О ПОСТРОЕНИИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Chernousko F.L. Two-dimensional motions of a body containing internal moving masses // Meccanica. 2016. 51, N 12. 3203-3209.

4. Черноусько Ф.Л. Оптимальное управление движением двухмассовой системы // Докл. РАН. 2018. 480, № 5. 528-532.

5. Шматков A.M. Поворот тела за кратчайшее время перемещением точечной массы // Докл. РАН. 2018. 481,№ 5. 498-502.

6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 15.03.2019

УДК 531.396

О ПОСТРОЕНИИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА

И. С. Коноваленко 1

В работе представлены определение, свойства и метод построения множества достижимости в окрестности периодического аттрактора нелинейной динамической системы, а также решена задача обратного перехода в бистабильной системе.

Ключевые слова: множество достижимости, периодический аттрактор.

The work presents the definition, properties and a method of construction of attainability-set in the neighborhood of the periodic attractor of a nonlinear dynamical system and solves the problem of inverse transition in a bistable system.

Key words: attainability set, periodic attractor. 1. Множество достижимости. Рассмотрим нелинейную систему вида

\v = f (У) + bv(t),

\v(-) € V = {v(t) € KC | |v(t)| < ¿1} ,

где KC — множество кусочно-непрерывных функций, v(t) — постояннодействующее возмущение, b — вектор присутствия возмущения в системе, 0 < ¿1 <С 1. Система (1) при v(t) = 0 имеет периодическое решение y0(t + T) = y0(t) с периодом T; y = (yi,У2)Т■ В окрестности предельного цикла y0(t) построим систему в вариациях по координатам и по параметру v(t):

x = A(t)x + bv(t), (2)

где x = у — y°(t), А = ^) i = 1,2. Начало координат системы (2) движется по орбите

замкнутой кривой y0(t) с периодом T, поскольку матрица A является T-периодической. Начальные условия x(t0) и время t0 примем нулевыми.

Определение. Множеством достижимости системы (2), построенной в окрестности периодического аттрактора y0(t) нелинейной системы (1) за конечное время ti < ж, будем называть множество вида

D(ti) = |x € E2 : x = У"Xf (ti) X-1(s) bv(s) ds, v(-) € V J ,

1 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: Igritsa77Qgmail.com.

Konovalenko Iryna Sergeema — Postgraduate, Autonomous University of Puebla, Physical and Mathematical Faculty, Mexico.

где E2 — двумерное евклидово пространство, матрица Xf (t) представляет собой нормированную фундаментальную матрицу решений системы Xf (t) = A(t) Xf (t) при начальных уеловиях Xf (0) = E2.

Свойство 1. Ввиду того что множество всех возможных постояннодействующих возмущений V симметрично относительно нулевой функции v(t) = 0 на [0, ti], множество достижимости D(t) при t € [0, ti] симметрия но E2 относительно начала координат.

Свойство 2. Множество D(t?) является непустым компактным подмножеством E2.

Свойство 3. Множество D(t?) непрерывно зависит от ti.

Свойство 4. Множество D(t?) выпукло.

Свойство 5. При ti < t2 и t2 — ti = kT (k € N и T — период решения y0(t))

D(ti) С D(t2).

Последовательно находя множества Di(t), t € [0, ti], можно получать множество достижимости в окрестности периодического аттрактора системы (1) под действием возмущения v(-) € V (i = 1, 2,...).

Построенное таким образом множество достижимости играет фундаментальную роль в решении проблем перехода в бистабильных системах, имеющих точечный аттрактор и периодический аттрактор. Актуальность решения данного класса задач для практики будет аргументирована далее.

2. Метод условного градиента. Метод поиска максимального отклонения от нуля по двум координатам x? и Х2 заключается в отыскании максимума функционала вида

J = x? (ti)+ x2(ti).

Сначала находятся максимальные отклонения по каждой координате отдельно, а затем ищется максимум функционала фо = cf x(t?,v), где с? = {х?(ti, v1), X2(t?,v?)}. Геометрически это эквивалентно отысканию проекции множества D(t?) на направление с?. Таким образом получаем итеративный процесс, которому соответствует рекуррентная формула

maxvgy [xi(ti,vn) x?(ti,v) + X2(t?,vn) X2(t?,v)] = = [xi(ti,vn) xi(ti,vn+1) + X2(ti,vn) X2(ti,vn+1)] .

