О вероятностях малых уклонений некоторых итерированных случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3

О ВЕРОЯТНОСТЯХ МАЛЫХ УКЛОНЕНИЙ

НЕКОТОРЫХ ИТЕРИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А. Н. Фролов

С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Пусть £(t), t ^ 0, —однородный процесс с независимыми приращениями, траектории которого с вероятностью 1 непрерывны справа, или £(t) = S[t], где S[t] — сумма [t] независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть £(0) = 0. Вероятностями малых уклонений называют вероятности вида

Qt = Р ( sup |£(u)| < yt) ,

где yt ^ ж при t ^ ж. При этом скорость роста функции yt обычно ограничивается сверху. Например, если £(t) — сумма независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией, то предполагают, что Ut = o(\ft) при t —> оо. Это связано с тем, что распределения £(£)/-\Д слабо сходятся к нормальному распределению. Для слагаемых из областей притяжения других устойчивых законов вместо \ft нужно взять соответствующую нормирующую функцию.

К настоящему времени опубликовано значительное число работ об асимптотическом поведении вероятностей малых уклонений. В этой статье мы будем рассматривать только их логарифмическую асимптотику.

Для однородных процессов с независимыми приращениями и сумм независимых случайных величин предельное поведение ln Qt исследовано Могульским [1]. В [1] рассмотрена вероятность того, что траектории процесса £(t) лежат в фиксированном множестве пространства D[0,1]. В случае симметричной относительно нуля полосы эта вероятность совпадает с Qt.

Много работ посвящено малым уклонениям гауссовских процессов. Большое число ссылок на них можно найти в обзорах Леду [2], Ли и Шао [3,4], Лифшица [5], Фаталова [6]. Заметим, что многие гауссовские процессы обладают свойством автомо-дельности. Например, для винеровского процесса w(t) конечномерные распределения w(ct) и л/cwit) совпадают для всех с > 0. В этом случае

Qt = Р ( sup |w(u)| < ytt-1/2) .

\0<u<1 /

Положив £ = ytt-1/2, мы приходим к вероятностям малых шаров. Название обусловлено тем, что £ ^ 0. Негауссовскими процессами, обладающими свойством авто-модельности, являются устойчивые процессы. Ясно, что для процессов с подобным свойством задачи изучения асимптотического поведения вероятностей малых уклонений и малых шаров совпадают. Большое количество результатов об асимптотике вероятностей малых шаров может быть найдено в упомянутых выше статьях и в работах из их библиографий.

© А. Н. Фролов, 2013

Наряду с вероятностями малых уклонений и малых шаров представляет существенный интерес изучение асимтотического поведения вероятностей

где х € К фиксировано. Различные результаты об асимптотике можно найти в упомянутых выше статьях, работе Ли и Шао [7], а также в цитируемой там литера-■гура

Мы также рекомендуем библиографию Лифшица [8], содержащую более двухсот ссылок на работы по малым уклонениям.

Далее мы рассмотрим итерированные процессы. Дадим сначала их определение.

Пусть £(£) и Л(£), £ ^ 0,—независимые случайные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве. Пусть с вероятностью 1 Л(£) имеет непрерывные траектории, Л(£) ^ 0 и Л(0) = 0. Случайный процесс £(Л(£)), £ ^ 0, называется итерированным процессом.

Различные результаты о поведении малых уклонений итерированных процессов получены в работах Фролова [9-12], Нане [13, 14], Мартикайнена, Фролова и Штай-небаха [15], Аурзады и Лифшица [16], Баумгартена [17].

В дальнейшем мы будем рассматривать вариант итерирования, восходящий к некоторым моделям процесса выплат в страховании. Предположим, что Л(£) = Лf (£), где Л — неотрицательная случайная величина, /(£) ^ то при £ ^ то. Если, например, £(£) — стандартный пуассоновский процесс, то в случае вырожденной случайной величины Л итерированный процесс будет неоднородным пуассоновским процессом, а в случае f (£) = £ итерированный процесс будет пуассоновским процессом со «случайной» интенсивностью. Такой способ итерирования позволяет изменять базовые предположения пуассоновского потока событий — однородность и стационарность. Разумеется, подобный подход может быть полезным и в других областях, например, в теории массового обслуживания.

