Нечеткая регрессионная модель для частного случая интервальных нечетких чисел второго типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

< r (t) при всех n, начиная с некоторого номера nQ.

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно показать, что r00(i) = r01(i).

Из сказанного выше следует, что функция ф (к), определяемая соотношением (17), стремится к нулю при п,к ^ го , и последовательность {v.}, i=2,3,... удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания. Таким образом, все условия теоремы 18.5.1 работы [10] выполнены и для случайной величины nN*(n,m) справедливо соотношение (17). Теорема 4 доказана.

Библиографический список

1. Новак, С.Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи / С.Ю. Новак // Теория вероятностей и ее применения. - 1997. - Т 42. - Вып. 2. - С. 274-293.

2. Питербарг, В.И. О больших скачках случайного блуждания / В.И. Питербарг // Теория вероятностей и ее применения. - 1991. - Т 36. - Вып. 1. - С. 54-64.

3. Довгалюк, В.В. Большие уклонения траекторий пуассоновского процесса. - Вероятностные про-

цессы и их приложения / В.В. Довгалюк, В.И. Питербарг. - М.: МИЭМ, 1989. - С. 112-117.

4. Козлов, М.В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: Большие уклонения, условное поведение / М.В. Козлов // Теория вероятностей и ее применения.

- Т. 46. - Вып. 4. - 2001. - С. 678-696.

5. Лось, А.Б. О предельном распределении максимума процесса скользящего суммирования (частичных сумм Эрдеша-Реньи) / А.Б. Лось // Вестник МГУЛ

- Лесной вестник. - № 3(79). - 2011. - С. 185-188.

6. Зубков, А.М. Оценки для сумм конечно-зависимых индикаторов и для момента первого наступления редкого события / А.М. Зубков // Тр. МИАН СССР, 1986. - Т. 177. - С. 33-46.

7. Naus J.I. Approximations for distributions of scan statistics. - J. Amer. Statistic Assoc., 1974, v. 69, p. 810-815.

8. Лось, А.Б. О скорости сходимости к закону Пуассона числа достижений заданного уровня процессом скользящего суммирования / А.Б. Лось // Вестник МГУЛ-Лесной вестник, 2012.

9. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. - М: Мир, 1964. - Т. 1.

- 498 с.

10. Ибрагимов, И.А. Независимые и стационарно связанные величины / И.А. Ибрагимов, Ю.В. Линник.

- М: Наука, 1965. - 523 с.

НЕЧЕТКАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ЧАСТНОГО

случая интервальных нечетких чисел второго типа

Н.Э. МАЛОЛЕПШАЯ, асс. каф. высшей математики МГУЛ

Для анализа зависимостей между качественными характеристиками и прогноза их значений используются методы нечеткого регрессионного анализа, которые значительно расширили границы применения класси-

Рисунок. Интервальное нечеткое числа второго типа с

LMF и UMF

[email protected]

ческого регрессионного анализа, то есть позволили строить регрессионные зависимости на основе нечеткой исходной информации [1]. Однако в настоящее время методы нечеткого регрессионного анализа ограничены рассмотрением только нечетких чисел первого типа, что можно отнести к их недостаткам и причинам достаточно грубой формализации исходной информации [2]. Поскольку представления разных людей об одном и том же понятии могут различаться, то устранить недостатки нечеткого регрессионного анализа позволяют нечеткие числа второго типа, которые имеют достаточно степеней свободы, чтобы сохранить индивидуальные сведения субъектов об определенном понятии и повысить информативность исходных данных. В то же время с нечеткими числами второго типа работать

190

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

достаточно сложно, поэтому, как правило, рассматриваются их специальные классы.

Рассмотрим частный случай интервального нечеткого числа второго типа (iinterval type-2 fuzzy sets (IT2 FS)), представленного на рисунке.

Это число определено нижней функцией принадлежности LMF и верхней функцией принадлежности UMF, которые обозначены соответственно через и Ц^, \^^=(ciL,af ,aLr ), \х£={аи ,а^ Первый параметр в скобках - это абсцисса вершины треугольника, который является графиком соответствующей функции принадлежности, а два последних параметра - это длины правой и левой боковых сторон треугольника [3].

Рассмотрим нечеткую линейную регрессионную модель f = aQ+ ахХх +... + атХт, где aj = [bj,bj= 0,m - неизвестные ко-

эффициенты в виде треугольных чисел (не обязательно симметричные).

Пусть Y i = \,n - выходные IT2 FS,

J i “ / iL iL iL\ __

определенные LMF ^=v >У1>Уг)4 = \,п и UMF ^ yiU^ >0 i = i^.

XW = 1 ,m i = \n - входные ... <IT2 FS, определенные LMF vp.-y1 >■*/ >xr ) и UMF ^ = (x*u,xliu,x?u)х^хГ >o, j = l^, l — Yn. LMF и UMF входных и выходных интервальных нечетких чисел второго типа - треугольные нечеткие числа.

В основе метода лежит нахождение взвешенных отрезков для LMF and UMF входных и выходных интервальных нечетких чисел второго типа.

