CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №1-2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Н.Муродов
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Худжандский государственный университет им. академика Б.Г.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 18.10.2016 г.)
В работе найдены верхние грани наилучших приближений некоторых классов функ мами Фурье-Бесселя и вычислены точные значения п-поперечников указанных классов фун
Ключевые слова: функция Бесселя, наилучшие приближения, обобщенный модуль непрерывности, ряд Фурье-Бесселя.
1. Хорошо известно [1, с.355], что система функций {Jv (Якх)}к=1, где 1 (х) - функция
Бесселя первого рода индекса V, а последовательность - занумерованные в порядке
темой собственных функций
возрастания положительные корни уравнения J v задачи
Jv (x ) = 0,
d ( du — x—
отвечающих собственным пространстве L2 := L2([0,1]; xdx) суммир
w};=, эт а система явля адрато
(1) = 0,
ется полной и ортогональной в [ функций f с весом x и нормой
Л
1/2
( x)dx
Всюду далее при изложении результатов данной статьи будем придерживаться обозначений работ [1,2]. В [1], в частности, доказано, что для произвольной функции / е )(D) (определение
в [1,2]) при любом И е (0,1) имеет место неравенство
множес
где да, п е N, причём
быть уменьшены. Здесь
• \
< [1 _ (1 _ t))n ]_ Qm (Drf, h),
(1)
ом фиксированном m константы в правой части (1) не могут
, 1/2
Vrf,t)2:=mi-(l-t)kT'cHDrf)\ ,0</<1
k=1
Адрес для корреспонденции: Муродов Каримджан Насимович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, ул. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: kn-murodov@mail.ru
1
с И )= |х/(х) ^ (Ах)йХ
0
- к-ой коэффициент Фурье-Бесселя,
^ (Л2 1 л V2 Х> = —_ +------
- дифференциальный оператор второго порядка Бесселя. •
Теорема 1. Для любых г е га^геМ, /г е (0,1) справ равенство
sup / )(D)
КЕп _!( / )
Л И
V 0
В частности, при И = 1/ (п +1) из (2) вытекает рав<
Я2ГЕ,
sup
(2
ство
получаем
~ 2 I (и + 1) |
Доказательство. Для произвольной
функции /' е /!:>&)
при лю
Е- (/) - С(1 - <)кс2 (I) = С(1" (1 - ()к )сК/) =
(3)
любом И е (0,1) из равенства
Л* = ¿к (/)|2-"Чс
рименяя к сумме в правой 1 (2т-1\а = 2т (1/ п + \!а = \, те№
Применя р = 2т / (2т -1), q приближения, имеем:
СЯГ" {1 - (1 - 0к }• (4)
части (4) неравенство Гельдера, полагая
е N) и учитывая формулу величины наилучшего
ш
еП-1 (/) -С(1 -' )Ч2(/) <
к=п
л (2т-1)/(2т) г ш 1/(2т)
^Ок (1 - (1 - Г )к Тк1)[ <
I к=п
<&-,(/)}1-1/(2т)-^тт с/-, *),
или что то же
Е1_х(/) < {£„%(/)р2м)-П--(I,0 + £(1 -г)Ч2(1).
к=п
, И) и г
Е-,(/) <{Е-)}1-1/(2т) •( И т (I, I
(5)
Интегрируя обе части неравенства (5) по переменной г в интервале (0, И) и поделив полученный результат на И, приходим к неравенству
V И о
Л И
Ш 1 "
-!(ИИ |(1 - < )кл
к=п \ 0
откуда сразу вытекает, что
( 1 и
1 -:(1-г)пйг Е-,(1) <{ЕП-Х(1)}
1-1/(2т)
V И0
Из (6) получаем
йг.
(6)
Отсюда для произвольной функ:
'И/ПГ(I,г)Л^
#
ЛГлЛ
Из (7) следует, чт
1
(7)
.......
кеГ( I)
^ 1 и
<
Для получения оценю
1 -1 ((1 - г)пйг
V И 0
(8)
эдсч а т по!
и снизу замет
N
получения оценки снизу заметим, что для функции = УДе ''(/)) простой
подсч а т показывает, что
Еп_х (/,) -1, О,,, (ТУ/0, 0 = Л2' (1" (1" 0")" • Пользуясь этими равенствами, будем иметь
sup
I еь2)(D)
Л И
Л гЕп-1 (.10)
1 " У Г1 Й
-1 о:;: (^'7, ол -1 ОА
V И О
Ш
Х2Г -1
(1 -1 )|(1 - *)п^
X
2г
Из неравенств (8) и (9) получаем
Х1гЕп-У( /)
Бир
/ )( D)
(1 к
И т (Dr/, * )С*
1 И
1 --[(1 - *)пС* И{
1 И \т 1—Г(1 - *)пс*\ .
(9)
эирэир-
иеМ иеМ
1/(п+1)
(п +1) |
В самом деле, вычислив верхние грани равенство (11).
(10)
а.
