О потерях энергии при течении газа в соплах. Ч. 3 Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2007 р. Вип. №17

УДК 533.6.011.72:681.121.089

Лухтура Ф.И. *

О ПОТЕРЯХ ЭНЕРГИИ ПРИ ТЕЧЕНИИ ГАЗА В СОПЛАХ. ЧАСТЬ 3

Приведен в одномерной постановке метод расчета действительных параметров течения в характерных сечениях сопл с различной конфигарацией сужающейся их части, учитывающий вязкие потери энергии на трение о стенки канала. Рассмотрено влияние начальных параметров газа и температуры стенки на вязкое трение и на параметры истечения газа из сопл. Проанализированы области применимости полученных результатов.

В [1,2] рассмотрены влияния газодинамических потерь на параметры течения газа в соплах без учета потерь на трение в пограничном пристеночном слое. В [3] приведен расчет потерь импульса (тяги) при течении продуктов сгорания в конических соплах Лаваля жидкостно-ракетных двигателей при наличии вязкого трения.

В дополнение к [1,2] с целью определения доли потерь из-за вязкого трения в величине суммарных потерь энергии в соплах и распространения методики расчета [3] на более широкий круг задач, связанных с процессами течения различных газов (в т.ч. различными показателями адиабаты) в соплах, и проведения анализа влияния вязкого трения на характерные параметры истечения, ниже приведена методика расчета потерь энергии из-за вязкого трения при течении разнородных газов в соплах с различной формой контура его сужающейся части.

Наличие вязкого трения при течении газового потока вдоль стенки сопла создает силу, стремящуюся увлечь стенку в направлении потока, т.е. создает силу, противоположную тяге (импульсу в пустоте). Если т - напряжение трения на стенке, то сила трения, возникающая как равнодействующая по всей обтекаемой поверхности сопла,

jrxDdx = 4 F* Ji

АРтр= |TnDdx = 4F* \rDdx, (1)

о о

где D = D / d* - относительный диаметр сечения; х = х / d* - относительная продольная координата в калибрах диаметра минимального (критического) сечения; F» - площадь критического сечения; 0 - координата начала отсчета, например входная плоскость сопла; ха, ха - координаты выходного сечения сопла с диаметром Da.

Используя соотношение тяги в пустоте, можно получить коэффициент [3], отражающий потери импульса из-за трения, (ртр = /,, /„,. равный отношению действительного полного импульса к теоретическому

1

ср =!--—[—Ddx, Г (2)

Кп.т. JPo U + U 4

о

где р0 - полное давление газа перед соплом; Кп,т - теоретический коэффициент тяги сопла; Л -приведенная скорость [4,9]; к - показатель адиабаты.. Напряжение трения

r = Cf(Fw2/2), (3)

где w - местная скорость потока; С/ - коэффициент трения, который может быть вычислен, например, по соотношению B.C. Авдуевского [3]

т —

2 Vi +1

' ГТГТУ, ст. препод.

( к - Л

С/=С/0(гст)-°'3^1 + 0,88— М2^ , Тст=Тст/Т0ао, (4)

где Тст - температура стенки сопла, К; Т,г, - температура торможения потока газа, К; М - число Маха потока; С/о - коэффициент трения для несжимаемой жидкости, который может быть определен до точки отрыва потока (корня струи) с помощью интерполяционной формулы [4]

Су о = 0,058 Ке~0'2 или Су0 = 0,65) 2,3, где 1(ех = \\-lJv - число Рейнольдса потока,

рассчитываемое по длине образующей сопла.

Для коэффициента трения шероховатых стенок можно воспользоваться эмпирической формулой [4]:

С/0,=[2,87 + 1,58/^(х/^)]-2'5, (5)

где к6. - высота выступов шероховатости. Величина С/о» определяется наряду с С/о, большая из них используется для нахождения коэффициента скорости. В среднем для технически гладких поверхностей можно принять 0,003, для полированных 0,002.

Для определения коэффициента потерь (ртр необходимо ввести функцию, определяющую профиль сопла в виде зависимости текущего радиуса сопла от его координаты: у = 0,51) = /(х), и длину образующей сопла 1Х для определения числа Рейнольдса Не,- вдоль образующей сопла.

Конструктивные особенности образующих сопл Лаваля весьма разнообразны [3]. Для получения равномерного параллельного потока (применительно к сверхзвуковым аэродинамическим трубам и реактивным аппаратам) с очень большой скоростью истечения пользуются соплами со специально профилированными стенками, для построения которых применяются методы характеристик или функциональных рядов. В химической технологии, в т.ч. в металлургии, обычно используются сопла Лаваля с коническими образующими.

