О предельном распределении числа достижений заданного уровня процессом скользящего суммирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

4. Гиттис, Э.И. Преобразователи информации для электронных цифровых вычислительных устройств. Изд. 3-е / Э.И. Гитис. - М.: Энергия, 1975. - 448 с.

5. Хлистунов, В.Н. Основы цифровой электроизмерительной техники и цифровые преобразователи / В.Н. Хлистунов. - М.-Л.: Энергия, 1966. - 345 с.

6. ГОСТ 8.207-76. ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.

7. ГОСТ 8.011-72. ГСИ. Показатели точности измерений и форма представления результатов измерений.

8. Алексеев, В.В. Интегральная оценка точностных возможностей микроэлектромеханических преобразователей линейных ускорений / В.В. Алексеев, Ю.В. Ковганич, В.М. Полушкин, С.П. Тимошен-ков // Матер. всероссийской научно-технической конф. «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве, космической механотронике», г. Воронеж, 2011 г.

9. Домрачеев, В.Г. Цифровые преобразователи угла: Принципы построения, теория точности, методы контроля / В.Г. Домрачев, Б.С. Мейко - М.: Энер-гоатомиздат, 1984.

О ПРЕДЕЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЛА ДОСТИЖЕНИЙ ЗАДАННОГО УРОВНЯ ПРОЦЕССОМ

скользящего суммирования

А.Б. ЛОСЬ, доц. каф. компьютерной безопасности МИЭМНИУ ВШЭ, канд. техн. наук

alexloss@miem. edu. ru

Пусть X1, X2,..., XN - (1) последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, принимающих значение 1 и 0 с вероятностями p и q соответственно, p + q = 1,

т=Xi+X2+•••+x+n-H t = 1 v.

процесс скользящего суммирования, порожденный последовательностью (1).

Исследованию характеристик процесса ^t(n) посвящено довольно много работ в научной литературе [1-5].

В настоящей работе получены условия сходимости числа достижений заданного уровня процессом ^(и) за время N-n+1, к закону Пуассона и нормальному закону, а также исследовано предельное распределение времени первого достижения процессом ^(и) заданного уровня т.

Введем индикаторы vt(n,m) достижения процесса <ztt(n) заданного уровня т, полагая 1, если (п)>т

0, если (п)<т

1, если т, b,t{n) = m

0, в противном случае

t = 2,з,-;

Положим также

N-n+1

r\N{n,m)= I vt(n,m)

t=l

- число достижений заданного уравнения m процессом ^t(n) за время N-n+1, т(и,т) = = min (N | nN (n,m) > 0) - время первого достижения заданного уровня т процессом ^t(n).

Заметим, что случайная величина x(n,m) изучалась в работе [6], где получена двусторонняя оценка вероятности p(x(n,m) > N}. В [7] для вычисления вероятности p(x(n,m) > N} предложена приближенная формула.

Далее, где это не вызовет путаницы, будем опускать индексы n и m в обозначении индикаторов vt(n,m).

Введем необходимые для дальнейшего изложения обозначения

/'„Л я

С(иД)= pkд”к, Р(п,т) = У^.С(яА),

\к У к=т

X = E nN (n,m)= D(n.m) + (N-n) C(n-1,m-1)p-q,

m—2 n—s

'Z Z C(n-k,s)x

2 21 x = p ■q

s=0 k=m-s+1

xC(к - 2, m - s -1) • C(k - 2,m - s - 2).

Везде далее предполагается, что

^ /Л

Kkj

при к > n или n < 0 и

(кЛ

при к > 0.

v<V

= 0

= 1

184

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Теорема 1. Пусть при N, n,m — ю величина p (p < Ро < 1) изменяется так, что

he~x / m — 0 (2)

(n-m)p = O (1). (3)

Тогда, если Х— ю, то равномерно по значениям k = 0, 1, 2,..., 2 [Х]

p{nN (n,m)=k} = Xkex / k! • (1+o (1)) (4)

и случайная величина nN(n,m) распределена асимптотически нормально с параметром (Х,Х).

Х0 =

const,

то

Если Х ——Х0

j^£\x(n,m) gX,(z-l)

Вначале докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть при N, n,m — ю величина p (p < р0 < 1) величина p изменяется так, что Х > C > 0, C = const, и выполняется условие (3). Тогда

1) nm 7 N — 0 при любом t < ю ,

2) (N-n)x = O^m).

Доказательство леммы. Для доказательства утверждения 1) рассмотрим два случая.

