О ВЗАИМОСВЯЗИ ВАРИАЦИОННЫХ СИММЕТРИЙ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 1 (2021). С. 46-55.

УДК 517.972

О ВЗАИМОСВЯЗИ ВАРИАЦИОННЫХ СИММЕТРИЙ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ

С.А. БУДОЧКИНА

Аннотация. В работе изложен достаточно общий подход к выявлению взаимосвязи между симметриями .В^-потенциалов (вариационными симметриями) и алгебраическими структурами (Ли-допустимыми алгебрами и алгебрами Ли). Для этого в пространстве генераторов симметрий функционалов определены такие билинейные операции, как (S, Т)-произведение, З-коммутатор, коммутатор. В первой части работы с целью полноты изложения приведены необходимые сведения о .В^-потенциальных операторах, инвариантных функционалах и вариационных симметриях. Во второй части получены условия, при которых (S, Т)-произведение, З-коммутатор, коммутатор генераторов симметрий ^-потенциалов также являются их генераторами симметрий. Доказано, что при выполнении некоторых условий (S, Т)-произведение превращает линейное пространство генераторов симметрий ^-потенциалов в Ли-допустимую алгебру, а З-коммутатор, коммутатор - в алгебру Ли. Как следствие, аналогичные результаты получены для генераторов симметрий потенциалов (Ви = I — тождественный оператор). Кроме того, установлена связь симметрий функционалов с алгебрами Ли в случае бипотенциальности их градиентов. Теоретические результаты проиллюстрированы примерами.

Ключевые слова: вариационная симметрия, генератор преобразования, Ли-допустимая алгебра, алгебра Ли, (S, Т)-произведение, З-коммутатор, коммутатор.

Mathematics Subject Classification: 47G40, 70S10

1. Введение

Симметрии и первые интегралы играют важную роль в математике, механике, физике. После работы [1] широкий интерес к исследованию симметрийных свойств и нахождению законов сохранения связан с фундаментальными монографиями [2], [3]. Для решения задачи нахождения первых интегралов с помощью вариационных симметрий требуется исследовать вопрос о существовании функционала действия, т.е. решить обратную задачу вариационного исчисления, в том числе и для уравнений с непотенциальными операторами. Построению прямых и косвенных вариационных формулировок различных типов уравнений и их систем посвящены, например, работы [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]. В работах [13], [14] установлена связь симметрий эйлеровых и неэйлеровых функционалов с первыми интегралами соответствующих уравнений движения. Разработанные в [15], [16] методы исследования симметрийных свойств операторных уравнений со второй производной по времени позволяют находить их первые интегралы, причем и в случае непотенциальности операторов этих уравнений. В монографии [17] показано, что симметрии эйлеровых функционалов являются также симметриями соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа. В работах [18], [19] получены аналогичные результаты в общем случае для неэйлеровых функционалов, которым соответствуют уравнения с квазипотенциальными

S.A. Budochkina, On connection between variational symmetries and algebraic structures.

© Будочкина С.A. 2021.

Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН и РФФИ (грант 19-08-00261а).

Поступила 15 апреля 2020 г.

операторами. Хорошо известна роль алгебраических структур, связанных с уравнениями движения, в механике конечномерных и бесконечномерных систем [6], [7], [17], [20], [21], [22], [23], В работе [7] исследована инвариантность до дивергенции обобщенного действия по Пфаффу, получена формула для нахождения первых интегралов операторного уравнения Биркгофа и доказано, что генераторы дивергентных симметрии функционала образуют алгебру Ли относительно коммутатора. Эти исследования были продолжены в работах [13], [14], [18], [19], Кроме того, в работе [24] получены условия, при которых (§, Т)-произведение, З-коммутатор, коммутатор генераторов симметрии операторных уравнений также являются их генераторами симметрий, и установлена связь симметрий операторных уравнений с Ли-допустимыми алгебрами и алгебрами Ли,

В связи с изложенным выше естественным образом возникает задача установления взаимосвязи вариационных симметрий с алгебраическими структурами (Ли-допуетимыми алгебрами и алгебрами Ли), Этому и посвящена настоящая работа.

