CC BY
51
УДК 521.933, 521.937
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3
ГЛОБАЛЬНЫЕ ГЕОДИНАМИЧЕСКИЕ
ЭФФЕКТЫ ВАРИАЦИЙ АТМОСФЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ:
I. ТЕОРИЯ*
С. Д. Петров1, Н. С. Павловская2
1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, serge.petrov@gmail.com
2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, ne_boo@list.ru
Введение. Современные астрометрические наблюдательные средства технически позволяют определять координаты небесных тел и пунктов на Земле с точностью до десятков угловых микросекунд или нескольких миллиметров. Такая точность предъявляет все более высокие требования к моделям астрометрических редукций. При этом наиболее значительные трудности представляет моделирование эффектов земной атмосферы, от классической рефракции до вертикальных перемещений пунктов под действием локальных атмосферных фронтов и циклонов. Учет атмосферных эффектов в астрометрических редукциях требует привлечения все более современных и детальных метеорологических данных и моделей.
Из всевозможных влияний атмосферы на астрометрические наблюдения можно выделить совокупность эффектов, связанных с пространственными и временными вариациями атмосферного давления. Из таких эффектов самым значительным является сезонная вариация широты или движения полюсов Земли, которая вызывается сезонным перераспределением воздушных масс. Первые количественные исследования сезонного колебания широты появились еще в начале прошлого века [1]. К концу прошлого века выяснилось, что вариации давления вызывают изменения динамического сжатия и перемещения центра масс Земли [2]. Важным результатом последних лет явилось объяснение механизма возбуждения свободной нутации, или Чандле-рова движения полюсов Земли. Оказалось, что Чандлерово движение в основном возбуждается вариациями атмосферного давления и их непосредственным действием на твердую Землю, а также, в меньшей степени, опосредованно через барические колебания уровня океана [3].
В данной работе предпринята попытка систематического исследования глобального влияния вариаций атмосферного давления на твердую Землю. Для этого давление на поверхности Земли представляется в виде конечного ряда по сферическим функциям. Далее выводится соотношение, связывающее коэффициенты разложения поверхностного давления с коэффициентами разложения потенциала притяжения атмосферы по шаровым функциям. Затем рассматирвается физический смысл коэффициентов разложения атмосферного потенциала до степени три и их роль в движениях и деформациях твердой Земли. Подробно рассматриваются вариации полной массы атмосферы, смещения геоцентра, коэффициент формы Земли, движение земных полюсов, а также экваториальное сжатие и асимметрия геоида, вызываемые как пространственными, так и временными вариациями атмосферного давления. При этом
* Работа выполнена в рамках НИР 6.39.1051.2012 СПбГУ.
© С. Д. Петров, Н. С. Павловская, 2013
в отличие от других авторов, получивших подобные результаты, уделяется внимание не только периодическим колебаниям геодинамических параметров вследствие вариаций атмосферного давления, но и их постоянным составляющим.
Гравитационный потенциал атмосферы. Пусть M — полная масса Земли вместе с атмосферой. Будем считать M величиной постоянной. По крайней мере до настоящего времени никакие геодезические или астрометрические измерения не выявили значимых изменений массы Земли со временем. Строго говоря, значение массы M в килограммах известно с низкой точностью, лишь до четвертого знака, вследствие низкой точности универсальной гравитационной постоянной G = 6,67384(80) х 10-11м3кг-1с-2 [4]. Однако произведение GM, или геоцентрическая гравитационная постоянная GM = 3,986004418(8) х 1014 м3с-2 [5], известно с точностью до девятого знака, регулярно уточняется по многочисленным спутниковым измерениям и считается фундаментальной константой.
