О подходах к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ричного эталона со шкалой UTC(SU) необходимо совершенствовать методы сличения шкалы UTC(k) с первичным эталоном, алгоритм формирования управляющих поправок и систему обработки измерений и

Библиогр'а

1. ГОСТ 8.129-2013. ГСИ. Государственная поверочная схема для средств измерений времени и частоты. М.: Стандартинформ, 2014. 8 с.

2. Алгоритм групповой шкалы времени с использованием скользящего среднего на нескольких временных масштабах / Подогова С.Д. [и др.] // Измерительная техника. 2015. № 5. С. 40-44.

3. Здериглазова А.В., Курышева Л.Н., Акулов В.М. Исследование возможных методов формирования рабочих шкал, физически реализующих шкалу координированного времени локального эталона // Метрология времени и пространства: сб. мат-лов седь-

формирования текущих и прогнозных оценок состояния объектов локального эталона.

Статья поступила 28.12.2015 г.

кии список

мого Международного симпозиума. Менделеево: ВНИИФТРИ, 2014. С. 231-235.

4. Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты / Ю.П. Хрусталёв [и др.] // Вестник ИрГТУ. 2012. № 7. C. 22-28.

5. Пушкин С.Б., Пальчиков В.Г. Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли. М.: ВНИИФТРИ, 2013. 235 с.

6. Weiss M.A., Petit G., Jiang Z. A comparison of GPS common-view time transfer to all-in-view // Proc. Frequency Control Symposium and Exposition. 2005. № 1. P. 324-328.

УДК 519.233.5

О ПОДХОДАХ К ВЕРОЯТНОСТНОМУ АНАЛИЗУ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ ПРОЦЕДУР ГЕНЕРИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются подходы к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных процессов с одновременно задаваемыми законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией. Ранее проведены исследования данного класса генераторов при простейшем (бернуллиевском) законе распределения и минимальном значении параметра упорядочения n = 2. Представлены возможные направления анализа при параметре упорядочения n > 2 и произвольном законе распределения вероятностей. Ключевые слова: случайная величина; закон распределения вероятностей; корреляционная функция; генерирование случайных процессов.

ON APPROACHES TO THE PROBABILISTIC ANALYSIS OF PERMUTABLE PROCEDURES OF RANDOM PROCESS GENERATION A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article discusses the approaches to the probabilistic analysis of permutable procedures of random processes generation with simultaneous defining of the law of probability distribution and an autocorrelation function. The given class of generators has been studied earlier under the elementary (Bernoulli) distribution law and minimal value of n=2 of the ordering parameter. Possible analysis directions when the ordering parameter is n>2 and an arbitrary probability distribution law are given.

Keywords: random value; probability distribution law; correlation function; random process generation. Введение

В научном издании [1] представлены результаты вероятностного анализа перестановочной процедуры генерирования случайных процессов с одновременно задаваемыми (требуемыми) одномерным законом распределения вероятностей и не дельтаобразной автокорреляционной функцией.

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: petrov@istu.edu

Установлено, что при t ^ х все возможные перестановочные критерии обеспечивают сходимость одномерного закона распределения вероятностей генерируемого бернуллиевско-го случайного процесса [£() ^ е Т} к одномерному закону распределения вероятностей исходного случайного процесса t е Т}. Для ряда критериев получены формулы, позволяющие судить о скорости сходимости одномерных законов распределения вероятностей. Другие же критерии позволяют генерировать случайный процесс, сразу же обладающий одномерным законом распределения вероятностей исходного случайного процесса t е Т}. Приведены выражения получаемых автокорреляционных функций гф).

Рассмотрим подходы к вероятностному анализу более сложных вариантов - при п > 2 -введя при этом обозначения ро = 1 - р и р1 = р.

Случай п = 3

Рекуррентные соотношения для совместных вероятностей имеют вид: Р{£(0 -1) = 0;и1(1) = 0;и2(1) = 0} = р0 • Р {^0 - 2) = 0;и1(1 -1) = 0;и2(1 -1) = 0}+ +Р1 • Р&0 - 2) = 1;ц(0 -1) = 0;и2(1 -1) = 0}=р0 • Р {ц(0 -1) = 0^(0 -1) = 0}, Р{£(0 -1) = 0;и1(1) = 0;и2(1) = 1} = Р0 • Р {^(0 - 2) = 0;и1(1 -1) = 0;и2(1 -1) = 1}+