Ниже будем следовать обозначениям и терминологии работ [6], [19], [24],

2. Необходимые определения и теоремы

В дальнейшем нам потребуются следующие определения и теоремы.

Пусть и, V - линейные нормированные пространства над полем действительных чисел К,

Определение 2.1 ( [6]). Оператор N : ) С и ^ V называется Ви- потенциальным на множестве Б (И) относительно билинейной формы Ф : V х V ^ К, если существуют линейный оператор Ви : 0(Ви) С V ^ V и дифференцируемый по Гато функционал ^ : ) = ) ^ К такие, что

6РМ[и,К] = Ф(М(и),ВиЬ) V и е 0(Ы), V И е ,ВУ), гдеО(М'и,Ви) = 0(Ми) П Б(ВУ).

Функционал ^ называется 5и-потенциалом оператора Ж, а N - 5и-граднентом функционала

Теорема 2.1 ( [6]). Пусть дифференцируемый по Гато оператор N : О(И) С и ^ V и билинейная форм,а, Ф : V х V ^ К такие, что для, любых фиксированных элементов и е Б(Ы), д,к е 0(Ы'и, Ви) функция £ ^ Ф(М(и + еК), Вид) является, непрерывно дифференцируемой на, отрезке [0,1]. Тогда, для Ви-потенциальности оператора, N в односвязной области Б (И) относительно рассматриваемой билинейной формы, необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие

Ф(КК, Вид) + Ф(М(и), В'и(д; К)) = Ф(Кд, В.Л) + Ф(М(и),В'и(И д)) (2.1)

V и е ), V д,И е Б(ми,Ви).

При этом, Ви-потенциал определяется, формулой

1

^[и] = I Ф(М(й(\)),Вчх)(и — щ)) (1\ + [щ], (2.2)

о

где й(Х) = и0 + \(и — и0), и0 - фиксированный элем,ент из ).

Если Ви = I тождественный оператор, то функционал (2.2) принимает вид

1

^[и] = У Ф(М(й(Х)),и — щ) ¿X + Рм[ио]. (2.3)

0

Рассмотрим на D(N) бесконечно малое преобразование, определяемое формулой

u = u + eS (u). (2.4)

Оператор S называется генератором преобразования.

Определение 2.2 ( [19]). Функционал (2.2) называется инвариантным относительно преобразования (2-4), если

Fn[и + eS(u)] = FN[u] + r(u,£S(и)) У и е D(N), (2.5)

причем

lmr(u,£ S (u)) = 0.

Отметим, что в этом случае преобразование (2.4) называется симметрией функциона-S

также вариационными снмметриямн.

Определение 2.3 ( [19]). Оператор N : D(N) С U ^ V называется квази-Ви-потенциальным на множестве D(N) относительно билинейной формы Ф : V х V ^ R, если существуют линейный оператор Ви : D(BU) С V ^ V, дифференцируемый по Гато функционал F : D(F) = D(N) ^ R и плотность не-Ви-потенцишъьной силы A(u) такие, что

8F[щЩ + ФЛ^^ик) = Ф^(u),Buh) У u eD(N), У h е D(N'U,BU).

N

N (u) = 0 (2.6)

является квази-Вад-потенциальным на D(N) относительно непрерывной невырожденной билинейной формы Ф : V х V ^ R,

Это означает, что оператор N = N — Л являетея Вад-потенциальным на D(N) относн-Ф

'Тогда соответствующий функционал имеет вид

1

F[u] = j Ф^ЩХ))^*^ — uo)) d\ + F[uo]. (2.7)

o

Теорема 2.2 ( [19]). Преобразование (2-4) является, симметрией функционала (2.7) на D( N)

Ф(N^^yS(u)) = 0 У u е D(N). (2.8)

Следуя [6], обозначим через A(U) линейное пространство операторов (с обычным определением операций сложения операторов и умножения на число из поля R), отображающих U в U, и определим (S, Т)-произведение двух операторов

( Si,S2)(u) = S1 uSuS2(n) — S'2u1uSi (u), (2.9)

S-коммутатор

[Si,S2]s(u) = S'i u5uS2(u) — S2 uGuSi(n) (2.10)

Ii коммутатор

[Si, S2](u) = SiuS2(u) — S^Si(u). (2.11)

В [6] доказано, что линейное пространство A(U) является алгеброй над полем R относительно (S, Т)-произведения, Эта алгебра обозначена через ( A(U); (S, T)).