Положим M = Me + Ma, где Me — масса твердой Земли (вместе с океанами и грунтовыми водами), а Ma —масса атмосферы. Масса твердой Земли составляет около шести зеттатон или 6 х 1024 кг, а масса атмосферы — около пяти петатонн или 5 х 1018 кг. Известно, что массы Me и Ma постоянными уже не являются. Причина их изменений — воодообмен. Каждое календарное лето атмосфера впитывает с поверхности океанов и твердой Земли около тератонны или 1015 кг воды и каждую зиму возвращает эту воду обратно на Землю [6]. На первый взгляд это утверждение кажется нелогичным, ведь лето северного полушария является одновременно зимой южного, и общий водообмен должен быть нулевым. Однако он не нулевой вследствие того, что в северном полушарии площадь суши значительно больше, чем в южном. Фактически указанный объем воды изымается из оборота зимой северного полушария, когда находится на суше в виде снежного покрова.
В качестве системы координат здесь и далее выберем Международную Земную Систему Координат, МЗСК (International Terrestrial Reference System, ITRS) [5]. Рассмотрим точку, заданную в МЗСК расстоянием от центра r, а также геоцентрическими широтой ф и долготой Л. Гравитационый потенциал земной атмосферы V в точке (r, ф, Л) по определению пропорционален интегралу по объему атмосферы от плотности воздуха, деленной на расстояние между точкой (r, ф, Л) и элементом притягивающей массы. Потенциал V(r, ф, Л) допускает стандартное представление в виде ряда по шаровым функциям [7] (1/r)l+1 cosтЛР1т(sinф) и (1/r)l+1 sinтЛР1т(sinф):
V(r,<f>,\) =-(~) (Cim COS m\ +Sim sin mX) Pim (sin ф), (1)
a l=0 r m=0
где Pim (sin ф)—присоединенные полиномы Лежандра; C¡m, S¡m —безразмерные коэффициенты Стокса; a = 6378136,6м — большая полуось Земного эллипсоида [5]. Присоединенные полиномы Лежандра нормированы «естественным» образом, то есть:
г2п fn/2 (/_m)i
/ / P2m (sin ф) cos ф Аф dA = ) .
Jo J-n/2 (2/ +1)(/ + m)l
В разложении (1) коэффициенты Стокса безразмерны, для чего каждый из них до-множен на нормирующий множитель Ma1. В случае потенциала атмосферы казалось бы логиченее вместо Ma1 использовать множитель Maal, но мы этого не сделали по двум причинам. Во-первых, масса атмосферы Ma в отличие от массы Земли M
переменна во времени, что привело бы к переменности нормирующего множителя. Во-вторых, масса Земли M в составе нормирующего множителя для потенциала атмосферы позволяет обеспечить соизмеримость атмосферных коэффициентов Стокса с коэффициентами Стокса полного геопотенциала. То есть в данном случае коэффициент Стокса для полного геопотенциала степени l порядка m всегда будет простой суммой соответствующих коэффициентов Стокса для твердой Земли и для атмосферы.
Связь коэффициентов Стокса с коэффициентами давления. Коэффициенты шаровых функций в разложении (1) по определению [7] имеет вид
С1т\ (2 — Spm)(l — то)! Г2* Г/2 , JcostoAI 2
„ > =—,, ,--— / / / г pPim(s 1пй . , > г cosф dr аф ал,
Simj Mal(l + то)! У0 J_„/2Jrs ' 1тУ W\sin тоЛ/ v v '
(2)
где где Som — символ Кронекера, равный единице при нулевом m и нулю в противном случае; р — плотность атмосферного воздуха; r2 cos ф dr d^ dA — элемент объема в сферических координатах. Интегрирование по r выполняется от поверхности Земли rs до некоторого расстояния, на котором плотность атмосферного воздуха становится пренебрежимо малой. Условно это расстояние обозначено символом ж. На практике же верхний предел интегрирования определяется наибольшей высотой, для которой имеются метеоданные.