При профилировании сопел с изломом контура в критическом сечении или угловых сопел для участка предварительного расширения используется течение, которое получается при свободном расширении осесимметричной струи с плоской поверхностью перехода через скорость звука в пространство. Для получения плоской поверхности перехода входная часть сопла (кон-фузор) должна быть соответствующим образом спрофилирована. Как показывает опыт, удовлетворяющим условиям плоской переходной поверхности является контур входной части сопла, построенный по известному соотношению Витошинского [3]

2 А ?Г

/ 1+s f • <6)

где > 2Rnx ~ длина входной части сопла, Rex - радиус входного сечения сопла (или камеры, трубопровода), у* - радиус минимального (критического) сечения сопла, у - радиус поперечного сечения на координате х. Сопло, профиль которого построен по профилю Витошинского, отличается очень плавной, растянутой формой области критического сечения.

Такой профиль пригоден для сопел, соединяющих две трубы различных диаметров, когда поток при переходе в трубу меньшего диаметра должен быть ускорен. Сопла такого профиля обычно применяются для аэродинамических труб дозвуковых скоростей.

При подключении сопла непосредственно к резервуару его профиль может быть (желательно) очерчен дугами окружности, лемнискатами или параболами или, наконец, иметь конический вход. Достаточно близким ко входу Витошинского является контур, выполненный по дуге радиуса R\ = 1,5d* = 3R*. На практике, исходя из технологических и конструктивных соображений и желая несколько сократить входную часть сопла, последнюю часто выполняют по дуге несколько меньшего радиуса: i?i=(0,75-^l,0)<i» = (l,5-^2,0)i?,. Контур входной части в этом случае можно определить из соотношения

y = R1+ym-^-(x-lexf . (7)

y = yJ1

1-

1-

-V

г>

f v Y

1-

\Jex ;

Причем входной диаметр сопла равен

вх вх / *

(8)

При использовании лемнискатного профиля, описываемого уравнением лемнискаты [5], смещенной относительно координатных осей на 45° вокруг начала координат против часовой стрелки:

(х2+у2} = 4а2ху, (9)

профиль (контур) входной части и входной диаметр конфузора сопла можно определить по неявно выраженным соотношениям соответственно:

_ 1 У = 2

(х~1вхУ+(у + У2)2 2 я2(*"4с)

-1

("4х)2+кх/2 + 1/2)2

2 И-4с)

-1

(10)

где величина а представляет расстояние фокусов координатных линий от начала координат.

Заметим, что входная часть сопла с плоской поверхностью перехода через скорость звука является еще и безударной: как показывают теоретические исследования [2,6], одно из условий отсутствия скачков уплотнения в зоне критического сечения - плоская поверхность перехода.

При использовании конического конфузора с углом наклона образующей увх контур входной части и диаметр входного сечения конфузора можно определить из соотношений

У = У*+(1вх-ХУёГвх, ¿вх=1 + 21вхШГвх- (11)

В общем случае для определения длины образующей сопла - дуги 1Х кривой у=/(х) от точки с координатой Х=Х1=0 до точки х=х2 [7], длину дуги МЫ малого отрезка кривой у=/(х) заменим длиной отрезка прямой А/, соединяющий точки М и N. При этом будем рассматривать только

А/ = ^(Ах)2 + (А у)2 = Ах| + ^ - <12)

Перейдя к пределу Ах^-0 —превращается в

Ах

производную / = /'(х) = ^, где у = /(х)- урав-

ах

нение заданной линии, а величина АI переходит в дифференциал дуги. Можно показать, что дифференциал дуги сН отличается от прямолинейного отрезка АI на величину порядка малости (Ах)2. Поэтому при переходе к пределу Ах—>0 мы этой величиной можем пренебречь, т.е. положить, что

Ит А/ = с/1. В итоге получаем

Ах:—>0

кривые без разрывов и изломов (рис.1). По теореме Пифагора имеем

Рис.1 - Схема сужающейся части сопла Лаваля с плоской поверхностью перехода через скорость звука.

сВ = + {у')2с1х.

(13)

Взяв интеграл от обеих частей полученного равенства, найдем длину искомой дуги

х9

ск.

(14)

X,

Рассмотрим пример определения текущей длины контура образующей входной части сопла (конфузора), выполненного по дуге окружности радиуса (рис. 1). Дифференцируя уравнение дуги (7), получим

х I „

ёх

№-(х-1вх)2 '

(15)

Подставив это значение в формулу (14) и воспользовавшись таблицей простейших интегралов, получаем

(■*• Кх)

-с1х = Я

X /■

ёх

(

X I „

агсят -

Д,

■ - агсят

( I ^

1вх V К1 /у

. (16)

Аналогичным образом определены соответствующие длины дуг образующей сужающейся части сопел с профилем Витошинского, лемнискатным профилем, коническим и др.

