О ПРЕДЕЛАХ КОРРЕКТНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПОДСТАНОВКИ БОЛЬЦМАНА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НАВОДОРОЖИВАНИЯ МЕТАЛЛОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВОДОРОДНАЯ ЭНЕРГЕТИКА И ТРАНСПОРТ

Конструкционные материалы

HYDROGEN ENERGY AND TRANSPORT

Structural materials

О ПРЕДЕЛАХ КОРРЕКТНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПОДСТАНОВКИ БОЛЬЦМАНА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НАВОДОРОЖИВАНИЯ МЕТАЛЛОВ

ЕЛ]

В. Н. Лобко

УДК 519.633.6:539.219.3:669.788

Владимирский государственный университет ул. Горького, 87, г. Владимир, 600000, Россия E-mail: lobko_vn@laser-2.vpti.vladimir.ru

Сведения об авторе: кандидат хим. наук, доцент кафедры химии Владимирского государственного университета.

Образование: химико-технологический факультет Владимирского политехнического института (1981 г.).

Область научных интересов: диффузия водорода в металлах, математика диффузии, программирование математических методов, физическая химия взаимодействия водорода с металлами, термодинамика, вакуумная техника.

Публикации: более 30 научных работ.

Лобко Владимир Николаевич

In this report, an attempt is made to study the limits of correctness of the Boltzmann's transformation for the solution of diffusion problems of hydrogen penetration into compact metal samples (hydrogen pickup or degassing) by comparison with calculations according to numerical procedures. Significant discrepancies of concentration profiles have been revealed. It elucidates that the method with the use of the Boltzmann's transformation is a more or less good approximation rather than an accurate solution.

При теоретическом рассмотрении решения диффузионных задач проникновения водорода в компактные образцы металлов (наводорожива-ние или дегазация), описываемых уравнением

дс __Э/ dt дх

D (с)

дс

дх

(1)

часто используется подстановка Больцмана:

П_ x/yft (2а)

или

П_ х / (l-Jt)

(2б)

где п — новый аргумент (см., например, [1]). Подстановка применима в случае диффузии водорода в полубесконечный образец металла и сводит диффузионное уравнение (1) к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка [1, с. 35]:

П dc _ d 2 dn dn

D

dc d n

(3)

Считается, что использование подстановки (2) приводит к единственному точному решению задачи диффузии водорода в полубесконечной среде [1, с. 242]:

-(n)_<

1 -

n 1 | 1 n'' n'

f—exp — f — dn' , D 2J0 D

\ \ 'dn''

„ / r»"

7 i iIn' . ,

I — exp — I — d n'

1 D 2 J D

z. 0 и

d n''

(4)

Однако Больцман в своей статье [2] не приводит строгого доказательства корректности предложенной им подстановки (2а). Наличие появившейся позднее второй формы подстановки (2б) говорит о неоднозначности данного реше-

Статья поступила в редакцию 11.11.2004 г. Article has entersd in publishing office 11.11.2004

0

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» ISJAEE № 2(22) 2005 АЭЭ № 2(22) 2005

ния. Кроме того, косвенная экспериментальная проверка этого приема — метод Больцмана - Ма-тано для определения коэффициента диффузии примесей в металлах по полученным в опыте концентрационным профилям — дает большую погрешность, что обычно объясняется причинами технического характера. Некоторые сомнения в правильности подстановки, как отмечается в книге Райченко [1, с. 224], высказывались и ранее, в частности, Дж. Киркалди [3] считал выражение (4) приближенным, а вопрос о единственности решения (4) дискутировался в [4-6]. Можно заметить, что даже если решение (4) является точным, оно не может быть использовано прямо, так как в правую часть входит коэффициент диффузии Б = f (с), точнее, Б = / (п). Во многих монографиях, в том числе у Райченко, данная формула приводится без пояснений; в фундаментальной монографии Крэнка по математике диффузии [7] описывается процесс использования этой формулы как итерационный. Таким образом, формула (4) дает лишь приближенные решения.

