О систематизации вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры

Петров Александр Васильевич

Оригинальная статья / Original article УДК: 519.233.5

DOI: 10.21285/1814-3520-2016-12-119-128

О СИСТЕМАТИЗАЦИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СВОЙСТВ КОМПОНЕНТОВ БИНАРНОЙ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ ПРОЦЕДУРЫ

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Целью исследования является нахождение методов оценивания нелинейных вероятностных зависимостей. МЕТОДЫ. Основные методы исследования - теоретический вероятностный анализ и численные методы. РЕЗУЛЬТАТЫ. Рассматривается перестановочная процедура генерирования бинарного случайного процесса. Особое внимание уделено рассмотрению и систематизации вероятностных свойств компонентов перестановочной процедуры. Проведено обобщение полученных результатов - законов распределения и автокорреляционных функций компонентов процедуры. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Перестановочная процедура генерирования бинарного процесса обеспечивает возможность генерирования случайных процессов с разнообразными вероятностными свойствами.

Ключевые слова: бинарный случайный процесс, характеристики взаимосвязи, генерирование, моментные функции, корреляция, метод вычисления.

Формат цитирования: Петров А.В. О систематизации вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. Т. 20. № 12. С. 119-128. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-12-119-128

ON SYSTEMATIZATION OF THE PROBABILISTIC PROPERTIES OF BINARY PERMUTATION PROCEDURE

COMPONENTS

A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University,

83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.

ABSTRACT. PURPOSE. The purpose of the study is to find the estimation methods for nonlinear probabilistic dependences. METHODS. The main research methods are theoretical probabilistic analysis and numerical methods. RESULTS. Consideration is given to the permutation procedure of generating a binary random process. Specific attention is paid to the examination and systematization of the probabilistic properties of permutation procedure components. The obtained results - distribution laws and autocorrelation functions of the procedure components - are generalized. CONCLUSION. Permutation procedure of binary process generation provides the possibility of generating random processes with various probabilistic properties.

Keywords: binary random process, relationship characteristic, generation, momentary functions, correlation, calculation method

For citation: Petrov A.V. On systematization of the probabilistic properties of binary permutation procedure components. // Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, vol. 20, no. 12, pp. 119-128. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2016-12-119-128

Введение

Рассмотренная в [1-4] процедура генерирования бинарного случайного процесса в случае двумерного вектора претендентов характеризуется присутствием определенного набора механизмов, кото-

рые по сути и формируют корреляционные зависимости. Для отыскания этих механизмов и лучшего понимания их функционирования необходимо систематизировать вероятностные свойства компонентов вектора

1

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: [email protected]

Alexander V. Petrov, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: [email protected]

information Science, Computer Engineering and Management

претендентов и генерируемых случайных процессов. В основу этой систематизации необходимо положить вероятностные свойства генерируемых случайных процес-

Предыстория возникнове

Проблема создания источников случайных цифр (чисел) была сформулирована довольно давно. И традиционно для развития научного процесса этап эйфории сменился этапом застоя и, наконец, наступило время планомерного развития. Первые применения случайных чисел связаны с методом Монте-Карло и не предъявляли особых требований к вероятностным свойствам генерируемых чисел. С появлением более сложных прикладных задач были разработаны методы генерирования гаус-совски распределенных случайных чисел с требуемой корреляционной зависимостью. И, наконец, в 1963 году М. Пелегреном [5] была сформулирована задача генерирования случайных чисел с одновременно задаваемыми законом распределения вероятностей и автокорреляционной зависимостью.

Существует много подходов к построению источников случайных цифр (чисел). В основном они связаны с техникой математических преобразований. Эти преобразования реализуют целенаправленные пересчеты исходных случайных чисел с простейшими вероятностными свойствами по специально сконструированным правилам, обеспечивающим получение требуемых вероятностных свойств. (Простейшими будем считать свойства равномерного распределения и некоррелированности генерируемых цифр).

Поставленная М. Пелегреном задача наглядно показала, что практически невозможно найти такие универсальные методы пересчета, которые бы позволили одновременно получать и заданный негаус-совский закон распределения вероятностей, и требуемую автокорреляционную функцию. Решение этой проблемы иным способом было найдено в Иркутском политехническом институте Е.И. Поповым и

сов: одномерные законы распределения вероятностей и автокорреляционные функции.

