О ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2021-27-3-74-82

УДК 531.011 Дата: поступления статьи: 27.09.2021

после рецензирования: 28.10.2021 принятия статьи: 15.11.2021

В.М. Савчин

Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3850-6747

Ф.Т. Чинь

Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7707-322X

О ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ1 АННОТАНЦИЯ

Основная цель данной статьи — исследование потенциальности дискретной системы, полученной из системы вида C(t,u)u(t) + E(t,u)=0 с непрерывным временем. Введено определение потенциальности соответствующей дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности относительно заданной билинейной формы. Изложен алгоритм построения соответствующего функционала— аналога действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: потенциальные операторы; дискретные системы.

Цитирование. Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Т. 27, № 3. С. 74-82. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-3-74-82.

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

© Савчин В.М., 2021

Владимир Михайлович Савчин — профессор, доктор физико-математических наук, Математический институт им. С. М. Никольского, Российский университет дружбы народов, 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6. © Чинь Ф.Т., 2021

Фыок Тоан Чинь — аспирант, Математический институт им. С. М. Никольского, Российский университет дружбы народов, 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

1. Предварительные сведения

Рассмотрим следующую краевую задачу:

N (u) = C (t,u) U(t) + E (t,u) = 0, 0 <t<l, (1.1)

u (0) = ai,u (l) = a,2, (1.2)

где C (t,u) —заданная матрица (t,u)]2nx 2n; u = (u1,u2, ■■■ ,u?n)T —неизвестная вектор-функция;

E (t, u) = (Ei (t, u) ,E2 (t,u), ■■■, E2n (t, u))T; ab a2 G R2n.

Предположим, что (t, u) : [0, l] x R2n ^ R и EM (t, u) : [0, l] x R2n ^ R — заданные непрерывто дифференцируемые функции. Запишем систему (1.1) в виде

A (u) + E (t,u) = 0,

1 Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН.

где А — оператор, определяемый дифференциальными выражением

А (и) = С (г, и) и (г).

Пусть область определения Б (А) оператора А состоит из непрерывно дифференцируемых вектор-функций на (0,1) —пространство X, удовлетворяющих граничным условиям (1.2).

Разобьем [0,/] на т равных частей узлами = кт (к = 0,1, ■ ■ ■, ш), где т = ш-1/. Введем операторы сужения [1]

Три (г) = (и1 (*1), ■ ■ ■ ,и2п (Ь1), и1 (Ь2), ■■■ ,и2п (Ъ), ■■■,

■■■ ,и1 (гт-1), ■■■ ,и2п (гт-1) )Т

(столбец высоты р = 2п (ш — 1)). Такие столбцы образуют линейное пространство, которое будем обозначать Xр. Для ир = Три (г) зададим сферическую норму

(, m— 1 2n \ 2

к = 1 ц=1 /

IM = -V >J<r , (1-3)

т

м

где и» = и» (Ьк).

Заменим в дифференциальном операторе А

С (г, и) и (г) - - С1,к (ик+1 — ик) + - С2,к и — и—),

тт

где ик = и (гк); С1к = С1к (гк,ик) ,С2'к = С2'к (гк,ик,ик-1) — матрицы [С$]2пу2п, [С%к]2пу2п, удовлетворяющие равенству С 1'к + С2'к = С (гк,и (гк)) + о (т). Дифференцируемые функции С^ и С2^ можно выбрать разными способами, например, С^ = С^ (гк,ик); С2^ =

= (I—(С^ (гк,ик) + С»и (гк,ик-1)), а —некоторое число из [0,1].

Тогда можем записать в Хр следующую последовательность приближенных задач, или разностную схему:

-С1'к (ик+1 — ик) + -С2'к (ик — и—) + Ек =0,к = 1, ш — 1; (1.4)

и0 = ai,Um = 0,2- (1.5)

Здесь Ек = E(tk,ик). Обозначим

2n

К = 52

1 ClkUk+i - ик) + 1 С1*(ик - ик—i)

+Ек

N р (ир) = (N1, N2, ■■■, МГ-1, N21, ■■, ЩГп-1)Т .

В книге [2] получены необходимые и достаточные условия самосопряженности системы дифференциальных уравнений вида (1.1) с непрерывным временем, а также разработаны методы приведения этой системы к форме уравнений Биркгофа с непрерывным временем.