Впервые малые уклонения итерированных подобным образом процессов были исследованы автором в [9]. Оказалось, что поведение малых уклонений £(Л(£)) существенным образом зависит от поведения функции распределения случайной величины Л в окрестности ее существенного инфимума. Выяснилось, что логарифмическая асимптотика вероятностей малых уклонений £(Л(£)) может быть такой же, как соответствующая асимптотика для £(£), а может и отличаться порядком. В работах автора [10-12] было установлено, что этот эффект сохраняется и для более широкого класса процессов, а также для малых уклонений в пространстве траекторий. В настоящей работе мы покажем, что подобный эффект имеет место и для вероятностей

2. Результаты. Пусть £(£), Л(£), £ ^ 0, — независимые случайные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве. Пусть п.н. (почти наверное) Л(0) = 0, Л(то) = то, траектории Л(£) не убывают и непрерывны.

Предположим, что существует положительная функция £(х), х € К, такая, что

Обозначим п(£) = £(Л(г)), Лt = еввМ Л(£) и У4(Л) = Р(Л(£) < Л).

Наша задача состоит в том, чтобы получить аналог соотношения (1) для итерированного процесса n(t) при различных дополнительных предположениях о свойствах

A(i).

Наш первый результат содержит условия, при которых асимптотика малых уклонений n(t) определяется поведением функции At.

Теорема 1. Пусть At ~ At при t ^ ж, где At — непрерывная строго возрастающая функция. Пусть At ^ ж при t ^ ж и для любого е > 0

liminf V((1 + e)At) > 0. (2)

t—

Тогда

logР( sup n(u) ^ x) = —AtZ(x)(1 + o(1)) при t ^ж (3)

для любого x £ R.

Условие (2) выполнено, например, если P(A(t) = At) = p > 0 для всех t.

Далее мы будем считать, что выполнено следующее предположение об асимптотическом поведении A(t), из которого следует (2).

Пусть существуют положительная, возрастающая, непрерывная функция f (t), f (t) ^ ж при t ^ ж, и неотрицательная случайная величина Л такие, что распределения A(t)/f (t) слабо сходятся к распределению Л при t ^ ж.

Это предположение включает в себя, в частности, наиболее простой и важный пример A(t) = Af (t). Отметим, что распределение Л может быть вырожденным.

Обозначим A = essinf Л.

Теорема 2. Пусть A > 0 и At/f (t) ^ A при t ^ ж.

Тогда

logР( sup n(u) ^ x) = —Af (t)Z(x)(1 + o(1)) при t ^ж (4)

для любого x £ R.

Из теоремы 2 следует, что при A > 0 асимптотическое поведение логарифмов рассматриваемых вероятностей для процессов £(t) и n(t) имеет одинаковый характер. Однако для A = 0 мы имеем

logР( sup n(u) ^ x) = o(f (t)) при t ^ ж.

Следующая теорема дает более точный результат в случае Л = 0.

Теорема 3. Пусть A = 0 и At/f (t) ^ A при t ^ ж.

Пусть для любых t > 0 функции Ft(A) = Vt(Af (t)) и F(A) = Р(Л < A) непрерывны при A ^ A' и положительны при A £ (At/f (t), A'] и A £ (0, A'] соответственно, где A' > 0.

Для любого фиксированного x £ R обозначим через et = et(x) решение уравнения

^^ = /(№).

et

Пусть £t/ (t) эквивалентна некоторой непрерывной строго возрастающей функции. Предположим, что £t/ (t) ^ ж, At = o(£t/ (t)) и для любого т > 0 выполняется соотношение

log Ft(T£t) - log Ft (£t) (5)

при t ^ ж. Тогда

log р( sup n(u) < x) = log Ft(£t)(1+ o(1)) = -£tf(t)Z(x)(1 + o(1)) при t ^ж (6)

для любого x £ R. Здесь £t ^ 0 и Ft(£t) ^ 0 при t ^ ж.

Теорема 3 показывает, что асимптотика рассматриваемой вероятности для итерированного процесса n(t) определяется асимптотикой малых уклонений Л^).

Покажем, что при различном выборе Ft(A) порядки асимптотик правых частей

(4) и (6) могут отличаться.

Пусть Ft (A) = F(A) и At = 0 для всех t. Если, например, F(A) = Ap при A £ [0,1], где p > 0, то log Ft(£t) — — plog(/ (t)Z(x)) при t ^ ж. Если F(A) = (— log A)-p при A £ (0, e-1], где p > 0, то log Ft(£t) — —ploglog(/ (t)Z(x)) при t ^ ж. Покажем, что условие (5) теоремы 3 нельзя отбросить.