а) Пусть m/n — 1.

Обозначим Л = n - m и рассмотрим величину 5 = nm* •C(n-1,m-1)pq.

Поскольку

г п -О vm - 1у

то 5 < nt+1+h • pm / h!

Учитывая, что h! > hh • e-h, а также, что h/n — 0 при n — ю , получаем 5 < nt+1+h • pm / h! = exp{(t+1)7nn - hln(h/n) +(n-h)7np} = = exp{n[(t+1)n-1 inn - h/n inh/n +h/n + (1-h/n)lnp]} = exp[n(lnp• (1+o (1) +o (1))} — 0при n — ю.

Отсюда следует, что 5=nmt •C(n-1,m-1)pq — 0 при n — ю.

Поскольку Х = D(n,m) + (N-n) C(n-1,m-1)pq > c >0, то 5 /Х — 0 при n —ю.

Так как в условиях леммы m—ю, то в силу (3) и неравенства q>1 -p0,p0 = const,p0 < 1 справедливо соотношение

nt~

i+Z

D(ri,rn)=C(n,rn)x (n-m)...(n-m-k + \)

ш (m +

- C(n, m)(l + о (l)).

Поэтому, Х = (N - n + n/mq)• C(n-1,m-1)pq • (1+ o (1)), и, следовательно, nm* /(N-n +n/(mq)) — 0 при N, n,m — ю , откуда следует утверждение 1) леммы в случае а).

б) m/n — у < 1.

Нетрудно видеть, что в этом случае условие (n-m)p=o (1) эквивалентно условию np=o (1).

Поскольку

VH-ly

m-1

п

то nm* •(N-n) C(n-1,m-1)pq < mf •(np) / / (m-1)! — 0 при n, m — ю.

Отсюда с учетом сделанных выше замечаний следует справедливость утверждения 1) леммы в случае б). Утверждение 1) леммы доказано. Докажем утверждение 2). Нетрудно видеть, что

(N-n)x < Хх [(C(n-1, m-1) pq]-1.

По определению величины x имеем

№1-2 n—s

(N-n)x-{N-n')p2q2^j ^ C(n-k,s)x

s=0 k=m-s+l

xC (к-2 ,m- s - l)c(k-2 ,m- s - 2){N-n)x<

m—2 n-s

гп-кУ ' к-2 ' г к-2 '

V 5 У Km-S~ \; Кт-s -2;

n — 2

№1-5-1 k+S~

p v

Поскольку

' к-2 л r n-s-2Л

max =

Ae[№i-5+l,w-j] Кт- s -2у ут-s - 2у

/ \ n~s~ 2>

(л^-и)х<Х2^ x

J=0

^и-АЛ/^ A: - 2 > v s )\m -5-1,

m-5-1 V 1

k=m-s+1

v™-U

Применяя известное тождество

Г n +1 ^

п-кл гкл

*=1 V m Jv>

из (5) получаем

^№1 + / + 1

(5)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

185

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

гп-кл у s >

' к — 2 ' Кт-s -\;

^ f и-А

k=m-s+1

Vя-V

и, следовательно,

rп - Xs

у т J r п- Xs

Vя-У

, V (п-т) n-s-2\

(N-n)x<k----J-p-У

,s-0 \m-s-2J

т

п-т

т

ms-2. (6)

Обозначим m -s - 2 = l, n - m = h и рассмотрим величину

т-2 r n — s — 2^ m—2 Уг + Г

Z J=0 Km- s - 2; m-s-2 X ’ ^ =2. /=0 , / >

/

P

Покажем, что при выполнении условия (3) она ограничена. Для этого достаточно показать сходимость ряда

^(А + Л ,

L Р

1=0 V 1 У

Нетрудно видеть, что

(h + l\

К I )

, (Л + /)А , t-p'

А.

■р s

А!

■Р =-

(1 + -)

А! /

Поскольку

( AV

л

< в

1 + -v /;

при h, l > 0 и h! > hh е h, то

(h + l\ , . , ,

р <1 ■ р •/

I / J

Г А2

= ехр-| А • 1п/ + / • Inр + — + А - AlnA ^ =

= exp{k(lnp +(h/l)2 + h/l • (1- ln(h/l))}. Далее заметим, для любого значения h найдется такое l что для всех l > l0 справедливо неравенство (h/l)2 + h/l • (1- ln (h/l)) < ln(

(1+Po)/2Po)).

