CC BY
28
Оригинальная статья / Original article УДК 519.233.5
http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-1 -89-99
МЕТОД ГЕНЕРИРОВАНИЯ ДВУМЕРНОГО БИНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА © А.В. Петров1
Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Целью исследования является нахождение новых и модернизация известных методов генерирования случайных процессов с заданными статическими (закон распределения вероятностей) и динамическими (корреляционная функция) вероятностными свойствами. МЕТОДЫ. Основными методами исследования являются методы теории вероятностей, математической статистики и численные методы. РЕЗУЛЬТАТЫ. Объектом исследования является перестановочная технология генерирования случайных процессов с одновременно задаваемыми законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией. Данная технология проста в программной реализации, обладает высоким быстродействием и позволяет вводить требуемые вероятностные свойства с точностью их отражения, достаточной для инженерного применения (например, в имитационном моделировании). В качестве закона распределения вероятностей генерируемого процесса принят бернуллиевский (бинарный) закон. Проведенный анализ вероятностных свойств поведения компонентов перестановочной процедуры позволил выявить новые, ранее неизвестные функциональные возможности данного метода генерирования случайных процессов. Систематизированы вероятностные свойства (законы распределения вероятностей и автокорреляционные функции компонентов вектора претендентов) в зависимости от математически обоснованного варианта перестановок. Исследованы два варианта перестановочного метода, позволяющие генерировать периодически коррелированный бинарный процесс, и обосновано, что эти варианты одновременно обеспечивают возможность генерирования двумерного бинарного случайного процесса. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Проведение теоретических исследований позволило расширить функциональные возможности перестановочной процедуры генерирования бинарного случайного процесса за счет возможности генерирования двумерного случайного бинарного процесса.
Ключевые слова: теория вероятностей, случайные процессы, генерирование, закон распределения вероятностей, автокорреляционная зависимость, перестановочная технология.
Формат цитирования: Петров А.В. Метод генерирования двумерного бинарного случайного процесса // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 1. С. 89-99. DOI: 10.21285/1814-35202018-1-89-99
METHOD OF TWO-DIMENSIONAL BINARY RANDOM PROCESS GENERATION © A.V. Petrov
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russian Federation
ABSTRACT. The PURPOSE of the study is search for new and modernization of known generation methods of random processes with specified static (probability distribution law) and dynamic (correlation function) probabilistic properties. METHODS. The main research methods used in the study are the probability theory, mathematical statistics and numerical methods. RESULTS. The object of the study is a permutational technology of random process generation with a simultaneously specified probability distribution law and an autocorrelation function. This technology is simple in software implementation, has high response speed and allows to introduce the required probability properties with the accuracy of their reflection, sufficient for engineering applications (e.g. in simulation modeling). The Bernoulli (binary) law is taken as a law of probability distribution of the generated process. The conducted analysis of the probabilistic properties of the behavior of the permutation procedure components has resulted in the identification of new, previously unknown functional capabilities of this method of random process generation. Probabilistic properties (probability distribution laws and autocorrelation functions of the candidate vector components) are systematized depending on a mathematically justified permutation variant. The study is given to two variants of the permutational method that allows to generate a periodically correlated binary process. It is proved that these variants simultaneously provide the possibility to generate a two-dimensional binary random process. CONCLUSION. Conducted theoretical studies allowed to expand the functionalities
1
Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: [email protected]
Alexander V. Petrov, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: [email protected]
of the permutational procedure of binary random process generation due to the possibility to generate a two-dimensional random binary process.
Keywords: probability theory, random processes, generation, law of probability distribution, autocorrelation dependence, permutation technology
For citation: Petrov A.V. Method of two-dimensional binary random process generation. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 1, pp. 89-99. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2018-1-89-99
Введение
Закон распределения вероятностей (ЗРВ) является наиболее важной, обобщающей все свойства характеристикой в теории вероятности. Выражая математически (например, функцию распределения вероятностей ЗРВ), можно почти всегда вычислить функциональные числовые характеристики, отражающие те или иные вероятностные свойства. Здесь следует оговориться, что существуют формальные математические описания (например, начальные и центральные моменты более 4 порядка), которые не отражают какие-либо вероятностные свойства. В этом случае недостаточно объема знаний для понимания и объяснения такого рода взаимосвязи «вероятностной характеристики» - конкретного свойства случайного явления.