+Р1 • Р{£(0 -2) = 0;и1 -1) = 0^(0 -1) = 0} = 2• р0;1 • Р1 + р0о • р +

+р0• р1 •! р0• Р{и1(0-]-2) = 0;и2(0-]-2) = 0},Р{£(0-1) = 0;и1(0) = 1;и2(0) = 0} =

,1=0

(1а)

= р0 • Р {£,(0 - 2) = 0;и1(0 -1) = 1;и2(0 -1) = 0} = р0;1 • Р {^(0 -1) = 0;и1(0) = 1;и2(0) = 1}=

= ро • P ß(t - 2) = 0;u1(t -1) = 1;u2(t -1) = 1}+p • P ß(t - 2) = 0;u1(t -1) = 0;u2(t -1) = 1}+

+P1 • Pft(t-2) = 0;u1(t-1) = 1;u2(t-1) = 0} = p^ • p2 + p^-1 • p2•(З• Ро + 2)• +

i=t-1 j=t-i-4

+p0 • pf • I p0 I p0 • PK(t-i- j-3) = 0;u2(t-i- j-3) = 0},

i=0 j=0

Р{£(1 -1) = 1;и1(1) = 0;и2(1) = 0} = Ро х хР {£(1 - 2) = 1;^(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 0} +

+ Ро • Р{£(1 -2) = 1;^(1 -1) = 0^(1 -1) = 1} + Р1 х хР{£(1 - 2) = 1;^(1 -1) = 0^(1 -1) = 0} = р2 • р| + р2 • р1-1 х

1 •(* -1) 2

х(3• Р1 + 2)• 2 + Р0 • Р1 х

1=1-1 ]=1-1-4

х! Р1 ! РГРК(1 -1 -]-3) = 1^(1 -1 -]-3) = 1},

1=0 ]=0

Р {£(1 -1) = 1^(1) = 0;^(1) = 1} = Р1 х

хР{£(1 - 2) = 1;и^1 -1) = 0;и2(1 -1) = 1} = Р0 • р1+1,

Р{£(1 -1) = 1;и1(1) = 1;^(1) = 0} = Р0 х (1Ь)

хР {£(1 - 2) = 0;и1(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 1} + + Р1 • Р {£(1 - 2) = 1;и^1 -1) = 1;и2(1 -1) = 0}

=2 • Р0 • р1+1+р0 • р1+р0 • Р1х

И-1 .

х! ^Р{и1(1 - ]-2) = 1;и2(1 -] -2) = 1},

]=0

Р {£(1 -1) = 1;и1(1) = 1;и2(1) = 1} = Р1 х хР {£(1 - 2) = 0;и1(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 1} +

+ Р1 • Р {£(1 - 2) = 1;и1(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 1} = = Р1 • Р {и1(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 1},

где г > 3.

Отсюда

Р{£(1 -1) = 0} = р2-(1 + 2• р1 ) + [р0 • Р{£(1 -3) = 0;и2(1 -3) = 0}- р1 • Р {ц(1 - 3) = 0;и2(1 - 3) = 0}], Р{£(1 -1) = 1} = р2 ^(1 + 2• Р0) + [р1 • Р{£(1 -3) = 0;и2(1 -3) = 0}- Ро • Р{и1(1 - 3) = 0;и2(1 - 3) = 0}].

Из последних соотношений можно найти зависимость между совместными вероятностями компонентов вектора 11(4):

Р{$(0 - 3) = 0;и2(0 - 3) = 0} = • Р{^(0 - 3) = 1;и2(0 - 3) = 1} +

р1

+ Р{^<0 - в = 0}-•(' + 2 • Р.) = * • Р{,(0 _ 3) = 1;и2(0 - 3) = 1}+ т

3 • Р0 • Р° Р1 (2)

| 1 -р02 •(! + 2• Р1)-Р{^(0-1) = 1}

3•Р0 • Р2

Из (2) найдем:

Р{^(0 -1) = 0} = 3 • р0;1 • р1 + р0 • р1 + Р0 • р2 +

+ р00-1 • р2 ^(3• Р0 + 2)• +

+ Р0 • Р{и1(0 -1) = 1;и2(0 -1) = 0} +

+ Р0 • Рх • '21:3Р0 • р{и1(0 - ] - 2) = 0^(0 - ] - 2) = 0}+ (За)

j=0

+Р0 • Р° •

1=0-1 j=0-i-4 .

