Метод построения аналитической теории вращательного движения Луны. Основные закономерности в ее движении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Машиностроение к компьютерные технологии

Сетевое научное издание

http://www.technomagelpub.ru

Ссылка на статью:

// Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 03. С. 1-19.

DOI: 10.24108/0318.0001378

Представлена в редакцию: 28.02.2018

© НП «НЭИКОН»

УДК 531

Метод построения аналитической теории вращательного движения Луны. Основные закономерности в ее движении

БарКИН М.Ю.1' "Ьагкт@уап{1е?цги

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Работа посвящена важной прикладной задачи по построению высокоточной аналитической теории вращательного движения Луны. Большое внимание уделяется механической стороне рассматриваемых вопросов. В работе дано описание и обоснование как основных закономерностей в движении Луны так и ряда новых механических явлений, сопровождающих вращение Луны. Дано обоснование законам Кассини при полном учете свойств орбитального движения Луны, описываемых теорией ILE (Improved Lunar Ephemeris). Наиболее полно и с учетом всех возмущающих факторов задачи описаны постоянные смещения векторов кинетического момента вращательного движения Луны и ее угловой скорости в кассиневой системе координат и в системе осей инерции Луны. Отмечена интересная особенность возмущений первого порядка во вращении Луны. Найдена структура общего решения рассматриваемой задачи о вращении Луны. Изучено влияние вековых орбитальных возмущений на вращение Луны.

Ключевые слова: Луна, физическая либрация, переменные Андуайе, селенопотенциал

Введение. Сравнительные оценки величин возмущающих факторов.

Параметры задачи

Для построения аналитической теории вращения Луны используется более общая по сравнению с известными модельная задача, в которой Луна и Земля рассматриваются как абсолютно твердые несферичные тела, а Солнце и планеты как шары с концентрическим распределением плотностей. Орбитальные движения всех указанных тел являются заданными и описываются современными теориями. Земля совершает заданное вращательное движение. При исследовании вращательного движения Луны поэтапно учитываются ко-роткопериодические, долгопериодические и вековые орбитальные возмущения рассматриваемых небесных тел. Однако, к определенным возмущениям во вращении Луны приводят ее упругие свойства, возможные нестационарные процессы, метеоритные удары по ее поверхности. Эти явления в работе не рассматриваются. Здесь лишь отметим, что упру-

гие свойства Луны можно учесть либо в рамках классической теории приливов, либо используя ее современные модификации [1], [2].

В табл. 1 представлены значения основных параметров задачи, используемые в данной работе: тЕ / тм - отношение масс Земли и Луны, щ /(тЕ + тм) - отношение массы Солнца к массе системы Земля-Луна, ¡ = (В - А)/С, у = (С - А)/В - динамические сжатия Луны,

А В С

тмВМ ' тмВМ ' тмВМ - безразмерные моменты инерции, Спт, 8пт - параметры гравитационного поля Луны,

С20, С^2 - основные параметры гравитационного поля Земли, Вм / а - отношение среднего радиуса Луны и большой полуоси лунной орбиты. Здесь же приведены источники, из которых взяты указанные значения. Подробное описание результатов изучения гравитационных полей Луны и Земли дано в монографиях М.У. Сагитова [3] и Н.П. Грушинского [4] (см. также работы [5] и [6]). Отметим, что пионерской работой по определению параметров гравитационного поля Луны на основе наблюдений за движением ИСЛ является работа Э.Л. Акима [5].

Используя общий вид разложений силовых функций им, иМЕ, иш, Ц и их отдельных гармоник, оценим их порядок по сравнению с невозмущенным значением кинетической энергии вращательного движения Луны ^ = Оц/(2В) (О0 - невозмущенное значение кинетического момента вращательного движения Луны).

Основной вклад дает вторая гармоника силовой функции системы Луна-Земля

8М = Ь2

и(2)

иМ

тЕ 2С - А - В^ 0-

тЕ + тМ 2В

Отметим, что такой же порядок как и ЦР имеет часть кинетической энергии Луны АГ, обусловленная ее отличием от шара с концентрическим распределением плотностей,

и слагаемое гамильтониана паИ.

Таблица 1. Основные параметры задачи.

Параметры задачи Источник Современные значения (Ма1зишо1о е! а1., 2010) [10]

тЕ / тм = 81.300587 [3]

щ / (тЕ + тм ) = 328 900.5 [3]

В / тмЯ2 = 0.3905 ± 0.0023 [8]

С / тмЯ2 = 0.3904 ± 0.0023 [8]

А / тмЯ2 = 0.3903 ± 0.0023 [8]

¡ = (В - А) / С = 631.3-10-5 [8]

у = (С - А) / В = 227.8-10-6 [8]

Параметры задачи Источник Современные значения (Matsumoto et я1., 2010) [10]

С20 =-(203.428 ± 0.09) •Ю-6 [5] С20 =-(203.4495 ± 0.0037)^10-6

С22 =(22.395 ± 0.015) • 106 [5] С22 = 22.3722 ± 0.0008

С30 = - 6 •Ю-6 [5] С30 =-8.4328 ± 0.0046

С31 = 29 • 10-6 [5] С31 = 28.4646 ± 0.0019

£31 = 4 • 10-6 [5] £31 = 5.8777 ± 0.0015

С32 = 4.8 • 106 [5] С32 = 4.8428 ± 0.0006

£32 = 1.7 • 10-6 [5] Я32 = 1.6754 ± 0.0005

С33 = 1.8 • 106 [5] С33 = 1.7132 ± 0.0002

£33 = -1106 [5] £33 =-0.2428 ± 0.0002

СЕ2 = 1.771-10-6 [9]