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3 за исключением условия

(5). Пусть для любого т > 0 выполняется соотношение log Ft(T£t) — тр log Ft(£t) при t ^ ж, где p > 0.

Тогда

logР( sup n(u) ^ x) = °(£t/(t)Z(x)) при t ^ ж. (7)

Перейдем к примерам использования полученных результатов для некоторых гауссовских процессов. Гауссовские процессы образуют важный класс процессов, дающий богатый набор примеров различного характера поведения вероятностей малых уклонений. Отметим прежде всего, что стандартый винеровский процесс w(t) не подходит для наших целей. Действительно, хорошо известно, что

/ \ x 2x

Pi sup w(u) < х) = 2Ф(—Т=) - 1 = _(1 + о(1)) при t —>■ ж.

^o^u^t ' Vt %/2nt

Здеть Ф(x) —стандартная нормальная функция распределения. Отсюда вытекает, что соотношение (1) для w(t) не выполнено. С другой стороны, существует ряд гаус-совских процессов, получаемых из w(t) различными преобразованиями. Некоторые из них мы рассмотрим ниже.

Следствие 1. Пусть £(t) —центрированный стационарный гауссовский процесс с п.н. непрерывными траекториями такой, что E£(s)£(t) ^ 0 при s,t ^ 0.

Если Л^) удовлетворяет условиям одной из теорем 1-4, то выполнено заключение соответствующей теоремы.

Следствие 1 вытекает из теорем 1-4 и предложения 3.1 из работы Ли и Шао [7], в котором доказано, что для рассматриваемых случайных процессов выполнено соотношение (1).

Приведем примеры стационарных гауссовских процессов с неотрицательной ковариационной функцией из [7].

1. Пусть и>(£) — стандартный винеровский процесс. Процесс Слепяна определяется следующим образом: £(£) = — + 1). Тогда Е£(в)£(£) = (1 —— в|)-/"{|£ — в| ^ 1} при в, £ ^ 0.

2. Пусть — последовательность независимых стандартных нормальных слу-

п

чайных величин. Исследуя вероятность того, что случайный полином ^ ^не

к=0

имеет вещественных корней, Дембо, Пунен, Шао и Цейтуни [18] показали, что

lim — In Р [

n—n

fc=0

Vx G R = b. Здесь

b = -4 lim - In P ( sup < o) и £(t) — центрированный стационарный гауссовский процесс с

2e-|t-s|/2

Ee(g)ew = 1 + e-|t_,|/2 пРи

3. Пусть wh(t) —дробное броуновское движение c параметром Херста h £ (0,1), то есть центрированный гауссовский процесс с

EwUs>Mt) = l(H2h + Щ2Н ~ \t - s\2h) при s,t> 0. Случай h =1/2 соответствует обычному броуновскому движению. Положим

£(t) = e-htwh (e4).

Процесс £(t) будет центрированным стационарным гауссовским процессом. Он называется дробным процессом Орнштейна—Уленбека. При h =1/2 процесс £(t) будет обычным процессом Орнштейна—Уленбека. Мы имеем

Щ(з)ф) = + - - eh^\) при s,t ^ 0.

3. Доказательства. Зафиксируем x £ R. Для t, A ^ 0 обозначим Pt = p( sup n(u) < x), R(A) = p( sup £(u) < xY

По определению функция P(A) не возрастает по A.

Доказательство теоремы 1. Возьмем е £ (0,1). Учитывая независимость £(t) и Л^) и монотонность P(A), получаем

сю

Pi = p( sup £(«) < x) = f P(A)dVi(A) < R(Ai) < Д((1 - e)At)

J J

Ль

для всех достаточно больших t. Возьмем S £ (0,1). В силу (1) существует T = T(S) такое, что для всех t > T выполняется неравенство

Ä(t) < e-(1-<5)tz(x).