В настоящей работе делается попытка исследования пределов корректности подстановки Больцмана сравнением с расчетами по численным методикам для систем металл-водород при диффузии в полубесконечную среду с постоянной концентрацией водорода с0 на входе.

Сначала необходимо отметить, что рассматриваемое решение находится в соответствии с известным решением уравнения диффузии для В * f (с):

дс п д2с

эС = ^ (5)

для случая полубесконечного пространства в виде функции ошибок:

c (n) = c0erfc

П

i4d

(6)

В частности, при Б * f (с) выражение (4) точно переходит в (6).

Численное решение задачи диффузии в полубесконечную среду не может быть сведено к задаче Коши с решением, например, методом Рунге - Кутты, так как определение первой производной концентрации водорода по координате в приповерхностном слое металла представляет большую экспериментальную трудность. Значительный интерес представляет описание данного процесса в рамках краевой задачи для плоскопараллельной пластины с постоянной, например, концентрацией водорода на левой границе металла и нулевой, или близкой к нулю, концентрацией на правой границе. Такое описание может быть корректным, если время диффузии мало, а толщина ограниченного слоя металла велика. В этом случае краевая задача может служить адекватной моделью диффузии в полубесконечное пространство. Решение краевой зада-

чи может быть получено, например, методом конечных разностей по хорошо апробированным разностным схемам [8].

В работе на примере некоторых видов зависимости В = f (с) подобраны пределы изменения параметров — координаты х и времени г, — позволяющие с достаточной степенью точности свести рассматриваемую задачу к краевой. Выявлено, что при некотором изменении толщины пластины для определенного фиксированного времени получаемые концентрационные профили сходятся к одному и тому же решению.

В случае В *f (с) решение уравнения (5) для полубесконечной среды может быть получено как решение смешанной задачи по методу конечных разностей с использованием неявной разностной схемы для параболического уравнения [8, с. 276]:

(2 + Ь2 / т / D )j+1 - c

2, j+1

= Ь / т / Dci, j + Со, j+1; i = 1;

С-1, j+1 - (2 + la2/ т /D )c1, j+1 + с

i+1, j+1

= -h2 /т/Dcx ; i = 2, ... n-2;

10

.0 >

о

x

К

\\

\

i \

V

V" \

\ \

\ \ v 2

V \

\ \

(7)

-с„-2,;+1 +(2 + А2/ т / Б );+1 =

= Ъ2 / т / Бсп-1, ] + сп, 1+1; г = п -1,

где к — шаг по оси х; т — шаг по оси г; г — индекс по оси х; j — индекс по оси г.

Это было сделано на примере системы никель-водород (рис. 1, кривая 2) для с0 = 0,11 см3 (н.у.)/см3, Б = 2,1710-5 см2/с, гкон = 3600 с.

0 2 4 6 8 10 12 14

x, х10-1 мм

Рис. 1. Концентрационные профили водорода в полубесконечном образце никеля для случая D = const: 1 — решение по функции ошибок (6); 2 — решение исходного уравнения Фика (5) методом конечных разностей по неявной разностной схеме (7)

С другой стороны, было получено решение по (6) и для сравнения был сделан пересчет с п на x для t = 3600 c (рис. 1, кривая 1). Из рис. 1 видно, что эти решения не сходятся.

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology

АЭЭ № 2(22) 2005 ISJAEE № 2(22) 2005

В. Н. Лобко

О пределах корректности применения подстановки Больцмана при решении задач наводороживания металлов

Перейдем к случаю Б = f (с). Для простоты рассмотрим прямолинейную зависимость: Б — убывающий и возрастающий коэффициент диффузии (рис. 2).