-СЕ = ЗЕ = 1082.637 •Ю-6 [9]

Г /а = 0.0045172 [9]

По зачениям коэффициентов селенопотенциала из современной работы [10] находим значения родственных параметров:

А = 89.4888 ± 0.0032, = 248.1939 ± 0.0053, ^^ = 158.7051 ± 0.0053

тг0

тг0

тг0

Высшие гармоники силовой функции им (порядка N ) приводят к эффектам, характеризуемым малыми величинами

ЕМ = Е2

т

я

^-2

К

ям С)■

я

Для численных оценок примем С^ = 10-4 и —М = 4,5 -10-3. Таким образом, возму-

а

щающие эффекты от третьей гармоники им характеризуются параметром еЕм — 4,5 • 10

от четвертой - е^ - 2 • 10 9 , от пятой - е

м

<10

11

от шестой - ЕМ - 0,41 • 10-13

, от седьмой

- ЕМ - 10 -15

Основной эффект от несферичности Земли характеризуется параметром

Е

М ,Е

/?2 Т?2 С СЕ

яЕяМ С 20 С 20 ^ 1 0-14

а4 ~

Влияние Солнца на вращение Луны характеризуется параметром

т,

тЕ

^ а V

V аЕ у

С20 -10-

Е

2

Учет непосредственного влияния Солнца на вращение Луны составляет актуальную задачу, что обусловлено сравнительно большим возмущающим моментом Солнца и сложным характером орбитального движения Луны и Солнца.

Силовые функции и , характеризующие ньютоновское взаимодействие Луны и планет, в качестве малых параметров содержат величины

m

^3

mE

v a У

Q0 -10

-9

Анализ этих величин для различных планет показывает, что влияние Венеры и Юпитера на вращение Луны является вполне чувствительным (соответствует по порядку эффектов влиянию четвертой и более высоких гармоник функции Uм ).

Порядок величин , ,..., , sfE, ss2, s'2 также важен для выбора моделей орбитальных движений Луны, Солнца и планет. Для второй гармоники Uf следует использовать высокоточное описание орбитального движения Луны, а для изучения влияния планет их орбиты можно принять за невозмущенные кеплеровские орбиты.

В основе данной работы лежат уравнения вращательного движения Луны [11], которые получаются на базе уравнений поступательно-вращательного движения Луны, Земли и планет. Покажем, что при нашем подходе к проблеме является корректным учет всех возмущающих факторов, описанных выше, в рамках рассматриваемой модельной задачи, и, что наш подход позволяет учесть основные эффекты поступательно-вращательного движения Луны.

Анализ структуры уравнений поступательно-вращательного движения и их решений относительно малых параметров sf, S,. ., S, S E, sS, s'2 указывает на то, что возмущения во вращательном движении Луны порядка C соответствуют орбитальным возмущениям в движении луны от ее фигуры порядка. Последние возмущения могут быть учтены в нашей теории физической либрации Луны как дополнительные члены теории ILE. Эти орбитальные возмущения порождают возмущения во вращении Луны порядка Со (Дм / a)2 —1013. Таким образом, в нашей теории учитываются основные эффекты обусловленные взаимосвязью поступательного и вращательного движений Луны.

При более тщательном учете возмущений в орбитальном движении Луны, обусловленных ее вращением, также появляются эффекты порядка С30(ДМ / a)2 —1016, которыми мы пренебрегаем.

Отметим, что приведенные здесь рассуждения носят оценочный характер. Реальный вклад каждого из указанных возмущающих факторов можно оценить лишь в результате вычисления соответствующих возмущений. При этом в зависимости от ранга и класса возмущений их амплитуда может возрастать (или уменьшатся) по сравнению с ожидаемым значением. Это порой стирает грань между различными возмущающими факторами и заставляет проводить теоретические исследования вращения Луны со "страховочной" точностью, которая и принимается в нашей работе (используются полные разложения си-

ловых функций задачи). Последнее замечание является важным для теории вращения Луны, т.к. известно, например, что третья гармоника функции имприводит к отдельным возмущениям с такой же амплитудой, что и вторая основная гармоника.

Приведение уравнений вращательного движения Луны к стандартному виду. Метод построения аналитической теории физической либрации

Луны

Параметры гравитационного поля Луны Спт, 5ит имеют приблизительно одинаковый порядок малости 10-4. Следовательно, предоставляется возможным ввести малый параметр по формулам:

От =МС(„т , ^ =^0) , ¡ = 10-4 , (1)

(п = 2,3,...; т = 0,1,2,...,п) где С™1, 5(0) - фиксированные численные величины порядка единицы. Условия (1) фактически означают, что распределение плотностей Луны близко к концентрическому.

В разложения силовых функций имЕ, иш и и, естественным образом входят величины / а, КЕ / а, / аф, / а, которые также можно рассматривать в качестве малых параметров.

Анализ слагаемого гамильтониана ¥ указывает на то, что к членам первого порядка малости относительно и следует отнести вторую гармонику силовой функции Луны и^, а также часть кинетической энергии ее вращательного движения (обусловленной несферичностью)

1

^ 1 мп2 I Л 1 {—2

2

ч С А В J

иТ =1 — - ^^ - Ь2 +1 ^^ + - — О1 (2)

sin I cos I 1

ч А В В у

2

и слагаемое Е = -паИ + ппО , вызванным неинерциальностью принятой основной эклиптической системы, вращающейся вместе со средней линией узла лунной орбиты на плоскости эклиптики.