Конечно же, атмосферные коэффициенты Стокса Cim и Slm, а следовательно и потенциал V, можно было бы определять непосредственным интегрированием по формуле (2). Однако плотность воздуха р, во-первых, не измеряется в метеорологии непосредственно, а во-вторых, согласно уравнению Менделеева—Клапейрона, является функцией давления, температуры и влажности. Для уверенного определения коэффициентов Стокса последние три параметра должны быть достоверно известны по всему объему земной атмосферы, что на данный момент, по-видимому, недостижимо [8]. Кроме того закон Менделеева—Клапейрона нарушается при всяком изменении фазового состояния воды в атмосфере, что также значительно усложняет определение плотности воздуха в каждой точке атмосферы. Следует отметить, что эта проблема хорошо известна в теории астрометрических редукций радионаблюдений. Если «сухая» компонента задержки радиосигнала в атмосфере определяется по метеоданным достаточно уверенно, то достоверности метеоданных для оценки «влажной» компоненты явно недостаточно. Поэтому она оценивается либо по специальным радиометрическим измерениям, либо включается в число определяемых параметров сеанса наблюдений. Известно, что эта проблема привела даже к появлению GPS-метеорологии, когда содержание воды в атмосфере определяется по специальным GPS-измерениям.
Идея определения атмосферных коэффициентов Стокса лишь по давлению воздуха на поверхности Земли впервые была предложена, по-видимому, в работе [9]. Авторам удалось связать коэффициенты Стокса Cim и Sim с коэффициентами разложения атмосферного давления по сферическим функциям. С этой целью был использован формализм из работы [10]. Приведем альтернативный вывод полученного в [9] соотношения, который представляется несколько более простым и отражающим физический смысл задачи.
Обозначим внутренний интеграл из формулы (2) как I(ф, A, l):
I(ф, A,l) = rl+2 р dr, (3)
Jrs
тогда формула (2) примет вид
t)- C^^^sSH»«-(4)
Вычисление интеграла I(ф, Л, 1) по метеоданным в настоящее время вызывает значительный интерес в геодезическом сообществе. В работах [11, 12, 13 и 14] предложено по крайней мере четыре разных способа его оценки. Мы же ограничимся здесь приближением «тонкой сферической атмосферы», а более точную теорию оставим в качестве темы для отдельного исследования.
Во-первых, будем считать поверхность Земли сферой радиуса R, где R — средний радиус Земли. В качестве R примем средний радиус Земли, рекомендованный Международным Геодезическим и Геофизическим Союзом, МГГС (International Union of Geodesy and Geophysics, IUGG). Согласно рекомендации МГГС R = (2a+b)/3, где b — малая полуось Земного эллипсоида. В выражении через большую полуось и сжатие Земного эллипсоида f = 1/298,25642 (см. [5]) R = a(3 - f )/3 = 6371008 м. Стоит отметить, что R с точностью до первой степени сжатия равен радиусу сферы, площадь которой равна площади Земного эллипсоида.
Во-вторых, будем считать, что основная масса атмосферы сосредоточена в тонком по сравнению с радиусом Земли слое, толщиной JR, а также, что плотность воздуха р внутри этого слоя не зависит от r. Тогда интеграл из (3) примет вид
/' R+SR
I(ф, Л, 1) = р / rl+2 dr = р Rl+2 JR,
R
где JR ^ R, а интегрирование выполнено согласно теореме о среднем. В свою очередь произведение р JR по закону гидростатики равно отношению атмосферного давления p к ускорению свободного падения g. В качестве g в нашем приближении достаточно принять стандартное (среднее) ускорение свободного падения на уровне моря g = 9,80665 мс-2, рекомендованное Комитетом по данным для науки и техники CODATA [4]. Таким образом, окончательно интеграл (3) примет вид
1(Ф,х,1) = Rl+2p^x\ g
Подставив это выражение для I в формулу (4), получим \Simj Ма1(1 + то)! д J0 J^/2 w\sinmA/ v v
(5)