При этом

<

(h + f\ , r r i+/0

p <exp<l lnp + ^

V Z J l l Po J

< exp« /

ln/?0 +ln

l + Po

2Po

Тогда очевидно, что

-e/i+A,v

11= О +

Ji l 2 J

2 J

= 0(1).

Обозначим C0 = C0(h) >0 величину, удовлетворяющую условию h/l < C0 для всех l > l0 и h/l > C0 для всех l <l0.

Тогда для величины l = 0, 1,..., l0-1 справедливы соотношения

(А + Л , (А + О'

V / У

У

А • р • 1 +

<

Л Y

/!

Ауу

(*-р-(1+1/с0)У

4-1

/!

Поэтому

ГА + Л

/!

I. , ,

н V 1 У

4-1

Р

A-p-(l+l/Ct)Y

/!

У

< ехр|А • • (1 + С0_1)}= o(l).

Таким образом, при выполнении условия (3)величина

vf«-5-2>) м_2

J=0\m-s-2J

ограничена. При этом из соотношения (6) следует утверждение 2) леммы. Лемма доказана. Перейдем к доказательству теоремы 1.

Для значений величины к = 1, 2,. положим

ь,А--А=рЬ,=\=-=\= *} .

Вначале рассмотрим случай ю. Обозначим nN*(n,m) = nN(n,m) - vr В рамках введенных обозначений нетрудно видеть, что

p{nN(n,m)- V(n,m)>0}=P{vj = j}= D(n,m) = f ^(n-m)...(n-m-h+X)'

=C(n,m)r

1+£

f \h\ PX

\

A=1 (m+X)...(m+h)

У

Поскольку по условию теоремы 1 q > 1- p0, то в силу утверждения 1) леммы справедливы равенства D(n,m) = C(n,m) (1+ o (1)) = nm x^ C(n-1,m-1) (1+ o (1)) = nfa(m^(N-

n)^q)1 • (1+ o (1)) ^ 0 (7). Таким образом, p{nN(n,m)- nN*(n,m)>0}^ 0 и, следовательно,

предельные распределения случайных вели*

чин nN и nN совпадают.

Положим далее z = а •У* • n/(N-n) + 2 (N-n)x ,

z2=Zj+e min

s_ J (a-*)4'»-«K™-j)x<4py

TV-и

186

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ю = 2 (X*)2 (n+1)/(N-n) + D(n,m)2, а* = [(2n+1)^eb2]-1, X* = E nN*(n,m)= X + о (1).

Проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1 работы [8], можно показать, что для случайной величины nN*(n,m) справедливо неравенство

*=о

/а *\k -X

(X ) -в к\

<R

(8)

где

(l+z2 ■е2Х'+1~а’ )(2+(Х * +2)/а +е2>:+1~‘'’) l-w/2-z2(l+(X*+2)/ а)

Для доказательства (4) тогда достаточно показать, что равномерно по всем значениям k= 0, 1,2,.. ,,2[X] имеет место соотношение R* =o(Xk e X/k!), где [X] - целая часть X.

Заметим, что функция f(k) = Xk/k! , заданная на множестве {0, 1,..., 2[X]}, достигает минимума в одной из крайних точек k=0 или k= 2[X]. Применяя формулу Стирлинга, получаем

Я*1 1 У1 У1.

(2[^=2V^](2[X])*l(1+0

Поскольку

2[Я]

то

М

12 [X]

>ь

Х2[х]-е2[я]

2yjn [Х] (2 Xf"1 2yln[X] \2)

2[Х]

-» 00

при X—— ю.

В связи с этим, для доказательства соотношения (4) достаточно показать, что R* = о(вх).

Из соотношения (8) следует, что для выполнения последнего равенства достаточно выполнения условий

eX max (ю, z2) — 0 и X = о(а*).

Заметим, что

Ъ2 = C(n-1,m-1)pq = X •N-1 (1+о (1)), (9) поэтому в силу утверждения 1) леммы и условия (2) имеем:

X/а* = X(2n +1) e Ъ2 =

= 2e^X2 nN-1 (1+о (1)) — 0 при N,n,m — ю и, следовательно, X = о(а*).

В силу утверждения 1) и 2) леммы и соотношения (7) получаем

X ^ X

е (о <е

2Х‘

п +1

Л

/ л 2 X 2 \

X е пт

=°

\ т ■ N J

при N,n,m — ю.

Кроме того,

^2-Х-п

N-n +0

+ D2 (п,т)

X 1 \

Хе п

т ■ N

->0

(10)

e'-z<e?