К членам второго порядка малости следует отнести вторую гармонику силовой функции Луна-Солнце иш и высшие гармоники силовой функции им (для удобства применения метода к членам второго порядка малости отнесем все гармоники функции им, начиная с третьей). Наконец, остальные слагаемые гамильтониана ¥, представляющие собой силовые функции планет и и соответствующие гармоники силовой функции имЕ, отнесем к членам третьего порядка малости относительно и . Слагаемое, обусловленное подвижностью плоскости эклиптики даты,

E = [n^i sin /? cos (h + Q0 — П) — cos* cos p] —

—G sin p-^'sinih + 0„-П,)+ Gcos p ^ П' (3)

dt V 0 " dt

также отнесем к слагаемым гамильтониана третьего порядка относительно малого параметра и.

В результате уравнения вращательного движения Луны удается представить в следующей стандартной форме

dx dF dy SF

— =--— =----(4)

dt SyT ' dt SxT ' w

F = F (G) + ¡F- (x, y, t) + u2F2 (x, y, t) + ¡3 (x, У, t), (5)

где

G2

F0 = —, (6)

0 2B

UF-=UT- — U2 — nnH, (7)

u2Ff =—UM5 —^ц? , (8)

n>3

r

U3F3 =—Rme —ZU + E, (9)

г=-

Если ограничиться такими моделями орбитальных движений Луны, Солнца и планет, для которых их координаты r, р, Л; rs, р^, Л; r, Pi, Л являются условно-периодическими функциями времени, то гамильтониан задачи F также будет условно-периодической функцией времени и угловых переменных l, g, h. При этом уравнения вращательного движения Луны (4) - (9) принимают стандартный вид гамильтоновых систем и, следовательно, к ним применим метод построения условно-периодических решений при полном резонансе основных частот, а также метод исследования их окрестностей. Второй из этих методов позволяет учесть влияние на вращение Луны остальных членов гамильтониана F , не включенных в ее условно-периодическую часть.

Принимая во внимание соотношения между разностями моментов инерции (в наших принятых обозначениях B > C > A ) и коэффициентами селенопотенциала:

= 4C22 , Т~ = J2 + 2C22 , = J2 — 2C22 , (10)

mr mr mr

после простых преобразований возмущающая часть от кинетической энергии в гамильтониане задачи запишем в виде:

UT =ШL ( Jf — 2Cff ) + ^(G2 — L2) (J2 + 2Cff ) sin21 (11)

или

G 2

/T = — [(J2 - 2C22) cos2 6 + (J + 2C22) sin2 в sin21]. (12)

В выражениях (11) и (12) сохранены лишь члены первого порядка малости относительно параметра / . К возмущающей функции /iFx мы также отнесем неинерциальное

слагаемое juE1 = -nnG cos р, обусловленное равномерным вращением базовой системы координат Oxyz, связанной со средним движущимся узлом лунной орбиты на плоскости эклиптики. В первом приближении пренебрежем влиянием других неинерциальных слагаемых (3), обусловленных подвижностью плоскости эклиптики даты (ввиду их малости). Или отнесем их к возмущениям третьего порядка малости. Если пренебречь слагаемыми второго порядка малости, то выражение (3) можно записать компактнее:

E = G

¡ . , ч <Щ . d ж,

(- cos р cos i + sin р sin i cos h)-- - sin h sin р —L

v ' dt dt

(13)

Порождающее периодическое решение и движение Луны по Кассини

При и = 0 канонические уравнения вращательного движения (3) описывают движение Луны как тела, эллипсоид инерции которого является сферой:

G

L = L0, G = G0, H = H0, l = l0, g = Q01 + g0, h = h0, Q0 = g . (14)

В

где О0 и г0 = (/0, , К, А, Н )Т , = (А, Н, К, Яо, К )Т " постоянные величины. с0 - невозмущенное значение угловой скорости вращения Луны, для которого в соответствии с данными наблюдений примем резонансное значение: с = пр. Условимся вначале сохранять в выражении гамильтониана (4) лишь его условно-периодическую часть (т.е. пока не будем учитывать вековые орбитальные возмущения рассматриваемых тел).

Теорема 1. Если порождающие значения переменных О0 и г0 = (А0, Н0,/0, , К )Т удовлетворяют условиям:

^^ = 0, (15)

fíz

0

\=Щ- * 0, А 2 = ёе! * 0, (16)

дО0 дг0 йг0

где

1 2л 2л 2л 2л

{А) = т:т-т Ц Ц Ъ(А,,00,Н>,/0,я,К0,/м, /5,ъ, д, (17)

(2Ж) 0 0 0 0

то в окрестности решения (14) методом последовательных приближений могут быть построены формальные ряды по целым степеням малого параметра и, представляющие условно-периодическое решение задачи (3) - (5) о вращательном движении Луны. Т.е. усло-

вия определяют существование резонансного движения Луны. Уравнения (15) образует собой систему пяти уравнений.

Усредненная возмущающая функция задачи о вращении Луны первого порядка относительно малого параметра /, с учетом его резонансного вращения, получается в результате вычисления интеграла (17) и имеет вид:

/ ъ)=/ 71)+/ Е)и,).

