О предельном распределении максимума процесса скользящего суммирования (частичных сумм Эрдеша-Реньи) Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В заключение отметим, что, как показано в работе [1], в классе функций, фигурирующих в условиях теоремы 1, существуют функции f и L, отвечающие биективному отображению (f,5L).

Библиографический список

1. Саранцев, А.В. Построение регулярных систем однотипных двоичных функций с использованием регистра сдвига / А.В. Саранцев // Вестник МГУЛ - Лесной Вестник. - 2004. - № 1(32). -С. 164-169.

2. Сумароков, С.Н. Запреты двоичных функций и обратимость для одного класса кодирующих устройств / С.Н. Сумароков // Обозрение прикл. и промышл. матем., сер. дискретн. матем. - 1994. - Т 1. - Вып. 1. - С. 33-35.

3. Рожков, М.И. Некоторые алгоритмические вопросы идентификации конечных автоматов по распределению выходных да-грамм. Часть 2 / М.И. Рожков // Обозрение прикл. и промышл. матем., сер. дискретн. матем. - 2008. - Т 15. - Вып. 5. -С. 785-806.

4. Лидл, Р. Конечные поля: В 2-х т. / Р. Лидл, Г. Ни-деррайтер. - М.: Мир, 1988. - 822 с.

О ПРЕДЕЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ МАКСИМУМА ПРОЦЕССА СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ (ЧАСТИЧНЫХ СУММ ЭРДЕША-РЕНЬИ)

А.Б. ЛОСЬ, доц. каф. информационной безопасности Московского государственного института электроники и математики (Технического университета), канд. техн. наук

Х„

независимые,

ПуСГЬ Х! , Х^ ...,

одинаково распределенные случайные величины. Пусть также n, N - некоторые натуральные числа. Для k = 0, 1, 2, ..., положим

(1)

£(М = Xk+1+Х+2+ ... + П (n,N) = max £ (k, n).

0<k<N-n

(2)

Последовательность случайных величин £(k, n) в научной литературе обычно называют процессом скользящего суммирования или последовательностью частичных сумм Эрдеша-Реньи. Исследованию асимптотических свойств статистики n (n, N) при n = o(N) посвящено довольно много работ (см. [1] и библиографию там же). В работах [2], [3] найдена асимптотика умеренных уклонений статистики n(n,N). В [4] получено явное выражение для константы в асимптотике вероятностей больших уклонений сумм £(k,n) с условием Крамера. В форме условных предельных теорем описаны траектории блуждания, на которых осуществляется большое уклонение.

В настоящей работе исследуется предельное распределение статистики n (n,N) для случая EX. =0, DX. =1. Асимптотические свойства изучаются в условиях N, n ^ <х> и N/n ^ т + 9, где т - целое, 0 < 9 < 1.

alexloss@miem. edu.ru.

Введем необходимые обозначения. Пусть DN [0,1] - пространство непрерывных справа функций без разрывов 2-го рода, определенных на отрезке Т = [0,1], со значениями из RN = RxRx...xR - N - мерного евклидова пространства. На этом пространстве зададим метрику Скорохода d [5].

Обозначим также С [0,1] - пространство непрерывных функций, заданных на отрезке Т=[0,1], С [0,1] е DN [0,1]. Для получения предельного распределения случайной величины n(n,N) нам потребуется одно утверждение, являющееся непосредственным обобщением теоремы 1 §3 работы [5].

Пусть С„1 ,Zn2 ,.,Znk(n) - последовательность серий независимых, одинаково распределенных в каждой серии случайных величин со значениями из RN. Рассмотрим ступенчатый случайный процесс, построенный по суммам

Zn() = I Znk . t е [0,1].

k<k (n)t

Пусть 3 - минимальная а-алгебра подмножеств DN [0,1], содержащая в себе все цилиндрические подмножества. Обозначим Fc - множество функционалов f, заданных на DN [0,1] со свойствами:

1) f измерим относительно а-алгеб-

ры 3;

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

185

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2) f непрерывен на множестве CN [0,1] в метрике равномерной сходимости.

Теорема 1

Пусть случайные величины Zn1 , Zn2 ,• • •, Znk независимые, одинаково распределенные в каждой серии, удовлетворяют условиям:

1. Существует элемент a е RN , такой, что для всех s > 0 и z е RN

lim kn f (x, z)|i(dx) = (a, z),

n—w J

|X<s

где

к (А) = p (Cm е A} , kn = k(n) ;

2. Существует неотрицательный линейный оператор В в пространстве RN, такой, что для всех s > 0 и z е RN

lim kn f (x - a, z )2^(dx)=(Bz, z) ;

n——w J

|X<S

3. knP {|Cni| > s} = 0 .

n—w " m

Пусть также hn - последовательность измеримых отображений JDN[0,1] в JDN[0,1], сходящаяся в метрике d к отображению h, т.е. для любой последовательности X n (t) — X(t) справедливо hn X (t) — h X(t) (символ « — » означает сходимость в метрике d) и отображение h таково, что h CN [0,1] e CN [0,1].

