Малые уклонения максимального элемента последовательности взвешенных независимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАЛЫЕ УКЛОНЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЗВЕШЕННЫХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН*

Л. В. Розовский

С.-Петербургская химико-фармацевтическая академия (СПбХФА), д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Рассмотрим последовательность {Xi} независимых копий неотрицательной случайной величины X с функцией распределения P(X < x) = V(x) > 0 при любом x > 0 и положим M = sup^! AjXj, где {Aj} —некоторая последовательность невозрастающих положительных чисел, такая что P(M < ж) = 1. В работе изучается асимптотическое поведение — log P(M < r) при r ^ 0.

Подобная задача была изначально рассмотрена в [1] и [2] для весов {Aj} некоторого специального вида. Представляется важным, что результаты в этих работах были получены при минимальных априорных предположениях и имеют явный вид. Дальнейшие продвижения сделаны в [3] и, особенно, в [4], где соответствующее исследование было осуществлено в оптимальной общности. В настоящей работе подробно рассмотрен достаточно общий частный случай, в котором — log P(M < r) при r ^ 0 имеет явную асимптотику. Выражаясь конкретнее, нашей целью является обобщение и уточнение следующего результата из [1, теоремы 4.1 и 4.3].

Теорема 1. Пусть при некоторых y > 0 и S

log5 j

1/Y

.

(1.1)

Если E Xy (1 + log' X) К ж и

то P(M К ж) = 1 и

где

— log V(r) = O (r v), уК^, r ^ О,

— log P(M Кг) ~ K (y ) y ' (1/r)Y log' (1/r), r ^ О,

K(y) = j uY d log V(u) К ж.

(1.2)

(1.3)

(1.4)

j

2. Результаты. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что последовательность {Л?} удовлетворяет определенным условиям гладкости, а именно,

~ 3 при 3 (2.1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00242-я) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-638.2008.1).

© Л.В.Розовский, 2011

где неубывающая положительная функция b(u) = bY(u), u > 0, имеет вид b(u) =

uY bo(u), причем показатель y > 0, а функция bo(u) медленно меняется на ж.

Обращаем внимание на то (см. [3, замечание 1]), что необходимое предположение P(M < ж) = 1 равносильно условию

E b(X) < ж. (2.2)

По поводу соотношения (2.1) заметим, что если Xj удовлетворяет условию (1.1), то следует положить b(u) = uY (y log u)', u > 1, а в случае — log Xj ~ ajs (а и S положительны) выбрать b(u) = (а-1 log u)1/s, u > 1.

Нас будут интересовать условия, при которых существует предел

lim -l0gtP,(;M<r) = А, (2.3)

-- o b(1/r)

где A е [0, ж].

Заметим, что соотношение (1.3) в условиях теоремы 1 равносильно (2.3) при b(u) = Y' uY log' u и A = K (y).

Начнем со следующего результата.

Теорема 2. Пусть выполнено условие (2.2). Если K(y) = ж (см. (1.4)), то P(M < ж) = 1 и (2.3) имеет место при A = ж.

Теперь рассмотрим более интересный случай: K(y) < ж.

О

Отметим, что K(0) = — log P(X =0) и K(y) = —yJ log V(u) uY du/u при y > 0.

o

Кроме того, интеграл K(y) сходится на ж тогда и только тогда, когда EX7 < ж.

Для формулировки результатов нам понадобятся некоторые дополнительные обозначения. Положим

b(ut) b(t)

9 {и = д-у {и = sup——, h(u) = h1(u) = sup——. 2.4

t>i b(t) t>i b(ut)

Заметим, что функции g(u) и 1/^(u) не убывают и правильно меняются на ж с показателем y; кроме того, g(u) > uY, h(u) > u Y и 1/h(u) < b(u)/b(1) < g(u).

Теорема 3. Пусть Если

Eg(X) < то. (2.5)

O

— J h(u) dlog V(1/u) < то, (2.6)

1

то P(M < ж) = 1 и (2.3) справедливо при A = K(y) < ж.

Отметим, что (2.5) предполагает EXY < ж (и, следовательно, K(y) сходится на ж), а также то, что (2.6) при y > 0 равносильно условию

О

— J log V(1/u) h(u) du/u < ж. (2.7)

1

Замечание 1. Предположим, что положительная функция L(u) удовлетворяет условию

u(log L(u))' \ 0 при u ^ ж (2.8)

(откуда следует, что L(u) не убывает и медленно меняется на ж).