Количество законов распределения вероятностей не ограничено, и всегда можно создать формулу, которая удовлетворяет свойствам, допустим, плотности распределения вероятностей. Но, если за этим нет реально существующего вероятностного явления, то это не плотность распределения вероятностей, а просто формула.
Имеет место традиционное разделение ЗРВ на дискретные и непрерывные. Именно так и описываются законы распределения в справочной и учебной литературе [1-4].
Но возможны и другие признаки классификации.
Ниже рассматривается самый простой и, в то же время, самый вероятностный закон распределения - бернуллиевский (или бинарный). Теория вероятностей изучает случайные явления. Они могут появиться с различной вероятностью, что и порождает закон распределения вероятностей. Но, если смотреть не на числовое или какое-либо иное отражение случайности, а на сам факт появления или непоявления случайности, то бернуллиевский ЗРВ как раз и описывает такой наиболее простой вероятностный объект. Итак, случайная величина X распределена по бернуллиевскому закону распределения вероятностей, если она принимает одно из двух возможных значений с вероятностью p и другое, противоположное значение с вероятностью q, равной 1-p.
Основу этого случайного явления составляет так называемая первая схема независимых испытаний [3-4]. Производится одно испытание, в котором случайное событие А происходит с вероятностью p и не происходит с вероятностью q. Факт появления или непоявления можно обозначить по-разному (обычно это единица и ноль соответственно). Отсюда и второе название этого ЗРВ - бинарный.
Перестановочная процедура
Очевидно, что существует множество задач, когда исследователю необходимо иметь инструменты, позволяющие воспроизводить последовательность (реализацию) нулей или единиц, отражающих факты появления или непоявления случайного явления. Если речь идет о независимой реализации бинарной случайной величины, то задача генерирования такой реализации достаточно проста. В этом случае от источника первичной случайности [5] (таблицы случайных цифр, датчики случайных чисел) или с помощью методов воспроизведения псевдослучайных чисел извлекаются некоррелированные, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 числа и, если каждая из них меньше вероятности p, то тогда считается, что случайная величина принимает значение 0. В противном случае полученное число не меньше
p (случайная величина Х), оно принимает значение 1.
Если же необходимо генерировать коррелированную реализацию случайной бинарной величины Х, то задача существенно усложняется.
В [6-12] представлена перестановочная технология генерирования коррелированных реализаций случайной величины с бинарным (бернуллиевским) законом распределения вероятностей. По своей сути это исключительно простая по реализации процедура воспроизведения случайных чисел, имеющих необязательным бинарное, а произвольное распределение и требуемую автокорреляционную функцию (АКФ).
Суть этого способа введения автокорреляционной зависимости основана на использовании одного из двух факторов, определяющих значений корреляционного момента
Кх,,х,+Х (г, 1) = М (X • X) -М(х1) ■ ) (1)
и коэффициента корреляции
г (х)_ К xt+т (t ,т) _M i xt ■ xt+т)-M(xt) ■ M(xt+т ) _
,xx ( т) =
+т G(xt) ■G(xt+т ) G(xt) ■G(xt+т )
Обе эти вероятностные характеристики отражают линейную вероятностную взаимосвязь между двумя значениями х, и х1+т реализации случайного процесса {X(г), г еТ},
Т = {0,1,...} На результат их вычисления и, следовательно, на форму и вид корреляционной
зависимости оказывают влияния два фактора - как таковые значения х и х реализации
случайного процесса и их расположение относительно друг друга (величина т).
Попытки создания метода генерирования реализаций случайных процессов с одновременно заданными законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией, основанного на изменении самого значения, не привели к какому-либо приемлемому результату, так как требовалась существенная аналитическая работа, которая не всегда могла быть успешно осуществлена. Причина в том, что, изменяя значения случайного процесса {Х(г), г е Т}, исследователь автоматически изменяет и ЗРВ и АКФ. Поэтому в данном случае
необходимо так подобрать один или несколько последовательно осуществляемых пересчетов значений х,, чтобы получить требуемый результат - одновременно заданные ЗРВ и АКФ.
