ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОВОРОТОМ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ВНУТРЕННЕЙ МАССЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОВОРОТОМ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ВНУТРЕННЕЙ МАССЫ

А. М. Шматков1

Рассмотрена двумерная задача наискорейшего поворота замкнутой механической системы, состоящей из твердого тела и точечной массы. Масса взаимодействует с телом только посредством внутренних сил. Найдены оптимальные периодические траектории движения материальной точки, проходящие через центр масс твердого тела.

Ключевые слова: капсульный робот, наискорейший поворот, периодические решения, принцип максимума.

A two-dimensional problem of time-optimal rotation of a mechanical system consisting of a rigid body and a mass point is considered. The mass point interacts with the body by internal forces only. The periodic optimal trajectories of the mass point passing through the rigid body-center of inertia are found.

Key words: capsular robot, time-optimal rotation, periodic solutions, maximum principle.

В ряде практически важных случаев в робототехнических системах необходимо иметь герметичный корпус для перемещения в агрессивных средах, где применение внешних приспособлений для движения, таких, как колеса, гребные винты, гусеницы, ноги, затруднено или вовсе невозможно. Иногда такие роботы называют капсульными. Они могут быть приведены в движение перемещением специальных масс, находящихся внутри корпуса [1-4].

1. Возьмем твердое тело массы M и материальную точку массы m. Будем рассматривать только двумерный случай, когда оба объекта движутся плоскопараллельно, и пренебрежем всеми внешними силами и моментами сил. Тогда механическая система является замкнутой и в ней присутствуют только внутренние силы взаимодействия между двумя объектами. Пусть изначально система находится в покое. Тогда общий центр масс тела и точки также покоится. Найдем закон управления скоростью движения внутренней материальной точки для наискорейшего поворота твердого тела относительно своего центра инерции [4].

Можно показать, что при прочих равных условиях время такого маневра уменьшается с уве-m

неболыних интервалах времени, когда внутренние силы намного превосходят внешние. В течение всего остального времени система подвержена различным внешним воздействиям. Поэтому с конструктивной точки зрения в это время удобно позиционировать материальную точку внутри корпуса в одном и том же месте. Тогда после окончания поворота целесообразно вернуть точку в то же самое положение относительно корпуса, в котором она находилась до начала маневра. Исходя из приве-

m

положение — центр инерции корпуса. Следовательно, представляет интерес случай, когда точка начинает и заканчивает движение в центре масс твердого тела. Кроме того, требуемый угол поворота тела может оказаться значительным, в то время как расстояние, на которое может удалиться точка, ограничено, вообще говоря, размерами корпуса. Следовательно, может потребоваться неоднократное повторение одного и того же движения точки, причем каждый раз тело будет поворачиваться на один и тот же угол. Тогда маневр оказывается дискретным и в этом случае итог будет тем точнее, чем меньше угол поворота корпуса в результате каждого отдельного цикла.

Другой особенностью задачи является выбор скорости движения материальной точки, а не воздействующей на нее силы. Если закон оптимального управления потребует скачкообразного изменения скорости, то это вызовет удар, что нежелательно. Следовательно, оптимальная траектория должна иметь как можно меньше угловых точек.

1 Шматков Антон Михайлович — доктор физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Ин-та проблем механики им. А. Ю. Ишлин-ского РАН, e-mail: shmatkovQipmnet.ru.

Shmatkov Anton Mikhailovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences.

Суммируя сказанное, можно выделить периодические оптимальные траектории, начинающиеся и оканчивающиеся в центре масс твердого тела, как представляющие наибольший интерес, но начнем с общего случая двухточечной задачи оптимального управления для описанной механической системы.

2. Введем связанную с твердым телом декартову систему координат, центр которой находится в центре масс тела, и обозначим абсциссу и ординату через x и у. Предположим, что главная центральная ось инерции тела перпендикулярна плоскости движения и проходит через данный центр. Обозначим через J соответствующий момент инерции твердого тела. Ограничимся кинематической задачей. Пусть управления и и v являются проекциями вектора скорости материальной точки на оси указанной системы координат, причем норма этого вектора ограничена заданной константой. Обозначим угол поворота твердого тела через р и запишем, согласно [4], уравнения движения механической системы

tt(yu-xv) 9 9 тг9 т ¡J

х = и, y = v, р = 2 I 2V u2 + v2^V2, F>0, = -, a = d—. 1

а2 + ß (x2 + у2) M + m V M

Пусть в начальный момент времени t = 0 и в конечный момент времени t = Т все фазовые координаты системы известны:

x(0) = xo, у(0) = уо, р(0) = ро, x(T) = xt , y(T) = ут, р(Т) = рт. (2)

Требуется с помощью управлений и и v перевести систему (1) из начального в конечное состояние

T

3. Заменим переменные согласно [5]: х = (^J~ß/a)x, у = (^J~ß/a)y, и = u/V, v = v/V, t = (V^J~ß/a)t и, сохранив прежние обозначения, получим из (1)

yu — xv 2 2 ! \

X = U, y = V, Р = —-2 i-2' и +V 4:1. (3)

1 + x2 + y2

Выполним переход к полярным переменным обычным образом

x = r cos a, y = r sin a, u = rg cos v = rg sin { и преобразуем (3) к следующему виду с новыми управлениями U и V: и rv

г = и, á = -, р = — ^ 2 , й2+-й2^1, и = r^ cos({ — a), v = r^ sin({ — а). (4)

Из системы (4) следует, что можно положить a(0) и р(0) равными нулю без ограничения общности и заменить условия (2) на условия

r(0) = ro, a(0) = 0, р(0)=0, r(T) = гт , a(T) = ат, p(T) = рт. (5)

Следует решить задачу оптимального быстродействия для системы (4) при граничных условиях (5).