о взаимосвязи в а риа ци0иив1х симметрии,

49

Теорема 2.3 ( [6]). Если линейные операторы, Su : U ^ U и Tu : U ^ U такие, что выполняется условие

9U(v; 9uh) = 9U(h; 9uv) V h,u,v e U, где 9u = Su + Tu, то алгебра, (A(U); (S, T)) является, Ли-допустимой алгеброй.

3. Вариационные симметрии и Ли-допустимые алгебры

Теорема 3.1. Если, Si, S2 - генераторы, симметрий функционала (2.7), существуют операторы Su,Tu : D(N'u)Bu) ^ D(N'u)Bu) такие, что V и e D(N), V h,v e D(N'u)Bu) выполнено условие

Ф(КSuh, Buv) + Ф(Й(и), B'u(v; Suh)) = Ф^Т^, BJi) + Ф(Й(и), B'u(h; Tuv)), (3.1)

mo (S, T)-произведение (2.9) также является, генератором симметрии, этого функционала.

Доказательство. Имеем

Ф(Й(и + eTuSi(u)),Bu+eTusl{u)S2(u + eTuSi(u))) = 0 V и e D(N),

или

Ф(NUTuSi(u),BuS2(u)) + Ф(М(и), Bu(S2(u); TuSi(u))) + Ф(Щи), BuS'^TuSi(u)) = 0. Аналогично

Ф(KSuS'(u), BuSi(u)) + Ф(Й(и), Bu(Si(u); SuS2(u))) + Ф(Й(и), BvS[uSuS'(U)) = 0. Вычитая из второго равенства первое и учитывая условие (3.1), получаем

Ф(N(u),Bu(Sl,S2)(u)) = 0.

( S , T)

ционала (2.7) (см. теорему 2.2). □

Теорема 3.2. Если Si, S2 - генераторы, симметрий функционала (2.7), существуют операторы Su, Tu : D(Nu,Bu) ^ D(Nu,Bu) такие, что V и e D(N), V h,v e D(N!a)Bu) выполнены условия

Ф(КSu h, Buv) + Ф(Й(и), Bu(v; Suh)) = Ф(KTuV, Buh) + Ф(М(и), B^h; Tuv)), (3.2) 9u(v; 9uh) = 9u(h; 9uv), (3.3)

где 9u = Su+Tu, то генераторы, симметрий функционала (2.7) образуют Ли-допустимую

( S , T)

Доказательство. Это следует из теорем 3.1 и 2.3. □

Пусть Bu = I тождественный оператор. В этом случае функционал (2.7) принимает вид

i

F[u] = j Ф(М(й(\)),и - uo) dX + F[uo], (3.4)

o

а теоремы 3.1 и 3.2 формулируются следующим образом.

Теорема 3.3. Если 51 52 - генераторы симметрии, функционала (3-4), существуют операторы, §и, Ти : 0(Ы'и) ^ 0(Ы'и) такие, что У и Е 0(Ы), V Ь,ь Е ) выполнено

условие

Ф( К§иЬ, ь) = Ф(КТиV,Ь), (3.5)

то (§, Т)-произведение (2.9) также является генератором симметрии, этого функционала.

Теорема 3.4. Если 51 52 - генераторы, симметрии, функционала (3-4), существуют операторы, §и, 7и : 0(Ы'и) ^ 0(Ы'и) такие, что V и Е И (И), V Ь,ь Е ) выполнены

условия

Ф( К' у) = Ф( к ТиЬ ,Ь), (3.6)

9 и (у; 9 иЬ) = 9 '(Ь 9 иЬ), (3.7)

где 9и = §и+Ти, то генераторы, сим,м,етри,й функционала (3-4) образуют Ли-допустимую алгебру относительно (§, 7)-произведения (2.9).