ч Х2(и-/иУ/и-1)

2(N-n\x+e— -----—-----

viV-« v ^ N-n

г

=0

Х-ё-т-п

„Л

V

А1 2

m-N

+0

Х-ё К™ )

+0

X2 -ё (n-niyn (т-Х)

т2 -N

+

■V

)

►0.

(11)

при N,n,m — ю.

Тем самым соотношение (4) доказано. Покажем, что из условия (4) следует асимптотическая нормальность случайной величины

^N(n,m).

В [9] отмечено, что если некоторая случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром X, то при X — ю она имеет асимптотически нормальное распределение с параметром (X, X). В связи с этим в нашем случае достаточно показать, что при X— ю. распределение nN(n,m) есть закон Пуассона с параметром X.

Обозначим Фл(0 характеристическую функцию случайной величины nN(n,m), а ф^ (t) - характеристическую функцию случайной величины ^, распределенной по закону Пуассона с параметром X.

Положим также p{nN(n,m)=k} = pk, при k = 2[X] +1, .

Нетрудно видеть,

Фл(0 - ф5 (t) I =

2[Х]

■2>

л к -X

itk X "6

А X -X

Л -е

(1+о(1)>Х е*-Рк-Цр

x-2[x]+i *=о л!

2М ,

а к -X

Л е

х=о

—ЧО+Е Iе

Х=2[Х>1

/fit

Рк+~

- х -

X •е

к\

Покажем, что

е ' X ~

>------------> 0 при X— ю

x=2[x]+i к !

Л

У

. (12)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

187

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Нетрудно видеть, что

°° о~к\ к

Ё —ГГ = Р& >2[^]}-

к=2[x]+i к !

Применяя известное неравенство р{£, > 2[Х]} < exp {-2[Х]}Ее?, получаем

У -—— < е^е —> 0 при Х— да.

лг=2[>.]+1 к!

Из последнего соотношения следует, что при любом фиксированном значении t все слагаемые в (12) стремятся к нулю при Х — да. Следовательно, при любом фиксированном значении t

|фл(0 - Ф5 (t)| — 0 при х— да.

Это, в свою очередь, означает, что при Х— да случайные величины nN(n,m) и £, имеют одинаковые предельные распределения. Таким образом, утверждение теоремы 1 в случае Х—— да доказано.

Рассмотрим случай Х — Х0 >0, , Х0 =const. Из утверждения 1) леммы и соотношения (7) следует, что D(n,m) — 0 при N, n,m

— да , поэтому предельные распределения nN(n,m) и nN*(n,m) также совпадают и для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что R*— 0 при N, n,m — да .

С учетом (8) имеем Х / a* =2е Х2'пГ-(1+o (1)).

Поэтому, ехр{2Х - а*} = О (1).

Справедливость соотношения

max(ro,z2) — 0 непосредственно следует из (10) , (11) и утверждений 1) и 2) леммы. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть n,m — да так, что n

- m = к > 0, к = const.

Тогдаp{x(n,m) •пк •pn < x} — 1- exp{-x^

p-к q+i / к!}.

Доказательство. Очевидно, что при любом фиксированном x е (0, да),

p{x(n,m) n •pn > x} = p{nN(x)(n,m) = 0}, где N(x)= [x/ nk pn],

поэтому для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что при любом фиксированном x е (0,да), величины N(x),n,m иp, определенные в условии теоремы 2, удовлетворяют условию теоремы 1 со значением Х^) = x- p— •qk+i / к! .

Нетрудно видеть, что Х^) = D(n,m) + + (N(x) -n)C(n-1,m-1)pq ~ x- p- •qk+1 / к! .

Условие N(x) — да , очевидно, выполнено. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть при n,m — да величина p— 0 так, что np — 5 >0, 5 = const, m/n — Y >0, у = const.

Тогда,

p\x {n,m)- >1-ехр|-х-е"5^иЧ.

I \т~У J

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.

Рассмотрим теперь важный с практической точки зрения случай p = q = 1/2.

Обозначим о2 - дисперсию случайной величины nN(n,m).

Теорема 4. Если при N,n — да натуральная величина m> 1 изменяется так, что

( п-Л

N• •2_и->оо, (13)

(14)

то

Vй-у

т-п/2

yjn/2

> л/21пи,

1

е 2dt.

l a J л/2я .

