уравнения невозмущенного движения принимают простой вид:

йг

дК0

дЬ ' йг йв

дК 0 дв

м = 0

йг

(7)

йЬ = 0

йг

п йН п

= 0, -= 0.

йг йг

Интегрируя уравнения, получаем

1

1 = +10, Е = п^ + Е, Ь = Ь0, (8)

и = и, а = а, и = н0. (9)

Формулы (8), (9) представляют собой общее решение задачи о невозмущенном движении. Первые интегралы (9) характеризуют постоянство вектора О полного кинетического момента системы Земля. С = С0 модуль этого вектора, И = Н0 - постоянная проекция на заданную ось с фиксированным направлением в пространстве, И = И0 - долгота вектора кинетического момента О.

В данной работе невозмущенное значение угла в = в0 имеет произвольное значение. В то время как классическому подходу к изучению возмущенного вращения Земли (в астрометрии и небесной механике) соответствует значение в0= 0. В (8), (9) индекс (0) означает начальное значение соответствующей переменной Андуайе, п1 - частота чандлеров-ского движения полюса. п - частота осевого вращения планеты:

( 11 ^ 1

п = Ь ^ -т 0-2у), пя = а—(1 -2у). (10)

V с0 ло) А

Решение (8) - (10) описывает выбранное невозмущенное вращение свободной планеты как осесимметричного тела, но с учетом вращательной деформации. В случае Земли невозмущенные частоты принимают значения:

2ж

п =--= -5.2982 1/год < 0, а0 =п, =0.230117 -104 1/год. (11)

Тси

Соответственно, =щ -щ =2306.47 1/год.

Теперь задача сводится к вычислению возмущений первого порядка относительно малого параметра / для трех переменных Андуайе: 81, ^ и 8Ь . В результате подобных вычислений приближенное решение рассматриваемой задачи Лиувилля может быть представлено в виде:

I = пг + /0 +81, е = п г + е +8е, Ь = Ь0 + 8Ь. (12)

Возмущения первого порядка согласно методу малого параметра (они отмечены индексом ) определяются следующими интегралами:

8Ь = -\дК &, 81 = ?К 8Ь +\дК *, 8е = . (13)

• д/ дЬ • дЬ J да '

Частные производные гамильтониана (или его составляющих) в подынтегральных выражениях (13) вычисляются при невозмущенных значениях переменных.

Теперь нужно предложить модель перераспределения масс Земли, адекватной данным наблюдений космической геодезии и службы вращения Земли. Были проанализированы современные данные о вариациях гравитационного поля Земли, полученные методом лазерной локации спутников Земли (SLR). Так в работе Ченга и др. [1] были исследованы годовые и полугодовые вариации нормированных коэффициентов геопотенциала

Cnm, Snm до шестой гармоники включительно. При этом использовались данные лазерных

наблюдений 6 спутников (Lageos-1 and 2, Starlette, Ajisai, Stella, and BEC) за период с января 2000 года по декабрь 2001 года. Были определены амплитуды и начальные фазы для годовой и полугодовой вариаций указанных коэффициентов до шестого порядка. Для нашей работы наибольший интерес представляют вариации коэффициентов геопотенциала лишь второй гармоники, т.к. лишь они фигурируют в уравнения задачи Лиувилля. Для годовых и полугодовых вариаций ненормированных коэффициентов геопотенциала [ 2]) согласно указанной работе имеем следующие представления:

ÔJ2 = X J^cos (vNt d ), (14)

N

C = X c2N ) cos Nt+<) ), ôs22 = X S2N ) cos (^t+0%) ),

N N

ÔC22 = X CT cos (vNt + «2N) ), ÔS22 = X S^ cos (®Nt + 0%) ) .

N N

Для зонального коэффициента второй гармоники используются обозначения J2 =~C20. В (14) a2N), a2N) и 0(N) - начальные фазы указанных годовых и полугодовых вариаций коэффициентов геопотенциала. Начальные фазы определены для начального момента времени, за который принято 1 января 2000 г. coN - частоты колебаний, например, соответствующие годовым и полугодовым колебаниям. В частности N = 1 соответствует годовому колебанию, N = 2 - полугодовому колебанию. Также могут быть рассмотрены и изучены вариации с другими периодами.

В уравнениях движения (1) - (6) используются вариации ненормированных коэффициентов геопотенциала (14). В аналитической форме годовые и полугодовые вариации ненормированных коэффициентов второй гармоники запишутся в виде [1]:

ÔC20 = 2.77 •10-10°(Я + 328.80) + 0.56•10-10°(2Я + 54.10), (15)

ÔC21 = 0.57 •Ю-10 cos(^ + 47.00) + 0.41 •10-10 cos(2^ + 28.50),

ÔS21 = 0.66 • 10-10 cos(^ + 32.70 ) + 0.32 •Ю-10 cos(2^ + 65.30 ), ÔC22 = 0.25 •Ю-10 cos(^ + 227.90) + 0.10 •Ю-10 cos(2^ + 326.60),

5S22 = 0.51 • 10-10 cos(^ + 55.30 ) + 0.14 •Ю-10 cos(2^ +107.50 ).

Яф = nst (время отсчитывается в долях года от начала года). Приведенные данные рассматриваются в качестве основной модели Земли с изменяемой геометрией масс. Здесь

значения амплитуд вариаций даются в условных единицах 10 10 , фазы в градусах. В аналитическом представлении вариаций (14) их амплитуды и фазы имеют значения:

JJ = -2.77-10-10, Jj] = -0.56-10-10 ; af = 328.80, af = 54.10 ; (16)

С?) = 0.57•Ю-10, С™ = 0.41 •Ю-10; a® = 47.00, d? = 28.50;

S™ = 0.66 • 10-10, S™ = 0.32 • 10-10, 0® = 32.70, = 65.30 ;

C™ = 0.25 • 10-10, C^ = 0.10• 10-10, a<£ = 227.90, a^ = 326.60; Si = 0.51-10-10, S{2 = 0.14• 10-10, = 55.30, = 107.50.

