CC BY
79
где у, V имеют вид (11), функция Г(х, у) имеет заданные особые точки при у > 0. Отметим, что формулы (12) в отличие от формул (9) содержат однократные квадратуры без осцилляций и они справедливы для более широкого класса заданных функций ¥(х, у), которые при у ^ —да могут иметь рост порядка 0(вг/у/), где г < у. Решение исходной задачи (1), (2) строится по формулам (3), (12).
Список литературы
1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах / / Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, № 6, С. 855-859.
УДК 370.179.1 ББК Ч 426.27
Н. В. Кононенко
Особенности развития у школьников конструктивного компонента умственной деятельности
в области геометрии
В данной статье рассматриваются компоненты умственной деятельности в области геометрии и выявляются особенности развитии конструктивного компонента в процессе решения задач различных видов. Наибольшие затруднения учащихся возникают при построении чертежа, удовлетворяющего условию задачи. На этом этапе в центре внимания учителя должны быть связи конструктивного компонента с интуитивным, логическим, пространственным и метрическим компонентами.
Ключевые слова: компоненты умственной деятельности в области геометрии, конструктивный компонент, процесс решения геометрической задачи, дополнительные построения.
N. V. Kononenko
Peculiarities of development of pupils' mental process structural component in the field of geometry
In given article are considered components to mental activity in the field of geometries and are revealed particularities development constructive component in process of the decision of the tasks different type. The most difficulties учащихся arise at building of the drawing, satisfying condition of the task. At this stage in the highlight teacher must be a communication of the constructive component with intuitive, logical, spatial and metric components.
Key words: components to mental activity in the field of geometries, constructive component, process of the decision of the geometric task, additional buildings.
Конструктивный компонент является одним из компонентов умственной деятельности в области геометрии, к которым также относятся интуитивный, пространственный, логический, метрический и символический. Развитие этого компонента происходит в процессе решения задач на моделирование, конструирование, доконструирование, переконструирование, деконструирование и реконструирование.
1. Задачи на моделирование. В этих задачах геометрический образ, т.е. продукт деятельности, известен, он задан описанием, чертежом или моделью. Целью выполнения таких задач является изображение соответствующего геометрического образа самим учеником.
2. Задачи на конструирование, к которым относятся классические задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
3. Задачи на доконструирование, для решения которых необходимы дополнительные построения, направленные на получение новой вспомогательной геометрической фигуры, свойства которой помогают решить поставленную задачу.
4. Задачи на переконструирование. К этой группе задач относятся задачи на замену неизвестной геометрической фигуры другой, более простой фигурой, имеющей ту же искомую величину, что и неизвестная фигура, а также задачи на разрезание и перекраивание фигур
5. Задачи на деконструирование. Для решения таких задач на сложном рисунке вычленяется более простая геометрическая фигура при «игнорировании» оставшихся геометрических объектов.
6. Задачи на реконструирование, или на восстановление геометрической фигуры, по некоторым ее элементам.
С изображения геометрической фигуры, заданной условием задачи, начинается процесс решения любой геометрической задачи. Учитель должен создать условия для формирования у учащихся соответствующего конструктивного умения, связанного с осуществлением аналитико-синтетической деятельности. При этом чертеж или рисунок должен быть таким, чтобы можно было увидеть необходимые связи между отдельными геометрическими элементами, фигурами. Очень часто при решении задачи для построения чертежа требуется несколько попыток, так как необходимо учитывать все особенности данных геометрических образов.
Большое значение в процессе формирования конструктивных умений имеют практические задания, помогающие учащимся осознать процесс развития многих геометрических понятий. Наиболее ярким примером такого понятия является «треугольник». Если в начале изучения курса планиметрии треугольник является одной из простейших геометрических фигур, состоящей из трех точек и трех отрезков, то к концу изучения курса треугольник - это одно из важнейших понятий всего курса геометрии, наполненное богатым содержанием, связанное со всеми разделами школьного курса геометрии в целом.