4. Вариационные симметрии и алгебры Ли

Теорема 4.1. Если, 51, 52 - генераторы, симметрии функционала (2.7), существует оператор 9и : ,Ви) ^ , Ви) такой, что V и Е И (И), V Ь,ь Е ,Ви) выполнено условие

Ф( К9иЬ, ВиУ) + Ф(К(и), в'(у; 9М = Ф(К9иУ, ВиЬ) + Ф(К(и), В'и(Ь; 9иУ)), (4.1)

то 9-коммутатор (2.10) также является, генератором симметрии этого функционала.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1 при 9и = §>и = Ти.

Теорема 4.2. Если, 51, 52 - генераторы, симметрии функционала (2.7), существует оператор 9и : ,Ви) ^ И(Ы'и ,Ви) такой, что V и Е И (И), V Ь,ь Е ,Ви) выпол-

нены условия

Ф( К9' 9иЬ ВиЬ) + Ф(К(и), В'и (у; 9М = Ф(9и 9иУ, ВиЬ) + Ф(К(и), В'и (Ь; 9иУ)), (4.2) 9'и(у; 9иЬ) = 9и(Ь; 9иУ), (4.3)

то генераторы, симметрий функционала (2.7) образуют алгебру Ли относительно 9-коммутатора (2.10).

Доказательство. Это следует из теорем 4.1 и 2.3. □

Теорема 4.3. Если оператор N уравнения (2.6) является, квази-В ^-потенциальным (г = 1,2) на, И (И) относительно непрерывной невырожденной билинейной формы, Ф : V XV ^ Е, то есть оператор I9 = N — Л является, бипотенциальным, 51 52 - генераторы, симметрий функционала (2.7) при Ви = Вхи, 3 В-' и V и Е И (И), V Ь,ь Е И(Ии,Ви,В2и) выполняется условие

Ф( N(11)^,и9'и(ь; Ь) —Вги9'и(Ь;ь)) = 0, (4.4)

где 9и = В-'В2и, то 9-коммутатор (2.10) также является генератором симметрии функционала (2.7). Если, кроме того, V и Е И (И), V Ь,ь Е ,В и,В2и)

9'и(у; 9иЬ) = 9'и(Ь; 9иУ), (4.5)

то генераторы, симметрий функционала (2.7) образуют алгебру Ли относительно 9-коммутатора (2.10).

(4.6)

Доказательство. По формуле (2.1) получаем

Ф(К9ик, ВыV) + Ф(Й(и),В>ы(V; 9ик)) = Ф(Ку, Вы9ик) + Ф(Й(и),В>ы(9ик у))

=Ф(Ку, В2ик) + Ф(Щи),В'ы(9ик ь)) =Ф(К1г,В2иу) - Ф(М(и),В'2и(к у))

+ Ф(М(и),В'2и(у; Ь)) + Ф(М(и),В'ы(9ик у)) =Ф(КкВы9иV) - Ф(М(и),В'ы(9ик; V))

- Ф(М(и),Вы9'и(к; V)) + Ф(М(и),В'ы(9 иV; к)) + Ф(Й(и),Вы 9'и (у; к)) + Ф(Й(и),В>ы (9и Ь; ь))

=Ф(К9иУ, вык) + Ф(Й(и),В>ы(к; 9иV))

- Ф(Й(и),В'ы (9и у; к)) - Ф(Й(и),Вы 9'и (к; V)) + Ф(М(и),В'ы (9 и у; к)) + Ф(М(и),Вы 9и (ч к))

=Ф(К9иУ, Вык) + Ф(М(и),В'ы(к; 9иV)) + Ф(М(и),Вы9и(V; к)) - Ф(М(и),Вы9и(к; V)). С учетом условия (4.4) равенство (4.6) примет вид

Ф(К9ик Ви) + Ф(М(и),В'ы(у; 9ик)) = Ф(К9иV, Вык) + Ф(М(и),В'ы(к; 9иу)).