Приведенные здесь данные означают, что в нашем распоряжении для изучения динамических эффектов во вращении Земли имеются высокоточные данные о вариациях коэффициентов геопотенциала. На стыке космической геодезии и современной геодинамики появляется новый метод (или подход) к изучению движения полюса Земли и ее суточного вращения, вызванных изменениями геометрии масс планеты.

Для компонент углового момента относительного движения частиц планеты также

могут быть построены модельные циклические вариации вида:

SP = £ PN cos {aNt + aN ), (18)

N

SQ = Z QN C0S (°Nt + Pn ) >

N

SR = Z RN C0S Nt + 7n ).

N

Коэффициенты приведенных вариаций (18)

t(n) r (N) o(N) r (N) o(N) p г) d п q\

J 2 C22 ' S22 ' C21 ' S21 , PN , QN , RN (19)

получаются на основе данных наблюдений, например за приливными вариациями коэффициентов. А также могут быть построены на основе определенных динамических моделей перераспределения масс планеты, например, для ее приливных деформаций. В нашей постановке задачи величины (18) представляются известными функциями времени.

Возмущения во вращательном движении вследствие циклических вариаций основных коэффициентов геопотенциала 32 и С22.

Рассмотрим теперь первые слагаемые гамильтониана (11), (14) пропорциональные вариациям основных коэффициентов геопотенциала и преобразуем их к удобному виду:

K(1) =■

1

2 ICn

-G2

л ^

v 3 G 3 у

SJ2 " 2SC22

2 Л

1 - G

cos 2/

(20)

где вариации 832 и 8С22 определяются формулами (14) - (17), соы - частоты годовых и полугодовых циклических вариаций геометрии масс. В первую очередь рассматриваем годовые и полугодовые вариации, для которых ох = 6.2832 рад/год и о2 = 12.5664 рад/год . Формулы (23), (25) позволяют представить гамильтониан - первую часть возмущающего гамильтониана К в следующем стандартном виде:

K(1) = ^Т l{ J 2") [ 1G2 - L j cos (vNt + a[N))

(21)

-C(N) (G2 - L) [cos (2/ + coNt + a(N)) + cos (2/

-oNt -a2N)

)]}.

Наша задача определить возмущения первого порядка переменных Андуайе /, g и Ь , а также угла в между вектором кинетического момента изменяемой планеты и ее полярной осью О£, на основе дифференциальных уравнений в канонических переменных Андуайе с Гамильтонианом (21). Переменные характеризуются определенными начальными условиями: / = /0, g = g0 и Ь = Ь0. Возмущения первого порядка для каждой составляющей гамильтониана (4) - (6) могут быть вычислены по отдельности.

Для этого вычислим частные производные гамильтониана К при невозмущенных значениях переменных Андуайе (12):

дК™ _ О2

~>2

sin2 ву ) [sin (2/ + a t + d N)) + sin (21 - coN t - a{22))], (22) cosвХ {-J{N cos(at + a(N)) (23)

N

+C(N) cos (2/ + coNt + a2N)) + cos (2/ - coNt - a(2N))]| , 8K(1 _ G ^ fl

8/ IC ..

5K,(1) G

8L IC0 n

C22

У^ Jf°cos С + aN)) (24)

8G IC0 X13 2 V N 2 ' V '

cos (2/ + aN t + a(N)) + cos (2/ - aN t - a(N) )]|.

Получившиеся в результате функции времени (22) - (24) подставим в выражения квадратур для возмущений первого порядка, аналогичные общим формулам (13):

si-a) Г8К( 1) , -, 82K0 г r8K,(1) f8K,(1} .

SL1) = -1 —dt, 8/ = —I SLdt + I —x— dt, Sg =1 —— dt, (25)

J 8/ 8L J J 8L J 8G

Вторая частная производная невозмущенного гамильтониана в (25) имеет значение

82 K0 8n „

-— = — . Наряду с вариацией переменной L будем рассматривать также вариацию уг-

8L 8L

ла в. Они взаимосвязаны соотношением 8в =--1— 8L, поскольку 8L = -Gsinв8в.

G/л J

sine

Для аналитического представления возмущений первого порядка будем использовать специальные обозначения для амплитуд. Так возмущения первого порядка во вращении планеты, обусловленные вариациями основных коэффициентов геопотенциала J2 и C22 запишутся в следующем окончательном виде:

8f1 = у [[ sin (ct + dN}) + С sin (2 + ct + a\N]) + l(2lN sin (21 - coNt- a[N])],

N

SL1 = GX [[ cos (2 + c t + a{£ >) + cos ( 2 - aN t- a¡ %])], (26)

N

8g1 = X 4 sin С + a>) + g% sin (21 + a.t + a2N>) + g21) N sin (2 - a.t- a%>)].

N

Амплитуды приведенных возмущений определяются компактными формулами:

С =-1J cos0, = 1 cos0, (27)

I (0N I 2щ ±aN

LCD = 1 ■ sin2 0,

'± 1 2n ±(N

p-W ((2 ) (1) __1. (C22 )

60,N 0 T- ' , g2,± N т'^ I .

3I (N I 2щ ± (

Таким образом, возмущения (26) содержат тригонометрические члены с характерными периодами

T,N = —, Т2,± N = (28)

(N 2Щ ±(N

Полученные формулы содержат невозмущенное значение угла 0 = 0, определяющее коническое невозмущенное движение вектора кинетического момента в теле планеты. Амплитуды возмущений легко вычисляются по заданным значениям амплитуд вариаций коэффициентов геопотенциала (15), (17). В формулах для возмущений переменных Анду-айе (26), (27) щ < 0 - частота невозмущенного движения полюса, связанная с периодом

чандлеровского движения Т формулой щ = -2ж / Т. Для угла 0 примем постоянное значение, рекомендованное и использованное в работе [3]): 0 = 0"2523 = 0°70083 ■Ю-4. Это означает, что в теле Земли в невозмущенном движении вектор кинетического момента ее вращательного движения (и вектор угловой скорости ее вращения) описывает круговой конус с углом полураствора 0 = 0"2523. Период одного оборота составляет период Чанд-лера Tch = 433.165 сут=1.1859 год . Угловая скорость суточного вращения Земли составляет (= 7.292115 ■Ю-5 1/c=0.230117-104 1/год.