С другой стороны, поверхностное давление р(ф, Л) есть функция, определенная на сфере, следовательно допускает разложение по сферическим функциям:
n I
р(Ф, Л) = (cim cos тоЛ + sim sin тоЛ) Pim (sin ф), (6)
i=0 m=0
где cim и sim —коэффициенты сферических функций. Будем называть их коэффициентами давления. В свою очередь коэффициенты cim и sim по определению равны
'cim\ (2-j0m)(2/+!)(/-ш)! [г/2 jcostoai
**») =-ЫТТш)\-Уо ] lm(SmФ) I-AI COS* ** dA-
(7)
Сравнив формулы (5) и (7), очевидно получим
[С1т 1 = 4тг Д'+2 jclm}
Заметим, что в нашем приближении мы вполне можем принять
Д1+2/а1 = Д2. Действительно, Д1+2/ а1 = Д2(1 — f/3) 1 « Д2(1 + lf/3) ~ Д2. Ошибка такого приближения для l = 3 не превысит 0,3%. Тогда окончательно формула связи коэффициентов Стокса с коэффициентами давления примет вид
fClm] = 4тг Д2 fclm}
\Slm) 21+1 Mg \símJ ' U
Следует отметить, что формула (8) применима не только к атмосфере, но и практически к любому распределению масс на Земле. В работе [9], например, подобное соотношение применялось для оценки влияния землетрясений на геопотенциал и вращение Земли. В работах [11, 12, 13, 14] и других, посвященных проекту GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment), формула (8) применялась к оценке вариаций уровня океана и грунтовых вод. В частности, с ее помощью была оценена скорость таяния Гренладского ледника по спутниковым измерениям проекта GRACE.
Заметим также, что приведенный выше вывод формулы (8) основан только на определении коэффициентов шаровых функций разложения геопотенциала, а также коэффициентов сферических функций разложения атмосферного давления. Появление в формуле (8) множителя 4n/(2l + 1) есть следствие разложения по шаровым фукнциям обратного расстояния от точки (r, ф, Л) до элементарной притягивающий массы.
Превышения геоида N® (ф, Л) над Земным эллипсоидом определяются по формуле Брунса [7]:
n i
N®(ф, Л) = а^ (Cim® cosтЛ + Sim® sinтЛ) Pím(sinф), (9)
1=0 m=0
где нижний индекс ф означает, что данная величина относится к полному геопотенциалу. Формула Брунса (9) верна с точностью до первой степени сжатия, но в силу малых величин коэффициентов атмосферного потенциала такая точность представляется вполне достаточной. Заметим, что коэффициенты Cim®
и Sim® совпадают с
коэффициентами Стокса геопотенциала, см. [7]. Понятно, что формула Брунса также выполняется и для атмосферного потенциала. Формула (9) дает нам возможность вычислить влияние атмосферного давления на геоид, в частности, оценить вклад атмосферы в сжатие Земного эллипсоида.
Далее рассмотрим более подробно влияние атмосферного давления на геопотенциал степени с нулевой по третью.
Масса атмосферы. Из формулы (6) разложения давления по сферическим функциям видно, что первый член разложения представляет собой просто среднее давление по земной поверхности po = coo. В то же время из формулы (8) следует, что Coo = 4пД2ро/(Мд), что очевидно дает Coo = Ma/M. Тогда из формулы (1) V0 = GMa/r. То есть нулевой член разложения атмосферного потенциала есть потенциал притяжения материльной точки с массой, равной массе атмосферы, факт, хорошо известный из теории потенциала.
Геоцентр. Из теории потенциала также известно, что коэффициенты Стокса степени один пропорциональны координатам центра масс притягивающего тела. До недавнего времени считалось, что центр МЗСК совпадает с геоцентром или центром масс Земли вместе с гидросферой и атмосферой. Однако в начале 90-х годов прошлого века у геодезических спутников ЬЛСЕОВ были обнаружены аномальные ускорения. Вскоре эти ускорения были объяснены тем, что на самом деле геоцентр не является неподвижным относительно опорных пунктов МЗСК, а испытывает некоторые почти периодические перемещения в пространстве. Причиной перемещений геоцентра оказалось перераспределение масс, происходящее главным образом в атмосфере, а также, в меньшей степени, в гидросфере Земли.
