О гальванической коррекции вестибулярной активности пилота при визуальном управлении полетом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 531.396

О ГАЛЬВАНИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ ВЕСТИБУЛЯРНОЙ АКТИВНОСТИ ПИЛОТА ПРИ ВИЗУАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ПОЛЕТОМ

В. А. Садовничий1, В. В. Александров2, О. В. Александрова3, Р. Вега4, И. С. Коноваленко,5, Э. Сото6, К. В. Тихонова7, Х. Л. Гордильо-Домингез8, О. Гонзалез9

В статье рассмотрена возможность применения гальванической вестибулярной стимуляции для гальванической коррекции вестибулярной активности пилота при визуальном управлении полетом на пилотажно-динамическом стенде и в экстремальных ситуациях реального полета.

Ключевые слова: гальваническая вестибулярная стимуляция, бионавигационная система.

The article considers the possibility of applying the GVS (Galvanic Vestibular Stimulation) technology for the galvanic correction of pilot's vestibular activity in visual flight control on a flight-dynamic stand and in extreme situations of a real flight.

Key words: galvanic vestibular stimulation, bio navigation system.

1. Введение. Стивен Мур (Steven Moore) и его сотрудники Национального университета космических биомедицинских исследований США (NSBRI) создали прибор для гальванической вестибулярной стимуляции (Galvanic Vestibular Stimulation (GVS)) и применили его для имитации пространственной дезориентации космонавта [1]. Стимуляция осуществлялась на динамическом стенде опорного типа при тренировках космонавтов-пилотов с целью улучшения качества визуального управления посадкой после длительного пребывания на орбите Земли. В настоящей работе рассматривается применение GVS-технологии для коррекции вестибулярной активности пилота при визуальном управлении полетом.

2. Постановка задачи коррекции. Сначала рассматривается принципиальная возможность гальванической стимуляции активности афферентных первичных нейронов вестибулярного аппарата, находящихся в режиме ожидания механического стимула, что в рамках математической модели соответствует наличию двух аттракторов — периодического аттрактора и точечного аттрактора внутри периодического [2].

Решение поставленной задачи на практике дает возможность: а) реализовать гальваническую имитацию вестибулоокулярного рефлекса (ВОР) на стенде опорного типа с ограниченными ресурсами; б) улучшить качество стабилизации взора пилота в экстремальных ситуациях полета.

Решение задачи а получено в рамках математической модели афферентного первичного нейрона (п. 3).

1 Садовничий Виктор Антонович — академик РАН, доктор физ.-мат. наук, проф., ректор МГУ, e-mail: [email protected].

2 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ; проф. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: [email protected].

3 Александрова Ольга Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

4 Вега Росарио — доктор биол. наук, проф. Ин-та физиологии Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), е-mail: [email protected].

5 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: [email protected].

6 Сото Энрике — доктор мед. наук, зав. лаб. нейрофизиологии Ин-та физиологии Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: [email protected].

7 Тихонова Катерина Владимировна — науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: [email protected].

8 Гордильо-Домингез Хорхе Луис — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: [email protected].

9 Гоназалез Октавио — магистр биологии мед. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: [email protected].

Решение задачи б получено в эксперименте, проведенном на подвижной платформе Стюарта с шестью степенями свободы (пп. 4, 5), и дополнено математической интерпретацией эксперимента на базе математической модели (п. 6).

3. Коррекция активности афферентного первичного нейрона вестибулярного аппарата для гальванической имитации ВОР. Одной из базовых частей бионавигационной системы человека являются вестибулярные механорецепторы. Рассмотрим выходной блок любого из них, представленный в виде модели

( dV

cm — = /syn + 71 P(t) - gL(V - VL) - №a(mco(F))3(C(F) - n){V - FNa) -4;

- gxn4hx (V - Vk),

(1)

dn n^(V) — n

dt

Tn(V )

Q

10-

Уравнения (1) являются модификациями уравнений Ходжкина-Хаксли с учетом экспериментальных данных [3] и температурного фактора ^ю, описывающих непрерывные по времени марковские процессы с дискретным числом состояний.