С другой стороны, используя методику [3] для определения напряжения трения т, подынтегральное соотношение (2) можно представить в виде

7 тт — к „71, к — \ .2 тг-

—В=а-Л 1--Л В.

р0 к +1 ^ к +1 )

(17)

,2,18

где а = а-

(1 ^ГМ.Г

1-

Р2

0,82

1-

9/Г

Ф + Тст)

0,18

(18)

2(1 + Тст)_

а - коэффициент трения, причем а = 0,5С/; Р = Л/у](к +1)/(к -1) - относительная скорость потока в сопле.

Выражение (18) можно упростить, используя интегральные соотношения пограничного слоя в форме В.М.Иевлева [3] и закона трения и теплообмена для сжимаемой жидкости (газа):

а = 0,01352 • г

-0,15

(19)

"ш

г

(

1 -Р + Р'

1,769-

1-0,08696--

1 ~Р'

\-тст-о,\р-

\-Тст-0,\р'

0,54

2 ги

к +1

„ „„. 2 V-! \к-\ л

4,421-| „/-Яе,

к +1

0 *

15^(1 + тстУ2(ъ+тстУ

где г и гт - вспомогательные функции; и приближенное выражение

<P1

X í

lO,15

Ч> i =■

1-/Г

где <ръ =

1-

cp3dx

Р'

1-

P¿

-i 0,82

2(1 + ^)

1-

9f}Á

-i 0 Д 8

(20)

4(3 + Гст)

1-/?'

2(1 + Тст)

1,52

1-

4(3 + Тст)

0,18

- газодинамическая функция, слабо завися-

D

0,8

щая от к и 7'С1. а также вполне удовлетворительную аппроксимацию [3]

-0,15

1.517'

0,125

(i+fj^ + fj"8 можно величину а аппроксимировать следующим простым соотношением

(21)

а

Г 1 1 -0,15

22'18 -0,01352-0,5298 í2

U+U u+i

_

ТТ—0,18 г> 0,15 íT0,125

D Re0 Тст

Используя выражения (2), (17) и (22), запишем

(22)

<Ртр = 1 " '

Г 1 1 -0,15

í2

0,129836

U + lJ \k + l

_

К Rp0'15 770'125

ха

JF(kD)dx,

о

^0 =

(ДТЬ^П-!

к +1 I £ + 1

2£

(23)

(24)

где /tei - характерное число Рейнольдса [3]; р0 - полное давление газа перед соплом; //,, - динамическая вязкость, соответствующая параметрам адиабатически "заторможенного" потока вне пограничного слоя; F(k D) - газодинамическая функция.

Величина F(k D) в докритической части сопла очень быстро уменьшается в сторону входного сечения сопла, а в закритической части - в сторону выходного сечения, но менее интенсивно. Отсюда интеграл в уравнении (23) заметное значение будет иметь только в закритической части сопла, т.е. потери на трение в основном формируются в критической и закритической частях сопла.

Вычисление можно упростить, если ввести функцию, определяющую профиль сопла в виде зависимости текущего радиуса сопла от его координаты: у = 0,5D = /(х). В этом случае, ис-

JF(kD)dx

пользуя газодинамические соотношения и теорему о среднем, интеграл

можно вы-

числить [3] и коэффициент (рц-, будет равен

<ртр = 1-0,0095337-

2 }к-1 к-1

к +1

к +1

-0,15

(А.+1Г

к Лп (я3а - ЗЛа + 2j —

Д 0,15^70,25 к + 1 •'"'О ст

(4+1)

(l +Д<рех),

(25)

А(Рвх =

, 0,18

D„+1

tgTa Яст-ЗЯст+2 Я* -ЗЯ„+2 !

где Уа, увх - соответственно средние углы конусности закритической (выходной) и докритиче-ской (входной) частей сопла. Для сопла с коническими образующими дозвуковой и сверхзвуковой частей: у а, удх - углы наклона образующих.

В выражении (25) член А(рвх определяет относительную долю потерь на трение во входной части сопла по сравнению с потерями в выходной части [3].