о2

/(Ъ ) = Г(3 - 2С22 ) ^ в + (32 + 2С22 ) ^ в /0 1 - П00 Шв р

21Б

(18) (19)

- — (32 - 6С22) Б,

нп

(3 в - 1)^ Б0.0.0.0.V, С08 ( .0 ) -

1 .

-81п2вЕ ЕС0£3.0.5 С08(8 + .0) + Т81^ в Е Еп™»3.0», С08(28 + .0)

=1 1/. 2 Р1л.=9 1/.

3

+ -( 3 2 + 2С22) Б

нп

3 8Ш2 вЕЕБ0.0.0.0.^ С08(2/0 + .0) +

£=±1 V

+2 Е 81п в (7 + С08 в) Е Е Сй>13. 0.^ С08 (8 + 2а/0 + .0) -

+1 Е (1 + 7 С08 в)2 Е Е 5V.0 . V С08 (28 + 70 + .0 )

Здесь О = О, в = в, Р = р, /0, 80 и искомые порождающие значения переменных Андуайе (14), которые должны удовлетворять условиям существования условно-периодического решения задачи (15) - (17). Значения первых и вторых производных функции , необходимых для анализа условий теоремы 1, приведены в приложении

(см. табл. П5.4, табл. П5.5 [11]).

Запишем в явном виде первые два из условий (15):

д<

дК

1 д<^> = 0 = 0.

О 81п в дв ' д/п

Будем иметь:

/ ^ = От 81п 2в [-3 + 2С22 + (У2 + 2С22) 81п2 /0 ]

-^ (3 2 - 6С22 ) БП02 ]-381п2вЕ Б0.0.0.0. С08 (.0 )-

(20)

(21)

-2 С08 2в Е Е С0£3.0.5 С08 (80 + .0 ) + ,81п2в Е Е ДЙ.3.0.5 С08 (2 80 + .0 )!

£ V =1

£. = 2

+ ^(32 + 2С22)Бп02 1 381п2вЕЕБ0.0.0.0. С08(2/0 + £.5^0) +

81 I „=+1 „

7=±1

7=±1

+2 2 sin в (ст cos в + cos 26) 2 2 cos (go + 2ст10 + SV5h0 )-

"0.0.Уз.0.У5 cos (g0 1 2CTl0 1 OK5h0,

CT=±1 SV =1 Vc

-2 sin6(CT + cos6) 2 2D00.v3.0v5 cos(2g0 + CT +£V5h0)!

ст=±1 sv,=2 V I

^^^ = (j + 2C ) sin2 в sin 2L (22)

И dla 2IBV 2 22} 0

- (J2 + 2C22 ) B«02 i 6 sin2 622B0.0.0.0. V sin (2l0 + ^ V5h) +

81 | s=±1 v

+42 srn^1 + стcos6) 2 2C0¿3.0.v5 sin(g0 + 2&l00 +svh0)-

CT=±1 SV3 =1 V5

+ 2 ст (1 + ст cos 6) 22 D0í0)v.0v5 sin (2g0 + 2ak + ^ )1.

СГ=±1 = 2 I

Уравнения (21), (22) допускают простое решение: /0 = 0, 0 = ж/2. Действительно, при этих порождающих значениях переменных из (21), (22) получаем условия:

= -3(J2 -2C22)Bn£ 2 2C01,.v5 cos(g0 + ^V5^0), (23)

с6 1 v=1 V

V =1 v

^-^T = -3(J2 + 2C22)Bn2 2 2C0t,v sin(g0 +^V5^0) . (24)

0 1 sv* =1 V

0 2f ^^ 0.0.V3.0V5 60 1 "K5"0

sv3=1 V

Но при v = ( 0,0, V ,0,v5) и sv3 = 1 здесь все коэффициенты

C(s) = -1 sin 2pA(0) +1 (-1 + e cos p + 2 cos2 p) A1' +1 s sin p (1 + s cos p) Á{2)

4 v 2 v y v 4

обращаются в нуль, поскольку по данным таблиц 1 -3 из приложения 2 [9]: Á°o±i о V = 0,

Á(1) = 0 Á2) = 0

a0.0.±1.0v5 0 , a0.0.±1.0V5 0 .

Таким образом, условия существования условно-периодического решения (21), (22) (или (23) - (24)) действительно, допускают решение l0 = 0, 6 = ж /2. Этому решению соответствуют осевые вращения Луны относительно ее полярной оси (в наших обозначениях ось Оц ) которая совпадает с вектором кинетического момента вращательного движения Луны и вектором угловой скорости и соответствует наибольшему из главных центральных моментов инерции B . Отметим, что условия (21), (22) выполняются при произвольных порождающих значениях соответствующих переменных Андуайе g0 и К0. Последние два условия существования резонансного движения Луны из (15) записываются в виде аналогичном равенствам (22), (24) и допускают решение:

К =ж, (25)

g0 - F = 0. (26)

В формуле (26) F =1101511'92 - начальная фаза аргумента лунного орбитального

движения F (для начальной эпохи 2000.0).

В результате решения уравнений (7) находим следующие порождающие значения переменных:

—

10 =0, g 0 =F0, h0 = - , в0 =-, р = p(Ar, Afy), (27)

где значение наклонности р0 определяется из тригонометрического уравнения ( 9).