Следовательно, условие (4.1) выполнено, поэтому по теореме 4.1 З-коммутатор (2.10) является генератором симметрии функционала (2.7). Если, кроме того, выполнено условие (4.5), то по теореме 4.2 генераторы симметрий функционала (2.7) образуют алгебру Ли относительно З-коммутатора (2.10). □

Теорема 4.4. Если Б2 - генераторы симметрии, функционала (2.7), то их коммутатор (2.11) также является генератором симметрии этого функционала.

Доказательство. Это следует из теоремы 4.1. Отметим, что 9и = I, где I - тождественный оператор, поэтому условие (4.1) выполняется, так как в данном случае оно является условием квази-5и-потенцнальноети оператора N уравнения (2.6). □

Теорема 4.5. Генераторы симметрий функционала (2.7) образуют алгебру Ли относительно операции (2.11).

Доказательство. Это следует из теорем 4.2 и 4.4. В данном случае 9и есть нулевой оператор, поэтому условие (4.3) выполняется тождественно. □

Таким образом, в определенных случаях теоремы 3.1, 4.1 и 4.4 могут быть использованы для построения симметрий функционала (2.7) по известным хотя бы двум генераторам симметрий.

Пусть Ви = I тождественный оператор. В этом случае функционал (2.7) принимает вид (3.4), а теоремы 4.1, 4.2, 4.4, 4.5 формулируются следующим образом.

Теорема 4.6. Если Я2 - генераторы, симметрий функционала (3-4), существует оператор 9и 0(Ыи) ^ Б такой, что V и Е И (И), V Ь,,ь Е О(М') выполнено условие

Ф(К9и к,у) = Ф(Йи9и у,Ь), (4.7)

то 9-коммутатор (2.10) также является, генератором симметрии этого функционала.

Теорема 4.7. Если 52 - генераторы симметрии, функционала (3-4), существует оператор 9и : ) ^ ) такой, что V и Е И (И), V Ь,ь Е ) выполнены условия

Ф( К' 9иЬ, ь) = Ф( К 9иЬ ,Ь), (4.8)

9'(у; 9иЬ) = 9'и(Ь; 9^(4.9)

то генераторы, симметрий, функционала (3-4) образуют алгебру Ли относительно 9-коммутатора (2.10).

Теорема 4.8. Если, 52 - генераторы, симметрий функционала (3-4), то их коммутатор (2.11) также является, генератором симметрии этого функционала.

Теорема 4.9. Генераторы симметрий функционала (3-4) образуют алгебру Ли относительно операции (2.11).

5. Примеры

1. Рассмотрим уравнение

N (и) =ии — ихх + их = 0, (х, г) Е О = (а, Ь) X (Ь). (5.1)

Положим

И(К) = {и ЕЙ = С™(Щ: и\=0 = ^1(х), и\г=г1 = ^(х) (х Е (а, Ь)),

и\х=а = Ф\(^, и\х=Ь = Ф2&) (Ь Е (¿0, ¿1))} ,

где Е С [а, Ь], Е С \Ъ0, ¿1], г= 1, 2. Отметим, что оператор N из (5.1) является квазипотенциальным на множестве ) (5.2) относительно классической билинейной формы

¿1 ь

Ф( , ) = ( х, ) ( х, ) х .

¿0 а

В данном случае

И(и) = ии — ихх, Л(и)=их. Соответствующий функционал имеет вид

¿1 ь

^[и] = — 1! J (и2 — их) СхСЪ. (5.3)

¿0 а

Будем предполагать, что их Е И(К'и) и щ Е В(К'и).

Операторы = Их и 52 = являются генераторами симметрий функционала (5.3). Это следует из теоремы 2.2 при Ви = I тождественный оператор, так как

¿1 ь ¿1 ь

Ф(К(и), Б^и)) = ! J (иы — ихх) их(1х(И = J J {—ЩЩх — ^Их {и2х)^ СхсСЬ

¿0 а ¿о а

¿1 ь

I / (—\вх М) — \°х М)) Сха = 0

2~'х \Щ) — 2Их \их)

0 а

и

¿1 ь ¿1 ь

Ф( К(и), Я2(и)) = I I (ии — ихх) Щ(СхМ = I I №) +их:щ^(Сх(а

2

0 а 0 а

0 а

Предположим также, что

дг+1и

¿1 ь

/ / + (их)) Сх(С1 = 0.