В работах [3; 4] получены дискретные аналогии уравнения Биркгофа путем дискретизации пфаф-фиана. Однако вопрос о необходимых и достаточных условиях потенциальности дискретных систем и построении соответствующих функционалов в литературе, насколько нам известно, пока не исследовался. Рассматриваемые в настоящей статье вопросы восходят к идеям монографии [5].

Для дальнейшего нам понадобится понятие потенциальности дискретного оператора.

2. Критерий потенциальности дискретного оператора

Обозначим через N'р первую производную Гато оператора Np и положим Б =

= {йр е Xр; ио = а1,ит = 0,2} , Б = {кр е Xр; ко = кт = 0}.

Определение 2.1. Дискретный оператор Np : Б ^ Мр называется потенциальным в области Б ^^ относительно билинейной формы (■, ■) : Xp XXр ^ М, если существует функционал Р-^ : Xр ^ М,

такой, что

Р~ы \ир + екЛ — Р-^ [ир] _ _ _ _ ,_,ч

1шо р -^-= Nр (ир) ,кр), V ир е Б (N^ , V кр е Б .

При этом будем говорить, что система (1.4), (1.5) является потенциальной в области Б ^р) относительно заданной билинейной формы, а Р^ [ир,] —потенциал оператора Np (ир).

Теорема 2.1 (критерий потенциальности оператора). Пусть дифференцируемый по Гато оператора Мр : В (Мр) ^ Мр и билинейная форма

{•, •) : Хр х Хр ^ М

такие, что для любых фиксированных элементов йр £ В (Мр) , Нр, др £ В функция ф (е) =

= (Мр (йр + еНр) ,др) £ Сх[0,1]. Тогда для потенциальности оператора Мр в односвязной области В (Мр) относительно заданной билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

{N Php ,9p) = {N 'p9p,hp).

(2.1)

При этом

Fn [up] = {Np (u°p + X (up - up)) , up - up)dX,

p Jo

(2.2)

где й!р £ В (Мр) — фиксированный элемент.

Доказательство можно получить, используя общий критерий потенциальности оператора [6]. Для дальнейшего изложения введем в Xр скалярное произведение

т— 1 2n

(up,Vp) = -J2J2

ikvk■

k=1 i=1

Теперь Xр превращено в евклидово пространство, причем (ир,ир) = ||мр||2. Сначала найдем первую производную Гато оператора Мк

(2.3)

Обозначим

(N'php)'

2n

Е

v=1 I

2

+Е

Т

2n

TC^ (hk+1 - hk) + — (hk - hk — 1) +

1

1 BC,

Т du%

1,k i dC2,k

iv hi (uk+1 - uk) + -^V-h% u - ul-1) +

Т du%

1 dC^.iV , )

+- J^F- hi-1 (uk - uk-1 Тduk-1

!2n

+ Е

i=1

dEi hi 1 dui hk

n php = ( (Khp) 1, (Khp) 1, ■ ■ ■, (Khp) , (к к) 2,

<Np"p) Г) •

Используя формулу (2.3), получаем

l m— 1 2n

» php, yp =

(n yp) = m

j m— 1 2n

) = m ЕЕ

(Npyph) = m £ £ (N'pgp)ihi = ^ £ wit+,

k = 1 г=1 m— 1 2n

Ы У1

m—1 2n

E E Wv1 + Kk],

k=1 i,v,i=1 г-1 2n

k = 1 г=1

pyp hk ' i

k=1 i,v,i=1

где

K'vk = ClV (hk+1 - hk) yi + Clvk (hk - hk—1) yi,

dC hk

dC 2k

dC 2,ik

l dEk

W2,k I v 7 i / v v\ I 1 iv ik ( v v \ I 1 iv ik / v v \ i ,

ivi = ~dkk~ hk ^uk + 1 - uk) yk + -du^ hk (uk - uk—1) yk + hk—1 (uk - uk—1) yk + mdu k k k — 1

ibi ni

i k yk , k

K'k = Ci'k (yl+1 - yl) hi + C%k (yk - yk—1) hi,

dC,

1,k

Kk = 4ivyi (uk+1 - uk) hi yk (uk - uk—1) hi + yk—1 (uk - uk—1) hi +

dCi

dCi

l dEi

ii

l1"7 ~ dui 'Jk + 1 '"k 1 dui 'Jk ylJ'k Uk—1)'lk 1" dui Уk—1\u'k u'k — 1}'lk 1" m dui yk hk •

