CC BY
43
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ К ЗАКОНУ ПУАССОНА ЧИСЛА ДОСТИЖЕНИЙ ЗАДАННОГО УРОВНЯ ПРОЦЕССОМ
скользящего суммирования
А.Б. ЛОСЬ, доц. каф. компьютерной безопасности Московского государственного института электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики», канд. техн. наук
Пусть X1, X2,..., XN - (1) последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин,
W = Xi+ X2 +.+ X+n-1 , * = - , (1)
процесс скользящего суммирования, порожденный последовательностью.
Для удобства дальнейшего изложения в случае, когда последовательность (1) есть последовательность независимых индикаторов, процесс ^(и) будем обозначать ^Ди).
Последовательность случайных величин ^(и) в научной литературе обычно называют процессом скользящего суммирования или последовательностью частичных сумм Эрдеша-Реньи . Исследованию асимптотических свойств процесса ^(и) посвящено довольно много работ [1-2]. В работах [3, 4] найдена асимптотика умеренных уклонений статистики ^|^+ДАи), в [5] найдено предельное значение функции распределения указанной статистики в условиях: EX. = 0, DX. =1, N,n ^ да и N/n ^ m + 9, где m - целое, 0 < 9< 1.
В настоящей работе получены оценки расстояния по вариации между распределением числа достижений заданного уровня процессом ^(и) за время N-n+1 и соответствующим законом Пуассона.
Необходимость исследования характеристик процесса ^(и) возникает при решении ряда задач защиты информации. К таким задачам относится, в частности, задача исследования промежуточных заполнений регистра сдвига фильтрующего генератора ([6]), а также задачи исследования алгоритмов защиты информации.
Вначале рассмотрим случай, когда последовательность (1) есть последовательность независимых индикаторов, а именно: ситуацию, когда случайные величины X. при-
[email protected], [email protected]
нимают значения 1 и 0 с вероятностями p и q соответственно, p+q=1.
Введем индикаторы v(u,m) достижения процессом ^*(и) заданного уровня m, полагая
. . 1, если £(п)>т
\(р,т)= Г '
10, если qj (п)<т
, ч I 1, если £*i(n)<m, <£(п)=т v((|im)= '_1V ' IV ; ;
[0, в противном случае
t = 2,3, ...
Положим также
N-n+l
r\N(n,m)= % vt(n,m)
t=i
- число достижений заданного уравнения m процессом ^*(и) за время N-и+Е
Далее, где это не вызовет путаницы, будем опускать индексы и и m в обозначении индикаторов v(u,m) .
Введем необходимые для дальнейшего изложения обозначения
С(иД)=
\kJ
„п-k
р я =
Р(п,т)=У'^С(п,к),
к=т
а = [(2n+1)•eD(n,m)] ',
X = Enjum) = D(n,m) +(N-и)C(и-1,m-1)p•q,
т-2 n-s
x = P2-q2Х И C(n — k,s)x
5=0 k=m—s+1
хС(к - 2, т - s -1) • С (к - 2, т - s - 2),
z1 = а- X•n/(N-n)+2(N-n)x, z2 = z1 + e min[X2(n-m)(m-1)/(N-m), Х(ир)2], ю = 2- Х2-(и+1)/^-1) + D(n,m),
In = {1, 2,., N}.
Замечание. Везде далее предполагает-
ся, что
ук;
= 0 при к >и или и<0 и
152
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
( ь\
vOy
= 1 при k > 0.
Для значений величины k = 1, 2,... по-
ложим
КА,-,\=Р{\=\=- = \= 11-
Теорема 1. Если а > 4.5, то
а) Р{Лы(п’т) = °} ^ 1-L ‘ ч ■
’ 1 + w(l + (А + 2) / а)
б) если, кроме того ю/2 +z2 (1+(X+2)/ а)<1, то
^{ъ(и>"0=о}< —
-X . л Хг\- а
е + z2e
и
где
к=0
p{c\N(n,m) = k}-
w! 2 - z2 (l + (X + 2)/а)
XVх
k\
<R,
R-2 max{w,z2}x
y(} + z2- e21+'~a )(2 + (Х + 2)/а + e^+1~a) (2)
l-w/2-z2(l + (A + 2)/a)
Доказательство. Пусть , t = 1, 2, ..L} некоторая последовательность случайных величин, принимающих значения 1 и 0. Пусть также
Xl = ^ + ^2 +.+ ^L , , !L = {1, V-L) ,
Р = E Xl, a = maxp{^=1}.