Так как At ^ ж при t ^ ж,

Ä((1 - e)At) < e-(1-<5)(1-e)*tZ(x) для всех достаточно больших t. Отсюда следует, что

lnPt < -(1 - S)(1 - e)AtZ(x) для всех достаточно больших t. Поэтому

ln P

limsup -- ^ —(1 — <5) (1 — e).

t^TO At Z (x)

Переходя к пределу при е ^ 0 и S ^ 0, мы получаем

limsup-;-— ^ — 1. (8)

t^TO AtZ (x)

Возьмем е £ (0,1). Снова используя независимость £(t) и Л^) и монотонность Ä(A), получаем

TO

Pt = J R(X)dVt(X) > J R(X)dVt(X) > Л(>/ГТ^Л()У((>/ГТ1Л()

At At

> Д((1 + e)Äi)l/i(v/lT^Ai) > СД((1 + e)Ät)

для всех достаточно больших t, где C = C(е) > 0. При получении последнего неравенства мы использовали условие (2).

Возьмем S > 0. В силу (1) существует T = T(S) такое, что для всех t > T выполняется неравенство

Ä(t) > e-(1+Ä)tz(x).

Так как At ^ ж при t ^ ж,

Ä((1 + e)At) > e-(1+Ä)(1+e)AtC(x) для всех достаточно больших t. Поэтому

lnPt > lnC - (1 + S)(1 + e)AtZ(x) > -(1 + S)2(1 + e)AtZ(x) для всех достаточно больших t. Следовательно,

ln P

liminf --- > —(1 + <5)2(1 + e).

t^TO AtZ(x)

Переходя к пределу при е ^ 0 и S ^ 0, мы получаем

lim inf --— ^ — 1.

t^TO At Z(x)

Отсюда и из (8) следует (3). □

Доказательство теоремы 2. Предположим сначала, что А > 0. Положим Ае = А/(4). Нам достаточно доказать, что выполняется условие (2).

Возьмем £ > 0. Выберем р £ (0,1) так, чтобы точка (1 + р£)А была точкой непрерывности функции распределения Л. Мы имеем

1нпш£+£)Л0 = ММР(М < {1+

< (1 +ре)А) =Р(Л< (1+ре)Х) > 0.

Перейдем к случаю А = 0. Так как log Ре ^ 0, достаточно доказать только оценку снизу.

Возьмем £ > 0 такое, что £ —точка непрерывности функции распределения Л. Так как Ае = о(/(4)) при 4 ^ ж, используя монотонность Д(А) по А, получим

(4)

Ре ^ У Д(А)^(А) > Д(/(*))Уе(£/(4)) а*

для всех достаточно больших Так как V(£/(4)) ^ Р(Л < £) > 0 при 4 ^ ж,

Ре > СХД(£/(4))

для всех достаточно больших где С = С (£) > 0.

Возьмем £ > 0. Из условия (1) так же, как в доказательстве теоремы 1, следует,

что

Д(£/(4)) > в-(1+й)£/(е)<(х)

для всех достаточно больших 4. Следовательно,

1п Р4 > ^ С - (1+ £)£/(4)С(х) для всех достаточно больших 4. Учитывая, что /(4) ^ ж при 4 ^ ж, получим

/(4)С(х)

Переходя в последнем соотношении к пределу при £ ^ 0, приходим к требуемой оценке. □

Доказательство теоремы 3. Существование и единственность решений £е при всех достаточно больших 4 следует из слабой сходимости Ре (А) к Р(А) и непрерывности этих функций. Покажем, что £е ^ 0 и Ре(£е) ^ 0 при 4 ^ ж. Предположим, что для некоторой последовательности {4к}

такой, что 4 к ^^

при к ^ ж, неравенства £ек ^ £ > 0 выполнены для всех к. Тогда ввиду слабой сходимости Ре (А) к Р (А) неравенства

- 1п Рек (£ек) < - 1п Рек (£) < - 1п(Р(£)/2) < ж

выполнены для всех достаточно больших к. Следовательно, / )£ (х) = - 1п Рек (£ек )/£ек ^ - 1п(Р(£)/2)/£ для всех достаточно больших к. Это противоречит тому, что /(4) ^ ж при 4 ^ ж. Поэтому £е ^ 0 и Р(£е) ^ 0 при 4 ^ ж. Возьмем

Ао < А'. Снова используя слабую сходимость Ft(A) к F (А) и непрерывность F (А), получим

Ft(et) < sup |Ft(А) - F(А)| + F(et) ^ 0 при t ^ те.