4. Обозначим через pr, pa и p^ переменные, сопряженные к r, а и р соответственно, и запишем гамильтониан [6]:

TJ ~ i V rv Л 1,-11 I Pa PVr

Н = prU + Pa- ~P<P1 + r2 =UWl+ V1p2, Wl =Pr, V2 = — - (6)

Сопряженные переменные ра и р^ постоянны, поскольку ра = = 0 и р^ = —Щ; = 0. Заметим, что гамильтониан в (6) можно рассматривать как скалярное произведение вектора управления с компонентами йи г) и некоторого век тора ф с компонентами -ф\ ш ф2- Согласно принципу максимума [6], на оптимальной траектории величина Н должна достигать максимума как функция вектора управления, а потому последний должен быть сонаправлен вектору ф, а также иметь максимально возможную норму, которая в данной задаче (4) равна единице. Кроме того, на оптимальной траектории гамильтониан равен [6] константе ро ^ 0. Следовательно, скалярное произведение единичного

вектора управления и сонаправленного ему вектора ф постоянно и равно ро- Тогда норма вектора ф постоянна и равна ро, причем ро = 0, так как согласно [6] вектор ф(£) ф 0. Отсюда получаем оптимальные управления в форме

рг ра 1 р2 Г

и* = —, =----^ 2 . (7)

Ро Ро Г ро 1 + г2

Для сопряженной переменной рг на оптимальной траектории имеем

дН

дг

Ра , 1 - Г2

= (8)

р0

уравнение и формулы (4), запишем систему дифференциальных уравнений: ^ _ Рг Рг _ / Ра + Рр 1 - Г2 \ (Ра 1 Рср Г

Ро' (Про \Ро Г2 Ро (1 + Г2)2/ \Ро Г Ро 1+ т2/

1 1 1 2 (9)

й _ Ра 1 Ру 1 ■ _ Ра 1 ^

а ро г2 РО 1 + Г2 ' ^ ро 1 + Г2 РО (1 + г2)2 ' Система (9) имеет первый интеграл Н(й*,г*) = ро, который можно представить в двух формах:

Рг\ 2 , /Ра 1 Р2 Г \ 2 2 2 , /Ра Р^Г \2 . ...

— +----- --о =1, Ро = Рг +--"¡—2 * (10)

Ро/ \Ро Г Ро 1 + Г2/ \Г 1 + Г2/

Пользуясь интегралом (10) в первой форме и тем обстоятельством, что система (9) автономна, не представляет труда понизить ее порядок и свести к двум эллиптическим интегралам, что удобно, например, для решения задачи в случае произвольного конечного положения материальной точки, как это показано в [5], без применения интеграла (10). В общем случае для того, чтобы удовлетворить трем терминальным условиям в (5), необходимо определить значения трех постоянных рг(0), ра и р^. При этом правые части дифференциальных уравнений (9) могут обращаться в нуль, что затрудняет взятие интегралов в [5], но не вызывает никаких сложностей при прямом численном интегрировании системы. Поэтому способ использования формул (9) и (10) следует выбирать в каждом случае отдельно. Например, при поиске решения методом перебора целесообразно принять Р2(0) + ра + р2 = 1, поскольку вели чины ро, рг, ра и р^ определены с точностью до произвольного постоянного положительного множителя [6]. Тогда все возможные значения трех искомых постоянных лежат на трехмерной единичной сфере и могут быть параметризованы двумя углами в сферической системе координат, а интеграл (10) во второй форме следует использовать для нахождения значения ро.

Заметим, что интеграл (10) можно рассматривать как гамильтониан одномерной консервативной механической системы, состоящей из материальной точки единичной массы, движущейся под действием потенциальной силы.

5. Теперь рассмотрим условия (5) в представляющем наибольший интерес случае, когда в начальный момент времени материальная точка находится в начале координат и возвращается туда же в конечный момент времени. Тогда значение угла ат можно положить произвольным и записать

г(0) = 0, а(0) = 0, р(0)=0, г(Т) = 0, р(Т) = ^т. (11)

Из условий трансверсальности [6] вытекает, что ра = 0. Система (9) приобретает форму

2 2 2

(Ру\2 г (! - Уу 1 - Уу Г

г = — — —--4-, а =----г, ю = —-(12)

\Ро / (1 + г2)3 Ро 1 + Г2 ^ Ро (1 + г2)

Из (12) видно, что в силу симметрии можно ограничиться случаем р^ > 0. Тогда, введя новую независимую переменную т = ¿р^/ро и обозначив производную по ней штрихом, из (10) и (12) получим

Г (1 - Г2) , 1 , Г2 1 , Л2 , 1 г2 1 {Ро\2

-0.8 -0.4 0.0 0.4 JC

Рис. 1. Траектории при 0 < рт ^ 1

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 X

Рис. 2. Траектории при 1 < рт ^ 3

Чтобы решение системы (13) удовлетворяло условиям (11), достаточно найти скаляр г'(0), который без ограничения общности можно считать положительным. Из аналогии с одномерной механической системой находим, что искомые периодические движения возможны только при г'(0) < 1/2. При этом для всей траектории г(т) < 1, поскольку высота потенциального барьера максимальна при г = 1.