Здесь V — потенциал действия нейрона; п — вероятность проницаемости каналов калия [4]; 1вуп — постоянное значение синаптического тока; Р(¿) — ток коррекции; /^а, /к — ток натрия и ток калия:

= ))3(С(V) - п)^ - У^), /к = £кп4Лк(V - Vк).

Второе уравнение системы (1) — уравнение Колмогорова для вероятности марковского процесса с двумя состояниями: (¿), п(£) — вероятности присутствия частиц активации в каналах токов натрия и калия соответственно; Л к — вероятность отсутствия частиц инактивации в каналах тока калия; — максимальные проводимости токов натрия и калия.

Функциональные параметры имеют вид:

m^ (V) =

(V) =

Поо{У) =

1

V+33,8

1+e

1

V+60,5

1+e

1

1+e

Tn{V) = 68

e

T-T0

QIO = а 10

25+V __

Г5 +e ЙТ

У+30

параметр активации /ма; параметр инактивации /ма; параметр активации /к; константа времени активации /к;

температурный фактор;

C(V) = n^(V) + h,NaTO (V) — интегральная постоянная при фиксированном значении V, полученная экспериментально в лаборатории нейрофизиологии Института физиологии Автономного университета штата Пуэбла (Мексика). Численные параметры представлены в [2].

Из анализа пересечения изоклин системы (1) при P(t) = 0 и устойчивости особых точек получены следующие результаты: а) точка бифуркации Андронова-Хопфа /syn = 1,15 ^т; б) интервал бифуркации [0, 91; 1,15), на котором существуют два аттрактора. Таким образом, система (1) является бистабильной системой при значениях параметра Isyn, принадлежащих этому интервалу. В левой окрестности точки бифуркации имеем асимптотически устойчивый фокус, в правой окрестности точки 0,91 — глобально асимптотически орбитально-устойчивый предельный цикл. Таким образом, на интервале бифуркации Isyn € [0,91; 1,15) существуют точечный и периодический аттракторы, причем устойчивый фокус находится внутри предельного цикла.

На рис. 1, а представлены эти два аттрактора при /syn = 0,99

а) устойчивый фокус с областью притяжения A, полученной построением предельного цикла, являющегося асимптотически орбитально-устойчивым в обратном времени;

б) глобально орбитально-устойчивый предельный цикл — основной аттрактор, формирующий релаксационные автоколебания (спайки), с областью притяжения, состоящей из двух множеств C и B.

Введем локальную систему координат {x1,x2} с центром в устойчивом фокусе (y0, у0) (рис. 1), где y0 = vo = —39 mV, y0 = По = 0,3. В этой системе рассмотрим точки, принадлежащие множеству

18 ВМУ, математика, механика, № 1

достижимости возмущаемой стабильной системы в отклонениях при АУ = V — У°, Ап = п — п°:

Г йАУ

йАп

(М.

= 0,245АУ — 12,658Ап + 71Р (¿), = 0,013АУ — 0,305Ап,

(2)

[Р(■) € VI = {Р(■) € КС/1Р(¿)| < ¿1 < 1}.

20 Г,мВ

Рис. 1. Задача прямого перехода

Решая задачу о максимальном отклонении [2], получаем множество достижимости представленное на рис. 1 пунктирной линией, и находим точки М(ж1,ж2) и N(Ау°, Ау°) (рис. 1, б), соответствующие положительной дистанции между множествами А и — , А) = шахжедто шт^А р(х,у) (р — расстояние между точками х и у), что является решением задачи перехода (х1 = АУ, х2 = Ап, Ау1 = У1 — у°, Ау2 = у2 — у°, у1 = V, У2 = п). Алгоритм гальванической коррекции активности первич-Рис. 2. Процесс прямого перехода в ного нейрона в соответствии с решением этой задачи

зависимости от времени о переходе — кусочно-постоянная неотрицательная

периодическая функция, частота которой равна частоте обычного резонанса для колебательной системы в отклонениях (2) для наиболее быстрого решения задачи при /8уп = 0,99 t € [¿0^1]-На рис. 2 представлено решение задачи о переходе из области притяжения точечного аттрактора в область притяжения периодического аттрактора при гальванической стимуляции на интервале

[¿оЛ].

