CC BY
9Водород в металлах и сплавах
О ПРЕДЕЛАХ КОРРЕКТНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПОДСТАНОВКИ БОЛЬЦМАНА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НАВОДОРОЖИВАНИЯ
МЕТАЛЛОВ
В. Н. Лобко
Владимирский государственный университет ул. Горького, 87, Владимир, 600000, Россия, e-mail: lobko_vn@laser-2.vpti.vladimir.ru
При теоретическом рассмотрении решения диффузионных задач проникновения водорода в компактные образцы металлов (наводороживание или дегазация), описываемых уравнением:
дс dt
Эх
дх
(1)
часто используется подстановка Больцмана:
Я = х/л^ или Я = х/, (2)
где Я — новый аргумент (см., например, [1]). Подстановка применима в случае диффузии водорода в полубесконечный образец металла и сводит диффузионное уравнение (1) к обыкновенному дифференциальному уравнению [1, с. 283]. Считается, что использование подстановки (2) приводит к точному решению задачи диффузии водорода в полубесконечной среде [1, с. 242].
Однако Больцман в своей статье [2] не приводит строгого доказательства корректности предложенной им подстановки ((2), первая форма). Наличие появившейся позднее второй формы подстановки (2) говорит о неоднозначности данного решения. С другой стороны, косвенная экспериментальная проверка этого приёма — метод Больцмана-Матано определения коэффициента диффузии примесей в металлах по полученным в опыте концентрационным профилям — даёт большую погрешность, что объясняется обычно причинами технического характера. Некоторые сомнения в правильности подстановки высказывались и ранее [1, с. 224]. В настоящей работе делается попытка исследования пределов корректности подстановки Боль-цмана сравнением с расчётами по численным методикам для систем металл-водород.
Численное решение задачи диффузии в полубесконечную среду не может быть сведено к задаче Коши с решением, например, методом Рунге-Кутты, т.к. определение первой производной концентрации водорода по координате в приповерхностном слое металла представляет большую экспериментальную трудность. В этом плане значительный интерес представляет описание данного процесса в рамках краевой задачи для плоскопараллельной пластины с постоянной (например) концентрацией водорода на левой границе
металла и нулевой (или близкой нулю) концентрацией на правой границе. Такое описание может быть корректным, если время диффузии достаточно мало, а толщина ограниченного слоя металла достаточно велика. В этом случае краевая задача может служить адекватной моделью диффузии в полубесконечное пространство. Решение краевой задачи может быть получено, например, методом конечных разностей по хорошо апробированным разностным схемам [3].
В работе на примере некоторых видов зависимости D = f (c) подобраны пределы изменения параметров — координаты х и времени t, позволяющие с достаточной степенью точности свести рассматриваемую задачу к краевой задаче. Показано, что при некотором изменении толщины пластины для определённого фиксированного времени получаемые концентрационные профили сходятся к одному и тому же решению. Поскольку применяемая разностная схема обладает абсолютной сходимостью и адекватно аппроксимирует уравнение (1), можно считать полученные результаты корректными и сравнивать с ними результаты других методик, в частности, — метода Больцмана.
Далее в работе приводятся результаты сравнения расчётов по обеим методикам. Выявлены существенные расхождения концентрационных профилей. Это показывает, что метод с использованием подстановки Больцмана является не точным решением, а лишь более или менее хорошей аппроксимацией. Всё это позволяет рекомендовать при решении подобных диффузионных задач использовать численные методы, которые, хотя и являются в основе своей приближёнными, дают в данном случае более точные результаты.
Список литературы
1. Райченко А. И. Математическая теория диффузии в приложениях. Киев: Наукова думка, 1981.
2. Boltzmann L. Zur Integration der Diffusionsgleichung bei variabeln Diffusionscoefficienten. Ann. Phys. und Chem. Neue Folge, 1894. V. 53. № 13. S. 959-964.
3. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
ISJAEE Специальный выпуск (2003)