В формулах (27) I = 0.3306784 - безразмерный полярный момент инерции Земли. При расчетах амплитуд также использовались следующие значения основных параметров задачи. (=0.230117 -104 1/год - угловая скорость суточного вращения Земли (начальное значение). Период осевого вращения Земли Т = 1/365.26 = 0.00273778 г. щ = -2ж/ Tch = -5.2982 1/год < 0 - угловая скорость чандлеровского невозмущенного движения по конусу. Соответствующие частоты годовых и полугодовых вариаций геометрии масс Земли равны, соответственно:

( = 2ж 1/год=2^ 1/год = 6.283185 1/год, ( = 4ж 1/год=12.566371 1/год.

На основе принятых параметров задачи о вращении Земли были получены амплитуды (и периоды) возмущений переменных Андуайе. Эти значения приведены в таблице 1.

Таблица 1. Амплитуды вариаций переменных Андуайе, обусловленные вариациями основных

коэффициентов геопотенциала и С22.

n Амплитуды N = 1 Периоды N = 1 (г) Амплитуды N = 2 Периоды N = 2 (г)

1 l(1) 0"06328 1.0000 0"03164 0.5000

2 l(1) -0"00832 -1.4567 0"00729 3.1896

3 l(1) 2,-N -0"00213 -0.3722 -0"00062 -0.2713

4 g (1) g0,N -0"02109 1.0000 -0"00109 0.5000

5 g2,N 0"00832 -1.4567 -0"00729 3.1896

6 g (1) g 2,-N 0"00213 -0.3722 0"00062 -0.2713

Амплитуды ^2+д, вариаций переменной L имеют малые значения порядка 1"-10 10 и в таблице 1 не приводятся. Переменные l, g вследствие малости угла в имеют существенно большие амплитуды.

Возмущения во вращательном движении вследствие вариаций произведений инерции планеты

Рассмотрим теперь слагаемые возмущающего гамильтониана (4) пропорциональные вариациям основных коэффициентов геопотенциала (вариациям произведений инерции), которые по предположению допускают следующие тригонометрические представления:

^ = X C21) cos (vNt + «21)), ^ = Е S21) cos (vNt + )), (29)

N N

5S22 =Е S22}cos (vn t + /2(2N)),

Таким образом, вторая часть возмущающего гамильтониана

к(2) = ■

1

JC

SS22 (G2 -L)sin2l + 8C2Xl4g2 -LL sinl + SS2}I^G2 -L2 cosl

(30)

может быть представлена в следующем стандартном виде

K(2) = ■

1

2 JC,

■X(G2 - L) S2N)

0 N

sin

+

l4G

2 L C {2 N)

il-

( 2l + coN t + /(N)) + sin ( 2l - coN t - /(N))

)

+ (31)

sin 11 + aNt + )) + sin (l - aNt - ai(N)

N

+L^G 2 - L2 S(2N)

cos (/ + ( t + P2N) ) + cos (/ - ( t - P2N))

Вычислим теперь частные производные функции (31) при невозмущенных значениях переменных (9):

8/ 2JC0 N

+WG2 - L2 C<N)

^ Z{2 (G2 - L2) S22N) [cos ( 2/ + <V + /4N)) + cos (2/()] + (32)

s (/ + (Ont + a^)) + cos (/ - (Ont - a(N) )

WG2 - L2S2N) [sin (/ + (t + $N)) + sin (/ - (t - $N))]},

8K- = -—X{2cos0S<N) 8L 2 JC0 N *

cos20 C <N) Г sin (/

sin (2/ + (t + P2N)) + sin ( 2/ - (t - P2N))

+

+-

+-

sin0

cos 20 sin0

sin | / + (oN t + a(N}) + sin (/ - (oN t - a(N})] +

l21

S

( N ) 21

[cos (/ + (t + $N)) + cos (/ - (t - <) )] ],

8K(2) _ G

8G 2IC

r X {2S2N) [sin (2/ + <V + /32N)) + sin (2/ - ( - №))].

0 N

COS0 (N) + C21

+

sin0 cos0

in (/ + aN t + a(N}) + sin (/ - aN t - a(N})] +

. S2N) [ (/+(t+№))+cos (/ - ((t - /32N))]].

sin 0 [ ] I

Получившиеся в результате функции времени (32) подставим в выражения квадратур для возмущений первого порядка, аналогичные общим формулам (13):

ж» _ 8K ^ +i8K^л, ^ = f8K£d,

J 8L J 8G

§I?) f8^ df 8l (2) J Я/

(33)

д/ дЬ2

В результате вычисления интегралов в (33) для возмущений первого порядка, обусловленных вариациями коэффициентов геопотенциала 5С21, , 5^2, и несложных

преобразований получаем окончательные следующие формулы для возмущений первого порядка. Для переменной Ь :

8L(2) / G = X {L£ sin (/ + (t + a(N)) + L2^ sin (/ - (t - af))

(34)

+^ cos (/ + 0Nt + 0™') + cos (/ - 0Nt - 0™ ) +LN) sin (2/ + CDJ + a(2n)) + l(2)n sm (2/ - c - № )}:

где

/(2) 1 Л)Г( N) L(2) 1 Л1 N)

M,± N 1 CC21 O /1 L1, ± N 1 CS21 • O/I /"!C\

' 21 -sin20, —:— =----21—sm2#, (35)

G 4I n¡ ±C G 4I n¡ ± C

Г(2) 1 m N)

l2,±N 1 CS22 • 2 n

—:-=----22-sin в .

G I 2n¡ ± с

Для переменной /:

S/(2) = S sin (/ + cN + )) + £2N sin (/ - сNt - №)) (36)

N

+/J2) cos (/ + сt + «2N)) + cos (/ - сt - a{N ) +ÜN cos (2/ + ct + ^)) + К cos (2/ - ct - №))},

где

¿(2) cC^) cos2e ^ =__1_ Cffi) cos2e

N 2I n ± C sin в ' 1±N 2I n ± C sin в

i;% =1 • C2N cose.