• Е Р0 Е Р0 • Р{и1(0 -1 - ] - 3) = 0;и2(0 -1 - ] -3) = 0},

1=0 j=0

Р {£,(0 -1) = 1} = 3 • Р0 • Р0+1 + Р0 • Р1 + р2 • Р1 + + р2 • Р1-1 ^(3 • Р1 + 2 )• ^^ + Р1 • Р К(0 -1) = 1;и2(0 -1) = 0}+

•1=0-3 (ЗЬ)

+Р0 • Р1 Р1 • Р{и1(0-]-2) = 1;и2(0-]-2) = 1}+ ( )

]=0

1=0-1 ]=0-1-4

+Р2 • Р1 • Е Р1 Е Р1 • Р{и1(0-1 -]-3)=1;и2(0-1 -]-3)=1},

1=0 ]=0

а также

Р{и2(0) = 0} = р0;1 • Р1 + 2 • Р0 • р0+1 + Р0 • р1 + р0 • р0 + + р2 • р0-1 • (3 • Р1 + 2) • Ц-^ + Р0 • Р {и (0 -1) = 1; и2 (0 -1) = 0}+

]=0-3 .

+Р0 • Р1 • Е Р1 • Р {и1 (0 - ] - 2) = 1; и2 (0 - ) - 2) = 1} +р2 • Р1 х

]=0

1=0-1 ]=0-ь4

: р1 е

1=0 ]=0

(4а)

хЕ Р1 Е р • Р {и1(0 -1 - ] - 3) = 1;и2(0 -1 - ] - 3) = 1},

р Ц(1)=1}=Р0 • р;+1+2 • р0+1 • Р1+р0 • Р1+р0 • Р2 +

+ Р0-1 • Р2 ^(3 • Р0 + 2)• +

+ Р1 • Р {и1(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 0} +

Г^ .Т5 /и п _ \ _ ОЛ — П- т

+ Р0 • Р1 • ! Р0 • Р{и1(1 -] - 2) = 0;и2(1 -] -2) = 0}+ (4Ь)

]=0

2

+ Р0 • Р1 •

1=1-1 ]=1-1-4

• ! р0 ! Р0 •Р{и1(1 -1 -]-3) = 0;и2(1 -1 -]-3) = 0}.

1=0 ]=0

Подставив (ЗЬ) в (2Ь) и (3а) в (2а) и используя (1), получаем: Р{£(1 -1) = 0} = Р0 • Р1 •(р1 -Р11)-

1 - 3 • р2+ 2 • р3_ +

3^ р?

1 10 +— • Р{£(1 +1) = 0} +Р {и2(1) = 1} + —^ • Р {и!(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 1}, 3 р° Р1

р{£(1 -1)=1}=Р0 • Р1 •( Р1 - Р11)-2

2^ Р3 +

+

1) 1 - 2 •Р]

—, • Р{£(1 +1) = 0}- Р{и2(1) = 1}--Р1 • Р{и1(1 -1) = 1;и2(1 -1) = 1}.

3 Р° Р1

В отличие от (2Ь) из (1) можно также найти:

Р ^(1)=0}=-Р0 • р, •( Р0 - р;)-1 - р. -3 • р + 5 •-2 •р4 +

3 • Р°

^ — 3

+Р {£(1 - 2) = 0}- • Р {£(1) = 0}- ^^ • Р {иД1 - 2) = 1;и2(1 - 2) = 1}. 3 • Р2 Р1

(5^

3 (5Ь)

1 Л 5 • Р1-2 • Р°

(6a)

Р{и2(1) = 1} = -Р0 • Р1 •(Р1 - р1)

3

1-Р Р3- Р3 (6Ь)

-Р{£(1 -2) = 1} + —Р• Р{£(1) = 1}--^• Р{и1 -2) = 1^(1 -2) = 1} . 3 • Р° Р1

Подставив (6а) и (6Ь) в (5а) и (5Ь), получаем:

Р {§(0 -1) = 0} = -1 - 3 'р2 + 2 •р3 + Р {§(0 - 2) = 0}-• Р {§(0) = 0}-

3 • Р1 3 • р°

3 3

- ^ • Р{^(0+1)=0}+^т^" • Р Ь(0 -1)=1;и2(0 -1)=1}- (7а)

3 3

Р0 - Р г ^

• Р{и1(0 - 2) = 1;и2(0 - 2) = 1},

Р1

Р{§(0-1) = 1}=-3^Р2 -2^Р3 + Р{§(0-2) = 1}- • Р{§(0) = 1}-

• Р{§(0 +1) = 1}-^^ • РЦ(0 -1) = 1;и2(0 -1) = 1}+ (7Ь) 3 • Р° Р1

3 3

Р0 - Р г ^

+ ^ • р {и1(0 - 2) = 1;и2(0 - 2) = 1}.

