О построении особых точек потенциалов на неоднородной плоскости с кусочно-квадратичной проницаемостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В 161.6

И. А. Гуримская

О построении особых точек потенциалов на неоднородной плоскости с кусочно-квадратичной проницаемостью

Для дивергентного уравнения с кусочно-квадратичными коэффициентами построены особые точки потенциала (источники, стоки и т. д.) на плоскости, состоящей из двух неоднородных полуплоскостей. Искомые потенциалы выражены через соответствующие особые точки гармонических функций.

Ключевые слова: Дивергентное уравнение, неоднородная плоскость, кусочно-квадратичная проницаемость, особые точки потенциала.

I. A. Gurimskaya

On the constructing of particular points of the potentials on the non-homogeneous flatness

with piece-quadratic permeability

For the divergent equation with piece-quadratic coefficients particular points of the potential (springs, flows etc) are constructed. They are on the flatness that consists of two non-homogeneous semi-flatnesses. The potentials sought are expressed through the corresponding particular points of the harmonic functions.

Key words: divergent equation, non-homogeneous flatness, piece-quadratic permeability, particular points.

Рассмотрим на плоскости x, y, состоящей из двух неоднородных полуплоскостей Dj(y < 0) и D2(y > 0) с функциями проницаемости соответственно p(y) = k(by — 1)2 и p2(y) = k2(b2y + 1)2, задачу для потенциалов p.(x,y) в Д вида

Р(У) dfa + ду[р(у) dy%] = 0, i = 12, (1)

у = 0 : (pi = p.2, pidy^i = p2dy?2, (2)

где потенциал p2 в д имеет заданные особые точки (источники, стоки и т. д.); k;, bt - положительные постоянные, т. е. линии нулевой проницаемости лежат вне соответствующей зоны Д,

д" = д" /дnx (уравнение (1) для функции р2 выполняется вне особых точек). Условия сопряжения (2) выражают непрерывность потенциала и нормальной скорости на линии разрыва проницаемости y = 0 . Полагая

Uj(x,y) Щ(х,у) m

Pi(x,y) =-т--------- , P2(x,y) = -2------- , (3)

bjy — 1 b2y + 1

для функций u(x, y) в D получим задачу относительно уравнения Лапласа

Лщ = 0; (4)

y = 0 : — щ = щ, — k1(дyu1 + b1u1) = k2(дyu2 — b2u2), (5)

где Ли[ = д2хщ + д2уЩ, функция u2(x,y) в D имеет заданные особые точки. Для решения задачи

(4), (5) применим метод свертывания разложений Фурье [1].

Пусть известна гармоническая функция F(x, y), которая в д имеет указанные особые точки. Функция F( x,y) является потенциалом данного течения на однородной плоскости. В частности по-

тенциал источника имеет вид F(x, y) = Q ln[(x — x0)2 + (y — y0)2 ], где y0 > 0. Предположим снача-

да

ла, что функция F(x,0) разлагается в интеграл Фурье, т. е. F(x,0) = = j g(x> X)dX, где

о

g = f sin Xx + f cos Xx, (6)

f - коэффициенты Фурье функции F( x,0). Отсюда функция F(x,y) в полуплоскости Д (где F не имеет особых точек) представима в виде

да

F(x,y) = j eXyg dX, y < 0. (7)

0

Интеграл (7) является решением задачи Дирихле в полуплоскости Д вида AF = 0,

да

¥/у=0 = Р(х,0), полученным методом Фурье. Из равенства (7) следует р(х, у - I) = | еХ(у-1>% СХ, ( > 0

0

. Умножая это равенство на е 7> и интегрируя по ? е (0, ж), получим формулу

да

» ж Ху

[е-^¥(х,у - г)Сг = г£-^сХ, у < 0, г> 0. (8)

% %- + Г

Представляя решение задачи (4), (5) в виде

щ = % а1еЛу%СХ, щ = ¥(х,у) + | а2 е~Ху%СХ, (9)