■± I 2n ±CN

Для вариаций третьей переменной Андуайе g получаем аналогичные выражения:

Sg(2) =S{g12>s (/ + CNt + ) + gl-N cos (/-ct-«2Г ) (38)

N

+g1(2) sin (/ + CNt + ) + g?N sin (/ - Ct - fiN )

+g%> cos (2/ + ct + ) + g™ cos (2/ - С - <))},

где коэффициенты

(2) _ 1 coC{2N) cose

g1,± N =- T7 ¡ • /7 '

2I n ± C sin в

gS=^C11 ^ ■ (39)

21 n ± °>n sin в

cr*(2) —__1 aS22 )

g2,±N j ' 0 . .

I 2n ±CN

Таблица 2. Амплитуды вариаций переменных Андуайе, вызванных годовыми и полугодовыми вариациями

коэффициентов геопотенциала 8С21, 8521 и

п Амплитуды N = 1 Периоды N = 1 Амплитуды N = 2 Периоды N = 2

1 12,Ы -0"0170 -1.4567 -0"0170 3.1896

2 12,—N -0"0043 -0.3722 -0"00087 -0.2713

3 11, N 592"6116 6.3792 57"7676 0.8645

4 11, - N -50"4011 -0.5425 -23"5026 -0.3517

5 1N -686"1823 6.3792 -45"0869 0.8645

6 11,—N -45"0869 -0.5425 18"3435 -0.3517

7 Ц, N -29"107 -10—7 6.3792 -2"837 -10—7 0.8645

8 Г Г1,—N 2"4755-10—7 -0.5425 1"154-10—7 -0.3517

9 Г N -33"027-10—7 6.3792 -2"215 -10—7 0.8645

10 Г1,-N 2"866-10—7 -0.5425 0"910-10—7 -0.3517

11 0"0170 -1.4567 -0"0102 3.1896

12 <§2,- N 0"0043 -0.3722 0"00087 -0.2713

13 ё1, n -592"6120 6.3792 -57"7676 0.8645

14 <1,—N 50"4011 -0.5425 23"5026 -0.3517

15 2 <§1, N 686"1823 6.3792 45"08688 0.8645

16 2 <1,—N -58"3591 -0.5425 -18"34352 -0.3517

Амплитуды вариаций переменных Г2Ы, Г2_м здесь малые и составляют около 1„.10-ю.

Формулы (34) - (39) определяют вариации переменных Андуайе, вызванные циклическими изменениями произведений инерции планеты или соответствующих им вариациями коэффициентов геопотенциала (29). При малых значениях в решение (36) - (39) имеет особенность (сингулярность при в = 0). Однако она может быть устранена при переходе к другим переменным, например, к проекциям вектора угловой скорости тела на его главные оси инерции.

Возмущения во вращательном движении вследствие вариаций кинетического момента относительного движения частиц планеты

Рассмотрим теперь третью часть возмущающего гамильтониана (6), обусловленную циклическими вариациями компонент кинетического момента относительных движений

частиц планеты, например, ее атмосферы, океана, других флюидных масс. Для годовых и полугодовых вариаций составляющих относительного кинетического момента (18) используем обозначения:

SP(t) = 2 Pn cos UN , (t) = 2 Qn cos VN , SR( t) = 2 Rn cos WN , (40)

N N N

полагая аргументы тригонометрических функций равными:

UN = ^Nt + aN , VN =®Nt + , WN = ®Nt + 7n ,

где фх - частота годовой вариации и со2 - полугодовой вариаций компонент полного относительного кинетического момента или его составляющих; aN, PN и yN - начальные фазы, время t отсчитывается в долях года от начала года.

Теперь для гамильтониана K¡3) получаем новое представление в подходящем для приложений виде

к(3) =-1 Jsin62Z[PN sin(l + Un)- Qn cos(l + ^Vn)] + 2cosRncosWn} (41)

2 [ e N N J

или в канонических переменных

K((3) = --L Uo2 - L 221 ^ (l -U )- Qn cos (l + eVN )]- 2¿2 Rn cosWn } (42)

2C0 I e N N J

Вычислим теперь, как и в предыдущих двух случаях, частные производные гамильтониана по переменным Андуайе при их невозмущенных значениях:

Ж(3) ( (

( -----> |«П|/ + U,) + sin (l - )| + Qlcos (l + V,) + c—

SO 2C0 sin 0

SK(3) _ o .

2{Pn [sin (l - Un )-sin (l - Un )]-Qn [cos (l - Vn )-cos (l - Vn )]}:

Sl 2Co N

:--sin^2{PN [cos (l - Un )-cos (l - Un )] - Qn [sin (l - Vn )-sin (l - Vn )]} , (43)

( cos^Í2 Pn [sin (l - Un )-sin (l - Un )]Q [cos (l - Vn )-cos (l - Vn )]]

SL 2C0 sin#

2Rn cos Wn ■

C0 N

Возмущения переменных l, g и L вычисляются по формулам:

sl» = -fSe dt, Sl«> = SK SL dt, ^g <3. = fSK^t ■ (44)

f Sl SL2 f SL f SG

В результате вычисления квадратур в (44) получаем следующие формулы для возмущений переменных Андуайе, вызванных годовыми и полугодовыми вариациями компонент относительного кинетического момента частиц планеты:

SL(3) / G = 2 [ sin (l + ^^^ ) + L(3-ж sin (l - ) + LN cos (l + ) + Lj-- cos (l - )],

N

!(3) -"Ч, ± N -

0 ■ ^ *1п0 , ^ - , 0 %

2 (^ ±0) О ' 1 2 (^ ±0) О 5/ <3) - £ [[ 0О8 (/ + ^ ) ■+ /£- ^ (I - и N ) ■+ *1п (I + FN ) + /*-- 81П (/ - FN ) + О *1п ^ ]

(45)

0

о --

,± 2(п ±0) О б1П0

РN СОБ0 Г(3)

■ ■ , 11, ± N

0

2 (п ± 0 ) О б1П 0

■с? --0-(46)

0 д

0 О

5ё(3) - £ [[ СО* (/ + и N )■+ со* (/ - ^ ) + з1п (/ + VN ) + ян (/ - FN )],

„(3) -61, N

0

Р

2(п +0)О

N 6(3) -

, „1, - N

0

2(п-0)О'

(47)

„*(3) -

„1, N

0

2 (п +0) О

аN „»(3)

61,-N

0

а

N

2 (п-0) О

Все коэффициенты возмущений в формулах (45) - (47) представлены в безразмерном виде и вычисляются в секундах дуги.