Для некоторой фиксированной величины d > 0 положим
Т= Z
, iJfh
|/-у|< d
S>= Z P& =$,=!}■
o%%
s*=2>{M*=lU=1}-
где в последнем выражении суммирование ведется по всем наборам (i, j j2) удовлетворяющим условиям 0 < |i-/J < d, 0 < |i-/2| < d, 0
< ij'l-j2| > d-
В статье [7] показано, что если для последовательности {^t }, t = 1, 2,.L существует такое d < А, что для любых целых t,
k < А , 1< i1<.<it < А , 1<j1<.<jk < А и min|it -jj
>d события {£. =1, l = \,t} и = 1, г = \,...,к}
независимы (условие d- зависимости случайных величин ^), то при условии в > р+4.5 справедливы неравенства
е~р (1 - £; / 2) • Г • еу+1~р 1 + Г(1 + (р + 2)/р)
< = 0} <
,-р
+ S -е1
,р+1-р
(1-Г/2-5'*(1 + (р + 2)/р))+
(3)
I
4=0
г{Х£=^}-
-р
р е и
А!
<
^тах(Г,/)(1 + ,УУр+1-рХ2+(р+2)/р+е2р+1-р) (4)
" 1-Г / 2—iS* (1 + (р + 2) / Р)+ ’
где S* = S1 + e S2, в= ((2d+1)a^e))-1, (x)+ = max (0,x).
Нетрудно видеть, что последовательность случайных величин {vt}t=1 N_n+1 удовлетворяет сформулированному выше условию d - зависимости со значениями параметров d = n, L = N-n+1, и p = X.
Для доказательства теоремы 1 оценим входящие в соотношения (3) и (4) параметры T, S* и в.
Нетрудно видеть, что в рамках введенных обозначений
b1 = D(n,m),
b = С(п-1,т-1)П i е I N-n+1.
Поэтому,
T= I bibJ=bf+2fblbk +
iJ^N-„+l *=2
N-n+\ min(N - n + l,t + n)
+2 X Z btbk < tf + 2n ■ bxb2 +
t=2 &=/
+2(iV - n)(n + l)b2 < D\n, m) + X ^ + . (5)
N-n
Для величины S1 справедливы равенства
n+\ N-n rnm{N-n,t+n-\)
S,= Zb,j=2Zbu+2Z EV
i,jeIN_„+1 k=0 t=2 k=t
0<| i-j\<n
Нетрудно видеть, что при любом kе I,- b < b = b
n+1 1,k k 2
Далее заметим, что при любом t е е L \{1}.
N-2n+1
t+n-l
И+1
n+l m-2
Zb<M,=Zb*+ = ZZc("-k>s)x
k=t к-2 k=2 S-0
xC(k -2 ,m-s- 1)C(A-2,m-s-2) = x,
а при t е IN-n \ IN
N-n N-2n+1"
N-n
Zb,
t,k+1
< X.
k=t
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013
153
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Поэтому,
S1 < 2nb2 +2(N-n)x < 2Xn/(N-n) + 2 (N-n)x. (6) Оценим величину S2. Пусть i, j j2 e
e 4-п+1 \ {1} 0<|i-j1|< n, 0<|i-j2|< n, 0<l j1-j2|>n-
Очевидно, что при j < i < j
^ =v, = Ъ=1} ^
= vA =l}n{X/_1=0,Xi+„_1=l}}, и, следовательно,
Xt_x = 0, ^+„_1=1} =
- C(n-2,m-l)-p-q2 •C(n-2,m-2)• p2 - q -(n-m) m-\.
n—1 и-1
[С(и-1,т-!)•/?•#] =
(и - w)(m -1) 2
=-------~--o,.