перестановочных процедур

Г.П. Хамитовым [6]. Правомочность и результативность такого подхода были независимо подтверждены и другими учеными [7, 8].

Суть этого подхода состоит в том, что, в соответствии с определением, автокорреляционный момент

Кх (г,г") = М [(Х(г') - тх ) • (Х(г") - тх )]

зависит как от величины X, так и от их расположения - г' и г". Этот факт был учтен при конструировании различных алгоритмов перестановки (упорядочения) значений случайного процесса. Сам вид правил перестановки определял форму автокорреляционной функции.

Перестановочная технология обладает широкими функциональными возможностями, легко трансформируется для генерирования многомерных случайных процессов и полей и исключительно технологична в использовании. В качестве недостатка следует назвать практическую невозможность точного задания значений автокорреляционных моментов. Последнее вряд ли следует признать существенным в силу того, что базовой сферой применения генераторов случайных чисел является численные имитационные эксперименты. А в последних одним из основных принципов их построения являются соизмеримость точности задания исходных данных, точности внутренних расчетов в имитационной модели и точности представления результатов. Разнообразие же перестановочных процедур обеспечивает возможность наиболее приемлемого варианта, включая и приемлемость по точности воспроизведения автокорреляционной зависимости.

Для того чтобы эффективно применять перестановочные процедуры, необходимо для них сформировать обоснованное понимание механизмов генерирования

случайных чисел с требуемыми законом распределения вероятностей и автокорреляционной зависимостью.

В качестве начального объекта изучения был избран простейший вариант перестановочной процедуры и элементарно простой бинарный закон распределения вероятностей. Проведенные исследования, опубликованные в [1-4], показали верность выбранного пути исследования.

Идея перестановочных процедур из [1-4, 6, 9] достаточно проста: генерируется реализация некоррелированного случайного процесса {Х(г),г е т},т = {0,1,..}, имеющая сразу же требуемый законом распределения вероятностей. Методы такой генерации широко известны. Например, метод обратных функций.

Затем значения этой реализации подвергаются перестановкам по избранному исследователем правилу. Это правило и определяет величину и вид автокорреляционной зависимости. Очевидно, что правило перестановки не должно разрушать такие фундаментальные свойства случайных процессов, как стационарность и отсутствие периодических составляющих. По этой причине не подходит простейшее ранжирование значений реализации исходного процесса.

На начальном этапе в качестве правила перестановок выбиралась физически обоснованная «минимизация модуля первой разности», к примеру. Испытывались и другие критерии сравнения. Часть из них дала результат - вводилась зависимость по форме автокорреляционной функции, совпадающая с минимизацией или максимизацией расхождения между предыдущим прогенерированным значением и выбираемым из реализации исходного процесса. Но в большинстве иных способов сравнения был получен относительно отрицательный результат - автокорреляционные коэффициенты не отражали зависимость. Относительность неудач этого вида состоит в том, что перестановки вносят зависимость, которую мы просто не умеем выявить и оценить.

Дальнейшие усилия исследователей (включая автора) были направлены на расширение функциональных возможностей перестановочных процедур. Предложены и экспериментально обоснованы возможности генерирования процессов с экспоненциальной автокорреляцией, периодически коррелированных и взаимно коррелированных процессов, многомерных процессов и полей с введением корреляции между их реализациями. Появились и возможности существенного увеличения количества управляющих введением корреляции параметров.

Следует признать, что наращивание функциональных возможностей перестановочной технологии существенно расширило сферы их применения, но не приблизило к математически описываемому пониманию сути перестановочных процедур.

В работе [9, с. 110-125] предпринята попытка описать функционирование перестановочной процедуры для бинарного случайного процесса. При этом автор конструирует специальную процедуру перестановки («скользящее упорядочение»), в которой введено понятие управляющего процесса. Очевидна полезность предложенной модели «скользящего упорядочения» для понимания процессов введения корреляционных вероятностных свойств. К сожалению, этот опыт оказался не востребованным в силу того, что носит достаточно абстрактный характер и пытается охватить все: от моделей разрушения зависимостей («скользящее перемешивание»), через модель искусственного увеличения объема выборки («имитаторы») до воспроизведения случайного процесса с заданными вероятностными свойствами («генерация»).