Вычислив интеграл в правой части (10), получаем равенство (2). Теорема 1 доказана.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 из равенства (3) имеем:
ет. (11)
ёМ в соотношении (3),
грани по всем неМ в соотношен 2. Пусть 5 - единичный шар в пространстве Ь2 := ¿2([0,1];хСх); <
(3), получаем
подпространство; Уп е Ь2 - подпростра
странство странство
линейный оператор; Л1 : Ь2
коразмерности \ - непрерывный оператор выпуклое центрально-симметричное подмножество из Ь2. Величины
Ьп(М;4) := Бир{зир{£ > 0: ^ос М: сЬ2},
~Ь2 - п - мерное : —> С„ - непрерывный ого проектирования; М -
<Р I
б/" (5
ют соот ют соот
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, проекционным, гельфандов-ским п -поперечниками подмножества М в пространстве Ь2. Так как Ь2 - гильбертово
пространство, то между перечисленными выше поперечниками выполняются следующие соотношения (см., например, [3,4]):
Ьп(М,4) < Сп(М,4) < сп(М,4) = Пп(М,¿2) = ^(М,¿2). (12)
Для М с ¿2 также положим
п)2:=Бир(Е„_)2: / е }.
В пространстве ¿2 введём следующий класс функций:
т
т
^{г)Ь2{0.т,Т>,И) - класс функций /' е Л';"(1>). у которых V / при всех г е Ж , теМ, 0 < / <1 удовлетворяет условию
1 ь
Теорема 2. При всех г е , да, и е М, 0 < к < 1, справедливы р<
нства нства
равенст
1 г I-"
1 --К1 - г)пйг
где (•) - любой из перечисленных выше п -поперечнике
Доказательство. Из неравенства (7) для произвольной функции т;Т>,И)
получаем
откуда для любого п -поперечника из соотношени
/n-l(W(') £,(П"; D, И))
V А •
: И X"
1 - гг ((1 -
и докажем, что S
Для получения оценки снизу бернштейновс множестве 'Р глЬ2, вводим в рассмотрение шар
(13)
чника, равного правой части (13) в
IV "0 J
я произвольного полинома
к (чп) — (лкх) ^ s;+l
! с \У(%(0,„ ;£>,/?). С этой цельв
Яп ( х) = £С Я)
п £
монотонного возрастания (Лк }"к=1 имеем:
< || Чп ||21 }(1-(1-0")А
1" ^ = Л2Г 1 --((1 - г)ийг й л
в силу
V И 0
к,
а значит Следовательно, согласно определению бернштейновского /7-
поперечника имеем
ЪИ С\У(% (О,,,; А Л), 4) > ЪИ ,4) >
>л;
1 h "
1--f(1 ; t)ndt
h i
(14)
Утверждение теоремы 2 вытекает из сопоставления неравенств (13) и (14).
Учитывая правую часть равенства (2), соотношение (14) запишем в виде
( 1 V"
Отсюда при И = 1/ (п +1) имеем:
ЛИТЕРАТ
У ^ Ar
шые оценки скорост 15, т.55, 6, с.917-
рядов Фурье-
1. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходи Бесселя. - Журн. вычсл. матем. и матем. физ., 2015, т.55, 6, с.917-927.
2. Шабозов М.Ш., Тухлиев К., Муродов К.Н. Точные оценки скорости щмости рядов Фурье-Бесселя и значения п -поперечников некоторых классов функций. - П :мы вычислительной и
прикладной математики, 2015, 2, с.39-47.
росы теории приближений. ation Thee
3. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы те
4. Pinkus A. n -Widths in Approximation Theory, E
. - М.:
1985, 293 pp.
_______..... ^„ательство МГУ, 1976, 325 с.
I. Math. Grenzgeb. (3), 7, Springer-Verlag, Berlin,
К.Н.Муродов
ОИД БА НАЗДИКШАВИИ ФУНКСИЩО БО СУММАИ ФУРЙЕ-БЕССЕЛ ВА КИМАТИ КУТР^О ДАР СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛИ
шшго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров
Дар макола наздикшавии бедтарин сардади болой барои баъзе синфдои функсиядо бо
ани^и n - кутрдо барои ин синфдои функсиядо
• X /%./ I \
дисоб карда шу
. J Л. 7
ш бедтарин, модули бефосилаи умумикардашуда,
суммаи Фурйе-Бессел ёфта шудааст ва кима
• 1 /' I
Калима^ои кал<
цаторуои
ABOUT
да шудааст.
и калидй: функсияи Бессел, наздикуни, Фурйе-Бессел.
&
G OF FUN
6 ^
K.N.Murodov
T APPROACHING OF FUNCTIONS THE SUMS OF FOURIER-BESSEL AND VALUE OF WIDTHS OF FUNCTIONAL CLASSES
fv
ep of the be
.Gafurov Khugand State University
We find the top of the best approximations of certain classes of functions by Fourier sums-Bessel and calculate the exact values of «-widths of these classes of functions.
Key words: Bessel function, the best approximation, generalized modulus of continuity, ranks of Fourier-Bessel.
m