0 0

из условий сопряжения (5) с учетом (7) для параметров аг- получим систему алгебраических уравнений а + а2 =-1, - а1к1(Х + Ь) + а2к2(Х + Ъ2) = = к2(Х-Ь2), решение которой имеет вид

ai = (v — 1)

где

У =

y(v —1) (Ю)

X + у) X + у

k1b1 + k2b2 , v = k1 — k2 . (Ц)

к + к 2 к + к 2

Полученное решение (9), (10) справедливо для достаточно узкого класса заданных функций ¥(х,у). Кроме того, это решение содержит двукратные квадратуры (внешнюю и внутреннюю в коэффициентах Фурье ( (6)) от сильно осциллирующих тригонометрических функций.

С учетом формул (8), (10) решение и. (9) задачи (4), (5) непосредственно выражается через заданную гармоническую функцию ¥ в виде

и1 = (у-1)

F(x,y) — yj e ytF(x,y — t) dt _ 0 _

(12)

да

F(x,y) — vF( x—y) + y(v — 1)j e ~ytF( x,—y — t)dt,

где у, у имеют вид (11), функция ¥(х, у) имеет заданные особые точки при у > 0. Отметим, что формулы (12) в отличие от формул (9) содержат однократные квадратуры без осцилляций и они справедливы для более широкого класса заданных функций ¥(х, у), которые при у ^ -ж могут иметь рост порядка 0(ег/у/), где г < у. Решение исходной задачи (1), (2) строится по формулам (3), (12).

Список литературы

1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах / / Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, № 6, С. 855-859.

УДК 370.179.1 ББК Ч 426.27

Н. В. Кононенко

Особенности развития у школьников конструктивного компонента умственной деятельности

в области геометрии

В данной статье рассматриваются компоненты умственной деятельности в области геометрии и выявляются особенности развитии конструктивного компонента в процессе решения задач различных видов. Наибольшие затруднения учащихся возникают при построении чертежа, удовлетворяющего условию задачи. На этом этапе в центре внимания учителя должны быть связи конструктивного компонента с интуитивным, логическим, пространственным и метрическим компонентами.

Ключевые слова: компоненты умственной деятельности в области геометрии, конструктивный компонент, процесс решения геометрической задачи, дополнительные построения.

N. V. Kononenko

Peculiarities of development of pupils' mental process structural component in the field of geometry

In given article are considered components to mental activity in the field of geometries and are revealed particularities development constructive component in process of the decision of the tasks different type. The most difficulties учащихся arise at building of the drawing, satisfying condition of the task. At this stage in the highlight teacher must be a communication of the constructive component with intuitive, logical, spatial and metric components.

Key words: components to mental activity in the field of geometries, constructive component, process of the decision of the geometric task, additional buildings.

Конструктивный компонент является одним из компонентов умственной деятельности в области геометрии, к которым также относятся интуитивный, пространственный, логический, метрический и символический. Развитие этого компонента происходит в процессе решения задач на моделирование, конструирование, доконструирование, переконструирование, деконструирование и реконструирование.

1. Задачи на моделирование. В этих задачах геометрический образ, т.е. продукт деятельности, известен, он задан описанием, чертежом или моделью. Целью выполнения таких задач является изображение соответствующего геометрического образа самим учеником.

2. Задачи на конструирование, к которым относятся классические задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

3. Задачи на доконструирование, для решения которых необходимы дополнительные построения, направленные на получение новой вспомогательной геометрической фигуры, свойства которой помогают решить поставленную задачу.

4. Задачи на переконструирование. К этой группе задач относятся задачи на замену неизвестной геометрической фигуры другой, более простой фигурой, имеющей ту же искомую величину, что и неизвестная фигура, а также задачи на разрезание и перекраивание фигур

5. Задачи на деконструирование. Для решения таких задач на сложном рисунке вычленяется более простая геометрическая фигура при «игнорировании» оставшихся геометрических объектов.

6. Задачи на реконструирование, или на восстановление геометрической фигуры, по некоторым ее элементам.