[(Г - 20) A + rA ] cos 2р0 +[(r - 20) Д + rB2 ] sin 2р, +

+rC2 COs P0 +(r^2 - Fq) sin P0 = 0 • (28)

В уравнении (28) использованы обозначения: 0 = (B - A) / C, r = (C - A) / B при принятых соотношениях между главными центральными моментами инерции B > C > A •

Ир Ы

F >0

1 Ü 2 > 0'

П0

A1 =3SA010)0. 0. V5(-1)V5, B1 =3£(A(20)0.0.v -2A000}0,,5)(-1)v , (29)

2 -v,

4=3 S( A .0.2.0.V + A010)-2.0.v, ) (-1)V

B A(0) + 2 A(0) - A(2) + A(2) V-1)V>

B2 jgSV 2 ^ . 0 . 2 . 0 . 2 ^ . 0 . - 2 . 0v5 A . 0 . 2 . 0 . v5 ^ A . 0 . - 2 . 0 . v5 ) ( 1) ,

5

С =-У {лт - А(1) П =-У ^ А(2) - А(2)

С2 А0-0-2-0^5 ^0.0.-2.0^5^( V , п2 А).0.2.0^5 ^0.0.-2.0.^( V •

4 V, 8 V,

А^0), А,(1), А^2) - численные коэффициенты [9].

При заданных значениях динамических сжатий /, у и известных параметрах орбитального движения Луны: А(0), А^, А(2), ^ уравнение (28), (29) позволяет определить порождающее значение р0. Для расчета значений р0 из табл. П5.2 а, в, с работы [11] выберем следующие коэффициенты А^, которые вошли в уравнение (28):

Ж2) _ -^0.0.2.0.2 9880167 • 10-7 A(i) = "^0.0.0.0.0 - 207 -10-7

A0.0.0.0.0 4963033-10-7 A(l) = -^0.0.2.0.2 190 • 10-7

A(l) _ ^0.0.0.0.1 : 448718 • 10-7 A(0) = ^.0.0.0.1 56 • 10-7

A(l) = -^0.0.2.0.1 - 443828 -10-7 A(2) = "^0.0.0.0.1 - 41-10-7

A0.0.2.0.0 59582 • 10-7 A(2) = "^0.0.-2.0.2 40 • 10-7

A(2) = "^0.0.0.0.2 40439 • 10-7 A(2) = "^0.0.0.0.0 -1-10-7

A(l) "^0.0.-2.0.1 = 883-10-7

Среднее движение п0 рассчитаем по формуле

V

n

n0 =-3 . = 17243514.584436 "/yr (30)

[ F*] \1 + —

[ J \ mE

где F2 = 0.999093141975 - фактор из теории ILE. Откуда также возьмем значение n = 17325643"7931 в юл. год.

Для принятых здесь параметров орбитального движения Луны по формулам (29) находим значения коэффициентов из основного уравнения (28):

A =-673388-10-7 B =-3707054 -10-7

A = 332351-10-7 B2 = 1830188 -10-7

D2 = 3705063 -10-7 F = 40760 -10-7

В таблице 2 представлены результаты численных расчетов значений р0 на основе уравнений (28), (29) для различных значений динамических сжатий /, у из области:

3 = (631.26 ± 0.25) х10~б, у = (227.45 ± 0.32) х10~6, (31)

3 = (631.25 ± 631.35) х 10~6, у = (227.00±228.00)х 10~6. Соответствующие значения р0 (как это показали вычисления) принадлежат области:

р0 = 1032'4Г, 35 1032'42", 41. (32)

Табл. 2. Значения р0 в зависимости от динамических сжатий Луны / и у (а. - в град., мин., сек.; б) - в сек. дуги). Область изменения параметра / от 631.26 х 10_6 до 631.35 х 10_6, шаг 0.01 х 10~6. Область изменения параметра у от 227.00 х10~6 до 228.00 х10~6, шаг 0.1 х10 6 (по вертикали). а)

1032'41".39 1032'41".50 1032'41".62 1032'41".73 1032'41".84

1032'41".38 1032'41".50 1032'41".61 1032'41".73 1032'41".84

1032'41".38 1032'41".49 1032'41".61 1032'41".72 1032'41".84

1032'41".37 1032'41".49 1032'41".60 1032'41".72 1032'41".83

1032'41".37 1032'41".48 1032'41".60 1032'41".71 1032'41".83

1032'41".36 1032'41".48 1032'41".59 1032'41".71 1032'41".82

1032'41".36 1032'41".47 1032'41".59 1032'41".70 1032'41".82

1032'41".35 1032'41".47 1032'41".58 1032'41".70 1032'41".81

1032'41".35 1032'41".46 1032'41".58 1032'41".69 1032'41".81

1032'41".35 1032'41".46 1032'41".57 1032'41".69 1032'41".80

б)

1032'41".96 1032'42".07 1032'42".19 1032'42".30 1032'42".41

1032'41".95 1032'42".07 1032'42".18 1032'42".30 1032'42".41

1032'41".95 1032'42".06 1032'42".18 1032'42".29 1032'42".41

1032'41".94 1032'42".06 1032'42".17 1032'42".29 1032'42".40

1032'41".94 1032'42".05 1032'42".17 1032'42".28 1032'42".40

1032'41".93 1032'42".05 1032'42".16 1032'42".28 1032'42".39

1032'41".93 1032'42".04 1032'42".16 1032'42".27 1032'42".39

1032'41".93 1032'42".04 1032'42".15 1032'42".27 1032'42".38

1032'41".92 1032'42".03 1032'42".15 1032'42".26 1032'42".38

1032'41".92 1032'42".03 1032'42".14 1032'42".26 1032'42".37

Отметим, что найденная область значений р0 (13) довольно узкая и значения р0 с

высокой степенью точности соответствуют наблюдаемому значению среднего наклона экватора Луны к плоскости эклиптики (см. табл. 3). В этой таблице приведены значения параметра физической либрации Луны « р0, полученные различными авторами на основе данных наблюдений или использованные в тех или иных теориях вращения Луны.