Практические задания, иллюстрирующие развитие содержания теоретического материала, должны предлагаться детям с учетом уровня развития познавательного интереса. Для учащихся с высоким уровнем развития познавательного интереса может быть предложена следующая задача.
Задача 1. Изобразите две окружности с центрами Ог и О2 и радиусами Яг и Я2 так, что Яг + Я2 = О1О2. Точку касания окружностей обозначьте через С. Проведите общую касательную АВ, где точка А принадлежит одной окружности, а В - другой. Изобразите угол АСВ и выскажите гипотезу о величине этого угла.
В результате выполнения указанных действий учащиеся получат рис. 1, который поможет сфор-
Для обоснования этой гипотезы необходимо привести доказательство. В процессе поиска и осуществления этого доказательства явно проявляются все компоненты умственной деятельности в области геометрии: интуитивный, пространственный, конструктивный, логический, метрический и символический. Ведущую роль играют логический и конструктивный компоненты. Последний компонент представлен конструктивными умениями по выполнению дополнительных построений, которые выступают как результат эвристической деятельности. В процессе этой деятельности возникает рис. 2, который помогает осуществить поиск способа решения поставленной задачи.
Рис. 2
Дополнительные построения, выполняемые как в рамках первоначального чертежа, так и за его пределами, позволяют отнести данную задачу к задачам на доконструирование, а также и к задачам на переконструирование и деконструирование, так как многие геометрические объекты в ходе решения выступают в качестве элементов различных геометрических образов. Рассматривая различные геометрические фигуры, появившиеся на чертеже, ученик имеет возможность наметить несколько путей для обоснования предложенной гипотезы.
Все дополнительные построения, выполняемые при решении геометрических задач, принято делить на фундаментальные (мысленные) и прикладные, связанные с конкретной задачей. В качестве фундаментального дополнительного построения может выступать вспомогательная окружность, отсутствующая в условии задачи и выполняющая двоякую роль. С одной стороны, с ее помощью вводится новое для учеников понятие геометрического места точек, а с другой - создаются условия для обучения учащихся специальному методу решения значительного круга задач, а именно «методу вспомогательной окружности». В школьных учебниках по геометрии этот метод явно выделен только И. Ф. Шарыгиным [2].
Вспомогательные фигуры могут появляться на чертеже, а могут и отсутствовать, это зависит от личного опыта учащегося. Так, при решении следующих задач вспомогательная окружность либо изображается на чертеже, либо мысленно представляется.
Задача 2. Отрезки ВВі и ССі - высоты остроугольного треугольника АБС. Доказать, что ВіСі = ВС cos A.
Задача 3. Пусть Н - ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что СН = АВ ctgC.
Задача 4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и СЕ. Точки М и N - основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек А и С соответственно. Докажите, что МЕ = DN [1, с. 34].
Последняя задача является опорной для отработки метода вспомогательной окружности при решении олимпиадных задач по математике, который в последние годы использовался неоднократно.
Ситуация, аналогичная выполнению дополнительных построений на этапе поиска способа решения геометрических задач, может сложиться и при решении алгебраических задач, например при решении задач с параметром на экзамене государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе.
Задача 5. При каких значениях а точки А (4; а) и В (4; -10) расположены в разных полуплоскостях относительно прямой 2х + у = 3?
Разработчики данного задания предлагают решение, основанное на графических соображениях, однако учащиеся могут выполнить это задание аналитически, не прибегая к геометрической иллюстрации, а только мысленно представляя ее.
Следует отметить, что учебники, предлагая готовые чертежи для доказательства теорем и решения задач, только дезориентируют учеников. Важно понимание процесса возникновения конкретного чертежа, а не запоминание готового геометрического образа.
Условия для формирования конструктивных умений учащихся могут быть созданы в процессе решения геометрических задач любых видов: на вычисление, доказательство или построение. Однако, как показывает практика, культура чертежа у современных школьников находится на очень низком уровне. В то же время содержание планиметрических задач группы С единого государственного экзамена по математике направлено на проверку конструктивных умений, сформированных на достаточно высоком уровне. Решение таких задач направлено на выявление всех возможных конфигураций, что связано с осуществлением учащимися аналитико-синтетической деятельности. Рассмотрим это на примере следующей задачи.