Перестановочные технологии заключаются в изменении порядка следования значений случайного процесса {X(г), г еТ} без воздействия на их величину23 [5]. Это приводит к воспроизведению требуемого ЗРВ, для чего достаточно воспользоваться методами генерирования некоррелированных реализаций случайных процессов с заданным ЗРВ. А вот соответствующим образом подобранное правило перестановки обеспечит введение заданной по форме и величине АКФ [5]. Конечно, это не аналитически точно воспроизводящий значения
2
Кузнецов Б.Ф. Модели и методы анализа погрешностей измерительных систем при оценке эффективности АСУТП в нефтехимической промышленности: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06. Иркутск, 2009. 350 с. / Kuznetsov B.F. Models and methods for measurement system error analysis when evaluating automated process control system efficiency in petrochemical industry: Candidate's Dissertation in technical sciences: 05.13.06. Irkutsk, 2009, 350 p.
3Бучнев О.С. Перестановочные методы генерирования случайных процессов с требуемыми статистическими
свойствами: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. Иркутск, 2010. 155 с. / Buchnev O.S. Permutational generation meth-
ods of random processes with required statistical properties: Candidate's dissertation in tec hnical sciences: 05.13.18.
Irkutsk, 2010, 155 p.
АКФ метод, но воспроизводить форму и близкие к заданным значения АКФ он позволяет. А простота его программной реализации обеспечивает высокое быстродействие и технологичность применения при выборе численных методов (имитационного моделирования) как инструмента изучения систем различной природы и назначения.
В [6-13] рассматривается простейший вариант такой перестановочной процедуры генерирования бинарно распределенных чисел при размерности вектора претендентов, равной двум. В этом случае показано, что возможно только 16 способов математически обоснованных перестановок, хотя при программной интерпретации перестановочных алгоритмов может быть предложено значительно больше. Это обусловливает необходимость разработки методики, которая установила бы соответствие между формально описанными вариантами перестановок и возможными способами их алгоритмической и программной реализации.
В табл. 1 и 2 приведены законы распределения вероятностей и автокорреляционной функции компонентов щ и щ двумерных векторов претендентов. В данной статье особое
внимание уделено двум вариантам (8 и 13), результат исследования которых изложен ниже.
В табл. 1 и 2 использованы следующие обозначения:
p = P{ X = 1},
X = y¡2 • p • (1 - p),
y=V p •(1-p),
- биномиальный коэффициент,
Tn(• ) - полином Чебышева 1-го порядка,
Un(• ) - полином Чебышева 2-го порядка,
[•] - целая часть числа,
0, если t - четное,
1, если t - нечетное,
1, если t - четное, О, если t - нечетное,
Po i-;i) = p,
Pi i-;l) = p •(l - p • (l - p)).
Законы распределения вероятностей Laws of probability distribution
Таблица 1 Table 1
Вариант I Variant
Компонент
ui, t ^œ J
Component
ult t ^œ
Компонент щ / Component u
p - p • i1 - p)t
= p
t ^œ>
p + p • i1 - p )t
t ^œ>
= p
0,5
p^ ! 1 - (1 - p)• (1 - 2- p)- i х)2~2 •Ut_lГ 1
p^ \l - (1 - p)• (1 - 2- p)- i х f-2 U
t-l
2^x y 2^x
= P
t ^œ
JL
p2
1 - 2pq
p•i1 - p) + P2
t-2-a
t-3-a'
j=j 2 i X2j - i x2j
к
j=0
j=0
+p •xt •{xa •(i-a•(l-p)(l-2^p))}-' •{xail-a4l - pHl - 2^p))}
-x2-a •{.x
t ^œ
= p
2 - p
p - p •(l - p)t+1 •i z )t-1U -
2^z
= p
t^œ
10
1-pq
p +
ËLI^LI y-a- y-a'-l
i y "a- y "a'-l )
+
+y "a' •i y-a' • Pa '(-;l) - y Pa (-;l))
=p
t ^œ
11
1 + (1-p)2^
t+3
1 + (1-p) • pa
j=
t+2
i (-1У j=0
г t - j+2 Л
2
j
•p
j+1
•il - p )J
= p
t^œ
1
1
2
1
3
4
5
6
p
p
7
p
8
1
9
3
p
<
0
12
1 + p
p •
1 + (-1)а •( p)t+а+1 • z"(t+а+1) •
• г* sin\ — 12 (1 -« ) + (t + а -l) • г l ^ arcsin\ - 12-- -1J
cos г • г arcsin I 1 Y
2^z -1 JJ
= p
t ^œ
13
1-pq
.t-2
p •il +
y
1 - y2
•( у"«- y "«'-l I+
<'-1 ).