Если bo(u) = L(u) (см. (2.1)), то h(u) = u 1, а

g(u) = O (b(u)), u ^ ж; (2.9)

если bo(u) = 1/L(u), то g(u) = uY, а

h(u) = O (1/b(u)), u ^ж. (2.10)

Следствие 1. Пусть b(u) = uY L(u), где y > 0 и функция L(u) удовлетворяет условию (2.8). Тогда соотношения (2.2) и K(y) = A е [0, ж] необходимы и достаточны для P(M < ж) = 1 и (2.3).

Достаточность в следствии 1 вытекает непосредственно из теорем 2 и 3 и замечания 1. Проверим необходимость. Условие P(M < ж) = 1, равносильное (2.2), по (2.9) совпадает с (2.5). Если (2.3) имеет место при A = ж, предположение K(y) < ж ведет к противоречию, посколько из него следует (2.6), и согласно теореме 3 соотношение

(2.3) должно выполняться при A = K(y) < ж. Если же A < ж, то по теореме 2 к

противоречию ведет предположение K(y) = ж.

Заметим, что следствие 1 (y = 0) совпадает с [3, Theorem 2]. Если b(u) = y' uY log' u, из него также вытекает утверждение теоремы 1 (S > 0), причем без предположения (1.1).

При y > 0 предположение (2.6) (или (2.7)) в теореме 3 допускает замену другими, вообще говоря, менее ограничительными условиями.

Положим

b(ut) t>i Ь{иЧ)

Ци) = h7(u) = sup (2.11)

Эта функция не возрастает и правильно меняется на то с показателем —y. Кроме того

(см. (2.4)), u 1 < h(u) < h(u) и h(u) > b(u)/b(u2), а если выполнено условие (2.8) и

b(u) = uY/L(u), то

h(u) = O (b(u)/b(u2)), u ^ то. (2.12)

Теорема 4. Пусть y > О и выполнено условие (2.5). Если

— log V(r) = O (к(1/г) b(1/r)), r ^ О, (2.13)

и

CO

( к(и)Ъ(и)1г(и)— < oo, (2-14)

u

1

где функция k(u) удовлетворяет условию

k(u) \ О при u ^ то, (2.15)

то справедливо заключение теоремы 3.

Обращаем внимание на то, что (2.13) в некотором смысле необходимо для (2.3) (по этому поводу см. [4, предложение 1]). Заметим также, что использование (2.13) для оценки интеграла в (2.7) приводит к условию более ограничительному, нежели (2.14).

Следствие 2. Предположим, что Y > 0, L(u) удовлетворяет условию (2.8) и b(u) = uY|L(u). Если выполнены условия (2.15), (2.13) и

СЮ

/L(u2) du

к м ттг\ — < °°’

L2(u) u

1

то справедливо заключение следствия 1.

Этот факт проверяется аналогично следствию 1: используются теоремы 2 и 4 и по отдельности рассматриваются случаи K(7) = ж, K(7) < ж и A = ж, A < ж при доказательстве достаточности и необходимости соответственно.

Заметим, что так же, как ранее из следствия 1, из следствия 2 несложно получить теорему 1 уже при S < 0. При этом, если S < —1, то (1.2) можно заменить предположением

— log V(r) = о (r 1 log5 1|r), r ^ 0, а если —1 < S < 0, вместо (1.2) использовать условие

— log V(r) = O (r Y log-11|r (loglog 1|r)-p), r ^ 0,

в котором p > 1.

3. Доказательства

Доказательство теоремы 2. Пусть є ^ 0 и R ^ ж при r ^ 0 таким образом, что bo^^) — b0(1|r) — Ьо(1|єг) и є У r|A2R (см. обозначения в (2.1)).

Обозначим через A(y), y > 0, положительную и неубывающую функцию, такую что Aj = A(j), j У 1. Тогда из соотношений (3.1)—(3.3), приведенных в [4], следует, что

СЮ

— log P(M < r) >J(y — R)dlog V(r|A(y)) У

R

СЮ СЮ

У 0.5 f yd log V (r|A(y)) - 0.5 f b(1^(y)) d log V (r|A(y)) У

2R 2R

1/є 1/є

У 0.5 j b(u|r) dlog V(u) — 0.5 b(1|r) j uY dlog V(u).

Последний интеграл стремится к K(7) = ж, что и доказывает теорему 2.

Лемма 1 [4, замечание 1]. Если — log V(r) = o (b(1/r)), r ^ 0; то — log P(M < r) ~ J(r), r ^ 0; где

СЮ

J (r) = JY (r) = —J log V (ru) dbY (u), 0 <r < 1. (3-1)

1

limi?f - К^- (3-2^ т^в b(1/r)

Доказательство леммы 2. Из (2.2) вытекает

1/е

(U) "

J(r) = J (b(u/r) — b(1)) dlog V(u) > J (b(u/r) — b(1)) dlog V(u) ~

т е

1/е

~ b(1/r) J uY dlog V(u), r ^ 0,

если е ^ 0 достаточно медленно. Отсюда следует (3.2).