При наличии трения истинная скорость потока в сопле меньше идеальной. Скорость истечения на выходе из сопла составит Ла = <ра Ла по, в минимальном сечении - = где в

общем случае коэффициент скорости (р при сравнении сопел с одинаковыми значениями полного давления на входе в сопла равен

1

<Р =

АЛ-1

лк~1 а

А-X-

к +1

А = -

<Ртр\ 1 +

Л

(26)

к +1

При равенстве массовых расходов в действительном и идеальном соплах тт = тп коэффициент скорости в выходном сечении сопла (р'а = Лаг) /Лат можно определить по известному коэффициенту трения (ртр по зависимости:

<Ра =

1

л„

- (Яот ) — Лат + \j Лат .

(27)

С учетом того, что при отсутствии потерь скорость истечения из сопла связана с отношением статического давления ра в выходном сечении к полному давлению в сопле р,, известным равенством

^ = | 1-Ро

к -1 2 V"1

к +1

-Я

(28)

и вводя коэффициент давления, учитывающий потери полного давления в сопле о а = р()а / р0 . получим

РОа °аР 0

к +1

(29)

Тогда зависимость коэффициента давления иа от коэффициента скорости (ра сопла на расчетном режиме истечения (ра = р,) примет вид

РОа

Ро

1--Л2

к+1 ат

1 к~1 З2 ™2

L--,--Лат<Ра

к +1

к-1

На

<Ра

1 к — \,,2

1 +-ML

fl-^)

i

к-1

(30)

По известным коэффициентам q>a и оа можно определить, используя подход [2,8], коэффициент расхода при воздействии лишь вязкого трения при ра=рFad = Fam:

МФ =(Pa

Рад

= <5,

q{Kd)

Ч^ат)

= (Pa°

к-1 к

или tiq>=^a(P,

k~l j г 2

--ML

Ы)

1

Аг—1

(31)

Тогда коэффициент расхода, связанный с остальными статьями потерь энергии [2], можно определить из выражения ц' = ц^ ■ ца = /'/. где /; - коэффициент расхода сопла в результате

действия всех видов потерь, /^и ца- составляющие, связанные с газодинамическими потерями: соответственно с неравномерностью и непараллельностью потока оси сопла, и потерями на удар [2].

Как показали расчеты потерь из-за вязкого трения для различных профилей входной сужающейся части сопл Лаваля (профиль Витошинского, лемнискатный профиль и др.) и конической расширяющейся частью с углом наклона образующей уа, коэффициент скорости ср, в критическом сечении сопл, обычно используемых на практике (например, сопл дутьевых кислородных фурм сталеплавильных агрегатов и др. с у* = 20 -г- 50 мм и коническим диффузором) очень мал (порядка 0,999 -г- 0,9996). Причем при изменении величины (р* в диапазоне 0,97 + 1,0 приведенный расход в минимальном сечении практически равен д(Лтт) = 1, т.е. изменение пропускной способности связано с потерями полного давления из-за вязкого трения на участке до минимального сечения, а не из-за вытесняющего влияния пограничного слоя, т.е. Ц* = и* = Ро*д/рОт-Коэффициент восстановления полного давления, а значит, и коэффициент расхода ц, можно определить с учетом допущения, что давление в минимальном сечении близко к критическому его значению. Так как по расчетам потерь трения в минимальном сечении сопла (¡Оф = 1, то согласно вышеприведенной формуле (31) можно достаточно точно определять потери полного давления до минимального сечения по выражению сг* = ¡и^ = ¡и(р .

X X

CD Ц

§ о

<-н

о

X

Ц

о X л а

CD Н о X н X CD к

я

к

•е •е

о

о «

1

0,995

0,99

0,985

0,98

0,975

0,97

0 5 10 15 20 25 Угол раствора диффузора сопла 2уя

Рис.2 - Влияние полного давления перед соплами и температуры стенки на потери давления в конических соплах Лаваля (Ма = 2,3). _-р0 = 0,5 МПа;_____-р0 = 1,5 МПа.

Доля потерь из-за вязкого трения в общих потерях энергии (полного давления) в соплах может составлять 0,5 + 100 %. Большая доля величины потерь из-за вязкого трения наблюдается в профилированных соплах, в которых практически отсутствуют газодинамические потери (на удар, волновые и др.). При общих потерях энергии в 1 %, наблюдающихся в конических соплах с малым углом наклона образующей сужающейся части (до 5°), доля потерь из-за вязкого трения составляет порядка 50 + 10 %. Начиная с углов наклона образующей сужающейся части более 10° потерями энергии из-за вязкого трения можно пренебречь (рис.2), так как, например, при общих потерях примерно в 5 % (угол наклона образующей 15 + 30° [2]) доля потерь из-за вязкого трения уже составляет лишь около 2 + 5 %.

