О ПРЕПОДАВАНИИ ОСНОВ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

О ПРЕПОДАВАНИИ ОСНОВ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

Аннотация

Дисциплина «Дифференциальная геометрия» включена в программы подготовки студентов МГТУ им.Н.Э. Баумана по нескольким направлениям. В статье рассмотрены особенности преподавания модуля «Риманова геометрия и тензорный анализ» студентам второго курса, обучающимся на кафедрах «Математическое моделирование» и «Прикладная математика». Приведены методические материалы для выполнения домашнего задания.

Ключевые слова

дифференциальная геометрия, криволинейные системы координат, риманова метрика, символы Кристоффеля, геометрия Лобачевского

АВТОРЫ

Хорькова Нина Григорьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва ninakhorkova@bmstu.ru

Ахметова Фания Харисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва dobrich2@mail.ru

Абдуллина Эльвира Ирековна,

кандидат экономических наук, доцент Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Набережные Челны abdullina_ei@mail.ru

Введение

Необходимость изучения дисциплины «Дифференциальная геометрия» была обусловлена появлением новых направлений подготовки в МГТУ им.Н.Э. Баумана, потребовавших включения в программу обучения дополнительных курсов геометрического цикла. В статье [1] рассмотрены некоторые аспекты модульно-рейтинговой системы организации преподавания дисциплины "Дифференциальная геометрия" на примере первого модуля дисциплины.

Преподавание второго модуля "Риманова геометрия и тензорный анализ" имеет свои особенности. Первый модуль посвящен изучению классической дифференциальной геометрии кривых и поверхностей в трехмерном пространстве, второй — многомерной геометрии. Современный подход к изложению многомерной геометрии сложился в 70-е годы прошлого века на механико-математическом факультете МГУ и представлен в классическом учебнике [2], первое издание которого вышло в 1980

году. Во втором модуле изучаются следующие темы: криволинейные системы координат в n-мерном пространстве, элементы римановой (псевдоримановой) геометрии, основы тензорного исчисления (понятия тензора и тензорного поля, алгебраические операции над тензорами), основы тензорного анализа (ковариантное дифференцирование тензорных полей, аффинные связности, параллельный перенос векторов, геодезические), векторные поля и внешние дифференциальные формы. Простое перечисление разделов модуля показывает его уровень сложности. Аналогичную дисциплину студенты мехмата МГУ изучают на третьем курсе. Поэтому требуется адаптация материала для студентов второго курса технического университета.

Методология и результаты исследования

Доступность изучаемого материала достигается следующими способами. При изучении теории двумерных поверхностей в первом модуле рассматривается ряд понятий и теорем, допускающих обобщения на случай произвольной размерности. Таким образом, студенты знакомятся с некоторыми понятиями многомерной геометрии сначала на примерах двумерной геометрии. Важно при изложении материала сохранить преемственность терминологии и обозначений. Такой подход к изложению материала первого модуля представлен в учебном пособии [3].

Контроль знаний студентов проводится с помощью домашнего задания и рубежного контроля. Для выполнения домашнего задания по второму модулю и по отдельным темам студенты получают методические материалы в дополнение к учебному пособию [4]. Пример таких материалов для выполнения домашнего задания приведен ниже. Студентам предлагается выполнить простую задачу №1 домашнего задания самостоятельно, а затем сравнить с образцом. Подавляющее большинство студентов признает полезность подобного материала. Затем студенты получают определенную самостоятельность при выполнении домашнего задания. Для решения задачи №2 студентам предлагается самостоятельно выбрать две матрицы: положительно определенную для римановой метрики и знакопеременную для псевдоримановой метрики. Матрицы должны иметь определенный вид. Вариант задачи №2 разбирается на семинаре.