(«-1)2 2
С другой стороны, имеют место соотношения
bv,h ^ Р^Л = Ъ Х^-1 = =Х)=Ъ2- Р2
Аналогично, нетрудно показать, что для ij е INn¥1 таких, что 1< i < n+1, i < j < i+n, j > n+1, bXi j <D(n-l,m)-q-C(n-2,m-2)p2 -q<
s(n-mXm-l )DMa„_lm_1)p_q =
n(n -1)
(n - m){m -1)
bj)2,
n(n -1)
а также, что b < b V2-
5 1,z, j — 1 r
Для величины S2 получаем
^=ZV,=2 Z K,i+2 Z У*.
Л.>'.Де/ЛГ-л+1
0 <[»-л]£ » оc i—y2 s” У: h > «
1<г</<ЛГ-и+1 i-l< n j-i<n j-\>n
\<j\<i<j2^N-n+\
i~j\ - n
j2-i<n
h~h> n
Заметим, что из соотношения
т-2
Ki+r = X C(” “ r - l> S^C(r - l’m - S - 0 X
5=0
xC(r -1, m - s - r)prqr,
где i > 2, r > 1,
следует, что b. i+1 = 0, b. +n = 0, поэтому, с учетом сделанных замечаний, получаем
s2<2n(n-'\b2(n-mXn:1h
n(n-1)
2(и-1)(и-2) 1)
2 V ' 2 («-1)2
< (n-m)bm-1)b^ b < X2 (n-m)(m-1)/(N-n) (7)
и
2 +
S2 < n^n-1)^ p + (n-1b(n-2b(N-n) b p2 < X^np)2. (8)
Отметим также, что max b = b,, i = 1,
5 i 15 5
2,..., N-n+1.
Учитывая последнее замечание и подставляя (5-8) в (3) и (4) приходим к доказательству теоремы 1.
Пусть теперь случайные величины Х. принимают значения из множества C =
= К c2,■■■,cn}, ci > 0 иP{X = cr} = P(cr), r m-
Зафиксируем некоторое число M > 0 и построим последовательность индикаторов
{М/п,М)} = u,...
Mi (n,M)
1, если ^ (и)> М
I
0, если b («)> М
( ЛЛ\ Я’ еСЛИ ^,-1 W'< М’ ^ (") - М
[0, в противном случае, t =2,3,...
Далее в работе исследуется распреде-
ление случайных величин
ЛГ-и+1
t=i
числа перескоков процессом ^(n) заданного уровня M и т(п,М)= min{NZN(nM) >0} - времени первого перескока процессом ^(n) заданного уровня M.
Введем необходимые обозначения. Положим
G = {(&,&.->&,) gi^C, i = 1,и},
/=1
d(m)= j; х p(gi)-p(sn),
q>M (g!,...,g„)eG(?)
a*=[(2n+1)^e^.D(n)]4.
Для значений величины к = 1, 2,. по-
ложим
Нк ={(b,-A+i)| Ь eC,i = l,n + fc, Ь < М, S2 — М, Sk < М, Sk+l А/},
Wk(M)= Z pQh)-P(K+k)>
Q>1.К+к)еНк
где S2 = Л + h +.+ h + , .