Здесь hp, yp — произвольные элементы из D ^N. Поскольку

W1k = W1k W2 = W 2'k W4k

iv vi 7 ivi vi i ivi

W

4,k

то

m—1 2n

m — 1 2n

{Кк,9Р) = £ E Wi + Wk] = E E

k = 1 i,v,a=1 k=1 i,v,a=1

C1t (K+1 - hi) gk + C2t (hi - hг—) gk+

dC}'Jk

dC 2k

dC 2k

l dEt

+lhit ht {<+1 - uD gk + К и - K—1) gk + ht—1 и - и—) gk + -дЦг К gk

1 2n

1 2n

E E W3Vk + Kt\ = £ E hi

k=1 i,v,a=1

k=1 i,v,a = 1

Cit {gk+1 - gk) + Cik {gk - gk—1) +

+-

dCj£ duk

gk (U

dCli ( ) dC2J ( ) l dEi

и \ I iJ via a \ I iJ v (a a \ i i v

- иk ) + gk (uj - uj—1) + g— К - Uj—1) + ~ TTVgk

' k+1 - U k

duk

du k—1

"k

Ввиду произвольности элементов hi из критерия потенциальности (2.1) получаем

2n

Е

dC 1' k dC 2, k

C1'k—1 gv C1'k gv + C2'k gv C2'k + 1 gv + dCvJ (Ua Ua\ gv + dCvJ (Ua Ua \ v +

C,.,, gk — 1 - Cvi gk + Cvi gk - Cvi gk+1 + dUi VU k + 1 - Uk)gk + dUi VUk - Uk—1) gk +

vi

+ -

dCJ+1 dui

('uJ+1 - uJ) gk+1 +

l dEk

m dui

v gv

n

E

v'a=1

Ci'k gk+1 - gv) + Ci? {gv - g—) +

+-

dC,

1'

iJ gv (uJ+1 - uJ) + gv U - uJ—1) g— (и% - и*—) +

dCi

dCi

duk

l dEi

duk

duk _1

m duk

ig v

n Е

k = 2,m - 2, j = 1, 2n,

dCti , и

dC2 '1 t„ и

- C1i1gv1 + Cli1gv1 - Cli g2 + ^ЦГ U - и\) gV + ^ U - и%) gV+

dui

, dCvi < a a\ v , l dEv v

(и2 - U1) g2 + mdUig1

m dui'

2n Е

Chv1 (gv - gv) + Ctv1g4+

-

dC,

1'1

ia v a

dC2

du\

gv (uJ - uJ ) + gv (uJ - U() +

l BE,

du\

m du1

i gv

, ц = 1, 2n,

2n Е

f-i1'm—2 v f-A'm—1v, /~i2'm—1 v ,

Cvi gm—2 Cvi gm—1 + Cvi gm—1 +

-

dC,

1m— 1 vJ

duUm—1

{Um Um— 0 gm —1 +

ddu

1

duim—1

(Um—1 Um—2) gm —1 +

l dEm—1 v

gm-1

m duUm—1

2n Е

1

C 1m—1nv + C 2m— 1 i v v

- Civ gm—1 + Civ \gm— 1 - gm — 2

-

-

-

dC 1'm—1

dCiJ v / a _ U a \ +

о v gm—1 \Um Um—1) + dUm-1

dCim—1

duUm—2

dC 2m—1

dC iJ v ( a a

я v gm—1 \Um—1 - Um — 2

dUm-1

-

l BE]

1

v ( a a \ I i v

gm — 2 \Um — 1 - Um—2) + "

gm-1

dUv :Jm

dUm—1

, Ц = 1, 2n.

Ввиду произвольности элементов gv отсюда находим условия

2n dC 2' k ___

C1k—1 + Civ = Y, jH^ U - UJ—1) (k = 2,m - =1, 2n)

a = 1 dU k—1

_C 1'k + C2'k + C 1'k _ C2'k + l dEk__l dEм =

Cvu + Cvu + Civ Civ + m du? m duk

k

vi

2n

E

a=1

E

vi

2n a=1

(d

duk

dc2k

U - uJ—1)

(k = 1,m - 1, = 1, 2n)

(dCi'k dCj\ V duk d< )

0 (k = 1,m - 1, = 1, 2n) .