Для оценки порядка величины потерь полного давления от трения в соплах на рис.2 приведена зависимость сгдля конических сопл, имеющих одинаковую входную (2 увх = 30°, /)|; ; =1,3, Явх = 0,4) и различные выходные части, отличающиеся углом наклона образующей ул, с различ-

ными полным давлением перед соплом и относительной температурой стенки сопл

Т =

-L ГШ

TJT0x. Влияние полного давления на входе в сопло р,,. величины диаметра минимального (критического) сечения у* и относительной температуры стенки Тст в широком диапазоне их

изменения не очень велико (рис.2). Например, изменение Тст в пределах (2 -г- 4)7о уменьшает коэффициент трения на 2 -г- 4 %. Влияние молекулярной массы истекающего газа аналогично влиянию величины Тст = TcJTiy, , т.е. противоположно влиянию температуры торможения. Рост молекулярной массы, как и Тст, приводит к ослаблению влияния трения на течение газа. Если для высокомолекулярных газов (воздух, аргон и др.) влиянием трения во многих случаях можно пренебречь, то для газов с малой молекулярной массой (водород, водяной пар, природный газ и др.) влияние трения довольно велико и пренебрежение потерями в этом случае приводит к существенным ошибкам.

Малая чувствительность коэффициента скорости (р к числу Re и при больших, чем температура торможения газа, значениях температуры стенки канала сопла Тст позволяет во многих случаях без существенной потери точности определять физические характеристики газового течения (постоянную газа R, температуру торможения Т0, вязкость ¡и) весьма приближенно.

Аналитические исследования подтвердили [3,4,9] о зависимости потерь из-за трения в сопле от шероховатости поверхности сопла. Специальная обработка (полировка) поверхности позволяет в некоторых случаях уменьшить потери на трение.

Выводы

1. Результаты аналитического исследования течения газа с трением в соплах показали, что одномерная модель может с успехом использоваться для расчета действительных параметров истечения из сопл Лаваля любой конфигурации его сужающейся части, в т.ч. конических с различным углом наклона стенок конфузора; позволяет правильно оценить изменения основных параметров потока в каналах сопл и долю потерь энергии из-за вязкого трения в общих потерях энергии в соплах.

2. Методика расчета позволяет определять действительные параметры течения газов с различными молекулярной массой, вязкостью и, в дополнение к [3], показателями адиабаты, и учитывать влияние начальных давления и температуры газа, а также температуры стенок канала на параметры истечения (скорость, полное давление, расход) из сопл.

3. Полученные результаты можно использовать в качестве приложений в металлургии и энергетике при разработке различных дутьевых и горелочных устройств для сталеплавильных, нагревательных печей и топочных камер.

Дальнейшие исследования течения в соплах с учетом комплексного влияния всех рассмотренных видов потерь энергии в соплах [1] позволят уточнить и более полно представить картину течения сжимаемой жидкости в каналах сверхзвукового сопла.

Перечень ссылок

1. Лухтура Ф.И. О потерях энергии при течении газа в соплах. Часть I / Ф.И. Лухтура. II Вюник Приазов. держ. техн.. ун-ту: 36. наук. пр. - Mapiyno.ib. 2004. - Вип. 14. - С. 287-292.

2. Лухтура Ф.И. О потерях энергии при течении газа в соплах. Часть 2 / Ф.И. Лухтура. II Bic-ник Приазов. держ. техн.. ун-ту: 36. наук. пр. - Mapiyno.ib. 2005. - Вип. 15. - С. 167-172.

3. Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей / А.П.Васильев, В.М. Кудрявцев, В.А. Кузнецов и др. - М.: Высшая школа, 1983. - 703 с.

4. Дейч М.Е. Техническая газодинамика IМ.Е. Дейч. - М.: Энергия, 1974. - 592 с.

5. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, КА. Семендяев - М.: Наука, 1986. - 544 с.

6. Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла / У.Г. Пирумов. - М.: Машиностроение, 1988,-240 с.

7. Филъчаков В.П. Справочник по высшей математике / В.П. Филъчаков - Киев: Наукова думка, 1972. - 744 с.

8. Газовые турбины авиационных двигателей / Г. С. Жирицкий, В.И. Локай, М.К Максутова, В.А. Стрункин - М.: Оборонгиз, 1963. - 608 с.

9. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. 4.1 / Абрамович Г.Н.- М.: Наука, 1991,- 600 с.

Рецензент: В.А. Маслов, д-р техн. наук, проф., ПГТУ

Статья поступила 04.03.2007