Данный процесс является сходящимся, и точка, для которой выполняется равенство max [xi(ti,v0) xi(ti,v) + X2(t?,v0) X2(t?,v) = x2(t?,v0) + x2(t?,v0),

vGV

является точкой максимального отклонения по двум координатам, а найденное возмущение v0 — наихудшим. Если равенство не выполняется на любом конечном шаге, то прямая, проведенная через точку Z0 перпендикулярно вектору 20, является опорной к множеству достижимости. При этом возможны ситуации: 1) точка ¿0 может быть точкой относительного минимума границы множества достижимости, во избежание этого следует изменить направление начального вектора с?; 2) точка 20 является точкой перегиба границы, тогда следует взять направление в сторону возрастания функционала J и продолжить процесс; 3) точка 20 является точкой относительного максимума границы,

J

3. Алгоритм построения множества достижимости.

1. В окрестности периодического решения y0(t) системы (1) строим систему в вариациях (2).

2. При v(t) = 0 находим нормализованную фундаментальную матрицу Xf (t), интегрируя систему (2) с начальными условиями Xf (0) = Находим матрицу монодромии Xf (T), а также корни р? и р2 характеристического уравнения

det (рЕ2 — Xf (T)) =0.

Согласно результатам теории Флоке р? = 1, а то теореме Пуанкаре 0 < р2 < 1 [2].

3. Ищем матрицу S, удовлетворяющую условию

S-1 ■ X, <T) ■ S =(J , (8)

и совершаем переход от системы координат (ж{, ж?) нормированной матрицы Xf к системе координат (X, ж?) специальной фундаментальной матрицы Х8(£) = Xf (£)

4. Специальная фундаментальная матрица Х8(£) имеет форму

= [о

где матрица Ф5(£) Т-периодична.

5. Находим наихудшие возмущения

■и0^) = ¿1 sign

0

0 Фв"1(в

и максимальные отклонения по одной координате

тах жК^) = ¿1

0 0 -1

0 е(

Отметим, что переход к специальной фундаментальной матрице Х8(£) осуществляется исключительно с целью упрощения подынтегральных функций.

6. Используем метод условного градиента для отыскания максимального отклонения по двум координатам. Повторяя данный метод и увеличивая количество произвольных начальных векторов С1, строим границу множества достижимости ^(¿1) системы (2) с любой заданной точностью.

4. Пример. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений Ван-дер-Поля:

У1 + Му? - 1)У1 + У1 = ■(£), ■ (•) € V = {■(£) € КС | |■(¿)| < ¿1} ,

(4)

У7 2

0 -1 -2 -3

-2

где 0 < ^ ^ 1.

Нелинейная система (4) при ■ (£) = 0 имеет устойчивый предельный цикл, с точностью до совпадающий с окружностью у? + у? = 4 на фазовом пространстве [3].

Система в вариациях, построенная в окрестности данного периодического решения у0(£) = 2еов(£), у0(£) = —2, имеет вид

о

У,

Рис. 1. Последовательность множеств достижимости при и € [0,2п], г = 1,100. в окрестности периодического аттрактора системы Ван-дер-Поля

Ж1 = Ж2,

Ж2 = [8^еов(£) вт(£) — 1]ж1 + ^[1 — 4ео82(£)]ж2 + ■(£).

(5)

Для ^ = 0.0001 и ■(£) = 0 фундаментальная нормированная матрица решений системы (5) может быть аппроксимирована функциями

Xf (£)

е

е

-0.00014

-0.00014

еов(£)

вт(£)

[0.0001 еов(£) + вт(£)] еов(£)

с максимальной погрешностью аппроксимации е = 9.9 ■ 10 5, вычисленной по методу наименьших квадратов. Соответствующая матрица монодромии

Xf (2п) =

0.9993 0 0.0001 1

Р1 = 1, р? = 0.9993 < 1.

'0 -1 ' , 1 0

Для перехода к специальной фундаментальной матрице Xs(t) воспользуемся матрицей S =

, удовлетворяющей условию (3). В результате получим

1

0

хм = Фа® I

sin(t) — cos(t)

cos(t) 0.0001 cos(t) + sin(t)

10 0 e(-o.oooi)t

С помощью матрицы $s(t) находим максимальные отклонения по координатам xf и ж|:

ti

maxx1(ti) = ¿i e(-0'0001)ti [0.0001 cos(ti) + sin(ti)]

v€V

maxx2(ti) = ¿i e(-0'000i)ti [0.0001 cos(ti) + sin(ti)]

v€V

— cos(s)e'

0.000is

0.0001 cos(s)sin(s) + 1 sin(s)e°'000is

0.0001 cos(s)sin(s) + 1

ds,

ds.