Таким образом, представлено первое возможное решение задачи гальванической коррекции активности первичного афферентного нейрона. В начальный момент система (1) находится в области притяжения А в процессе ожидания механического стимула. Ввиду его отсутствия на входе вестибулярного механорецептора гальваническая стимуляция (при £ € [¿о,¿1]) выходного блока, каковым является первичный нейрон, позволяет реализовать активность этого первичного нейрона в виде серии спайков (рис. 2). Реализация данной активности соответствует в технике коррекции инерциальной навигационной системы на выходе при наличии дополнительной информации. При использовании пилотажно-динамических стендов для тренировки пилотов и космонавтов применение рассмотренной ОУБ-технологии возможно для гальванической имитации ВОР или гальванической имитации визуальной дезориентации, имеющей место при продолжительном орбитальном полете [1].

4. Описание эксперимента с использованием подвижной платформы Стюарта "Гальваническая коррекция качества установки взора". Эксперимент проводился в Мексиканском национальном институте астрофизики, оптики и электроники (ЩЛОЕ) на подвижной платформе Стюарта (ПС) с шестью степенями свободы в качестве генератора угловых движений.

Движение ПС задается алгоритмами динамической имитации полета самолета. Траектория полета состоит из маневра, часто используемого пилотами и называемого координированным виражом.

Траектория координированного виража имеет следующее описание: летательный аппарат (ЛА) начинает свое движение на заданной высоте около 5000 м с воздушной скоростью 85 м/с. Далее

осуществляется первый поворот направо с программным углом крена 26°. Полный координированный вираж содержит 3 части: первый поворот направо на 90° по курсу с наклоном в 26° вокруг продольной оси ЛА, затем полет на постоянной высоте с постоянной скоростью в течение 60 с и затем повторение первого поворота (рис. 3).

Как видно на рис. 4, компонента углового ускорения 00y (б) поворота ЛА вокруг вертикальной оси y мала и находится ниже порога чувствительности вестибулярного аппарата пилота, тогда как угловое ускорение 00x (а) вокруг продольной оси x ЛА находится выше порога чувствительности. В связи с этим рассматривается реакция только вертикальных каналов при правом координированном вираже.

Повороты головы и правого глаза пилота измерялись при помощи прибора ICS Impulse. В качестве системы измерений движения пра-

Рис. 3. Координированный вираж ЛА. Угол крена

<ох,°/с2

4

2 0 -2 -4

-

L L- f-

- ,1 . , 1 ,1 ,

(*)л

0

,°/с2 4 2 0 -2 -4

50

50

100

150

б

100

150

200

200

t, с

t, с

Рис. 4. Сравнение угловых ускорений поворотов

вого глазного яблока, помещенной внутрь этого прибора, применялась видеоокулярная камера (VOC ICS Impulse).

Из-за механических стимулов, генерируемых платформой Стюарта, пилот испытывает ощущения от имитации координированного виража, воспринимаемые вестибулярным аппаратом. Вестибулярная система (ВС) представляет собой парную систему инерциальных биомеханических сенсоров во внутреннем ухе человека. Как левая, так и правая часть ВС состоит из трех полукружных каналов (латерального, сагиттального и фронтального), расположенных почти ортогонально друг к другу, а также из двух отолитовых органов. Полукружные каналы (ПКК) воспринимают угловые повороты головы пилота. Эндолимфа, находящаяся внутри ПКК, — жидкость, смещающая ампу-лярную купулу вместе с пучками волосков рецепторных клеток. Экстраокулярные мышцы каждого глазного яблока представляют собой совокупность шести мышц. Эти мышцы сокращаются и расслабляются таким образом, что, получая электрический сигнал (серию импульсов — спайков), они активируются и поворачивают глазное яблоко вправо, влево, вверх и вниз, а также поворачивают его вокруг оси зрения. Таким образом, возбуждение (или торможение) ПКК зависит от механического или гальванического стимула. При правом повороте ожидается возбуждение правых фронтального и сагиттального вертикальных ПКК в соответствии с функциональной схемой (рис. 5), построенной по таблице работы [5].

В трех экспериментах участвовали три пилота, трижды производившие в автопилотном режиме координированный вираж. Рассмотрим один из этих экспериментов.