Е ИК), г Е N.

д д хг

Условие (3,5) выполняется при §и = § = Их и Ти = 7 = —Их. Действительно,

¿1 ь

Ф( К'и§Ь, ь)= 11 (Бы — Ихх) Ьх • V(хМ

0 а

¿1 ь ¿1 ь

= /1 (Ы „ - = -Ц (V,,, - г^) МхЛ.

0 а 0 а

¿1

= — I / (Пы — Ихх) ух • ьы = Ф(К'Ту, Ь).

0 а

Тогда по теореме 3,3 (§, Т)-пронзведенне генераторов и Я2

(вг, в2)(и) = З'^'^и) — в^Тв^и) = ВхВХЩ — Вг(—Вх)их = 2Щхх

является генератором симметрии функционала (5,3),

В данном случае 9и = § + Т = Их — Их = 0, поэтому условие (3,7) также выполнено. По теореме 3,4 генераторы спмметрнй функционала (5,3) образуют Ли-допуетимую алгебру относительно (§, Т)-произведения

(8г,82)(и) = 8'ыИх82(и) + 82иОх81(и).

2, Рассмотрим уравнение

N (и) = щ + иихх + и2х = 0, (х, Ь) Е 0 = (а, Ь) X (Ь0, Ь'). (5,4)

Положим

) = {и Еи = С™(0):. и\ =о = Мх), и\¿1 =Мх) (х Е (а, Ь)),

(5,5)

и\х=а = 0, и\х=Ь = 0} ,

где ЕС [а, Ь], г=1, 2.

Отметим, что оператор N вида (5.4) является квази-В1и-потенциальным на множестве И (К) (5,5) относительно классической билинейной формы

¿1

Ф( , ) = ( х, ) ( х, ) ( х ( .

0 а

В данном случае

К(и) = иихх + их, Л(и) = щ, В1и = В1 = И-1 И-1, (5.7)

где

х

(х, г) = ь(у, ^¿у.

Соответствующий функционал имеет вид

t-i ь

Еи^ = 1] ]

to а

Оператор IV вида (5,7) является ^'-потенциальным на множестве В(М) (5,5) относительно билинейной формы (5,6), где В2и = и1, I - тождественный оператор. Таким образом, оператор N (5,4) является квази-5ги-потенциальным (г = 1, 2) на В(М) (5,5) относительно билинейной формы (5,6),

Операторы Б1 = Вх и Б2 (и) = иих являются генераторами симметрий функционала (5,8), Это следует из теоремы 2,2, так как

ь ь

Ф(Й(и), В1Б1 (и)) = ^ J (иихх + и2) И-1 И-1 ихдьхдьЪ = ^J ^ Вххи2 • И-1 И-1 ихдьхдьЪ

¿0 а ¿0 а

Ь Ь

=1! J ^ихдьхдьЪ = 1 J У Вх^3дьхдьЪ = 0

¿0 о- to а

и

Ь ь

Ф(Ж(и), В1^(и)) = J J {иихх + и2х) И-1 И-1 (иих) дьхдьЪ = 1 J ^ ^ххи2 • И-1 И-1 (иих) ¿хдьЪ

¿0 о- to а

Ь Ь

= 1! J и3ихдьхдьЪ = 1 J У Вхи4йхса = 0.

¿0 о- ¿0 а

Условие (4,4) выполняется, так как

9иУ = Вхх (иь) , 9'и(у; к) = Охх (ьЬ)

и

Вы 9'и (V; к) - В1и 9'и (к; V) = В"1 В"1 (Вхх (ьЬ)) - В"1 В"1 (Вхх (Ьь)) = ук - ¡IV = 0.