Задача 6. Окружности радиусов 17 и 10 пересекаются в точках А и В. АВ = 16. Найти расстояние между центрами данных окружностей.
Прежде чем выполнять чертеж в соответствии с условием задачи, ученик должен представить все возможные случаи взаимного расположения двух окружностей:
- центры окружностей находятся по разные стороны относительно данной прямой;
- центры окружностей находятся по одну сторону относительно данной прямой;
- центр одной из окружностей находится на данной прямой.
Анализируя числовые данные, ученик должен прийти к выводу, что последний из трех перечисленных случаев условию задачи не удовлетворяет, так как в противном случае данные окружности имели бы не две различные общие точки, а только одну общую точку.
В процессе решения геометрических задач (от простейших практических заданий до олимпиад-ных задач) все компоненты мыслительной деятельности тесно связаны между собой при ведущей роли логического компонента через операции анализа и синтеза.
Список литературы
1. Агарханов Н. Х., Подлипский О. К. Всероссийская олимпиада школьников по математике в 2006 году / науч. ред. Э. М. Никитин. М.: АПК и ППРО, 2006. 160 с.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7-9 кл. 2-е изд. М.: Дрофа, 1998. 352 с.
УДК 537. 32 ББК З 392.5
О. И. Марков
Возможности термоэлектрического охлаждения с активной ветвью на основе сплава висмут-сурьма и пассивной металлической ветвью
В статье представлено численное моделирование термоэлемента в режиме максимального перепада температуры, позволяющее выявить возможности низкотемпературного термоэлектрического охлаждения с использованием монокристаллов твердых растворов Bi0ggSb012 в качестве n-ветви и железа в пассивной ветви.
Ключевые слова: термоэлектрическое охлаждение, активная ветвь на основе сплава висмут-сурьма, пассивная металлическая ветвь.
O. I. Markov
Capabilities of thermo-electric cooling with an active branch on the basis of bismuth-antimony
and a passive metal branch
The article represents a computational modeling of the thermoelement in a condition of maximum temperature difference. It allows to reveal the possibilities of low-temperature thermoelectric cooling by using single crystals of solid
solutions of Bi0g%Sb012as an n-leg and iron in a passive leg.
Key words: thermoelectric cooling, active leg based on Bismuth-Antimony alloy, passive metal leg.
Твердые растворы висмут-сурьма в полупроводниковой области известны [1] как наиболее эффективные низкотемпературные термоэлектрики. Поскольку не существует эффективной низкотемпературной ветви р-типа сплава висмут-сурьма, можно использовать в качестве второй пассивную ветвь. Так, авторами работы [2] было проведено исследование предельных возможностей низкотемпературного термоэлектрического охлаждения с использованием в качестве пассивной ветви высокотемпературного сверхпроводника.
Известно, что термоэлектрические свойства сплавов висмут-сурьма сильно зависят от индукции магнитного поля [3]. Если пассивную ветвь выполнить из железа, то ее можно использовать в качестве магнитопровода или концентратора магнитного поля. Низкоуглеродистая электротехническая сталь (другое название "армко-железо") обладает высокими значениями магнитной проницаемости и индукции насыщения, что вполне подходит в данном случае.
Рассмотрим численное моделирование термоэлемента в режиме максимального перепада температуры, позволяющее выявить возможности низкотемпературного термоэлектрического охлаждения с использованием монокристаллов твердых растворов BiossSbou в качестве n-ветви и железа в пассивной ветви.
Для решения задачи воспользуемся решением граничной задачи для стационарной теплопроводности для ветвей термоэлемента [4, 5]. Температурное поле одномерной адиабатически изолированной ветви термоэлемента с учетом эффектов Джоуля и Томсона в установившемся режиме описывается стационарным уравнением теплопроводности
■dix.(T)dTl + _ YTdKOTdT = 0 (3)
n di|) npn n dT d^
с граничными условиями