Тогда для любого функционала f е Fc распределение случайной величины f(hnZn(t)) при n—w сходится к распределению случайной величины f(h Z(t)), где Z(t) - винеровский процесс с характеристической функцией exp {t[1(a,z) - S (Bz,z)}.

Доказательство. Заметим, что для всякой последовательности

X (t) — X(t)

X(t) е CN [0,1],

последовательность hn Xn (t) сходится в метрике d к hX(t) и hX(t) е CN [0,1]. Следовательно,

limsup I h X (t) - hX(t) I = 0 .

n—w t n n

Тогда дляf е Fc имеемf(hnXn (t)) — fh X(t)). Теперь в применении к последовательности функционалов f(hX(•)), сходящейся к f(hX(•)), справедлива без изменения схема доказательства теоремы 1 §3 работы [5].

Аналогично доказательству теоремы 1 настоящей работы и следствиям 1 и 3 §3 ра-

боты [5] доказываются следующие утверждения.

Следствие 1

Пусть ^ , Е, 2 ,•, - независимые, одинаково распределенные случайные величины, для которых M^k = 0, D<ilk=1. Положим

(t)=n-12 ^ .

k<nt

Тогда в условиях теоремы 1, при n—w конечномерные распределения процесса hn 5n(t) сходятся к конечномерным распределениям процесса h ra(t), где o(t) - стандартный винеровский процесс.

Следствие 2

Пусть q(t,x) - функция, определенная и непрерывная при t е[0,1] и xеRN. Тогда в условиях теоремы 1 при n—w

sup 9(t, hnz n(t)) ^ sup 9(t, hZ(t)),

0<t<1 0<t<1

где символ «^« означает сходимость по распределению.

Перейдем к получению предельного распределения случайной величины

П (n, N) = max 5(k, n).

0<k<N-n

Положим

(x) = (2ny)-1/2 exp{-x2 /2y}.

Теорема 2

Пусть N, n — w так, что N/n — m, m > 0 - целое. Тогда, при любом ае R имеет место равенство

lim p{n (n, N) < a N12} = J...J det \ \ ф (y.-

N ,n—w d Y 1

- y;+1 + a ) \\, j =0,...,m-1 dУl■■■dУm, (3)

где интегрирование ведется по области D e Rm , задаваемой соотношениями

D1 = {0 = Уо < У1 < • < Ут} , Y = m1 .

Доказательство

Определим в пространстве D[0,1] последовательность процессов

XN,n (t)

N ~1/2^([ Nt ], n),0 < t <1-n / N, N ~1/2^( N - n, n),1-n / N < t <1,

и положим

XN,n = SUP XN,n (t).

0<t<1

Обозначим

¥,(0 = N-1'2 ^ Xk, t е [0,1].

k<Nt

186

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рассмотрим последовательность отображений D [0,1] в D [0,1] вида

hN Z (t)

Z (t+n / N) - Z (t ),0 < t <1-n / N Z (1) - Z (1-n / N ),1-n / N < t <1,

для N > n.

Нетрудно показать, что при N, n^ и n/N ^ у последовательность hN сходится в метрике d к отображению h

\Z (t+y) - Z (t ),0 < t <1-у, [Z (1) - Z (1-y),1-y< t <1,

а также что h C[0,1] e C[0,1], т.е. h сохраняет непрерывность функций.

Заметим далее, что для yN(t) выполнено равенство

Xn,„ (t) = hN ^N(t).

Тогда, применяя результаты следствий 1 и 2 теоремы 1 настоящей работы к процессу yN(t) и последовательности отображений hN , получаем

Xn,n <a} =P{ suP [®(t+Y)-®(t)]<a},

Hm p{Xn

N ,n^w

0<?<1-y

и, следовательно,

lim p{(n,N<aN 1/2}=p{ sup [ra(t+y)-ra(t)]<a}, (4)

N,n^“ 0<t<1-Y

Рассмотрим процесс Qy(t) = ra(t+y) -o(t) и найдем функцию распределения его максимума на отрезке [0, 1-у], обобщая результаты работы [3], в которой изучалась вероятность

Qa(T/x) = p{ S(t) < a, 0 < t < T/ S(0) = x},

где

S(t) = ra(t) - ra(t+1), T > 0.