(2.4)

(2.5)

(2.6)

v'J

v'J

U'J

1

1

v'J

v'J

duk

Таким образом, выше доказана следующая теорема.

Теорема 2.2. Система (1.4) является потенциальной в области В (Мр) относительно билинейной формы (2.3) тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.4) - (2.6).

Остается вопрос построения функционала — потенциала оператора Мр — аналога действия по Гамильтону.

3. Построение действия по Гамильтону

При выполнений условий (2.4) - (2.6) искомый функционал Р^ может быть построен по формуле (2.2). К этому вопросу можно подойти по-другому. Ищем потенциал оператора Мр в виде

, т-1 / 2" „ _ и V \

Ы = ^(Т,^ ^^^ - В1, (3.1)

где (Ь, и) : [0,1] х М2" — М {у = 1, 2и), В ((, и) : [0,1] х М2" — М — неизвестные непрерывно дифференцируемые функции, а Як = (Ьк,ик), Як = (К\,Як,..., ЯкЦ") ,Вк = В (Ьк,ик) (к = 1,т - 1). Из определения потенциальности имеем

%р [цр + екр] - Ряр [цр] = I т- (дКк ик+1 - ик + Нк+1 - Нк дВк \ =

е = т^ Ь Нк т +Я т щНк =

к=0 V=1 х к к /

I т- (дяк ик+1 - ик Ял - я/-1 дВк к

^ (d_Rk uk+1 - uk Ri - Ri—1 д_вЛ hi = к ¿=Л dui Т - Т ~dui) k

j m—1 2n / v v v v \

(Nm(um),hm) = № ^^^ + ^ ^^^ + EkA hik.

k=1 n v=1 v '

Считая, что элементы hi произвольные, отсюда получаем

2/i r\ -r-^lr V V T~> k T~)k— 1 j 2/i / V V V V \

Y^ dRk uk+1—uk Rk — Rk _ dBk = C 1,k uk+1—uk + C2,k uk—uk-l \ + E Z^ duk т т duk = ^ \Civ т + Civ т J + E) y=1 k k v=1 __'

(k = 1,m - 1, л = 1, 2n) .

Сравнивая левую и правую части тождеств (3.2), находим

Ri - Ri—1 двk

k v=1

Если существуют функции Ял, удовлетворяющие этим условиям, то отсюда следует, что

двк

- Cik^u-1 + Ek) = -1 Ciik + £

2n дО%к uk —uk-1

C2,k + V^ dCiv (uv uv )= C 1,k — 1

-Cii + dui- ^uk - uk—1> = Cii •

(3.2)

д Rk

Ci» = дuv =1,m - 1, =1^,), (3.3)

i dui ^Ci'k— + Ei (k = 1^). (3.4)

^=1 /V т > ^л} т ' ди1_

В силу условий (2.4) имеем

2" дс/1

.а

V=1~ ик-1

Таким образом, получаем С/^ = дии^. Значит, условия (3.3) являются следствием условий (3.4). Итак, чтобы определить функции Як, Вк, нужно решить следующую систему уравнений:

Я - Я-1 дВ = £ С2к +вк, (к = тт-г, ,.

к V=1

Укажем некоторые частные случаи, для которых можно решить эти уравнения относительно Як, Вк

k

k r>k-1

k1

dRl

д

duk

дК-1

u-1

т

д

Путь существуют функции (tk,uk), Ф2и (tk,uk) такие, что

2n

Y,C2i'vk U - иk—1) =$i (tk,Uk)+<i>2i (tk—1,Uk—1) .

v=1

Тогда

Ri = Ф2а (tk,Uk) ,j = 1, 2n,

2n

Bk

-

i=1

Ei (tk,Xuk) +

Ф>i (k,Xuk) + $i (k,Xuk)

dX.

Путь Ci'k зависят только от k. Тогда

Y^k К - и—) = Y,

(C2'k+1„ v C2'kU v \ U v (C2'k+1 C2'k\ \Civ Uk - Civ Uk — 1) - Uk \Civ - Civ )

Получаем

2n

Ri = -J2 Ci'k+U, j = 1, 2n,

v=1

2n 1

Bk = -Y.

i=1

2n C2'k+1 C2'k Ei (tk ,Xuk) Xuk iv t iv

v=1

dX.