36

32

28

и

5 О 24

О

X 20

Q

16

12

S5:

I I I ~г

D = 2.17-10-5 + 1,2510-6c см/с2

- 1 -

D = 2,1710-5 см/с2

D = 2,1710-5 - 1,2510-6 c см/с2

.....

d 2c

d n

1

2 + D

dD n

— + —

dn 2

dc dn

= 0,

(8)

которое легко решается как краевая задача по методу конечных разностей для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с использованием известной схемы:

(( ( г-1) + 4Б ( г) - Б ( г +1) + ( - По ) )С2, г-1 --8Б (с1, г )с2, г + (-Б ( г-1) + 4Б ( г) + Б ( г+1) + +(п -По )п)с2, г+1 =0; ' = l, п-1, (9)

где с1у- — концентрация предыдущей итерации, а с2, 1 — последующей.

Данное решение должно распространяться и на случай В Ф/(с). На рис. 3 (кривые 1 и 2) показаны результаты сравнения этого решения с решением (6). В пределах точности графика получено полное совпадение. Это свидетельствует о корректности применения метода конечных разностей для задачи диффузии в полубесконечную среду и говорит о несовместимости уравнений (5), а значит и (1), и (3). На рисунке приведены решения в случае В = f (с) для прямолинейных функций (рис. 3, кривые 3 и 4).

Для решения задачи диффузии в полубесконечную среду, как краевой, точнее, смешанной задачи для коэффициента диффузии, зависящего от концентрации, использовались две различные разностные схемы: схема, приводимая Самарским [8, с. 281; 9, с. 594; 10, с. 386]:

10

,о >

I

5

О

о

X о

i

■

1 1, 2

! / /

К

>1-\ 3

%

/ >

4 /

> ч ч

2 4 6 8 10

с, х10-2 см3 (н.у.)/см3

Рис. 2. Изменение коэффициента диффузии водорода В в рассматриваемом диапазоне концентраций: возрастающий (кривая 1), постоянный (кривая 2), и убывающий (кривая 3)

Из выражения (3) можно получить уравнение

3 6 9 12 15 18 21 24

n, х10-3 см/с1/2

Рис. 3. Концентрационные профили водорода в полубесконечном образце никеля в зависимости от параметра n: 1, 2 — решения для случая D = const уравнения (3) методом конечных разностей (9) и решение по функции ошибок (6) (кривые совпадают); 3, 4 — решения для случая D = f (c) уравнения (3) методом (9) (3 — возрастающий D; 4 — убывающий D)

-(D (c2,, -i) + 2D (cu-i) + D (со, j-i) + 2h2 / t)ci, ^ + + (D(2,j-1) + D(cu-1)) =-2h2/xcu_i --(D (ci,j -1) + D (c0J -1))) ,i = 1

(D (, j -1) + D (-1,j_1 ))

-(D(+1,j-1)+ 2D(c j-1) + D(-1,j-1)+ 2h2 /т)х

xc,j +(((c+1,j-1) + D (, j-1 )) +1,j = (10) = -2h2/ xq, j-1, i = 2, ..., n -2;

(D (cn-1,j-1 ) + D (cn-2,j-1 ))cn-2,j -

-(D (n,j-1)+ 2D (n-1, j-1) + D (cn-2, j-1)+ 2h2 /т)х

xcn-1, J =-2h2/Tcn-1, J-1 -(D (cn, J-1 ) + D (cn-1, J-1 ))cn, j ,

i = n -1

и схема Крэнка - Николсона [11]:

4 (D (c1, j -1)+ h2/т), j - 2D (1, j -1 )c2, j = = (D (c2,j -1 )- D (c0,j -1 ))(c2,j -1 - c0,j -1 ) + +2D (c1i,j -1 )(c0,j -1 - 2c1,j -1 + c2,j -1 ) + +4h2/ Tc1, j -1 + 2 D (cu -1 )co,j, i = 1

-2D(,j_1 )_1,j + 4(((c,j_1) + h2/т) --2D (, j-1 )+1,j = (((+и-1)- D (-1, j-1 ))x

x(c+1, j -1 - c -1,J -1) + 2D (, j -1)x (11)