Таблица 3. Численные значения среднего угла наклона плоскости экватора Луны к плоскости эклиптики

~ р, полученные и используемые различными авторами.

N Авторы Источник, год Наклонность h ~A>

1 Гайн Ф. Hayn (1923) 1032'43"

2 Козел К. Koziel (1949) 1032'22"

3 Козел К. Koziel (1967) 1032'25"

4 Экхардт Д. Eckhardt (1965) 1032'28"

5 Экхардт Д. Eckhardt (1970) 1032'05"

6 Джефрис Г. Jeffreys (1971) 1°32'19"± 11"

7 Белецкий В.В. Beletskij (1972) 1031'00"

8 Уильямз Ж. И др. Williams et al. (1973) 1032'53"± 6"

9 Мигюс А. Migus (1976) 1032'57"

10 Баркин Ю.В. Баркин (1978) 1033'17"

11 Анрар Ж., Монс М. Henrard, Moons (1978) 1032'49"

12 МАС Seidelman (1977) 1032'33"

13 Феррари А. и др. Ferrari (1977) 1032'33"6 ± 0"2

14 Баркин Ю.В. Barkin (1987) 1032'41"

Отметим, что наше значение р0 фактически является первым приближением к значению параметра /ь. Действительно, согласно предлагаемому методу среднее значение наклонности промежуточной плоскости к плоскости эклиптики определяется формулой (р) = р0+рр) + р2 (р2) +..., где добавки р(р), Р (р2) и т.д. обусловлены возмущающими факторами второго и более высоких порядков (влиянием высших гармоник силовой функции им, притяжения Солнца и т.д.). Найденное порождающее периодическое решение (27), (30) допускает ясную механическую и геометрическую интерпретацию и описывает основные закономерности во вращательном движении Луны.

Решение \ = ж означает, что средний восходящий узел орбиты Луны на плоскости эклиптики совпадает с нисходящим узлом промежуточной плоскости ^ ортогональной вектору кинетического момента невозмущенного вращательного движения С0.

Условия соизмеримости частот и(0) =щ и п(0) = па означают, что за один оборот по орбите Луна совершает один оборот относительно собственного центра масс в системе координат Омхуг (здесь щ - угловая скорость изменения долготы И , и(0) - ее невозмущенное значение).

Решение в0 = ж /2 означает, что плоскость ^ совпадает с плоскостью осей инерции Луны Ом. Если учесть это, то получаем, что долгота узла От плоскости орбиты Луны на плоскости эклиптики равна долготе нисходящего узла экваториальной плоскости Ом ^ •

Решение в0 = ж /2, /0 =0 также означает, что вектор ю0 неподвижен в теле Луны и совпадает с осью инерции Ом], которую мы назовем полярной осью.

Решение \ =ж , = Е также означает, что в момент прохождения центра масс Луны среднего узла орбиты От вдоль линии узлов направлена ее ось инерции Ом^ .

Наконец, вектор С0 образует постоянный угол р0 с нормалью пя к плоскости эклиптики, значение которого (30), найденное выше, соответствует наблюдаемому значению этого параметра.

Приведенные здесь результаты фактически содержат полное обоснование законов Кассини. Найденное здесь решение (27) будет служить порождающим решением для условно-периодического решения уравнений задачи (3) - (5), описывающего промежуточное возмущенное вращательное движение Луны. Важно отметить, что для решения (10), (13) выполнены все условия теоремы 1.

Действительно, введем для вторых частных производных функции обозначения

Вп1/о(хх), д(=Вп2/о(х,у), Н=Вп2о/(уу). (33)

дхдх G дудх G дуду

Выражения функций /, / у и /(у ,у), зависящих от параметров задачи ¡5, у, р0,

приведены в табл. П5.5 работы [9].

В новых обозначениях условие (8) можно представить в виде трех других

/^ *0, /^.*0, /0НН)• {/Г• -(/Г)2}*0.

(34)

Используя значения параметров задачи, по указанным формулам находим численные значения:

/ '1) = 2506.765 • 10-6, /5 ) = 672.2999 • 10-6,

(35)

/л = 673.1132 •Ю-6, и/^ = 671.6517 •Ю-6, которые указывают на то, что условие (8) выполнено.

и/0(Н,Н) =-4.331321, и/(ь'ь) = 410.4448 •Ю-6,

Об устойчивости промежуточного вращательного движения Луны

Выводы об устойчивости промежуточного вращательного движения Луны получим в результате анализа решений уравнений в вариациях по приближенным значениям характеристических чисел а = (\[йр1 +...,идг +...,итх + . ) , для определения которых на основе общих уравнений получим следующие алгебраические уравнения:

82(А) 82А

где а = {дх, т;):

852 8в7

- + А2 = 0,

84 Л) 84 Л) 82(А}

85- 858/ 858/

Е Е2,2 +а1 Е Е2,3 = 0,

Е Е3,1 Е Е3,2 3 ^

Е .8М.84 А)

2,1 8Ь2 858/ 8Ь8Н 8%8к '

Е = 8^ ^ + .82<А)

8Ь2 8/2 818Н 8/8^

Е = 8^ + ^ 8^>

Е2,3 = - - • ---- ^

8Ь2

8Н8/ 8Ь8Н 8к

(36)

(37)

(38)

Е =8ЧБ1.8М..8М.