Схема эксперимента:

выполняются два координированных поворота вправо (рис. 3);

пилот не выполняет никакой задачи во время проведения эксперимента, ему дана установка смотреть вперед на экран динамического имитатора. Голова пилота неподвижна относительно подвижной платформы;

Рис. 5. Схема влияния активности вертикальных каналов на прямые глазные мышцы: left (right) Anterior SCC — левый (правый) передний полукружный канал; left (right) Posterior SCC — левый (правый) задний полукружный канал; superior (interior) rectus — верхняя (нижняя) прямая мышца глаза; left (right) eye —

левый (правый) глаз; up — вверх; down — вниз

GVS применялась к пилоту (рис. 6, б);

в то время как имитировалась траектория движения, GVS применялась только в начале двух поворотов и производила гальваническую стимуляцию правого вестибулярного аппарата пилота при W = 0 (8 с).

5. Результаты эксперимента. На рис. 6 представлены данные, полученные с помощью вести-булоокулярной камеры VOC ICS Impulse. Крен ПС на 10° (ввиду ограниченности геометрических ресурсов ПС) обозначен сплошной линией, а пунктирной линией — движение правого глаза по вертикальной оси VOC ICS Impulse. Необходимо отметить, что рис. 6 показывает угловые смещения: сплошные линии — это поворот ПС во фронтальной плоскости YZ, а пунктирные линии — это угловые повороты правого глазного яблока вверх-вниз относительно вертикали VOC ICS Impulse.

Рис. 6. Результаты эксперимента

На рис. 6, а, б пунктирной линией показаны данные видеоокулографа без гальванической коррекции и с гальванической коррекцией соответственно при установке анода в центре лобной поверхности и катода на поверхности мастоидной кости. На графике 6, а имеет место ошибка установки

взора до 6° по относительной вертикали VOC ICS Impulse. На графике 6, б благодаря коррекции гальваническим током 2 мА, реализованной в начале поворота в течение 8 с, можно видеть улучшение установки взора в 3 раза.

6. Задача об обратном переходе как математическая интерпретация экспериментального результата гальванической коррекции. Рассмотрим нелинейную систему (1) c функциональным включением вида

vi(-) € V = (vi(-) € L2 П L^ : 0 ^ vi(t) ^ 7^1 для t € (0, ti < то), vi = 0 для t > ti} .

B окрестности периодического решения (V0(t), n°(t)) системы (1) может быть построена система в вариациях, начало координат которой с течением времени будет двигаться по орбите периодического аттрактора:

Х = A(t)x + bvi (t), (3)

где b = (1, 0)T, T = 35,2 мс — период автоколебаний системы (1), A(t + T) = A(t) (yi = 0,1, = 1).

Для данного построения движения по орбите предельного цикла необходимо проинтегрировать систему (1) при /syn = 0,99 и v\(t) = 0 на интервале [0,Т], разделив весь интервал интегрирования на 1000 подынтервалов и получив массивы точек [V°(ti), n°(ti)]. Далее при нахождении частных производных правых частей системы (1), подставляя в них значения [V°(t^),n°(ti)], получаем массив значений искомой матрицы A(t). На каждом подынтервале необходимо построить сплайн-аппроксимацию матрицы A(t) и найти нормированную фундаментальную матрицу X(t) решений, проинтегрировав систему X = A(t)X с начальными условиями X(t) = E2.

Для решения задачи о возможности обратного перехода системы (1) из области притяжения периодического аттрактора в область притяжения точечного аттрактора построим область достижимости Dtk для системы в вариациях (3) и рассмотрим возможное пересечение двух областей — области притяжения точечного аттрактора системы (1) и области достижимости Dtk системы (3) в окрестности периодического аттрактора системы (1).

Чтобы построить область достижимости Dtk для системы (3), осуществляется переход Xn(t) = X (t)S от системы координат (xbx2) = (AV, An) к системе координат (xin,x2n), начало которой будет находиться на орбите периодического аттрактора и передвигаться по ней (искомая матрица S должна удовлетворять условию S-iX(T)S = diag(1, Р2), где р2 — мультипликатор Флоке). В каждой точке [Vi0(ti),n°(ti)] ось Oxin будет совпадать с касательной к предельному циклу (рис. 7). Рис. 7. Задача обратного перехода

Возьмем одну из матриц перехода к жордановой форме S = (s ,s2), где s ^ (0,058; —0,998)T и s2 ~ (—0,028; 0,999)T — собственные векторы матрицы монодромии X(T) (мультипликаторы Флоке pi = 1, р2 = 1,7 ■ 10-5), и перейдем к аффинной системе координат (xin,x2n) с углом между осями ф ~ 19°.