При вычислении возмущений переменной / выше пренебрегаются малые слагаемы

а2 Кп

т.к.

д2к 0

-—к, к-

со А>

(1 - 2у) и для Земли N «10 3. Для примера вы-

дИ J дИ О ' А

числим дополнительные слагаемые вариации 5/(3) переменной /, обусловленной вариациями относительного кинетического момента. Будем иметь следующие дополнительные слагаемые:

где

N

N

/(3) =_ 0)PN cos0 1N 2G(n нс) sine

Z(3) =_ coPn cose 1-N 2G(n ~cn) sine '

7*(3) l1, N

cose

2G (n + С ) sin e

7*(3)

l1,-N

cose

2G(n-c) sine 0

/*(3) — cRn CnG

Периодические возмущения компонент угловой скорости

Теперь решение рассматриваемой задачи нетрудно представить в переменных p, q, Г . Для этого воспользуемся формулами (26), (27), на основе которых получим выражения вариаций компонент угловой скорости через возмущения переменных Андуайе, вариации моментов инерции планеты и вариациями компонент относительного кинетического момента. Указанные соотношения являются линейными и их можно записать в следующем виде:

Sp = G | cose sin /¿e + sinecos lSlsine sin l + sin ecos l cose-— 1, (53)

A У A B C G )

Sq = G| cosecosise-sinesinISl-SBsinecosl + SDsinesinl + SFcose--^ 1, B У B A C G )

X Gf . SC Q SE . Q . SF . SR1 Sr = — I - sin ese--cosen--sinesin l н--sinecos l--I.

C У C A B G )

Пренебрегая членами второго порядка малости относительно динамических сжатий планеты и вариаций компонент тензора инерции и компонент относительного кинетического момента, получим упрощенную запись соотношений (53):

Í

Sp = с

SA .

SD .

SE

cos e sin lSe + sin e cos lSl--sin e sin l н--sin e cos l н--cos e -

SP

\

f

Sq = с

Cn

SB

Cn

SD

Cn

SF

cos e cos lSe - sin e sin lSl--sin e cos l н--sin e sin l н--cos e -

cC(

sQ

0 ) Л

Cn

Cn

Cn

cC,

0

f

Sr = с

SC

SE .

SF .

SR

\

- sin ese—coseн— sinesin l н— sinecos l -

cñ C ñ C ñ С Ci

(54)

(55)

(56)

у

Вариации моментов инерции для поверхностных процессов перераспределения масс выражаются через вариации коэффициентов геопотенциала, которые позволяют записать вариации компонент угловой скорости (54) - (56) в виде:

др = соб6 бш ¡56 + БтесоБ ¡51)+ (57)

5Р

с +—

I

1 (6SC22 +SJ2)sinesinl + 2SS22 sinecosl + SC21 cose Sq = с (cos e cos lS0 - sin в sin lSl) н

C

а + —

I

((-6SC22 +SJ2)sinocosl + 2SS22 sin0sinl -SS21 cos0 Sr = а(-sin0S0)

SQ

с

j ^^^ cos0-SC21 sin0sin l + SS21 sin0cos l j-~Sr •

Для рассматриваемой задачи Лиувилля возмущения переменных Андуайе определяются выше полученными формулами. Основные возмущения первого порядка для компонент угловой скорости согласно (57) определяются формулами:

Sp = а (cos 0 sin lS0- sin 0 cos lSl),

Sq = а( cos 0 cos lS0- sin 0 sin lSl), (58)

Sr = а(-sin0S0) .

Подставим поочередно в выражения (58) аналитические выражения возмущений первого порядка для переменных 0 и l, соответствующие трем группам рассмотренных выше возмущений и определим возмущения проекций угловой скорости для каждого фактора по отдельности:

Sp{,) =а( cos 0 sin lS0(i) + sin 0 cos lSl{,)), (59)

Sq(l) =а( cos 0 cos lS0() - sin 0 sin lSl(i)), Sr(i) = -а sin 0S0(,), S0) = -SL(i) / (O sin 0), (i = (, 2,3) .

Кроме этих динамических компонент угловой скорости следует также учесть компоненты в формулах (57), которые определяются формулами:

Spw =а

I

Sq(A) =а

а

( (6SC22 -SJ2) sin 0 sin l - 2SS22 sin 0 cosl -SC21 cos0 — (-6SC22 -SJ2) sin 0 cos l - 2SS22 sin 0 sin l -SS21 cos0

SP

C

-S, (60)

SQ

C

Sr(4) = — \ -2SJ, cos0- SC7, sin 0 sin l -SS9, sin 0 cos l j-SR . I 3 2 2( 2( j C

Таким образом, полные вариации проекций угловой скорости вращения планеты определяются в виде сумм их вариаций обусловленных всеми рассматриваемым факторами:

Sp = Sp(1) -Sp(2) -Sp(3)-Sp(4), (61)

Sq = Sqm -Sq(2) -Sq(3) -Sq(4), Sr = Sr(1) - Sr(2) - Sr(3) - Sr(4).

Колебания полюса, вызванные годовыми и полугодовыми вариациями основных коэффициентов гравитационного потенциала SJ2, SC22.

В результате несложных преобразований также поочередно получим выражения для соответствующих возмущений компонент угловой скорости. Для возмущений экваториальных компонент угловой скорости, обусловленных вариациями основных коэффициентов геопотенциала, получаем:

^ = £[p-N sin(/ + coNt + а(?)) + P--n sin(/-coNt-«2N)) (62)

a N

+p(- sin (/ + at + a(22)) + P.% sin (/ - at - a(22))],

S (1)

dq -- £[p(N sin(/+cNt+)) +P21-N sin(/-at-a(2N))

N

P(N sin (i+a+a{£)) - P(-N sin (/ - at - <))],

a

где коэффициенты определяются формулами:

Вариации суточного вращения планеты, вызванные вариациями коэффициента гео потенциала С22, в зависимости от невозмущенного значения угла в = в0 = 0" 24 опреде ляются формулой:

8т(1)

a

= r1N cos (2/ + aNt + «2N)) + r2_N cos (2/ - aNt - а(2^)), (64)

r2N = -• cC2N) sin2 в, r „ = -• aC2N) sin2в . (65)

' I 2n¡ + coN ' I 2n¡ - oN

Вариации компонент угловой скорости (62), (63) составляют микросекунды дуги, а амплитуды вариаций угловой скорости (65) являются весьма малыми.