Нетрудно видеть, что

pa = P{ suP ®(t) < a } =

0<?<1-y

=P{ ®y(t) < a , 0 < t < (m-1)Y }. (5)

Пусть далее W1(t), ., Wm(t) - независимые винеровские процессы.

В работе [6] отмечено, что P{ Wi(t) < . < Wm(t) , 0 < t < T / W(0) = a,

W(T) = Ъг , i =1,-,m} =

m

= ^ II Фт (a - b) I I .,,. =0. m / П Фт (ai - (6)

где а j < .. .< аm, bx < ... < bm - некоторые постоянные.

Заметим далее, что

Pa = P{ ®(t+Y) - ш(0 <

< a , 0 < t < (m-1)Y } = p{Q},

где

Q = {ra(t) > ra(t+Y) - a > ... > ra(t+(m-1)Y) -- (m-1)a, 0 < t < y }. (7)

Интегрируя по значениям x процесса Q(t) в моменты времени /у, i=0,1,.,m, из (7) получаем

Pa = 1.1 P{Q, ш(0) edx0, . , ш(дау) edxm } = = 1.1 p{Q / q(/'y) = x., / = 0,1, ., m}x

x p{®(/'Y) e dx, / = 0,1,.,m}, (8)

где x0 = 0.

Для = 1, 2, ., m положим W (t) = = ш (t+(m-/)у) - (m-/)a, 0 < t < у. Тогда

Q = { W$) < . < Wm(t) , 0 < t < у}, (9) где

W (0) = ш((да-0у) - (m-/)a = xm- - (m-i)a, (10)

W(Y) = Ы^'+Оу;» - (m-/)a = xm_/+1 - (m-/)a. (11)

С учетом (9) - (10) из (8) получаем Pa = 1.1 P{Q / W(0) = x m-/ - (m-/)a,

W(Y) = xm-/+1 - ' = 1,., m} x

xp^(/'y) e dxp / = 0,1,.,m}. (12)

Область интегрирования в (12) есть множество, где первая вероятность под интегралом отлична от нуля и, следовательно, это есть множество, где неравенства (9) выполняются при t = 0 , t = Y и

W(0) = xm-/ - W (Y) =

= xm_/+1 - (m-/)a, / = 1,.,m. (13)

Таким образом, область интегрирования в (12) определяется соотношениями x - (m-i)a < x - (m-/-1)a, / = 0 ,., m-1.

Заметим, что при условии (13) процессы W (t) независимы, поэтому, в силу (6)

P{Q / W(0) = xm-/ - W(Y) = xm-/+1 -

- (m-i)a, i = 1,.,m} = det 11 фу (xm г - (m-i)a -

m

- x ^ - (m-j)a) II.., / П Ф (x - (m-i)a -

m-j+1 4 J/ / /j =1,.,m “=y ^Y 4 m-г 4 y

- xm i+1 - (m-/)a) = det 11 фу (x. -ia - x +

m-1

+ja) I I /^- =0,.,m-1 / П Фу (x/ - x/+1). (14)

Вторая вероятность в правой части (12)равна

m-1

p^(iY) e dx , / = 0,1,.,m} = П Фу (x.- x ). (15)

г .=0^

Полагая у. = - x . + .a, г = 0,1,.,m и подставляя (14) и (15) в (12), получаем

ра = U det I I Фу (-Уг + У;+1 -

-a ) I I ij =0,.,m-1 dP1 .dZm = У det I I Фу (Уг -

- yj+1 + a ) I I ij =0,.,m-1 dy.dym- (16)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

187

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Теорема 2 доказана.

Теорема 3

Пусть N, n ^ <х> так, что N/n ^ m + + 9, m > 0 - целое, 0 < 9 <1. Тогда, при любом a е R имеет место равенство

lim р{ц (n, N) < a N1'2 } =

N ,n^x

= J J det 11 Ф9g (x - y. ) 11 .. =0, ,m det 11 ф^ (yi -

D2

- x, +a) II .. n , x dx,...dx dvn...dy ,

j+1 / ij =0,...,m-1 1 m s 0 s m?

где интегрирование ведется по области D2 , задаваемой соотношениями

D2 = {0 = Х0 < Х1 < . < Xm , Уо < У1 < . < Уm},

5 = (m + 9)-1 .

Доказательство теоремы 2. Аналогично предыдущему нетрудно показать, что lim p{n (n, N) < a N1'2 } =

N ,n^x

=p{ sup [ra(t+5) - ra(t)] < a }.