Согласно [6] найденная специальная фундаментальная матрица может быть представлена в

виде

Хп = Ф(£) diag ^1, еУ1пj ,

где $(t) — действительная ограниченная T-периодическая непрерывно дифференцируемая 2 х 2-матрица (T=35,25 мс).

Ввиду ограниченности интеграла ||vi(t)|| dt < то (||vi(t)|| ^ 7i^i для t € (0,ti < то), vi = 0 для t > ti) при нулевых начальных возмущениях в соответствии с [6] вектор-функция

tk

xjn(tk) = / ejG(tfc, s)bvi(s) ds, j = 1,2,

0

-46 -44 -42 -40 -38

где в1 = (1, 0), в2 = (0,1), является решением неоднородной системы (3) с переходной матрицей

С(гк,з) = О^з^и. (4)

Из (4) следует, что для достижения максимального значения по координате Хп (г = 1,2) в момент времени ¿к необходимо и достаточно, чтобы возмущение г1(в) принимало экстремальное значение ¿1 или 0, совпадающее по знаку с функцией е,С(Ьк, в)Ъ. Таким образом, получаем формулу, определяющую наихудшее возмущение:

о |0, если (е,,в)Ъ) < 0,

VI,- = < 0 ^ в ^ ¿к.

I если (е,,в)Ъ) > 0,

На рис. 7 представлены неулучшаемые оценки областей достижимости (¿1 = 35,25 мс) и (¿2 = 70,5 мс), построенные в окрестности точки V0 = -40,55, п0 = 0, 2, лежащей на орбите периодического аттрактора. Эти оценки представляют собой параллелограммы, которые ограничены максимальными и минимальными отклонениями по координатам (Х1П,Х2П) и центр которых расположен в точке (У0,п°). Значения шах0^р(¿^^ х,п(£г) и шт0^рх,га(^) были вычислены сначала в координатах (х1га,х2га), затем с помощью преобразований (х1,х2) = (х1га,х2га)£-1 и V = х1 + V0, п = х2 + п0 были переведены в координаты (V, п) нелинейной системы (1). Неулучшаемость оценок следует из расположения концов траекторий (3) в углах параллелограммов (рис. 7), т.е. область достижимости имеет непустое пересечение с областью притяжения точечного аттрактора А Следовательно, существует возможность перехода системы (1) за время ¿2 = 70,5 мс под действием возмущения г0 из области притяжения периодического аттрактора (состояния генерации импульсов) в область притяжения точечного аттрактора А

Таким образом, показана возможность обратного перехода из области притяжения периодического аттрактора в область притяжения точечного аттрактора при малой по амплитуде гальванической коррекции первичных афферентных нейронов, что соответствует результату эксперимента.

7. Обсуждение и заключение. Анализируя результат эксперимента и схему (рис. 5) связей активности вертикальных полукружных каналов с глазными мышцами, полученную из таблицы [5] законов Эвальда [7], можно показать, что аналогичный результат по улучшению установки взора (рис. 6) достигается и при размещении катода с левой стороны головы пилота. При этом биомеханический процесс стабилизации другой: вестибулярная активность первичных афферентных нейронов вертикального левого заднего канала приводит к равновесию моментов сил верхней и нижней мышц правого глазного яблока.

Таким образом, необходима функциональная схема гальванического корректора, решающая на практике задачи коррекции вестибулярной активности пилота в двух режимах: а) программной коррекции в случае пилотажно-динамического стенда [1]; б) коррекции по показателям датчиков микроэлектромеханических систем (МЭМС), установленных на кресле пилота или на шлеме космонавта в реальном полете.

Мы выражаем признательность сотрудникам Мексиканского национального института астрофизики, оптики и электроники (ЩЛОЕ) за доступ к динамическому стенду, а также студентам лаборатории нейрофизиологии ВиЛР, экспертам в области использования материалов и физиологических инструментов для применения СУЯ.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-50-000029, разделы статьи 3, 4, 5) и РФФИ (проект № 16-01-00683, разделы статьи 1, 2, 6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Moore S.T., Dilda V., Hamish G., MacDougall H.G. Galvanic vestibular stimulation as an analogue of spatial disorientation after spaceflight // Aviat. Space and Environ. Med. 2011. 82, N 5. 535-542.