Для принятой модели годовых и полугодовых вариаций компонент угловой скорости (4) получаем что вариации коэффициентов геопотенциала SJ2, SC22 слабо влияет на ее

суточное вращение (амплитуды составляют 10-10 секунды дуги).

Вариации проекций угловой скорости вследствие вариаций коэффициентов второй гармоники геопотенциала SC2l, SS2l и SS22.

Аналогичным образом, для возмущений, обусловленных вариациями произведений инерции планеты или ее соответствующих коэффициентов геопотенциала (29), получаем формулы:

Sp{2) a n

: £ [PN cos a+aN))+p02N sin a+$N)) (66)

+p™ cos (/ + <t + № ) + p<VN cos (/ - (0Nt - № ) +P2(2 cos ( 2/ + < t + c¿N) + P^l cos (2 / - < t - a(N)) +p(2N sin (2/ + + <)) + p(2-N sin (2/ - < - <))],

84

-- £ sin < + <)) + 42n cos < + ))

N

sin (/ + Ct + ^2(2N)) + 4x-n sin (/ - < - ) +622) sin (2/+®Nt+«2N)+q22-)n cos (2/ - < - «2N)

- q22N cos (2/ + + ) + q22^N cos (2/ - < - <))],

где коэффициенты определяются формулами:

P0(2) = Q02N = -¿ (1 - 3cos2 в), p02> = q^ = ¿(1 - 3cos2 в), (67)

' ' 4I n¡ + < ' 4I n + C

p& = qí?N =¿ sinecose, p2%=Q22)n =¿ 'C2^ sin2 в,

41 n ± <aN 41 n ± с

p22) n = q22± n = ± sin2 в.

4I n ± с

N

Таблица 3. Амплитуды вариаций компонент угловой скорости р и q , вызванных годовыми и полугодовыми вариациями коэффициентов геопотенциала ЗС21,5821 и5522.

Коэффициенты Амплитуды N = 1 Периоды (г) N = 1 Амплитуды N = 2 Периоды (г) N = 2

p(2) p0,N 0"04153 1.0000 0"004049 0.5000

D(2) P 0,N -0"04809 1.0000 -0"003160 0.5000

ÍÍS II N S 1"6851 -10-6 6.3792 0"11073-10-6 0.8645

p(2) = q(2) p1,-N q1,-N -0"1433 -10-6 -0.5425 -0"04505 -10-6 -0.3517

Приведем также формулы для возмущений осевого вращения планеты:

^ = -21$ cos (/ + Ct + )) + ri(2N cos (/ - <t - № ) (68)

< N

+R2) sin (/ + <t + a(N)) + R2-N sin (/ - <t - a\N)) +r2-N sin (2/ + < + )) + 4-n sin (2/ - <t - $2))],

где

RN = - •CC2N^ sin 2в, R22)n = - sin 2в, (69)

' 4I n¡ +aN ' 4I n - aN

Г22 = — •sin 2в, r% = — • ^^ sin 2в, ' 4I n +C ' 4I n-C

r22 = i- cS2N) sin2в, = 1 aS2N) sin2в . ' I 2n¡ + coN ' I 2n¡ - a

Если пренебречь малым углом в, то для вариаций компонент угловой скорости, обусловленных годовыми и полугодовыми вариациями коэффициентов геопотенциала SC2l, SS2l и SS22 получаем следующие упрощенные формулы:

Sp{2)

- £ [P^ cos (aNt + <)) + pfN sin (aNt + 0¡N)), (70)

n

Я (2)

-q -a)+q02Ncos(aNt),

_ 1 0,N

a N

т(2)

® N

Д2)

-- = 0. a

Вариации проекций угловой скорости планеты вследствие вариаций компонент углового относительного момента SP, -Q и SR.

Эти возмущения обусловлены вариациями компонент кинетического момента частиц тела (40) и определяются формулами (59) (при i = 3), в которые следует подставить формулы для вариаций соответствующих переменных Андуайе (45) - (47).

Опустим несложные аналитические преобразований и приведем окончательные формулы для возмущений компонент угловой скорости:

-— = Po(3N cos Un + p03N sin Vn + PN sin (l + Wn )- P-N sin (l - Wn ) (71)

a

+PN cos (2l + Un ) + P^N cos (2l - Un ) + p23iv sin (2l + Vn ) + p23-N sin (2/ - Vn ),

= Q3N cos Vn + q0N sin Un + Q(N cos (l + Wn ) + Q,(3-}n cos (l - Wn ) (72)

a

+Q23N sin (2l + Un ) + Q23)N sin (2l - Un ) + q^cos (2l + VN ) + N cos (2l - Vn ),

где коэффициенты определяются формулами:

Ц- P, ((+ sine) cose, p0N =-TN\ ((+ sine) cose, (73)

' (ni-aN)

n¡ -aN (n, -

p%n (sine-() cose, p(3lN = aQN ((- sine) cose.

2 (П ±aN ) 2 (П ±aN )

Р3) = - — ^ 81пЯ , =— Я„ 81пЯ .

N

ю

N

Коэффициенты О3N, чп ±м выражаются через коэффициенты (73) и определяются формулами идентичными (73).