3,1 8Ь8Н 858/ 8Н2 858^

Е = д2М дЧ^ + д2(л)

3.2 дЬдИ д/2 дН2 д/дИ '

Е д^Е)

3.3 дЬдИ дИд/ дИ дИ2

Значения корней уравнений (15) и (16) будут чисто-мнимыми, если будут выполняться следующие неравенства

/0(**) > 0, /0(ЬЬ) • ) > 0,

/0(ИН).{/Г ■ /^-(/Г)2}> 0, (39)

которые и представляют собой необходимые условия устойчивости условно-периодического решения, рождающегося из решения (10). Но для принятой системы параметров задачи величины /(11) определяются формулами (14) и условия устойчивости (17) заведомо выполняются.

Но для принятой системы параметров В > С > А, а это означает, что Луна вращается с постоянной угловой скоростью (в невозмущенном движении) вокруг оси инерции Ом] , соответствующей большему моменту инерции В , а в момент прохождения средней линии узлов орбиты на эклиптике вдоль линии узлов направлена ось инерции Луны Ом% , соответствующая меньшему моменту инерции А. Подчеркнем, что эти результаты получены для возмущенного вращательного движения Луны, описываемого условно-периодическим решением.

Заключение

Метод построения аналитической теории физической либрации Луны на базе сформулированной модельной задачи заключается в реализации следующей программы исследований решений уравнений (4) - (9), которая предусматривает:

1. Исследование порождающих периодических решений системы (4) - (9) (обоснование законов Кассини, определение параметра физической либрации Луны р0);

2. Построение условно-периодического решения системы (4) - (9) описывающего промежуточное вращательное движение Луны в окрестности движения по законам Касси-ни, определение параметра физической либрации Луны р );

3. Исследование окрестности условно-периодического решения на основе уравнений в вариациях (устойчивость промежуточного вращательного движения Луны, определение основных резонансных либраций Луны и тонких резонансных эффектов);

Пункты 1 - 3 указанной программа полностью приводится в данной работе. В результате построена высокоточная аналитическая теория вращательного движения Луны в переменных Андуайе, отнесенных к подвижной плоскости эклиптики, с точностью не ни-

3

же чем р .

Полученные выводы об устойчивости вращательного движения Луны согласуются с классическими результатами Лагранжа, а также с выводами работ [12] и [13], полученными на основе других более простых моделей вращения Луны. Полученные результаты позволяют глубже понять резонансную природу движения Луны, механические аспекты рассматриваемых явлений. Эти результаты представляют важный интерес для изучения резонансных движений других тел солнечной системы. В частности синхронных спутников планет.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-71-10254).

Список литературы

1. Barkin Yu.V. Theory of physical libration of the Moon caused by a liquid core: Cassini's motion // Cosmic Research. 2016. Vol. 54. No. 4. Pp. 325-342.

DOI: 10.1134/S0010952516030023

2. Barkin Yu.V., Barkin M.Yu. Theory of physical libration of the Moon with the liquid core: Forced librations // Cosmic Research. 2016. Vol. 54. No. 6. Pp. 458- - 474.

DOI: 10.1134/S0010952516060010

3. Сагитов М.У. Лунная гравиметрия. М.: Наука, 1979. 431 с.

4. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли: учебник для вузов. 2-е изд. М.: Наука, 1976. 512 с.

5. Seidelmann P.K. Numerical values of the constants of the Joint Report of the Working Groups of IAU Commission 4 // Celestial Mechanics. 1977. Vol. 16. No. 2. Pp. 165-177. DOI: 10.1007/BF01228598

6. Абалакин В.К. Использование лазерных светолокационных наблюдений Луны для решения некоторых задач небесной механики и геодинамики // Тр. Ин-та теоретической астрономии АН СССР. 1978. Вып. 17. С. 82-133.

7. Аким Э.Л. Определение поля тяготения Луны по движению искусственного спутника Луны «Луна-10» // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170. № 4. С. 799-802.

8. Jeffreys H. The Moon's librations // Monthly Notices of the Royal Astron. Soc. 1971. Vol. 153. No. 1. Pp. 73-81. DOI: 10.1093/mnras.153.1.73

9. Kinoshita H. Theory of the rotation of the rigid Earth // Celestial Mechanics. 1977. Vol. 15. No. 3. Pp. 277-326. DOI: 10.1007/BF01228425

10. Matsumoto K., Goossens S., Ishihara Y., Liu Q., Kikuchi F., Iwata T., Namiki N., Noda H., Hanada H., Kawano N., Lemoine F.G., Rowlands D.D. An improved lunar gravity field model from SELENE and historical tracking data: Revealing the farside gravity features // J. of Geophysical Research. Ser. E: Planets. 2010. Vol. 115. No. 6. P. E06007.

DOI: 10.1029/2009JE003499

11. Баркин Ю.В. Динамика системы несферичных небесных тел и теория вращения Луны: дис. ... докт. физ.-матем. наук. М., 1989. 412 с.

12. Белецкий В.В. О законах Кассини. М., 1971. 37 с.