Тогда по теореме 4,3 З-коммутатор

]5(и) и9ив2(и) - Б'и 9и81(4)

—ВХВХХ (^ ^^^ (У'х^ + иВх) ^^хх (иих)

9и>ххих + Зиих иххх + Зиихх

является генератором симметрии функционала (5,8),

Заметим, что условие (4,5) в данном случае не выполняется, так как

9'и (у; 9и к) = Вхх (ьВхх (ик)) , 9'и (к; 9иУ) = Вхх (ЬВХХ (иь)).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Э. Нетер. Инвариантные вариационные задачи. Вариационные принципы механики, под ред. Полака Л.С. М.: Физматгиз. 1959.

2. Л.В. Овсянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

3. Н.Х. Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

4. Е. Tonti. A general solution of the inverse problem of the calculus of variations // Hadronic Journal. 5, 1404-1450 (1982).

5. В.М. Филиппов, В.М. Савчин, С.Г. Шорохов. Вариационные принципы для непотенциальных операторов // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж. 40. М.: ВИНИТИ, 3-176 (1992).

6. В.М. Савчин. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. М.: Изд-во УДИ. 1991.

7. V.M. Savchin. An operator approach to Birkhoff's equations // Вестник РУДН. Сер. Математика. 2:2, 111-123 (1995).

8. A.M. Попов. Условия потенциальности дифференциально-разностных уравнений // Диф-ференц. уравнения. 34:3, 422-424 (1998).

9. A.M. Попов. Условия потенциальности Гельмгольца для, систем дифференциально-разностных уравнений // Матем. заметки. 64:3, 437-442 (1998).

10. В.М. Филиппов, В.М. Савчин, С.А. Будочкина. О существовании вариационных принципов для, эволюционных дифференциально-разностных уравнений // Тр. МИЛИ. 283, 25-39 (2013).

11. M.I. Tleubergenov, D.T. Azhvmbaev. Stochastical problem of Helmholtz for Birkhoff systems // Вестник Карагандинского университета. Серия «Математика». 93:1, 78-87 (2019).

12. M.I. Tleubergenov, G.T. Ibraeva. On the solvability of the main inverse problem for stochastic differential systems // Ukr. Math. J. 71:1, 157-165 (2019).

13. В.М. Савчин, С.А. Будочкина. Симметрии и первые интегралы в механике бесконечномерных систем // Доклады Академии наук. 425:2, 169-171 (2009).

14. С.А. Будочкина, В.М. Савчин. Вариационные симметрии эйлеровых и неэйлеровых функционалов // Дифференц. уравнения. 47:6, 811-818 (2011).

15. В.М. Савчин, С.А. Будочкина. Об одной прямой задаче механики бесконечномерных дис-сипативных систем // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 3, 22-30 (2008).

16. S.A. Budochkina. Symmetries and first integrals of a second order evolutionary operator equation // Eurasian Math. J. 3:1, 18-28 (2012).

17. P.J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, New York (2000).

18. В.М. Савчин, С.А. Будочкина. О взаимосвязи симметрии функционалов и уравнений // Доклады Академии наук. 458:2, 148-149 (2014).

19. В.М. Савчин, С.А. Будочкина. Об инвариантности функционалов и соответствующих им уравнений Эйлера,-Лагранжа // Изв. вузов. Матем. 2, 58-64 (2017).

20. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Удмуртский университет: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика». 1999.

21. В.В. Козлов. Общая, теория, вихрей, 2-е изд., испр. и доп. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2013.

22. В.М. Савчин. Об одной структуре Ли-допустимой алгебры в пространстве дифференцируемых по Гато операторов // Матем. заметки. 55:1, 152-153 (1994).

23. R.M. Santilli. Introduction to the Lie-admissible treatment of non-potential interactions in Newtonian, statistical and particle mechanics // Hadronic Journal. 5, 264-359 (1982).

24. В.М. Савчин, С.А. Будочкина. Ли-допустимые алгебры, связанные с динамическими системами II Сиб. матем. журн. 60:3, 655-663 (2019).

Светлана Александровна Будочкина,

Российский университет дружбы народов,

ул. Миклухо-Маклая, 6,

117198, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]