При выполнении задачи №3 студенты могут выбрать формулу для вычисления символов Кристоффеля (из трех изученных). На семинарах делается акцент на формулу, выражающую символы Кристоффеля через компоненты римановой метрики. С помощью этой формулы на лекции вычисляются символы Кристоффеля риманова пространства, в котором реализуется геометрия Лобачевского (модель на верхней полуплоскости). Затем составляется и решается уравнение геодезических, что дает возможность наглядно продемонстрировать нарушение пятого постулата геометрии Евклида (ср. с [5]). Этот материал обычно откладывается в памяти студентов и они запоминают формулу для символов Кристоффеля через компоненты римановой метрики, точнее, помнят о ее существовании и применяют для решения задач. Однако, есть еще одна формула для символов Кристоффеля, которая получается при вычислении ковариантной производной ковекторного поля. Эта формула обсуждается на консультации, после чего студенты делают свой выбор. Для проверки вычислений в задаче №3 студенты должны использовать систему компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Домашнее задание "Риманова геометрия и тензорный анализ"

Домашнее задание состоит из трех задач, образцы которых приводятся ниже. В помощь для решения первой задачи студенты получают методическую разработку с подробным решением образца задачи и примером оформления домашнего задания. Эти материалы приведены в следующем разделе.

Задача 1. Криволинейные системы координат.

1. Доказать, что система функций

У1 = (х1)2 + 2(х2)2 у2 = 2х1х2

задает криволинейную систему координат (у1, у2) в некоторой окрестности усй2 (Х1,х2) точки Р(1,-1) е Р2 (х1,х2).

2. Составить уравнения координатных линий криволинейной системы координат (У1, У2), проходящих через точку Р.

3. Найти локальный базис криволинейной системы координат (у1, у2) в точке Р. Сделать чертеж (координатные линии и локальный базис в точке Р).

4. Даны касательные векторы а, Ь е ГРУ. Найти координаты вектора а в

криволинейной системе координат (у1, у2), если а ^ (1,2)т в декартовой системе координат (х1,х2) и вектора Ь в системе координат (х1,х2), если Ь ^ (2,1)т в системе координат (у1, у2).

5. Вычислить функции дц криволинейной системы координат (у1,у2). Является ли криволинейная система координат (у1, у2) ортогональной?

6. Вычислить длины касательных векторов а,Ь в криволинейной системе координат (у1, у2). ^

7. Вычислить угол между векторами а,Ь в криволинейной системе координат

(у1, у2).

Ответы пп.6 и 7 сравнить с результатами вычислений в декартовой системе координат (х1,х2) .

Задача 2. Римановы и псевдоримановы метрики

1. Показать, что метрика (см. примечание 4), записанная в криволинейной системе координат (у1, у2) из задачи 1, является римановой. Записать риманову метрику в системе координат (х1,х2).

2. Вычислить длины касательных векторов а,Ь е из задачи 1 в римановом пространстве (У, ^/2) .

3. Вычислить угол между векторами а, Ь в римановом пространстве (У, ^/2) . Ответы пп.2 и 3 сравнить с результатами вычислений в декартовой системе координат (х1,х2) .

4. Показать, что метрика й/2 (см. примечание 4), записанная в криволинейной системе координат (у1, у2) из задачи 1, является псевдоримановой. Привести примеры ненулевых касательных векторов <21 ,а2 ,а3 е длины которых в псевдори-мановом пространстве (У, й/2) выражаются соответственно действительным, чисто мнимым числом или равны нулю.

Задача 3. Ковариантное дифференцирование

1. Вычислить символы Кристоффеля криволинейной системы координат (у1, у2).

2. Составить уравнение геодезических в криволинейной системе координат

(у1, у2).

3. Составить параметрические уравнения произвольной прямой на плоскости Я2 (х1,х2) в криволинейной системе координат (у1,у2). Показать, что полученные кривые являются решением уравнения геодезических.

Методические указания к выполнению домашнего задания "Риманова геометрия и тензорный анализ"

Для задачи 1 приведем образец решения.