Доказательство. Прямым применением формулы Стирлинга нетрудно показать, что для всех m, удовлетворяющих условию (14), имеет место равенство

ы

■2~”=0(п312У (15)

\т)

Оценим величину о2. Учитывая, что Ev. = p{v. = i}= b. при /= 1,2,...N-n+1 и b . = b. при i, j > 2, получаем

a2 =£^2

N-n+l ? N-n+1

= z E(v-b.) +2- I

!=1 + 2-

I [£v,.v -Z>2] .

2<i< j<N-n+\ L -1

Учитывая, что Ev v = Ev •Ev при | i - j | > n+1, а также, что Ev. v. = b , из последнего соотношения получаем

n+1

a2 =6, (l-Z>, (l-*2 )+2Е(й.,- '62У

i=2

ЛГ-n min(/+n ,ZV-n+l)

I (X+!>

1=2 7=1+1

188

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

> (N-n) b2 (l-b2) - 2 (n+1) b1 b2 -- 2(N-n)w(b2)2 = (b1 + (N-n) b2)^[1 - b2 -- 2(n+1)/(N-n) b1 - 2n b2] - b1 + bjb2 + +2(n+1)(N-n) (b1)2 + 2 n bjb2 > X [1 - b2 --2(n+1)/(N-n) b1 - 2 n b2 - b1 / X] = X (1 +o (1)).

Поскольку из (14) и (15) следует, что n b2 = O(n~1/2) при n — да, а также, что n / N — 0 при N,n — да.

Таким образом, из (13) - (15) и сделанных выше замечаний следует, что а2 — да при N,n — да.

Обозначим X* и (а*)2 соответственно среднее и дисперсию случайной величины nN*(n,m)= nN(n,m)- v1 и рассмотрим величину

(nN(n,m)-x)/a - (v(n,m)-x*)/a=(vi - bi)/a.

Пусть 8>0 - некоторое фиксированное число. Применяя неравенство Чебышева, получаем

р{

при N — да.

Далее заметим, что

cy2-(cj’)2=JE'(v1-i1)2+

и+1 и+1

+^4^гЬАН(1-ь1У2Ш-ЬАУ

i=2 i=2

л+1

<й1(1-й1) + 2ХЬ1,^Ь1(1-й1) + »-й2,

так, как b1. < b. _ b2 при г = 2,и + 1 .

С другой стороны а2 - (а*)2 > b1 (1- b1)

- 2n bib2 .

Поскольку b1 (1- b1) < 1, а nb2 = o (1) , то 1- (а*)2/ а2 ——0 при N — да и, следовательно, а2 = (а*)2 • (1+o (1)).

Из последнего соотношения, а также из (16) следует, что предельные распределение случайных величин (nN(n,m) - Х)/а и (nN*(n,m) - Х*)/а* совпадают. Таким образом, для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что при выполнении (13) и (14) имеет место равенство

(17)

[ ст J V27II

Покажем, что для стационарной последовательности {v.}, i = 2, 3,... выполняется условие теоремы 18.5. 1 работы [10]. В соответствии с [10] для этого достаточно показать что Ф„(£)=тах max г. ГА—> 0 (18)

' ' k<t<n ije{0,l} ^ '

>

1 щ

ст><-----L

I 2 :

) G ■ 8

->0 (16)

при n, к — да, где r.(t) = | p{v2 =i, vt =j} -

- P{ v2 =i}P{v, =j}|/P{ v2 =i}.

Пусть к > 4. Рассмотрим величину max

r11(t), к < t < n .

Очевидно, что r11(t) = = | b2t - b2 bt | /

/ Ь2 < b2,t / Ь2 + bt . ,

Из соотношения (15) следует, что . 2 ^и+1-> —>• 0 при n — да.

*2 =

Далее заметим, что

т-2

^л-Г+Г1 f Г-3 > f f~3 1 r n-X'

ч 5 J ч/л-5-1у Km-s-2; Km~b

-1

—/+2

<2 шах

Г '-31

г п—2s кт~2)

----2 max

Г

Поскольку

r Г-3 ^лг-5-1

Г—3 ^ /и—1

и—1

max

0йяйт-2

к t_з Л Л_3Л <тах

' Г-3 ^ Г-3

то

^<1.

К 2

V 5 У ' Г-3 ^

Ц. 2 \)

Г-3

а 2 j;

•2

-(/-3)

Тогда

max г

к йп

«4

Г £-3 ^

к -3

у-(к-3)

+ 6, —^ О

при n, к — да .