Геоцентр вследствие распределения атмосферных масс находится в точке с декартовыми координатами (аСц, а$11, аСю), см. [15].
Традиционно в космической геодезии интересовались лишь временными вариациями координат геоцентра, потому что только они сообщают спутникам дополнительные ускорения. Понятно, что если геоцентр статично смещен вследствие постоянного избытка масс воздуха, к примеру, в западном полушарии Земли, то это никак не отразится на движении ИСЗ. Тем не менее такое смещение в самом деле имеет место, как будет показано во второй части работы.
Сжатие, наклон осей инерции, движение полюсов, трехосность. Как хорошо известно, открытие сжатия Земли по направлению к экватору восходит к Христиану Гюйгенсу и Исааку Ньютону. Внимание обоих ученых привлекло наблюдение Жана Рише, который земетил, что маятниковые часы на широте Кайенны (5°) шли заметно медленнее, чем на широте Парижа (49°). Эксперимент Рише по своей сути оказался первым гравиметрическим измерением на Земле. Сегодня же коэффициент формы Земли = —С20Ф = (1,0826359 ± 1) х 10-3 [5], известен с точностью до восьмого знака. Из теории потенциала также известна связь между 7 и моментами инерции [15]: 72 = —С20 = (2/^ — /хх — /у у)/(2Ма2), где /хх, /уу и /** — моменты инерции земной атмосферы относительно осей х, у и г МЗСК соответственно. Конечно же, это соотношение справделиво не только для атмосферы, но и для любого распределения масс в Земле. Известна также связь остальных коэффициентов Стокса степени два с моментами и произведениями (/ху, /х* и /у*) инерции атмосферы [15]: С21 = — /х*/(Ма2), 521 = — /у*/(Ма2), С22 = (/уу — /хх)/(4Ма2) и ^ = — 1ху/(2Ма2).
Как уже было упомянуто, коэффициент Стокса С20 определяет коэффициент формы атмосферы. Геометрическое сжатие Земли /ф определяется по формуле
3 1 П2а3 /е-2^®+2ём> (10)
где П — номинальная скорость вращения Земли [5]. По этой формуле можно оценить вклад атмосферы в сжатие Земного эллипсоида. Формула (10) получается на основе среднеквадратического приближения геоида эллипсоидом вращения. Она является очевидным следствием формулы Брунса (9) и выражения для центробежного ускорения.
Коэффициенты С21 и 521 определяют наклон оси инерции атмосферы относительно оси г МЗСК. Очевидно, что они также связаны с движением полюсов Земли. В работе [16] определяются экваториальные эффективные функции момента импульса атмосферы Х1 и Х2, пропорциональные произведениям инерции атмосферы /х* и /у*:
_ /х* _ /у*
Х1=МЛад' Х2 = МаЧ2ф
Согласно упомянутым выше формулам из [15] получим:
Х1 — С21 Х2 — • (11)
Экваториальные эффективные функции момента импульса атмосферы в свою очередь связаны с координатами полюса Мира посредством уравнения Эйлера—Лиу-виля.
Трехосность Земного эллипсоида, или сжатие земного экватора, впервые было оценено, по-видимомму, Фридрихом Гельмертом из первых гравиметрических измерений в начале прошлого века, правда с большой формальной ошибкой. Сейчас собственно сжатие экватора /е® и долгота большой полуоси Аеф определяются вполне уверенно. Вклад атмосферы можно оценить по следующим соотношениям:
/- 1 ¿>22
/е® = V С222 + в22 > Ае® = 2 аГС^ С22 '
Формулы (12) получаются очевидным образом из формулы Брунса (9).