2 r r+1 r+n-1
Пусть также
X* = E ZN {nM) = D(M)+(N-n) W1 (M),
z’=2Л’ ^+2 (^ - ")Z ^* (^ )>
z; =Z,* + e ■ min I———, Л" ■ tt2 (l - /? (a
[У-и 4 7
154
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
d= min cr , ю* = 2 X*(n+1)/(N-n) + D(M)2. Теорема 2. Если a* > 4.5 + X*, то
-А* /л ry* / * У}+\-а
а) p{^N(ntm) = 0}^ + *) 7
1 + со • (1 + (Л, + 2)/ а )
б) если, кроме того ю*/2 +Z2*(1+( X*+2)/ a*)<1, то
p{^(»,M) = 0}<
"х +ZI -ех +1_я
и
£=0
p&N(n,M) = k}-
1-ю /2-Z2(l + (A +2)/a )
Л * -X*
Л • в
(9)
к\
<R{M\ (10)
где
2тах {ю* ,Z2} (1+Z2 е2Х'+1_я*) * х (2+(A*+2)/a*+e2X*+1-a) ,11Л
Л(М)=-М---------------------— . (11)
1-у-^-а+(Я-'+2)/а')
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
Замечание. Результат теоремы 2 позволяет получить оценки для функции распределения случайной величины Фд,(и) = (и),
поскольку р{фы(п)<х} = p{ZN(n,x) = 0}.
В качестве следствия из теоремы 2 далее получим достаточные условия сходимости случайных величин ZN(n,M) и т(п,М) к предельным законам.
Теорема 3. Пусть при N, n — ю величины p(Cj),..., p(cm), и М > n-d изменяются так, что
X* — Х0 > 0, X0 = const, (12)
и n2 (1-p(d)) = 0(1). (13)
Тогда,
££ £лг(п>м) gXo(z-0.
Доказательство. Для доказательства теоремы 3 достаточно показать, что при выполнении условий (11) и (12) величина R(M), определенная в теореме 2, стремится к нулю при N, n — ю .
Для выполнения условия R(M) — 0, в свою очередь, достаточно показать, что
max (ю*, Z2*)—— 0 и (a*)1 =0(1).
Нетрудно видеть, что
D(M) < 1- X P^i)-P(gn) = l~\.P(d)T
(ft.ft) eG(dn)
Тогда, с учетом (13), получаем
n D(M) < n (1- [p(d)]n) = n (1-[1-(1- [p(d)]n) = =n ([1-p(d)]n + 0([1-p(d)]2 n2)) =
= n2 (1-p(d))(1+ 0(1/n)) = 0(1). (14)
Из последнего соотношения следует, что D(M) = 0(1/n) — 0 при N, n — ю и (a*)1 = (2n +1) e D(M) = 0(1). Из определения величины W1(M) следует, что
W(M) = p{^2 (nM) =1} =
= P{^1 (n) < M, ^2 (n) > M}. Необходимым условием события
{^(n) < M, ^2 (n) > M} является выполнение неравенства Xn+1 > d, поэтому
n W1(M) < (1-p(d)) n =
= 0(1/n) — 0 при N, n — ю . Поскольку
X* = D(M) + (N-n) W1(M) = (N-n) W1(M) (1+o(1)) и n W1 (M) — 0 при N, n — ю , то
n/(N-n) — 0 при N, n — ю. (15)
Из (13) и (14) следует, что ю— 0 при
N, n — ю .
Из определения величины Wk(M) следует, что
Wk(M) = Р{^2 (n,M) = hk+1 (n^=1}. Необходимым условием наступления события
{^2 (nM) = h+1 (n,M)=1}
является выполнение соотношений
h (n^ =1, X+n > d ,
поэтому
P{^2 (n,M) = h+1 (n^=1} <
<P{^2 (nM) =1} P{ Xk+n > d} =
= P{^2 (nM) =1}(1-P(d)) = W1(M) ((1-P(d)). Тогда
n
(N-ri)-^J¥k(M)<(N-n)-n-Wl(M,ri)x
k=з
x(l-p(d))<X* n(\-p(d))^>0
при N,n^>cc. (16)
Из соотношений (14) - (16), а также из определения величины Z2* следует, что Z2* — 0 при N, n — ю . Теорема 3 доказана.
Теорема 4.Пусть при n — ю величины p(c1),., p(cm) и M > d-n изменяются так, что выполняется условие (13). Тогда
p{T(n,M) W1(M) < х}— 1- exp{-x}. Доказательство. Очевидно, что при любом фиксированном хе (0,ю),
p{x(n^- W1(M) > х}=p{ZN(x)(n^ =0},
где N(x) = [х / W1(M)];
[a] - целая часть числа a.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013
155