Р1

Из (7Ь) находим рекуррентное соотношение для совместных вероятностей компонентов вектора 11(4):

Р{и1(0-1) = 1;и2(0-1) = 1}= -3^Р2 + 2^Р\ + --Р{§(0-2) = 1}-

11 2 ; 3 • р1 ^(1 - 2 • р1) 1 - 2 • р1 1 }

--Р--Р {§(0 -1) = 1}--^-г • Р {§(0) = 1}+--г

1 - 2 • р1 1§( ) > 3 • р1 -(1 - 2 • р1) 1§() > 3 • р1 ^ - 2 • р1)

хР {§(0 +1) = 1}-(1 - р1 + р2 )• Р {и1(0 - 2) = 1^(0 - 2) = 1} = 3 • р2 - 2 • р? , 3 • р2 - 2 • р?

х

+

3 • р° - 2 • Р3 3 • р° - 2 • Р3 / ^0-1

-3.(1 -р1).(1 -2• р1) + 3.(1 -р1).(1 -2• р1)( -Р1 + Р|)

1Г •>-0,Ч| Р (8)

^• §0 -Р1+р2)'Р{§(0-;-2)=^(гР !2 (1 - Р1+р ?•Р {§(0 - ^-1}=1}-3Т(Г-Рртх

!2 (1 - Р1+р° ?• р {§(0 - ^=1}+^•(Г-Рр)х

х!2 (1 - Р1+р2 ) • Р {§(0 - ]+1)=1}+(1 - Р1+Р2 )0-2 • Р3.

J=0

Обозначим

Р(1;1) = 11т Р {и1 (1) = 1;и2(1) = 1}, Р0 = 11тР {£(1) = 0}, Р1 = 11тР {£(1) = 1}, и тогда из (8)

а ■рал)=Рг + 1 ^ -2'р3

3. (1 - р)'(; - р) 3' (1 - А1 >•(1 - 2' А )' а из (ЗЬ)

Р1 = 3^ рг Р( 1;1), (9)

и после подстановки (9) получим, что Р1 = р. Действуя аналогично, можно получить р0 = Р0.

Рекуррентное соотношение для Р{£(1 -1) = 1}можно получить, подставляя (8) в (ЗЬ). Ниже оно представлено без приведения подобных членов:

Р {£(1 -1) = 1} = +1 + Р0Ф1 + Р2Р1 + р2Ф1 -1 •(3^1 + 2 )• -

3^р2 -2ф? 3ф2 -2ф? / -1

-3^(1 -Р1 )•(l-2^1) + 3^(1 -Р1 )•(l-2^1 ^ -Р1 + Р1) +

Л Л ^л^1"3 Л3 3^р2 -2^ -И-3 .

+(1 -Р1+Р2) •р3-3•(1- Р1М1-2• Р1)•5Р1+

+(1 - Р1 )• рГ!3 (1 - Р1+Р2 )1 + +йЙ^Р) '!•(---'21'Ь2 -

(3 • р°- 2 • р3 )-(1 - Р1) ^..^

--ТТГ^)—\--! р1 ! р1 +

3 •(1 - 2 • Р1) 1=0 J=о

(3 • р2 - 2 • р3 )-(1 - Р1 ) 1=1-1 ^=1_.-4 J 1 -3

+ -—--! р1 ! Р1 •(1 -Р1 + Р2) +

3 •(1 - 2 • Р1) 1=0 j=о у ;