Таким образом, приходим к действию по Гамильтону FN .

1

i

k

о

u

о

4. Пример

0,

Рассмотрим систему уравнений движения точки единичной массы в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости [7]

0 —1

1 0 ) \ у (х (0) ,у (0)) = (ф1,ф2) (х (1) ,у (1)) = (фз,ф4) где X = у скорость частицы, К — постоянный коэффициент. Запишем разностную схему этой системы

(1 о)( iM "if2)

(4.1)

NU)=(0 0\( + (0 -ytl)( +

N p (Up) — ^ 1 0 J у Vk + l—Vkj + ^ о 0 ) \ Vk —yk-1) +

-

(-?) =0

ио = (Ф1,Ф2)Т , Um = (Фз, Фа)Т ,

где Uk = (ik,fk)T. Поскольку

2'k 2'k r<1'k — 1. n2'h u dC11 / л , dC12 C12 + C2 ' '

21

=

dfk—

(ik - ik—1) -

dfk—

(fk - fk—1),

то разностная схема непотенциальная.

С помощью условий (2.4) - (2.6) можно найти матричный вариационный множитель

Mk

(i J)-

Тогда

MkNp (Up)

/ 0 0 \ / Xk+1—Xk \ /0--\ / xk—Xk-1 \ / -K \

\Vk 0 A Vk+—k J ч 0 T-1 J ^ ) 4 - Vk )

потенциальный оператор и

k1

дk J?I 1 - R1

дk Tik — 1

2 - R2

dBk + dBk dxk + dvk

VkVk-1

0 ^ Rk

K + -1 ^ Bk

Vk

(yk - yk-1) = - — + ^ Rk = -—

k k—1 Vk Vk-1 1 Vk

Vk-1

Vk

Kik + ln fk.

1

1

1

Искомый функционал равен

FMkNP ы =-m kC (Xk+pyk Xk + Kxk+in y^j ■

j m— 1 /

l V^ I Xk+1 - Xk

В случае непрервыного времени он имеет вид [7]

J = -[ |;1X+-X2y + Kx + lny)dt. Jo \2y 2y2 J

Обозначим

\T

u p = (Xp, yp

(Xp,yp) —точное решение задачи (4.1),

—2 (—2 — 2 \ Т » »

ир = (хр,ур) —решение, полученное при переходе к вариационному множителю и дальнейшей

дискретизации функционала,

up = (Xp,yp) —решение, полученное при прямом использовании метода Рунге — Кутта.

—11

Для оценки погрешности решений ир (г = 2, 3) используем норму ||ир — ир|| по формуле (1.3). Положим т = 4, К =1,ио = (0,1)Т ,ит = , 1п2)Т, находим

т

к(tk)=^in(i + tk), ■

С помощью Matlab получаем таблицу значений и графики вышеперечисленных решений (рис. 4.1, 4.2).

Таблица

Значения решений в точках и погрешности решений

Table

Solution values at points and solution errors

Решение k=1(t = 0, 25) k = 2(t = 0,5) k = 3(t = 0, 75) Погрешность

u6 f 0, 2231 \ ( 0, 8000 ) ( 0,4055 \ ( 0, 6667 ) ( 0, 5596 \ ( 0, 5714 ) 0

u6 i 0, 2000 \ ( 0, 8333 ) i 0, 3667 \ ( 0, 7143 ) / 0, 5095 \ ( 0, 6250 ) 0, 0329

u6 / 0,1800 N \ 0, 7867 J / 0, 3248 N \ 0, 6528 ) ? 0,4467 N \ 0, 5597 J 0, 0418

Рис. 4.1. Графики решений ug, ug, «g Fig. 4.1. Graph of solutions Ug, Ug, Ug

Рис. 4.2. Зависимость погрешности от количества узлов m Fig. 4.2. Dependence of the error on the number of nodes m

Выводы

Получены разностные уравнения, соответствующие системе вида C(t,u)u(t) + E(t,u) =0 с непрерывным временем. Введено понятие потенциальности дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности рассматриваемой разностной системы относительно заданной билинейной формы. Представлен алгоритм построения соответствующего действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.