Определение вариаций компонент угловой скорости четвертой группы:

8р(4), 8д(4) и 8т(4)

Подставим годовые и полугодовые вариации коэффициентов второй гармоники ге-оптенциала (14) и вариации проекций относительного кинетического момента (18) в формулы (60). После несложных преобразований получаем выражения для возмущений 4 группы (из общего представления (61)):

8 р(4)

ю

+р(4) +р1,N

£ {р$ СС8 —^ + <)) + Р0(;} 008 UN

N

8ш (/ + — г + а( м )) + 8ш (/ - — г - а{2 м ) )] +Р(4) 81П (/ + — г + а(2 )) + 81П (I - — г - а(2 ))] [ео8 (I + + 0%}) + 008 (I - - ^22})]},

(74)

8д

(4)

ю

= £ {^ 008 (— + 02(N)) + О& 008 ^

+ р(4) +p1,N

со8 (/ + — г + апл?)) + со8 (/ - — г - ап^)) -Р(4) со8 (/ + — г + а{22)) + со8 (/ - — г - а{22))] +дп$ [со8 (I + —г + 022 ') + со8 (I - - })]}

8т(4) = 2 {С со8 (— + О0) + < со8 / + ^ )

N

81п (/ + — г + а^f)) + 81п (/ - — г - аnf))] 1 (I + щг + РС') + со8 (I - - })]},

со81

где коэффициенты определяются формулами

р(4) - 181пЯТ(N) т(4) - -181п Я?(N)

- ГТ 81П Ш 2 ' - 81П Я 21 '

61 21

(75)

=вс£), ей) = , <) = ±ипвС2?),

р04> = 1соввс2Г), ^ = 1соввс2Г), г0,4) = ,

р(4)__/о($) _/?($)__^

Формулы (74), (75) описывают кинематические составляющие проекций угловой скорости вызванные вариациями коэффициентов второй гармоники геопотенциала и вариациями составляющих относительного кинетического момента.

Годовые и полугодовые колебания полюса Земли, вызванные вариациями коэффициентов геопотенциала

В нашем распоряжении имеется ряд определений годовых вариаций коэффициентов геопотенциала С21 и $21 (их ненормированных значений) (см. Табл. 4). Они были получены на основе различных методов исследования вращения Земли, спутниковых исследований и др.

Таблица 4. Годовые и полугодовые вариации ненормированных коэффициентов геопотенциала С21 и по работе Мура и др. [4]). Амплитуды вариаций даются в условных единицах 1 ед.= 10 10.

Метод, авторы Годовая вариация Полугодовая вариация

SC2l (EOP,Chen) 0.81 cos {at + 300) 0.16 cos { 2at + 360)

SC2l (GRACE) 0.70 cos {at - 390) 0.16 cos { 2at +150)

SC2l (SLR) 0.59 cos {at + 320) 0.41 cos { 2at + 350)

SS2l (EOP,Chen) 0.92 cos {at + 240) 0.27 cos { 2at + 1620)

SS2l (GRACE) 0.66 cos {at +14°) 0.58 cos { 2at + 1260)

SS2l (SLR) 1.06 cos {at + 280) 0.17 cos { 2at + 580)

Задача определения годовой траектории полюса оси вращения из наблюдений считалась одной из основных задач астрометрии в течении всего двадцатого века и не утратила своей актуальности сегодня. Результаты большинста работ по этой проблеме суммированы в работах известных ученых (Манк Макдональд, [5]; Яцкив и др., [6]; ЬашЬеек, [7]). В таблице 5 приведены значения амплитуд (в секундах дуги) и фаз (в градусах) для годовых вариаций компонент угловой скорости Земли, полученные различными авторами путем гармонического анализа наиболее длинных рядов координат полюса (строки с номерами 1 - 8). Эти значения взяты из монографии Н.С. Сидоренкова [8], в которой также отмечены важные особенности используемых рядов наблюдений и выбора системы координат для определения положения полюса Земли. В таблице 5 приведены данные об ам-

плитудах годовых возмущений в угловых координатах полюса по данным астрометриче-ских наблюдений (строки 1 - 8), о перераспределении воздушных масс (строки 9, 10) и по геодинамической модели направленного годового циклического перераспределения масс Земли (строка 11).

Таблица 5. Годовые вариации угловых координат полюса вектора угловой скорости вращения Земли в Гринвичской системе координат, определенные астрометрическими методами и полученные на основе одноточечной модели годового перераспределения масс Земли.

N Авторы Методы 8р / — / —

1 Уокер и Янг Наблюдения 1899-1954 0''0955 со8(0 -2280) 0''0837со8(0 - 3 260)

2 Джеффрис Наблюдения 1899-1967 0''0906 со8(0 -2380) 0''0751 со8(0 - 3 3 80)

3 Рыхлова (ряд I) Наблюдения 1891-1960 0''0881 со8(0 - 2500) 0''0668 со8(0 - 3 3 80)

4 Рыхлова (ряд 2) Наблюдения 1846-1915 0''0778со8(0 -2130) 0''0693 со8(0 -3320)

5 Гапошкин Наблюдения 1891-1970 0''0901 со8(0 - 2420) 0''0668 со8(0 - 3 3 00)

6 Корсунь (ряд 1) Наблюдения 1846-1889 0''1036 сов(0-1970) 0''0664 со8(0 -3100)

7 Майор Наблюдения 1890-1956 0''0910 со8(0 -2400) 0''0670 со8(0 - 3 3 00)

8 Яцкив(ряд 3) Наблюдения 1957-1971 0''0939 со8(0 - 2500) 0''0848 со8(0 -3330)

9 Манк и Макдональд Атмосфера 0''0889 со8(0-2810) 0''0730 СОБ(0 -130)

10 Сидоренков Атмосфера 0''1040 со8(0 - 2800) 0''0879 соб(0-140)

11 Данная работа Модель 0''0910 со8(0 - 2550) 0''0912со8(0 - 3 460)

Заключение

Задача о возмущенном вращательном движении с изменяемой геометрией масс и переменным относительным кинетическим моментом в первом приближении решена в переменных Андуайе и в проекциях угловой скорости вращения планеты. Аналитическое решение позволяет выполнить приложения для изучения динамических эффектов от указанных факторов для различных тел солнечной системы, включая Землю.

Полученные различными методами годовые вариации координат полюса оси вращения Земли хорошо согласуются друг с другом (табл. 5). Данные об эмпирических вариациях компонент угловой скорости Земли взяты из книги Н.С. Сидоренкова [8]. Эти результаты известных авторов были получены в основном астрометрическими методами в ходе длительной истории исследования движения полюса Земли. Они хорошо согласуются между собой. Наше решение, полученное на основе нового подхода к исследованию задачи Лиувилля и данных космической геодезии о годовых вариациях коэффициентов геопотенциала 8С21 и SS21, также хорошо вписывается в общий ряд.