■з / ч2 1=1 -1 ^=1 - -4 ■ / о\1 -i-J-4

+ р3•(1 -Р1 )2• ! р1 ! Р1 •(1 -Р1+р2) +

1=0 j=о 2 J=1-2

+ (Т—Р) •!(1 - Р1+р° ^{£( 1 - ' -2 )=1}-

+

+

(Г-pT^I "I(1 -p-+p2)j •P{5(t- j-1)=1}-

-12 (1 - p + p2 )'•P t-j) =!} +

1 j=t-2 , ч j j,(i - p1 + p2 )p {?((- J+1) = i}+

prSy •i 13p1j=g3 (1 - p1+p2 j P <*< 1 - i- j- 3)=1}-

p2^' iI а*"!-3 (1 - p1+p2 )j • p & t - i - j -2 ) = 1}-

(1 - 2 • p1) i=0 j=0

(1 - p)2 i=t-3 j=t-i-3, ■

тКл•I p I (1 -p1 + p2j Pt-i-j--) ='}-

3 - 2 • p1) i=0 j=0

p2 • (, - p )2 k=t-1 i=t-k-4 j=t-k-i-4. . j

p2-1!^•I pk I pi I (1 - p1 + p2 )J • p{ü(t - i - j - 4) = 1}

(1 - 2 • p1) k=0 1=0 j=0

p2 •(1 - p )2 k=t-1 i=t-k-4 j=t-k-i-4 ■

•I pf I pi I (1 - p, + p2 )J • p{ü(t -1 - j - 3) = 1}

(1-2 • p,) k=0 i=0 j=0 v 7

(,-p )3 k=t-1 i=t-k-4 j=t-k-i-4 ^

•Ip? I pi I (1-p, + p2jP{§(t-i-j-2) = 1}

• (1 2 • p1 ) k=0 i=0 j=0

= 1} +

+

(i-p)2 kk i=^k-4 i j=t-vi-Vi -гтртЧ^ p^ I p1 • I (1-p, + pi

3 •(1-2 • p,) k=0 i=0 j=0 v

2)j • P {£( t-i-j-i) = 1}.

3

Осуществляя предельный переход, вновь получим совпадение одномерного закона распределения вероятностей исходного и генерируемого процессов.

Таким образом, и в случае п = 3 одномерный закон распределения случайного процесса ^ е Т} при сходится к одномерному закону распределения вероятностей исходного случайного процесса [ц@), ^ е Т}.

Случай п - любое целое > 3

Суть схемы доказательства сохранения закона распределения вероятностей при применении рассматриваемой перестановочной процедуры генерирования бернуллиевского случайного процесса состоит в определении рекуррентных соотношений, связывающих вероятности всех возможных состояний процесса и вектора 11(1:) с аналогичными вероятностями, найденными для прошлых моментов времени. Затем выявляются зависимости вероятностей, описывающих возможные состояния вектора 11(1:) через другие, меньшей размерности,

вероятности этого вектора 11(1:). В конечном итоге задача состоит в получении рекуррентных соотношений, связывающих распределение генерируемого процесса в прошлые моменты

времени. Предельные переходы для этих соотношений и приводят к выводу о том, что при одномерный закон распределения случайного процесса №), t е 7} сходится к одномерному закону распределения вероятностей исходного случайного процесса {t е 7}. Очевидны те исключительно технические трудности, с которыми мы сталкиваемся при определении зависимостей типа

Pт (0, ... , 0) = ф1 [ РК(т)=0}, Р^(т)=1} ], PT (1, ... , 1) = ф2 [ Р{«т)=0}, РК(т)=1} ], T > 3, Pт (0, ... , 0) = Р{щ(т+1)=0, ... , ^-1(т+1)=0} ],

к=п - 2

Pт (1, ... , 1) = Р{щ(т+1)=1, ... , и,ц(т+1)=1} ], T = t - ! 1к,

к=0

где ф1, - некоторые функции, по смыслу аналогичные функциям ! ] из [1]. Анализируя рекуррентные соотношения (1), можно заключить, что

, ч 1о =п -1 . 11=1-1о . 12 =1-1о-11 . 1п-1 =Т .

Р{£(1) = о} = А(р0) + Ро • ! р1о ! р0 ! Р02... ! Р0п-1 • Рт(0,...,0),

1о =0 11 =0 12 =0 1п-1=0

(10)

/ Ч 1о =п-1 . 11=1-1о . 12 =1-1о-11 . 1п-1 =Т .

Р{£(1) = 1} = в(р1) + Р1 • ! р0о ! Р11 ! р1°... ! р1п-1 • Рт(1,...,1),

1о =0 11=0 12 =0 1п-1=0

где n - параметр перестановочной процедуры, A(p^ j,B(p| j - полиномы, зависящие, соответственно, от p0 и p1, и для которых limA(p0 j = limB(p1 j = 0.

t—w * ' t—w ^ '

Из (9) и (10) ясно, что P{£(t)=0}=po и P{£(t)=1}=p1 только в том случае, если

1

Pt (0, ... , 0) = PT (1, ... , 1) = -.

n

При n = 2 получаем

lim Р{щ (t) = 0} = lim P{u2 (t) = l} =1,

t —w t —w 2

при n = 3 из (9)

lim р{щ (t) = 0; щ (t) = 0} = lim р{щ (t) = 1; щ (t) = l}=1.