Лемма 3. Пусть выполняются условия (2.5) и (2.6). Тогда

3 (г)

Цтэир < К{7) < оо. (3.3)

т^0 0(1/г)

Доказательство леммы 3. Случай 7 = 0 был рассмотрен в [3]—см. соотношение (30). Пусть ^ > 0. Из условий (2.5) и (2.6) вытекает К(7) < ж. Далее,

СЮ 1 /е е \

J + J + J I (b(u/r) — b(1)) dlog V(u) = Ji + J2 + J3. (3.4)

/ сю 1/е е

J (r) =

1/е е т

Если £ стремится к 0 при r ^ 0 достаточно медленно, то

1/е

J2 ^ J b(u/r) dlog V(u) ~ b(1/r) K(y). (3.5)

е

Теперь, по (2.5) при r ^ 0

Ю Ю

J1 < 2J b(u/r) dV(u) < b(1/r) J gY(u) dV(u) = o (b(1/r)), (3.6)

и по (2.6)

J3 < — J b(1/ur) dlog V(1/u) < b(1/r) — J h(u) dlog V(1/u) = o (b(t)).

1/е 1/е

Отсюда и из (3.4)-(3.6) следует лемма 3.

Теорема 3 вытекает из лемм 2 и 3.

(u) dV(u)

1/е 1/е

1/т 1/т

Проверим замечание 1 (см. также [3, замечание 2]).

Без потери общности предположим, что e(u) = u(log L(u))' не возрастает на [1, ж). Тогда L(t) = L(1) exp (e(u)/udu), t > 1, откуда при любом и > 1

rtu РП

и-1 g(u) = sup exp ( / e(y)/y dy) = sup exp ( / e(yt)/ydy) < t>1 Jt t>1 Ji

, Г / w 1 ^ L(u)

<supexp(/ e(y)/ydy) =

t>i Ji L(1)

т. е. имеет место (2.9). Оценки (2.10) и (2.12) проверяются аналогично.

Лемма 4. Пусть y > 0 и выполнены условия (2.5), (2.13)—(2.15). Тогда справедливо соотношение (3.3).

Доказательство леммы 4. Поскольку соотношения (3.4)-(3.6) в условиях леммы 4 все еще имеют место, следует лишь подходящим образом оценить J3. Пусть

e/r

J4 = — J log V(1/u) b(1/ur)/udu. Используя свойства правильно меняющихся функ-

1/e

ций и условие (2.13), находим

£

J3 <— b(1/e) log V(r)+ j b(u/r) dlog V(u) = O (J4) + o (b(1/r)), r ^ 0, (3.7)

r/e

если £ ^ 0 достаточно медленно.

Далее,

{ yj If Г e/r ^

J4 = —

du

\ogV{l/u)b{l/ur)—=h+h, (3.8)

u

a/iA л л

причем I1 < —b(1/r)f log V(1/u)h(u)/udu, где h(u) = sup b(1/ur)/b(1/r). При-

1/e r: rK1/u2

нимая во внимание (2.13), (2.14) и то, что h(u) = h(u) (см. (2.11)), получаем

I1 = o (b(1/r)), r ^ 0. (3.9)

Теперь,

е/r а/ i/r

Т 11.1 М ^ f / \u \bi1/ur) du глГл\ f / \u ^ь(1/s) ф/sr) ds

h/b(i/r) = o(i) J «»(«)ш-=о(1) J —7 =

VTa 1/e

a/iJr

= 0(1) [

J K(s) s

1/e

Следовательно, по (2.14) и (2.15)

12 = О (b(l/r)) J n(s)b(s)h(s) — = o(b(l/r)), т —^ 0.

1/e

Отсюда и из (3.4)-(3.9) следует (3.3).

Лемма 4, таким образом, доказана.

Теорема 4 следует из лемм 2 и 4.

Литература

1. Aurzada F. On the lower tail probabilities of some random sequences in lp // J. Theoret. Probab., 2007. Vol. 20. P. 843-858.

2. Aurzada F. A short note on small deviations of sequences of i.i.d. random variables with exponentially decreasing weights // Statistics and Probability Letters, 2008. Vol. 78. 1.15. P. 23002307.

3. Rozovsky L. V. Small deviations of series of weighted i.i.d. non-negative random variables with a positive mass at the origin // Statistics and Probability Letters, 2009. Vol. 79. P. 1495-1500.

4. Розовский Л. В. О малых уклонениях максимального элемента последовательности независимых случайных величин с гладкими весами // Записки науч. семин. ПОМИ. Т. 368. С. 190200.

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2010 г.