Рассмотрим величину r10(t), равную

ri0(t) = 1 P{v2 = 1, vt =0} - Р{ v2 = 1}P{v, =0}|/ / P{ v2 = 1}.

Принимая во внимание очевидное равенство p{v2 = 1} = p{ v2 = 1, vt =0} + p{ v2 = 1,

vt = 1}, получаем rjo(t) = 1 b2 - b2t - b2 (1-bt) |/

/ b2 = КГ Ь2 bt |/ b2 = rjj(t). ,

Рассмотрим величину r01(t) равную

r01(t) = 1 P{v2 =0, vt = 1} - P{v2 =0, vt = 1}|/

/ P{v2 =0}.

Принимая во внимание равенство P{ vt = 1} = P{ v2 =0, vt = 1} + P{ v2 = 1 vt = 1},

получаем r0!(t) = 1 bt - b2 bt - (1- b2) bt |/ (1- b2) =

= I b2,t - Ь2 bt I / (1 - Ь2) = rn(t) Ь2/ (1- b2) <

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

189

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

< r (t) при всех n, начиная с некоторого номера nQ.

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно показать, что r00(i) = r01(i).

Из сказанного выше следует, что функция ф (к), определяемая соотношением (17), стремится к нулю при п,к ^ го , и последовательность {v.}, i=2,3,... удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания. Таким образом, все условия теоремы 18.5.1 работы [10] выполнены и для случайной величины nN*(n,m) справедливо соотношение (17). Теорема 4 доказана.

Библиографический список

1. Новак, С.Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи / С.Ю. Новак // Теория вероятностей и ее применения. - 1997. - Т 42. - Вып. 2. - С. 274-293.

2. Питербарг, В.И. О больших скачках случайного блуждания / В.И. Питербарг // Теория вероятностей и ее применения. - 1991. - Т 36. - Вып. 1. - С. 54-64.

3. Довгалюк, В.В. Большие уклонения траекторий пуассоновского процесса. - Вероятностные про-

цессы и их приложения / В.В. Довгалюк, В.И. Питербарг. - М.: МИЭМ, 1989. - С. 112-117.

4. Козлов, М.В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: Большие уклонения, условное поведение / М.В. Козлов // Теория вероятностей и ее применения.

- Т. 46. - Вып. 4. - 2001. - С. 678-696.

5. Лось, А.Б. О предельном распределении максимума процесса скользящего суммирования (частичных сумм Эрдеша-Реньи) / А.Б. Лось // Вестник МГУЛ

- Лесной вестник. - № 3(79). - 2011. - С. 185-188.

6. Зубков, А.М. Оценки для сумм конечно-зависимых индикаторов и для момента первого наступления редкого события / А.М. Зубков // Тр. МИАН СССР, 1986. - Т. 177. - С. 33-46.

7. Naus J.I. Approximations for distributions of scan statistics. - J. Amer. Statistic Assoc., 1974, v. 69, p. 810-815.

8. Лось, А.Б. О скорости сходимости к закону Пуассона числа достижений заданного уровня процессом скользящего суммирования / А.Б. Лось // Вестник МГУЛ-Лесной вестник, 2012.

9. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. - М: Мир, 1964. - Т. 1.

- 498 с.

10. Ибрагимов, И.А. Независимые и стационарно связанные величины / И.А. Ибрагимов, Ю.В. Линник.

- М: Наука, 1965. - 523 с.

НЕЧЕТКАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ЧАСТНОГО

случая интервальных нечетких чисел второго типа

Н.Э. МАЛОЛЕПШАЯ, асс. каф. высшей математики МГУЛ

Для анализа зависимостей между качественными характеристиками и прогноза их значений используются методы нечеткого регрессионного анализа, которые значительно расширили границы применения класси-

Рисунок. Интервальное нечеткое числа второго типа с

LMF и UMF

[email protected]

ческого регрессионного анализа, то есть позволили строить регрессионные зависимости на основе нечеткой исходной информации [1]. Однако в настоящее время методы нечеткого регрессионного анализа ограничены рассмотрением только нечетких чисел первого типа, что можно отнести к их недостаткам и причинам достаточно грубой формализации исходной информации [2]. Поскольку представления разных людей об одном и том же понятии могут различаться, то устранить недостатки нечеткого регрессионного анализа позволяют нечеткие числа второго типа, которые имеют достаточно степеней свободы, чтобы сохранить индивидуальные сведения субъектов об определенном понятии и повысить информативность исходных данных. В то же время с нечеткими числами второго типа работать

190

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013