t—t—3

Из (1) находим

limP{uj(t) = 0;u2(t) = 1} = p0, limP{ui(t) = 1;u2(t) = 0} = pj.

t—w 3 t—w 3

P0 ^_nl_Pi

д2(1) = j} = При n = 4 можно получить

limP{u1(t) = 0;u2(t) = 0;u3(t) = 0} = lim P {u1(t) = 1;u2(t) = 1;u3(t) = l} =

t—w v ' t—w v 4

P±

4

P1

4

lim P {u 1 (t) = 0; u 2 (t) = 1; u 3 (t) = 0 } = lim P {u 1 (t) = 1; u 2 (t) = 0; u 3 (t) = 1} = 0.

lim P {u 1 (t) = 0; u 2 (t) = 0; u 3 (t) = 1} = lim P {u 1 (t) = 0; u 2 (t) = 1; u 3 (t) = 1} =

t—w v ' t—w v 4

lim P {u 1 (t) = 1; u 2 (t) = 0; u 3 (t) = 0 } = lim P {u 1 (t) = 1; u 2 (t) = 1; u 3(t) = 0} =

t—w ' t—w 4

t—w t—w

Отсюда ясно, что и для любого n

1

Pt (0, ... , 0) = PT (1, ... , 1) = -.

n

Заметим, что самостоятельным и интересным вопросом является исследование

свойств вектора U(t). Выводы

Таким образом, были рассмотрены подходы к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных процессов с одновременно задаваемыми законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией. Ранее в [1] проведены исследования данного класса генераторов при простейшем (бернуллиевском) законе распределения и минимальном значении параметра упорядочения n = 2. В статье представлены возможные направления анализа при параметре упорядочения n > 2 и произвольных законах распределения вероятностей.

Статья поступила 10.12.2015 г.

Библиографический список

1. Петров А.В. Вероятностный анализ процедуры скользящего упорядочения бинарного случайного процесса. Иркутск, 1989. 37 с. Деп. в ВИНИТИ 19.12.1989, № 7988-889.

УДК 681.5

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРУБЧАТОГО ТЕПЛООБМЕННОГО АППАРАТА © О.А. Тишин1, А.А. Силаев2, Е.Ю. Силаева3

Волжский политехнический институт (филиал) Волгоградского государственного технического университета, 404121, Россия, Волгоградская область, г. Волжский, ул. Энгельса, 42а.

Получена динамическая модель трубчатого теплообменного аппарата, которая может быть применена: для моделирования теплообменных аппаратов с вариацией параметров и характеристик теплообменного процесса; для нахождения оптимальной траектории для задания температуры на выходе из теплообменного аппарата; в системах автоматического управления для определения параметров регулятора температуры жидкости на выходе из теплообменного аппарата. Структурная схема модели имеет три блока, каждый блок описан дифференциальным уравнением на основе закона сохранения энергии. Модель теплообменного аппарата приведена в матричном виде для удобства решения методом Эйлера. Анализ результатов моделирования системы теплообменного аппарата показал, что система устойчива и наблюдаема.

Ключевые слова: очистка газовых выбросов; моделирование теплообменного аппарата; температура теплоносителя; расход теплоносителя; метод Эйлера; критерий управляемости Калмана.

A TUBE HEAT EXCHANGER DYNAMIC MODEL O. A. Tishin, A.A. Silaev, E.I. Silaeva

Volzhsky Polytechnic Institute (branch) of the Federal State Technical University, 42a Engels St., Volzhsky, Volgograd region, 404121, Russian Federation.

A dynamic model of the tube heat exchanger has been obtained. It can be used to simulate heat exchangers with varied parameters and characteristics of the heat exchange process; to find the optimal trajectory for setting the temperature on

1Тишин Олег Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры химии, технологии и оборудования химических производств, e-mail: toapri@yandex.ru

Tishin Oleg, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Chemistry, Technology and Equipment for Chemical Production, e-mail: toapri@yandex.ru

2Силаев Алексей Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики, электроники и вычислительной техники, e-mail: aa_silaev@mail.ru

Silaev Aleksei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automation, Electronics and Computer Engineering, e-mail: aa_silaev@mail.ru

3Силаева Елена Юрьевна, старший преподаватель кафедры автоматики, электроники и вычислительной техники, e-mail: vesna_son@mail.ru

Silaeva Elena, Senior Lecturer of the Department of Automation, Electronics and Computer Engineering, e-mail: vesna_son@mail.ru