Таким образом, подход, изложенный в [9], является оригинальным и позволяет исследовать процесс перестановок как некую систему «участников» процедуры генерирования, не отягощенную стремлением отыскать смысловые аналогии с реальными физическими процессами.

information Science, Computer Engineering and Management

Систематизация вероятностных свойств

Пусть дан случайный процесс {Х(г),г е Т},Т = {0,1,..}, имеющий сразу

же требуемый в генерируемом процессе законом распределения вероятностей

Р {Х(г) = ]} = р, Р {Х(г) = 0} = q, р+я=1. Формируется двумерный вектор претендентов и(г) = {и](г),и2(г)}, который при запуске процедуры есть

ЩГ) = {Х(1),Х(2)}, а ¥(0) = Х(0), где {У(г),г е Т} - генерируемый бинарный процесс.

В соответствии с правилом перестановок Р один из компонентов вектора и(1) становится следующим генерируемым значением У(1). Вектор и(1) обновляется до состояния и(2) таким образом, что оставшийся компонент вектора претендентов всегда становится первым из компонентов вектора претендентов, а второй компонент - это очередное значение исходного случайного процесса {Х(г)}. Такое правило обновления вектора претендентов используется во всех перестановочных процедурах, но без закрепления за оставшимся компонентом первой позиции, что, впрочем, не отражается на результатах генерирования.

Далее работа с вектором и продолжается до получения необходимого объема генерируемой выборки.

В случае генерирования бинарного случайного процесса количество вариантов правил й равно 16-ти для двумерного вектора претендентов. При этом практически невозможно определить количество реальных механизмов (вида «минимизация модуля первой разности»), которые подпадают под какое-либо из 16-ти правил й.

Как отмечалось в [1-4], каждое правило й определяется четырьмя функциями вида

P {Y( t) = kl,ul(t +1) = k2,u2(t +1) = k3] = = P {Y(t) = kl,ul(t +1) = k2]x

xP {X(t +1) = k3 ]= (1)

= P {Y( t) = kl,ul(t +1) = k2\Pk3 =

= Pt {kl,k2YPk^ kl,k2,k3 =0,L

Выражение (1) можно представить в виде четырех функций:

Pt (0,0 ) = fl Г Pt-i ( kl,k2 )• pk

(2)

Pt (0,1) = f2 ГPt-1 (kl,k2)• Pk

Pt (1,0) = f3 ГPt-1 (kl,k2)• Pk,

Pt (1,1) = f4 ГPt-1 (kl,k2)• Pk

Особенностью такой перестановочной процедуры является идентичность функций /1 и /4 во всех 16-ти вариантах

правил й. Эти функции всегда зависят только от определенных комбинаций из (2) и не могут выглядеть иначе как:

Р (0,0 ) = (1 - р) ■ р-1 (0,0) +

+(1 - р) ■ Р-1 (1,0), (3)

Р (1,1) = р ■ р -1 (0,1) + р ■ р -1 (1,1),

где р {Х(г) = 1} = р, Р {Х( г) = 0} = д,

р+Я=1.

Функции /2 и /3 формируются всеми возможными комбинациями неиспользованных в (3) элементов р■ (0,0);

(1 -р) ■ Р-1 (0,1); р ■ Р-1 (1,0);

(1-р) ■ Р-1 (1,1).

В табл. 1 приведены возможные комбинации функций /1 - /4.

¡0Й| Information Science, Computer Engineering and Management

Функции f1 - f4. Functions f1 - f4. Таблица 1 Table 1

Вариант Option Выражение Pt(*,*) Expression Pt(*,*)

1 Pt(0,0 = q*Pt-1 (0,0)+q*Pt-1 (1,0)

Pt(0,1 = p*Pt-1(0,0)+q*Pt-1 (0,1)+p*Pt-1 (1,0)+q*Pt-1 (1,1)

Pt(1,0 = 0

Pt(1,1 = P*Pt-1 (0,1)+p*Pt-1 (1,1)

2 Pt(0,0 = q*Pt-1 (0,0)+q*Pt-1 (1,0)

Pt(0,1 = 0

Pt(1,0 = p*Pt-1(0,0)+q*Pt-1 (0,1)+p*Pt-1 (1,0)+q*Pt-1 (1,1)

Pt(1,1 = P*Pt-1 (0,1)+p*Pt-1 (1,1)

3 Pt(0,0 = q*Pt-1 (0,0)+q*Pt-1 (1,0)

Pt(0,1 = p*Pt-1 (0,0)+q*Pt-1 (0,1)

Pt(1,0 = p*Pt-1 (1,0)+q*Pt-1 (1,1)