0<t<1-5

Пусть ro5(t) = ra(t+5) - a(t). При этом P(a) = p{ sup ro5(t) < a } =

0<t<1-5

=p{ra5(t) < a , 0 < t < (m-1 + 9)5}. (17) Заметим, что

P(a) = p { ra(t) > ra(t+5) - a > . >

>ra(t + m5) - ma, 0 < t < 59, ю(т+59) > ю(т+59+5) - a > ... >

> ю(т + 59 +(m-1)5) - (m-1)a, 0 < т< (1-9)5}.

Интегрируя по значениям u и v . процесса o(t) в моменты времени 15 и (i+9)5 соответственно, i = 0,1,.,m, и, обозначая,

Q' = Q1 n Q2, где

Q1 = { ra(t) > ra(t+5) - a > ... >

> ra(t+m5) - ma, 0 < t < 59 },

Q2 = {ю(т+59) > ю(т+59+5) - a > ... >

> ra(x+59+(m-1)5) - (m-1)a, 0 < т < (1-9)5}, из (17) получаем

P(a) = J.J p{Q', ra(0)edu0, . , ю(m5)еdum , ra(95)edv0, . ,Q((m+9)5)edvm}. (18)

Используя соотношения для условных вероятностей, из (18) получаем

P(a) = J.Jp{Q' / ш(15) = u, ш(95+15) = v ,, i = 0,., m} xр{ш(15) е du., ш(95+15) е dv. , i = 0,1,.,m}, (19)

где u0 = 0.

Введем процессы W(t) , . = 0,1,.,m и W'(t) ,j = 1,2,.,m :

W(t) = ю^^-.^) - (m-r)a , 0 < t < 59 , W'(t) = ю(т+59+(m-j)5) - (m-j)a , 0 < т< (1-9)5.

Тогда, очевидно,

Q ={ Wx(t) < . < Wm(t) , 0 < t < 95},

Q2 ={ W(t) < . < W'm(T) , 0 < т < (1 - 9)5}.

При этом для 0 < . < m и 1< j < m имеем W(0) = ю((m-i)5) - (m-f)a = um - (m-f)a,

W (95) = ю(59+(m-i)5) - (m-r)a =

= vm-r - (m-i)a, (20)

W(0) = ю(59+(m-j)5) - (m-j)a = vm-j - O-'M W.((1-9)5) = ю((m-j+1)5) - (m-j)a =

= Um-j+1 - (m-j)a. '

В условиях (20) процессы W (t) и W'(t) независимы, поэтому условная вероятность Q' в (19) есть произведение условных вероятностей Qj и Q2.

Тогда

P(a) = J.J P{Q1 / W(0) = - (m-i)a,

W(95) = vm i - (m-0a, . = 0,., m}x x p{Q2 / W-'(0) = vn.} - (m-j)a, W.'((1-9)5) =

= Um-j+1 - (m-j)a, j = 1,., m}x Р{ю(.'5) е е du., ю(95+.5) е dv. , . = 0,1,.,m}. (21)

Полагая x = - u + a , y = - v + a, . = 0,1,.,m и используя соотношение (6), из (21) получаем

P(a) = J J det I I Ф95 (X - y. ) I I .. =0, ,ш det I I Ф(1-9)5 X

D2

X (y - x +a ) II x dx . dx dy . dy ,

D2 = {0 = Xo < X1 < . < xm , Уо <У1 < . <Ут }, 5 = (m + 9)-1.

Теорема 3 доказана.

Библиографический список

1. Новак, С.Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи. Теория вероятностей и ее применения / С.Ю. Новак. - 1997. - Т. 42. - Вып.

2. - С. 274-293.

2. Питербарг, В.И. О больших скачках случайного блуждания.- Теория вероятностей и ее применения / В.И. Питербарг. - 1991. - Т. 36. - Вып. 1. -С. 54-64.

3. Довгалюк, В.В. Большие уклонения траекторий пуассоновского процесса. - Вероятностные процессы и их приложения / В.В. Довгалюк, В.И. Питербарг. - М.: МИЭМ, 1989. - С. 112-117.

4. Козлов, М.В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: Большие уклонения, условное поведение. - Теория вероятностей и ее применения / М.В. Козлов. - 2001. - Т. 46. - Вып. 4. - С. 678-696.

5. Скороход, А.В. Предельные теоремы для случайных блужданий / А.В. Скороход, А.П. Слободе-нюк. - Киев: Наукова думка, 1970.

6. Shepp L.A., Fist passage time for a particular Gaussian process.- Ann.Math.Stat., v.42, № 3, 1971.

188

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011