Задача 1. Криволинейные системы координат.

1. Доказать, что система функций

У1 = (х1)2 + 2(х2)2

у2 = 2х1х2

задает криволинейную систему координат (у1, у2) в некоторой окрестности

и ^Я2 (х1,х2) точки Р(1,-1) е Я2 (х\х2). Решение. Найдем матрицу Якоби

'ду1 ду\ дх2

] =

дх1

ду'2_

"-дх1

и вычислим якобиан в точке Р:

detJ(P) =

_ (2Х1 4х2\ \7.х2 7.x1)

4х2

ду2

Ix2)

4

-7 7

7х2 7х1

= -4^0.

Следовательно, по лемме о локальной системе координат, система функций за-

с

дает криволинейную систему координат (у1, у2) в некоторой окрестности U R2 (х1,х2) точки P(1,-1)ER2 (х1,х2). и

2. Составить уравнения координатных линий криволинейной системы координат (у1,У2), проходящих через точку Р.

Решение. 1) Координатные линии первого семейства задаются уравнениями у1 = С1 = const

или (х1)2 + 7(х2)2 = С1. Константу С1 найдем, подставив в это уравнение координаты точки Р, и получим уравнение координатной линии, проходящей через точку Р: (х1)2 + 7(х2)2 = С1.

2) Аналогичным образом находим координатную линию второго семейства:

Х1х2 = -1. и

3. Найти локальный базис криволинейной системы координат (у1,у2) в точке Р.

дг

Решение. Векторы локального базиса определяются формулой ек = из которой следует, что координаты векторов локального базиса являются столбцами обратной матрицы Якоби

-1 _

(дх1 дхЛ

дх2 Уду1 ду2)

ду2 дх2

'ду1 dy1s

-1

дх1 ^дх1

дх2 ду2

~дх2)

_ (7Х1 4Х2\ 1 _ (7х2 7х1)

1

4(х1)2 - 8(х2)2\-7х

( 7Х1 -4Х2\ (-7х2 7Х1 )

В точке Р обратная матрица Якоби имеет вид:

1(1 7

7Л1

1)

Следовательно, декартовы координаты векторов локального базиса криволинейной системы координат (у1,у2) в точке Р следующие:

-Чг

е2

-1 N Чг,

и

4. Даны касательные векторы а,Ь еТРи. Найти координаты вектора а в криволинейной системе координат (у1,у2), если а = (1,2)т в декартовой системе координат (х1,х2) и вектора Ь в декартовой системе координат (х1,х2), если Ь = (2,1)т в криволинейной системе координат (у1,у2).

Решение. Закон преобразования координат касательного вектора при замене криволинейной системы координат имеет вид

а1' = а1

. дх1

или в матричной форме

дх1

а1 = а1'

дх1 дх1'

7

/5х'\ /5х1\

а' = (57Г а= а',

где (х) = (х1,х2), (х') = (у) = (у1, у2).

Вычисляем координаты вектора а в криволинейной системе координат (у1, у2):

«'=(4 -хм-6)

Вычисляем координаты вектора Ь в декартовой системе координат (х1,х2):

»=-2(12)(И-"4) ■

5. Вычислить функции ди криволинейной системы координат (у1,у2). Является ли криволинейная система координат (у1, у2) ортогональной? Решение. По определению функций ^¿у имеем:

г = ( л (<^\Т _1_( 2Х1 -2х^ ( 2Х1 -4х2^ =

Ь ^ (ду/ (ду/ 16((х1)2 - 2(х2)2)2 (-4х2 2Х1 ) (-2х2 2Х1 )

1 /(х1)2 + (х2)2 -3х1х2

0.

4((х1)2-2(х2)2)П -3х1х2 (х1)2 + 4(х2)2,

Так как матрица С не является диагональной, то криволинейная система координат (у1, у2) не является ортогональной.