Отсутствие симметрии относительно экватора. Зональная сферическая функция степени три является нечетной и следовательно отражает отсутствие симметрии относительно экватора. Первое уверенное определение Сзо® по градусным и гравиметрическим наблюдениям, по-видимому, было выполнено профессором Петроградского университета А. А. Ивановым в двадцатых годах прошлого века. Измеренная величина третьего зонального коэффициента говорит о том, что в северном полушарии Земли имеется некоторый избыток массы по отношению к южному. Также можно оценить вклад атмосферы С30. Что касается коэффициентов степени три и порядков, отличных от нуля, то их интерпретация и оценка атмосферного вклада, не являются столь очевидными, и, по-видимому, заслуживают отдельного исследования.
Заключение. Рассмотрен гравитационный потенциал атмосферы в виде ряда по шаровым функциям. Представлен новый вывод формулы, связывающей коэффициенты атмосферного потенциала с коэффициентами разложения поверхностного атмосферного давления. Подробно рассмотрены члены потенциала притяжения атмосферы степеней с нулевой по третью. Установлена их связь с различными глобальными характеристиками атмосферы и рассмотрены глобальные геодинамические эффекты атмосферы через члены потенциала первых четырех степеней. В следующей части работы будут даны численные результаты разложения поверхностного атмосферного давления по сферическим функциям.
Авторы выражают свою признательность В. В. Витязеву за оказанную помощь и поддержку этой работы, а также К. В. Холшевникову, чьи замечания помогли значительно улучшить текст статьи.
Литература
1. Jeffreys H. Causes contributory to the annual variation of latitude // Mon. Not. R. ast. Soc. 1916. Т. 76. С. 499-525.
2. Chao B. F., Au A. Y. Temporal variation of the Earth's low-degree zonal gravitational field caused by atmospheric mass redistribution: 1980-1988 // 1991. J. Geophys. Res. Т. 96. №B4. С. 6569-6575.
3. Brzezinski A., Nastula J. Oceanic excitation of the Chandler wobble // Adv. Space Res. 2002. Т. 30. №2. С. 195-200.
4. Mohr P. J., Taylor B. N., Newell D. B. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010 // Rev. Mod. Phys. 2012. Т. 84. №4. С. 1527-1605.
5. Petit G., Luzum B. IERS Conventions (2010). IERS Technical Note 36. 2010.
6. Trenberth K. E., Smith L. The mass of the atmosphere: a constraint on global analyses // J. Climate. 2005. Т. 18. №6. С. 864-875.
7. Гофман-Велленгоф Б., Мориц Г. Физическая геодезия. Пер. с английского под ред. Ю. М. Неймана. М.: МИИГАиК, 2007. 427 с.
8. Holton J. R. An introduction to dynamic meteorology. Academic press. 1992. 511 с.
9. Wahr J., Molenaar M., Bryan F. Time variability of the Earth's gravity field: hydrological and oceanic effects and their possible detection using GRACE //J. Geophys. Res. 1998. Т. 103. №B12. С. 30205-30229.
10. Chao B.F., Gross R. S. Changes in the Earth's rotation and low-degree gravitational field induced by earthquakes // 1987. Geophys. J. Int. Т. 91. №3. С. 569-596.
11. Swenson S., Wahr J. Estimated effects of the vertical structure of atmospheric mass on the time-variable geoid // 2002. J. Geophys. Res. Т. 107. №B9. С. ETG 4-1-ETG 4-11.
12. Boy J.-P., Chao B. F. Precise evaluation of atmospheric loading effects on Earth's timevariable gravity field // 2005. Т. 110. №B8.
13. Flechtner F. AOD1B product description. Document for product releases 01 to 04. Potsdam: Geofoschunzentrum. 2007.
14. Atmospheric effects on the earth gravity field featured by TU Vienna // Karbon M., Wijaya D., Schindelegger M. [и др.]. Vermessung & Geoinformation. 2011. Т. 2. С. 122-130.
15. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 c.
16. Atmospheric angular momentum fluctuations, length-of-day changes and polar motion // Barnes R. T. H., Hide R., White A. A. [и др.]. Proc. R. Soc. London. Ser. A. 1983. Т. 387. С. 3173.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.