На рис. 1, 2 показаны примеры оптимальных периодических траекторий для различных значений единственного оставшегося параметра рт, выраженных в радианах и указанных при соответствующих кривых. На рис. 1 движение идет по часовой стрелке. Видно, что при малых значениях рт траектории мало отличаются от окружностей. На рис. 2 начальные участки всех траекторий различаются слабо и движение происходит из начала координат в точке С в направлении, указанном стрелкой. Конечные же участки ведут себя по-разному в зависимости от величины рт-

Заметим, что при фиксации траектории движения точки внутри корпуса единственная угловая точка каждой кривой находится в начале координат. Если использовать циклический алгоритм поворота, то для повышения точности результирующего маневра целесообразно выбирать кривые с малыми значениями ру. Как видно на рис. 1, в этом случае в качестве практически оптимальной траектории можно выбирать окружность, не имеющую угловых точек, а тогда не будет и удара. Заметим, что при m ^ M окружность — оптимальная траектория [4]. Если же выполнять поворот на рт целиком за одно движение материальной точки, то можно пренебречь резкими однократными изменениями вектора скорости в начале и в конце, поскольку на практике там будут иметь место участки разгона и остановки. Тогда проблема удара может быть снята и без задания величины ау-Итак, построение периодических траекторий, проходящих через центр масс твердого тела, в задаче поворота последнего на заданный угол за минимальное время сводится к поиску соответствующих одномерных колебательных движений материальной точки под действием потенциальной силы, для чего достаточно найти единственное значение одного скалярного параметра на известном интервале, причем искомая величина всегда существует.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 18 11 00307).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Schmoeckel F., Worn H. Remotely Controllable Microrobots Acting as Nano Positioners and Intelligent Tweezers in Scanning Electron Microscopes (SEMs) // Proc. Int. Conf. Robotics and Automation. IEEE. 2001. 4. 3903 3913.

2. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Dynamics, design and simulation of a novel microrobotic platform employing vibration microactnators // Trans. ASME. J. Dynamical Systems. Measurement and Control. 2006. 128. 122 133.

3. Chernousko F.L. Two-dimensional motions of a body containing internal moving masses // Meccanica. 2016. 51, N 12. 3203-3209.

4. Черноусько Ф.Л. Оптимальное управление движением двухмассовой системы // Докл. РАН. 2018. 480, № 5. 528-532.

5. Шматков A.M. Поворот тела за кратчайшее время перемещением точечной массы // Докл. РАН. 2018. 481,№ 5. 498-502.

6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 15.03.2019

УДК 531.396

О ПОСТРОЕНИИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА

И. С. Коноваленко 1

В работе представлены определение, свойства и метод построения множества достижимости в окрестности периодического аттрактора нелинейной динамической системы, а также решена задача обратного перехода в бистабильной системе.

Ключевые слова: множество достижимости, периодический аттрактор.

The work presents the definition, properties and a method of construction of attainability-set in the neighborhood of the periodic attractor of a nonlinear dynamical system and solves the problem of inverse transition in a bistable system.

Key words: attainability- set, periodic attractor. 1. Множество достижимости. Рассмотрим нелинейную систему вида

{у = f (y) + bv(t),

€ V = {v(t) € KC | |v(t)| < ¿1} ,

где KC — множество кусочно-непрерывных функций, v(t) — постояннодействующее возмущение, b — вектор присутствия возмущения в системе, 0 < ¿1 <С 1. Система (1) при v(t) = 0 имеет периодическое решение y0(t + T) = y0(t) с периодом T; y = (yi, У2)Т- В окрестности предельного цикла y0(t) построим систему в вариациях по координатам и по параметру v(t):

ж = A(t)x + bv(t), (2)

где x = у — y°(t), А = ^) i = 1,2. Начало координат системы (2) движется по орбите

замкнутой кривой y0(t) с периодом T, поскольку матрица A является T-периодической. Начальные условия ж(¿0) и время ¿0 примем нулевыми.

Определение. Множеством достижимости системы (2), построенной в окрестности периодического аттрактора y0(t) нелинейной системы (1) за конечное время ¿1 < ж, будем называть множество вида

D(ti) = |ж € E2 : ж = У"Xf (¿1) X-1(s) bv(s) ds, v(-) € V J ,

1 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: Igritsa77Qgmail.com.

Konovalenko Iryna Sergeema — Postgraduate, Autonomous University of Puebla, Physical and Mathematical Faculty, Mexico.