Для дальнейших вычислений понадобится матрица С в точке Р:

6. Вычислить длины касательных векторов а, Ь в криволинейной системе координат (у1, у2).

Решение. Длина вектора в криволинейной системе координат вычисляется по формуле

||а||= ^ .

Найдем длину вектора а:

Вычисления в криволинейной системе координат дают такое же значение длины вектора а, что и в декартовой системе координат. Найдем длину вектора Ь

й=> «(3 3)(2)=2■

которая также совпадает с длиной вектора Ь, вычисленной в декартовой системе координат. ■

7. Вычислить угол между векторами а, Ь в криволинейной системе координат

(у1, у2)-

Ответы пп.6 и 7 сравнить с результатами вычислений в декартовой системе координат (х1,х2) .

Решение. Косинус угла между векторами находится по формуле

(а,Ь) cos w =-—

Длины векторов а,Ь уже известны. Найдем скалярное произведение:

(4S)=i(-6 2) (3 5) (2) = -5.

Вычисления в декартовой системе координат дают, естественно, то же самое значение

-2

( ä,b) = (1 2)(_j//^ = -S.

2/

Следовательно,

2

С05(р= я

Для решения задачи №3 студентам предлагается сделать выбор формулы для вычисления символов Кристоффеля криволинейной системы координат (у1, у2):

. д2ха ду1 . д2ук дха дх?

р1 __^ р I _ __^

]к = ду]'дук дха' ]к = дхадхР ду1 дук'

Г> =1па (дда1 I ддак ддЛ []к 2У \дук + ду1 дуа).

Заключение

Изучение модуля «Риманова геометрия и тензорный анализ» дисциплины «Дифференциальная геометрия» представляет определенные трудности для студентов технических университетов. Выбор метода изложения и дополнительные методические материалы делают доступными для освоения студентами сложных разделов современной геометрии.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Хорькова Н.Г. Особенности модульно-рейтинговой системы организации преподавания дисциплин профессионального цикла в техническом университете. // Гуманитарный вестник (МГТУ им. Н.Э.Баумана): электронный журнал - 2015. - №4. - Режим доступа: http://hmbul.bmstu.ru/cat_edu/pedagog/231.html.

2. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии : учебник для вузов / Мищенко А. С., Фоменко А. Т. - М. : Физматлит, 2004. - 298 с. : ил. - (Классический университетский учебник). - ISBN 5-9221-0442-X.

3. Хорькова Н. Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Поверхности в пространстве : курс лекций / Хорькова Н. Г. ; МГТУ им. Н. Э. Баумана (национальный исследовательский у-т). - 2-е изд. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. - 97 с. : ил. - ISBN 978-5-7038-4886-9.

4. Хорькова Н. Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Риманова геометрия и тензорный анализ : учеб. пособие / Хорькова Н. Г. ; МГТУ им. Н. Э. Баумана. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. - 83 с.

5. Акимова И.Я., Ахметова Ф.Х. Заметки о геометрии Лобачевского. // Научно-методический электронный журнал Концепт 2016 .- № 6, http://e-koncept.ru/2016/16123.htm

Nina G. Khorkova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow ninakhorkova@bmstu. ru Faniya Kh. Akhmetova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow dobrich2@mail.ru Elvira I. Abdullina,

Candidate of Economic Sciences, Associate Professor, Kazan Federal University (Naberezhnye Chelny Branch), Naberezhnye Chelny abdullina ei@mail.ru

On teaching the basics of Riemannian geometry and tensor analysis at a technical university

Abstract. The discipline "Differential geometry" is included in the training programs for students of the Moscow

State Technical University named after N.E. Bauman. The article discusses the features of teaching the section

"Riemannian geometry and tensor analysis" to second-year students studying at the departments "Mathematical

Modeling" and "Applied Mathematics". Methodological materials for doing homework are given.

Key words: differential geometry, curvilinear coordinates, Riemannian metrics, Christoffel symbols, Loba-

chevsky geometry.