Определим взвешенные отрезки [е?’0^]’ для LMF и UMF модельных

выходных данных Yt = а0 + ахХ{ +... + amXlm, используя методы, разработанные в [4]

=Ь°-h,0+£e?j;(bt,bj,b}), 0“=»°+Ё8^; (б',б/,»/)

в" = ъ° - i 6»+£ 0‘^, (ы, bj, ь;) ef = г.0+i *г°+£ 0^, (ь>, ь/ ,ь;}

-»/

\б

(

ъ'^ммуъ^+(-if ],

(у*+<-iy lx*

<?.ь1М)=Ы +(-i У

М М)гь‘[x<'v+(-if\x%

У v6 л (

+ы

-xjiU + (-\)q — Х*У

6 к > и м<

U'v+(-iyUii

1,6 -Ъ, >0

|2,Ъ +ЬГ <0

V6

,М =V'4 = l P = \2,b ~bl -°,М =V’P = \-

’ 9 \r,q —2 у [1,6 +6 <0 р \г,Р = 2

Модельные выходные данные можно определять также с помощью множеств а-уровня.

Например, если отрицательное нечеткое число (b + br < 0), Г = (a, a, ar) неотрицательное число (a - a{ > 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел [4], множество а-уровня гГ имеет вид [С1 а С2а], где С1а = ba + (1 - a)bar - (1 - a)bpr - (1 - a)2bpr С2а = ba + (1 - a)bal + (1 - a)ba - (1 - a)2bal Если г =(b, b, br) неотрицательное нечеткое число (b - b > 0), Г = (a, a, a) неотрица-

тельное число (a - al > 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел [4], множество a-уровня гГ имеет вид [С а, С2а], где С1а = ba - (1 - a)bal - (1 - a)ba + (1 - a)2bal С2а = ba + (1 - a)bar + (1 - a)bla + (1 - a)2bpr Определим взвешенные отрезки [0^,e|£], [е^Г,е|Р] для LMF и UMF исходных выходных данных Y. i = \n

(ЛЬ _ iL 1 iL raL _ iL 1 iL

-У --Yi > -У +тУг >

' 6 ' 6

flit/ _ JU 1 pu f\2U _ iU A JU

-У ~тУ1 ’ -У +Yyr

, 6 , a

1

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013

191

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Мера близости между исходными и модельными выходными данными определяется функционалом

Ffytf Hyzf$$, >Z te-ejf j-

+

г=1

i=1

+1 ь°Ль;-у^^+Щ^ум)

-\2

+

i=1 n

+2

i=1

+if

i=l[ 6 6 y=i J J _

Оптимизационная задача ставится следующим образом

p(bJ ,b/ JbJr yYj1 (i^ Si )->minjb{ >0jbJr >0,j=0,m.

i=1

Так как

e^; (fr'.V.V)

e®i;(^,4/,y)e^,(^,y,4/)

7=1

1 ,• " 6

+

2

+

2

являются кусочно-линейными функциями в области bj > 0,6/ > 0, у = 0, т, то F является кусочно-дифференцируемой функцией, и решения задачи оптимизации находятся с помощью известных методов [6].

Для оценки надежности разработанной регрессионной модели в работе определяются аналоги стандартного отклонения (X), коэффициента корреляции (HR) и оценки стандартной ошибки (HS) п

as=J—-г

уп-т-1" 4 7

Обозначим взвешенные интервалы для LMF and UMF модельных данных Y ,, j —

соответственно через [cf,cf], [cf^cf],/ = 1,и. Взвешенные интервалы для LMF and UMF исходных данных fk,k = Rp соответственно через [D^D*], [d(l,Df ],k = Rp.

Пусть

f\yjk) = (cf - Att)2+(cf -tftf +_

+(ClS -DlSf+ (Cf -DlS)2,i = l,n,k = l,p.

Тогда модельное данное Y идентифицируется с лингвистическим значением Y, если

f\fJ,) = mmf2(Yjt),k = lP'

к

Заключение

В работе разработана нечеткая линейная регрессионная модель. Входные и выходные данные модели представляют собой нечеткие числа второго типа. Основная идея заключается в том, чтобы определить взвешенные отрезки для специального класса интервальных нечетких чисел второго типа, нижней и верхней функциями принадлежности которых являются треугольные числа, и меру близости между двумя интервальными нечеткими числами второго типа на основе этих отрезков. Предложенный метод расширяет группу исходных данных нечетких регрессионных моделей, так как позволяет использовать не только нечеткие числа первого типа, но и интервальные числа второго типа. Для оценки надежности разработанной регрессионной модели в работе определяются аналоги стандартного отклонения, коэффициента корреляции и оценки стандартной ошибки.

Библиографический список

1. F. Liu and J. M. Mendel, “Encoding words into interval Type-2 fuzzy sets using an interval approach”, IEEE Tranns. Fuzzy Systems, vol. 16, № 6, 2008.

2. O. M. Poleshuk, E. G. Komarov Multiple hybrid regression for fuzzy observed data//

3. Proceedings of the 27th International Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society. - NAFIPS’2008, - New York, New York, May 19-22, 2008.

4. Y.-H.O. Chang, “Hybrid fuzzy least-squares regression analysis and its reliabity measures”, Fuzzy Sets and Systems, 2001, vol. 119, pp. 225-246.

5. O.M. Poleshuk, E.G. Komarov, “New defuzzification method based on weighted intervals”, Proceedings of the 27th International Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society, NAFIPS’2008, New York, New York, May 19-22, 2008.

6. T .F. Coleman, Y. Li, “A reflective newton method for minimizing a quadratic function subject to bounds on some of the variables”, SIAM J. Optim, vol. 6, pp. 1040-1058, 1996.

192

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013