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» ISJAEE № 2(22) 2005 АЭЭ № 2(22) 2005

х(сг-1,}.- - 2сг,}.- + .-) + 4А2 /,}.-, / = 2, ..., и - 2;

-2Я (с„-1, .-1 )с„-2,. + 4 (( (-1, .-1) + И2/ т)-1,. =

= (( (и,.-1 ) - ^ (и-2,.-1 )) (, з-1 - Си-2, з-1 ) +

+2° (Си-1,.-1 )(и-2,.-1 - 2си-1, з-1 + Си,.-1 ) + +4И2/Тс„-1,3-1 + (-1,3-1 ),. , /= и - 1,

которые дают практически одни и те же результаты. Причем решение по схеме (10) для случая Б ^f (с) в сравнении с решением уравнения (5) по схеме (7) с большой точностью одинаковы (рис. 4). Это свидетельствует о самосогласованности этих решений. Сравнение решений, полученных в случае Б = f (с) по схеме (10) и по методу Больцмана (уравнение (3), схема (9)) выявляет значительные расхождения (рис. 5).

12 14

x, х10-1 мм

Рис. 4. Концентрационные профили водорода в полубесконечном образце никеля для случая D = const. Решение уравнения диффузии (5) методом конечных разностей по неявной разностной схеме (7) и решение исходного уравнения Фика (1) методом конечных разностей по схемам (10) и (11) (для D = const); кривые совпадают

Поскольку применяемые разностные схемы метода конечных разностей обладает абсолютной сходимостью, адекватно аппроксимируют соответствующие уравнения и хорошо апробированы при решении многих задач, можно считать, что метод с использованием подстановки Больцмана является не точным решением, а лишь более или менее хорошей аппроксимацией. То же можно сказать и о решении уравнения (5) в виде функции ошибок (6). Все это позволяет рекомендовать при решении подобных диффузионных задач использовать численные методы, которые хотя и являются в основе своей приближенными, в нашем случае дают более точные результаты.

Расчеты для некоторых других видов концентрационной зависимости D = f (c) (экспонен-

12 14

x, х10-1 мм

Рис. 5. Концентрационные профили водорода в полубесконечном образце никеля для случая D = f (c): 1, 2 — решения уравнения (3) методом (9) (1 — убывающий D, 2 — возрастающий D); 3, 4 — решения методом конечных разностей уравнения (1) по схемам (10) и (11) (3 — убывающий D, 4 — возрастающий D)

циальная, степенная и др.) обнаруживают те же самые тенденции, хотя ход концентрационных профилей несколько меняется.

Список литературы

1. Райченко А. И. Математическая теория диффузии в приложениях. Киев: Наукова думка, 1981.

2. Boltzmann L. Zur Integration der Diffusionsgleichung bei variabeln Diffusionscoefficienten // Ann. Phys. und Chem. Neue Folge. 1894. Vol. 53, No. 13. S. 959-964.

3. Kirkaldy J. S. Note on the uniquness of the Boltzmann-Matano solution of the diffusion equation // Acta met. 1956. Vol. 4, No. 1. P. 92-93.

4. Seyferth C. Bemerkung zur Eindeutigkeit der Boltzmannschen L^ung der eindimensionalen Diffusionsgleichung // Acta met. 1962. Vol. 10, No. 3. P. 259-260.

5. Kirkaldy J. S. Further remarks on the uniquness of the Boltzmann-Matano solution of the diffusion equation. Acta met. 1962. V. 10. N 12. P. 1187.

6. Seyferth C. Eine weitere Bemerkung zur Eindeutigkeit der Boltzmannschen Lösung der eindimensionalen Diffusionsgleichung // Acta met. 1962. Vol. 10, No. 12. P. 1187.

7. Crank J. The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press, 1956.

8. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

9. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

10. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

11. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985.

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology

АЭЭ № 2(22) 2005 ISJAEE № 2(22) 2005