13. Баркин Ю.В. Вычисление характеристических показателей пери- одических решений Пуанкаре и устойчивость вращательных движений небесных тел по законам Кассини // Письма в Астрономический журнал. 1979. Т. 5. № 2. С. 100-106.

Mechanical Engineering & Computer Science

Electronic journal

http://www.technomagelpub.ru

Mechanical Engineering and Computer Science, 2018, no. 03, pp. 1-19.

DOI: 10.24108/0318.0001378

Received: 28.02.2018

© NP "NEICON"

Analytical Theory Development Method for the Moon Rotation: Basic Laws in Its Movement

M.Yu. Barkin1'* "barkmjgvandexju

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: Moon, physical libration, Anduaye variables, selenopotential

In the paper we deal with development of a high-precision and completely analytical theory of the Moon rotational motion, consider a mechanical system where the Moon and the Earth are non-spherical solids, and the Sun and planets are balls with concentric distributions of densities (or material points). The motion of the Moon's centre of mass is described by the improved theory of ILE (Improved Lunar Ephemeris). To develop the theory, we use specially developed methods and algorithms of conditionally periodic solutions of the Hamiltonian systems with complete resonance of basic frequencies and studying their neighbourhood. The apparatus of generalized (complex) representations of the strength functions of the problem and their expansions in Fourier series is used.

The paper provides a brief rationale of the model problem under consideration, a choice of methods to study a physical libration of the Moon and a substantiation of basic laws in its motion. Estimates various perturbing factors, makes a choice of the small parameter, and reduces equations of the rotational motion of the Moon to the standard form of the Hamiltonian systems for which the algorithms for conditionally periodic solution and studying their neighbourhoods are developed.

As a result of using the first of these algorithms, there is a generating periodic solution, which allows us to describe the basic laws in the Moon motion. Thus, the substantiation of Cas-sini's laws is given taking into complete account the appropriate orbital perturbations of the Moon, described by ILE theory.

It is shown that desirable stability requirements for the perturbed rotational motion of the Moon in the vicinity of its periodic Cassini motion are met.

This theory is of particular interest for the interpretation and scientific use of modern data resulted from the high-precision optical observations of the Moon performed from the Earth's surface as well as (in the future) for data processing of astrometry and optic observations carried out using the lunar research bases.

References

1. Barkin Yu.V. Theory of physical libration of the Moon caused by a liquid core: Cassini's motion. Cosmic Research, 2016, vol. 54, no. 4, pp. 325-342.

DOI: 10.1134/S0010952516030023

2. Barkin Yu.V., Barkin M.Yu. Theory of physical libration of the Moon with the liquid core: Forced librations. Cosmic Research, 2016, vol. 54, no. 6, pp. 458 - 474.

DOI: 10.1134/S0010952516060010

3. Sagitov M.U. Lunnaiagravimetriia [Lunar gravimetry]. Moscow: Nauka Publ., 1979. 431 p. (in Russian).

4. Grushinsky N.P. Teoriiafigury Zemli [Theory of the figure of the Earth]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1976. 512 p. (in Russian).

5. Seidelmann P.K. Numerical values of the constants of the Joint Report of the Working Groups of the IAU Commission 4. Celestial Mechanics, 1977, vol. 16, no. 2, pp. 165-177. DOI: 10.1007/BF01228598

6. Abalakin V.K. Use of laser light-reflecting observations of the Moon for solving some problems of celestial mechanics and geodynamics. Trudy Instituta teoreticheskoj astronomii Akademii nauk SSSR [Proc. of the Institute of Theoretical Astronomy of the USSR Academy of Sciences], 1978, vol. 17, pp. 82-133 (in Russian).

7. Akim E.L. The definition of the gravitational field of the moon on the motion of an artificial lunar satellite "Luna-10». Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences], 1966, vol. 170, no. 4, pp. 799-802 (in Russian).

8. Jeffreys H. The Moon's librations. Monthly Notices of the Royal Astron. Soc., 1971, vol. 153, no. 1, pp. 73-81. DOI: 10.1093/mnras.153.1.73

9. Kinoshita H. Theory of the rotation of the rigid Earth. Celestial Mechanics, 1977, vol. 15, no. 3, pp. 277-326. DOI: 10.1007/BF01228425

10. Matsumoto K., Goossens S., Ishihara Y., Liu Q., Kikuchi F., Iwata T., Namiki N., Noda H., Hanada H., Kawano N., Lemoine F.G., Rowlands D.D. An improved lunar gravity field model from SELENE and historical tracking data: Revealing the farside gravity features.

J. of Geophysical Research. Ser. E: Planets, 2010, vol. 115, no. 6, p. E06007. DOI: 10.1029/2009JE003499

11. Barkin Yu.V. Dinamika sistemy nesferichnykh nebesnykh tel i teoriia vrashcheniia Luny. Dokt. diss. [Dynamics of the system of non-spherical celestial bodies and the theory of the rotation of the moon. Doct. diss]. Moscow, 1989. 412 p. (in Russian).

12. Beletskij V.V. O zakonakh Kassini [On the laws of Cassini]. Moscow, 1971. 37 p. (in Russian).

13. Barkin Yu.V. Calculation of the characteristic exponents of the periodic Poincaré solutions and stability of the rotational motions of celestial bodies according to the Cassini laws. Pis'ma v Astronomicheskij zhurnal [Astronomical J. Letters], 1979, vol. 5, no. 2, pp. 100106 (in Russian).