Не умаляя общности, далее мы будем считать, что функция et/(t) непрерывна и строго возрастает. Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 1, несложно показать, что (1) влечет

Д(ее/(t)) = -cet/(t)Z(x)(1 + o(1)) при t ^ те,

где c — произвольная положительная постоянная.

Возьмем S G (0,1). Для всех достаточно больших t выполняется неравенство А( ^ et/(t). Мы имеем

et/(t)

Pt =

At et/(t)

= e-£t/(t)z(x) + R(£tf (t)) ^ 2e-(1-5)£t/(t)z(x)

et/(l) СЮ

J R(A)dVt(A) + J R(A)dVt (A) < Ft (et) + R(e/(t)) =

для всех достаточно больших Отсюда вытекает оценка сверху в (6).

Возьмем т > 0. Для всех достаточно больших £ выполняется неравенство А4 ^ те4/(£). Поэтому

те/(е)

Ре > I Д(А)^(А) > Д(те/(¿))Л(те4) = а*

= е-Т£/(()С(х)(1+о(1))^4 (тее) = е-(!+т К/(4)С(х)(1+о(1)).

Отсюда следует оценка снизу в (6). □

Доказательство теоремы 4. Также, как во второй части доказательства теоремы 2, нам достаточно доказать оценку снизу в (7).

Возьмем т > 0. Так же, как в доказательстве теоремы 3, мы получим

Р > е-т£'/(¿К(*)(1 + °(1))^ (тее) = е-(тР+тК/(0«*)(1+О(1))

при £ ^ те. Отсюда следует оценка снизу. □

Литература

1. Могульский А. А. Малые уклонения в пространстве траекторий // Теория вероятн. и ее примен. 1974. Т. 19. Вып. 4. С. 726-736.

2. Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian analysis // Lectures on Probability Theory and Statistics, Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1648. Berlin: Springer, 1996. P. 165-294.

3. Li W. V., Shao Q.-M. Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities and applications / C.R.Rao, D. Shanbhag (eds) // Stochastic Processes: Theory and Methods, Handbook of Statistics. Vol. 19. North-Holland, Amsterdam, 2001. P. 533-597.

4. Li W. V., Shao Q.-M. Recent developments on lower tail probabilities for Gaussian processes // COSMOS, 2005. Vol.1, N1. P. 95-106.

5. Lifshits M. A. Asymptotic behavior of small ball probabilities / B. Grigelionis (ed.) // Proceedings of the Seventh Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, VSP/TEV. Vilnius, 1999. P. 453-468.

6. Фаталов В. Р. Константы в асимптотиках вероятностей малых уклонений для гаус-совских процессов и полей // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. Вып. 4(352). С. 89-134.

7. Li W. V., Shao Q.-M. Lower tail probabilities for Gaussian processes // Ann. Probab. 2004. Vol. 32, N 1A. P. 216-242.

8. Lifshits M. A. Bibliography of small deviation probabilities // http://www.proba.jussieu.fr/ pageperso/smalldev/biblio.pdf

9. Фролов А. Н. О вероятностях малых уклонений обобщенных процессов Кокса // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2006. Т. 339. С. 163-175.

10. Frolov A. N. On asymptotic behaviour of probabilities of small deviations for compound Cox processes // Theory Stoch. Proc. 2008. Vol. 14(30), N2. P. 19-27.

11. Фролов А. Н. Предельные теоремы для вероятностей малых уклонений некоторых итерированных процессов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2011. Т. 396. С. 218-232.

12. Frolov A. N. Small deviations of iterated processes in the space of trajectories // Central Europ. J. Math., 2013. (в печати)

13. Nane E. Laws of the iterated logarithm for a-time Brownian motion // Electron. J. Probab. 2006. Vol.11, N18. P. 434-459.

14. Nane E. Laws of the iterated logarithm for a class of iterated processes // arXiv:0806.3126.

15. Мартикайнен А. И., Фролов А. Н., Штайнебах Й. О вероятностях малых уклонений обобщенных процессов восстановления // Теория вероятн. и ее примен. 2007. Т. 52. С. 366375.

16. Aurzada F., Lifshits M. On the small deviation problem for some iterated processes // Electron. J. Probab. 2009. Vol. 14. P. 1992-2010.

17. Baumgarten C. Survival probabilities of some iterated processes // arXiv:1106.2999.

18. Dembo A., Poonen B., Shao Q.-M., Zeitouni O. Random polinomials having few or no real zeros //J. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 15. P. 857-892.

Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.