2. Александров В.В., Александрова T.Б., Коноваленко И.С., Тихонова К.В. Возмущаемые стабильные системы на плоскости, II // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 53-57.

3. Aleksandrov V. V., Aleksandrova T.B., Angeles Vasques A., Vega R., Reies Romero M., Soto E., Tikhonova K. V., Shulenina N.E. An output signal correction algorithm for vestibular mechanoreceptors to simulate passive turns // Moscow University Mechanics Bulletin. 2015. 70, N 5. 130-134.

4. Рубин А.Б. Биофизика. Т. II. М., 2000.

5. Baloh R.W., Honrubia V. Clinical Neurophysiology of the Vestibular System. Oxford: Oxford University Press, 2001.

6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1998.

7. Ewald J.R. Physiologische Untersuchungen über das Endorgan des Nervus Octavus. Wiesbaden: Bergmann, 1892.

Поступила в редакцию 27.08.2018

УДК 531/534+539.3

О ПОДХОДАХ К МОДЕЛИРОВАНИЮ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ УСЛОЖНЕННОЙ СТРУКТУРЫ

Г. Л. Бровко1

Рассматриваются подходы к аксиоматическому построению теоретических основ механики сплошной среды. Представлены основные понятия, законы, гипотезы классической теории механики сплошной среды и пути их модификации в неклассических вариантах теорий. В рамках классического варианта рациональной теории предложены новые аксиомы общей теории определяющих соотношений, для сред неклассического типа — подходы к аксиоматическому построению на примере рациональной механики моментных сред (континуума Коссера): введены специфические понятия тел с их атрибутами, взаимодействий и форм движений, даны соответствующие обобщения формулировок основных законов и гипотез, построены общие формы определяющих соотношений при произвольных и при малых деформациях (движениях). Обсуждаются подходы к построению моделей сред в соответствии с методом механического (конструктивного) моделирования, предложенным А.А. Ильюшиным.

Ключевые слова: механика сплошной среды, аксиоматическое построение, классические и неклассические подходы, основные понятия и законы, определяющие соотношения, метод механического моделирования.

The approaches to the axiomatic construction of the theoretical basis of continuum mechanics are considered. The main notions, laws, hypotheses of the classical theory of continuum mechanics and the ways of their modification for non-classic versions of theories are discussed. In the framework of the classical version of the rational theory, the new axioms for the general theory of constitutive relations are proposed. For the media of non-classical type, the approaches to axiomatic construction are studied by the example of the rational mechanics of moment media (Cosserat continuum): the specific notions of bodies with their attributes and the forms of their interactions and motions are introduced, the appropriate generalizations of the main laws and hypotheses are given, the general forms of constitutive relations at arbitrary and at small strains (motions) are analyzed. The approaches to the construction of medium models in accordance with the method of mechanical (constructive) modeling proposed by A.A. Ilyushin are considered.

Key words: continuum mechanics, axiomatic construction, classical and non-classical approaches, main notions and laws, constitutive relations, method of mechanical modeling.

Введение. В настоящей работе предлагаются подходы к построению и развитию основ классической механики сплошной среды [1, 2] и неклассической теории континуума Коссера [3] (моментной теории) в терминах и понятиях рациональной механики сплошных сред [4, 5].

Для краткости изложение ведется одновременно для классической и моментной теорий; в соотношениях подчеркиваниями выделены члены, присущие моментной теории.

1. Тела. Взаимодействия. Движения. Тело B рассматривается как регулярное замкнутое множество топологического пространства, гомеоморфного трехмерному евклидову аффинному пространству X, b € B — точка тела. Вселенная U = {B} — множество всех тел. В моментной теории тело рассматривается как матрица-носитель распределенных во всех его точках b жестких массивных включений, испытывающих перемещения вместе с точкой матрицы-носителя и способных вращаться вокруг этой точки с инерционным сопротивлением. Множество Q всех возможных расположений

1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].