Список литературы

1. Cheng M.K., Gunter B., Ries J.C., Chambers D.P. and Tapley B.D. (2003) Temporal Variation in the Earth's Gravity Field From SLR and CHAMP GPS Data Center for Space Research, The University of Texas at Austin, Austin, Texas 78759, USA. Режим доступа: http://www.pdfio.com/k-766194.html (дата обращения 17.11.2016).

2. Аксенов Е. П. (1977) Теория движения искусственных спутников Земли. Наука. Москва. 360 с.

3. Barkin Yu.V. (1998) Unperturbed Chandler motion and perturbation theory of the rotation motion of deformable celestial bodies.// Astronomical and Astrophysical Transactions. V.17. Issue 3, P.179-219.

4. Moore P., Zhang Q., and A. Alothman (2005) Annual and semiannual variations of the Earth's gravitational field from satellite laser ranging and CHAMP, J. Geophys. Res., 110, B06401, D0I:10.1029/2004JB003448

5. Манк У., Макдональд Г. (1964) Вращение Земли / Пер. с англ. В.В. Нестерова, под ред. Я.Я. Успенского. — М.: Мир. — 384 с.

6. Яцкив Я.С., Миронов Н.Т., Корсунь А.А., Тарадий В.К. (1976) Движение полюсов и неравномерность вращения Земли. «Астрономия» («Итоги науки и техники»). - Т. 12 (части 1 и 2). М.: ВИНИТИ.

7. Lambeck K. (1980) The Earth's variable rotation: geophysical causes and consequences. Cambridge University Press.

8. Сидоренков Н.С. (2002) Физика нестабильностей вращения Земли. - М.: Наука. Физ-матлит. 384 с.

Mathematics & Mathematical Modelling

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 04, pp. 17-41.

DOI: 10.7463/mathm.0416.0850749

Received: 03.07.2016

Revised: 17.07.2016

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Dynamic Effects of the Earth's Rotation Caused by the Annual and Semi-Annual Cyclic Mass Redistribution of the Planet

M.Yu. Barkin1'* ^arlanigyandexju

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: geopotential, Andoyer variables, laser ranging method, geometry of the masses,

Hamiltonian

The paper deals with development of the theory of perturbed rotational motion of a celestial body with variable geometry of the masses. Its main task is to study the impact of annual and semi-annual variations of the Earth's mass geometry (a component of its inertia tensor), as well as a component of its relative angular momentum, on the movement of the Earth's poles and its axial rotation. The body is considered to be a free (isolated), and the problem formulation corresponds to the classical Liouville problem on rotation of a variable body. Euler conical movement of the axially symmetric body with an arbitrary constant half-angle 0 = 00 is assumed as the unperturbed motion. In the classical theory of the Earth's rotation this angle is usually assumed to be zero.

In the last 20 years, accuracy to determine the Earth rotation parameters owing to using methods of space geodesy and method of Very Long Baseline Interferometry (VLBI) has increased by about three orders of magnitude and has made about 10~10 i.e., in angle measure it is about 10 - 20 arc-microseconds. According to experts, the theory of the Earth's rotation with such precision is not created yet. The paper is focused just on the new dynamic studies of the Earth rotation at a higher level of accuracy than has been done in previous studies, using a new approach to the problem, based on the new forms of the equations of motion (in the Andoyer variables) and the analytical methods of perturbation theory (small parameter method).

The problem of perturbed rotational motion with variable geometry and variable mass relative angular momentum in the first approximation is solved in Andoyer variables and projections of the angular velocity of the planet rotation. The analytical solution allows us to run applications to study dynamic effects from above factors for various bodies in the solar system, including the Earth. The solution allowed us to obtain the following parameters of the fundamental effects in the Earth's rotation: the annual and semi-annual fluctuations of the axis pole of Earth's rotation, annual and semiannual variations in the axial Earth's rotation. The theoretical values of

the parameters are in good agreement with modern observation data of the Earth's rotation and the cyclical variations in the geo-potential coefficients.

References

1. Cheng M.K., Gunter B., Ries J.C., Chambers D.P. and Tapley B.D. Temporal Variation in the Earth's Gravity Field From SLR and CHAMP GPS Data Center for Space Research. The University of Texas at Austin. 2003. Austin, Texas 78759, USA. Available at: http://www.pdfio.com/k-766194.html, accessed 17.11.2016.

2. Aksenov E.P. Teoriia dvizheniia iskusstvennykh sputnikov Zemli. Nauka = Sciense. Moscow, 1977. 360 p.

3. Barkin Yu.V. Unperturbed Chandler motion and perturbation theory of the rotation motion of deformable celestial bodies. Astronomical and Astrophysical Transactions. 1998. V. 17. Issue 3, P. 179-219.

4. Moore P., Zhang Q., A. Alothman. Annual and semiannual variations of the Earth's gravitational field from satellite laser ranging and CHAMP, Journal of Geophysical Research Atmospheres. 2005. Res., 110, B06401, DOI: 10.1029/2004JB003448

5. Munk W.H., MacDonald G.J.F. The Rotation of the Earth. A geophysical discussion. Cambridge University Press, New York, 1960. 323 pp. Russian version translated and published by Nesterov V.V., edited by Ia.Ia. Uspenskii, Mir, Moscow, 1964. 384 p. [In Russian]

6. Iatskiv Ia.S., Mironov N.T., Korsun' A.A., Taradii V.K. Dvizhenie poliusov i neravnomernost' vrashcheniia Zemli. «Astronomiia» («Itogi nauki i tekhniki») = Results of science and technology. Astronomy series. Vol. 12 (parts 1 and 2). Moscow, 1976. VINITI.

7. Lambeck K. The Earth's variable rotation: geophysical causes and consequences. Cambridge University Press. 1980.

8. Sidorenkov N.S. Fizika nestabil'nostei vrashcheniia Zemli. Nauka = Sciense. Fizmatlit. Moscow, 2002. 384 p.