Воспользовавшись методом условного градиента для ¿1 = 0.1 и ¿1 = 2п в случае 2500 начальных векторов, построим множества достижимости * € [0,^], г = ТДОО. На рис. 1 изображена область достижимости при £ € [0, 2п] системы (5). 5. Задача обратного перехода. Рассмотрим нелинейную систему (1), которая имеет не только периодическое решение у0 (¿), но и точечный аттрактор у0 (устойчивый фокус) внутри.

Задачей обратного перехода будем называть задачу о переходе системы (1) из области притяжения периодического аттрактора в область притяжения точечного аттрактора под действием постояннодейетвующего возмущения.

Для решения задачи обратного перехода необходимо построить область притяжения точечного аттрактора А* системы (1) при = 0 и область достижимости периодического аттрактора ^(¿1) системы в вариациях (2). Если области А* и ^(¿1) имеют непустое пересечение, то существует возможность обратного перехода системы (1) за время ¿1.

Рассмотрим модифицированную модель Ходжкина Хаксли, функциональные и численные параметры которой представлены в [4|:

-50 -45 -40 -35 -30 у,мВ

Рис. 2. Решение задачи обратного перехода для модели Ход-жкина-Хаксли: С — орбита предельного цикла; N — начальные условия интегрирования системы (5); М — точечный аттрактор; А* — область притяжения точечного аттрактора; ^(¿1) — множество достижимости в окрестности периодического аттрактора в момент ¿1 = 35.25 мс

( dV о

cm = isyn + 71 V(t) - gL(V - VL) - 9N,(mUV)f(C(V) - n)(V - Уш)~

< —gxn4hx(V — Vk), (6)

dn nœ(V) — n ~TT ~-7T7\—

dt Tn(V )

где V — потенциал действия нейрона; /syn — постоянное значение синаптического тока; v(t) — гальванический ток; /Na, /к — ток натрия и ток калия в среднем:

iNa = gNa(m^(V ))3 (C (V) — n)(V — VNa),

/к = gKn4hK (V — Vk ).

Второе уравнение системы (6) уравнение Колмогорова для вероятности марковского процесса с двумя состояниями, где m(t) — вероятность присутствия частиц активации в каналах токов натрия; n(t) — вероятность присутствия частиц активации в каналах токов калия; h к — вероятность отсутствия частиц инактивации в каналах тока калия; gNa Ук — максимальные проводимости токов натрия и калия.

В работе [5] для модели Ходжкииа-Хаксли представлены лишь оценки области достижимости D(ti) (ti = 35.25 мс) и D(t2) (¿2 = 70.5 мс), построенные на основе максимальных отклонений по одной координате. Однако, применяя метод условного градиента, границу области достижимости D(ti) можно получить с любой заданной точностью. На рис. 2 наглядно показано непустое пересечение области достижимости D(ti) и области притяжения точечного аттрактора A*. Результат зависит от выбора начальной точки, поэтому на орбите предельного цикла была выбрана начальная точка, близкая к области притяжения A*. Следовательно, система (6) может осуществить переход из области притяжения периодического аттрактора (режим генерации импульсов) в область притяжения точечного аттрактора (ожидание механического стимула) [6] с помощью гальванической стимуляции в виде наихудшего возмущения v0(t).

Таким образом, построение множеств достижимости в окрестности периодического аттрактора позволяет решать не только теоретические задачи, но и ряд практических. В частности, путем решения задачи обратного перехода в модели Ходжкина-Хаксли первичного афферентного нейрона можно реализовать гальваническую имитацию вестибулоокулярного рефлекса на обучающих тренажерах для летчиков или улучшить стабилизацию взора пилота в экстремальных ситуациях полета [5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1998.

3. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985. 7-140.

4. Тихонова К.В. Математические задачи коррекции активности вестибулярных механорецепторов: Канд. дис. М., 2019.

5. Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Б., Вега Р., Коноваленко И.С., Сото Э., Тихонова К.В., Гордильо Домингуез Х.Л., Гонзалез О. О гальванической коррекции вестибулярной активности пилота при визуальном управлении полетом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 1. 34-41.

6. Александров В.В., Александрова Т.Б., Коноваленко И.С., Тихонова К.В. Возмущаемые стабильные системы на плоскости, II // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 53-57.

Поступила в редакцию 27.10.2019