Литература

[1] Треногин В.А. Функциональный анализ: учебник. 3-е изд. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с. URL: https://booksee.org/book/443580.

[2] Santilli R.M. Foundations of Theoretical Mechanics II. New York: Springer-Verlag New York Inc., 1983. 371 p. URL: http://www.santilli-foundation.org/docs/santilli-69.pdf.

[3] Kong X., Wu H., Mei F. Discrete optimal control for Birkhoffian systems // Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 74. pp. 711-719. DOI: http://doi.org/10.1007/s11071-013-0999-0.

[4] Zhang H., Chen L., Gu S., Liu C. The discrete variational principle and the first integrals of Birkhoff systems // Chinese Physics. 2007. Vol. 16, № 3. pp. 582-587. DOI: http://doi.org/10.1088/1009-1963/16/3/004.

[5] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов // Итоги науки и техн. Сер.: Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. 1992. T. 40 С. 3-176. URL: http://mi.mathnet.ru/rus/intd/v40/p3.

[6] Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. Москва: РУДН, 1991. 237 c.

[7] Галлиулин А.С., Гафаров Г.Г., Малайшка Р.П., Хван А.М. Аналитическая динамика систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу. Москва: Редакция ж-ла УФН, 1997. 324 с.

DOI: 10.18287/2541-7525-2021-27-3-74-82 Submited: 27.09.2021

Revised: 28.10.2021 Accepted: 15.11.2021

V.M. Savchin

Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3850-6747

P.T. Trinh

Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7707-322X

ON DISCRETE SYSTEMS WITH POTENTIAL OPERATORS2 ABSTRACT

The main purpose of this work is to study the potentiality of a discrete system obtained from the system of the form C(t,u)u(t) + E(t,u) = 0 with continuous time. The definition of potentiality of the corresponding discrete system is introduced. Necessary and sufficient conditions for its potentiality with respect to a given bilinear form are obtained. The algorithm for the construction of the corresponding functional — the analogue of the Hamiltonian action —is presented. The illustrative example is given.

Key words: potential operators; discrete systems.

Citation. Savchin V.M., Trinh P.T. On discrete systems with potential operators. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74-82. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-3-74-82. (In Russ.)

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

© Savchin V.M., 2021

Vladimir M. Savchin — professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, S.M. Nikolskii Mathematical Institute, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation.

©c Trinh P.T, 2021

Phuoc T. Trinh — PhD student, S.M. Nikolskii Mathematical Institute, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation.

References

[1] Trenogin V.A. Functional Analysis: textbook. 3rd edition. Moscow: FIZMATLIT, 2002, 488 p. Available at: https://booksee.org/book/443580. (In Russ.)

[2] Santilli R.M. Foundations of Theoretical Mechanics II. New York: Springer-Verlag New York Inc., 1983, 371 p. Available at: http://www.santilli-foundation.org/docs/santilli-69.pdf.

[3] Kong X., Wu H., Mei F. Discrete optimal control for Birkhoffian systems. Nonlinear Dynamics, 2013, vol. 74, pp. 711-719. DOI: http://doi.org/10.1007/s11071-013-0999-0.

[4] Zhang H., Chen L., Gu S., Liu C. The discrete variational principle and the first integrals of Birkhoff systems. Chinese Physics, 2007, vol. 16, no. 3, pp. 582-587. DOI: http://doi.org/10.1088/1009-1963/16/3/004.

[5] Filippov V.M., Savchin V.M., Shorokhov S.G. Variational principles for nonpotential operators. Journal of Mathematical Sciences (New York), 1994, vol. 68, no. 3, pp. 275-398. DOI: http://doi.org/10.1007/BF01252319. (English; Russian original)

[6] Savchin V.M. Mathematical methods in mechanics of infinite dimensional nonpotential systems. Moscow: RUDN, 1991, 237 p. (In Russ.)

[7] Galiullin A.S., Gafarov G.G., Malaishka R.P., Khwan A.M. Analytical dynamics of Helmholtz, Birkhoff and Nambu systems. Moscow: Redaktsiya zh-la UFN, 1997, 324 p. (In Russ.)

2This paper has been supported by the RUDN University Strategic Academic Leadership Program.