+yt-2 •(у"«'-1 •p« '(-;l) - у "« • p« (-;l))^= p
14
p • J1 + ( y )t+lUt-l
l
2-y J
= p
t^œ
15
1 -pq
2 -а
p+■( y «- y «'-l )+
l - y2 v '
+y "«' •( y "«'•P« '(-;l) - у "«• P« (-;l))
t ^œ
=p
16
p^ J1 + (1 - p)2 ( y )t-l Ut -
l
J
= p
t^œ
Автокорреляционные функции Autocorrelation functions
Таблица 2 Table 2
Вариант / Variant
Компонент u / Component u
Компонент w2, r> О / Component и2, r> О
<
P
P
О
2
P
1
1
О
2
О
-p^(l-p)• (x).-3 • U.
3
2^x
(-1).
( x )
.+1
2^(1 - x2)
(-1)'
( x )
'+1
2^(1 - x2)
p '• z-(
2 - p
zU
'-2
2-z
+ U.
'-3
2^z
3
4
0
5
0
б
0
7
0
8
8
9
1О
11
13
2( t-1)
1 - y2
14
15
1-1
(-l)1^
l - y2
16
О
О
О
О
Периодически коррелированные случайные процессы
В соответствии с публикациями [14-16], случайная последовательность хп,п = 0,±1,±2,... называется периодически коррелированной, если М|хп|2 < от для всех п и существует целое Ттакое, что при любых п и т
Мхп = Мхп+Т ; (3)
Мхп • хп+т = Мхп+т • хп+т+Т ■ (4)
Число Т в этом случае называется периодом последовательности хп■
Следует отметить, что периодически коррелированные процессы применяются при исследовании случайных явлений в гидродинамике [17] при прогнозировании временных рядов [18] и в других областях.
Равенство автокорреляционных моментов (см. варианты 8 и 13 табл. 2) компонента их при Т = 1,2 свидетельствует о том, что выполняется условие (4) и данная АКФ является отражением динамических свойств периодически коррелированных с периодом Т = 2 случайных процессов. На основании теоремы 1 из [14] следует, что в этом случае мы имеем дело с Т-мерной стационарной случайной последовательностью.
В табл. 3 приведен двумерный закон распределения вероятностей бинарного случайного процесса, генерируемого с помощью перестановочной процедуры (вариант 15 табл. 3), а в табл. 4 представлен тот же ЗРВ в финальной форме.
Таблица 3
Двумерный ЗРВ бинарного случайного процесса (вариант 15)
Table 3
Two-dimensional probability distribution law of a binary random process (variant 15)
u2\ 0 1
0 q^Pt(-,0) VPÁ-; 1)
1 VPÁ-; 1)
Таблица 4 Финальный двумерный ЗРВ бинарного случайного процесса (вариант 15) Table 4 Final two-dimensional probability distribution law of a binary random process (variant 15)
u2\ 0 1
0 q2 1-pq 2 qp2 1-pq
1 q2 q^Pœi-; 0) = ^— 1-pq 2 qp2 1-pq
Выводы
Таким образом, перестановочная процедура генерирования бинарного случайного процесса с двумерным вектором претендентов обеспечивает воспроизведение бинарного процесса с ранее исследованными в [6] свойствами. В этом случае генерируемый процесс сохраняет закон распределения исходного случайного процесса для второго компонента. Первый же компонент генерируется в зависимости от варианта перестановок и основном отличный от бинарного закона распределения вероятностей. Но полученные при этом аналитические выражения вероятности появления единицы в этом новом законе распределения выражены через вероятности единицы исходного бинарного процесса. Последнее обеспечивает возможность обратного пересчета с целью получения на выходе перестановочной процедуры требуемого бинарного закона распределения первого компонента вектора прецедентов. При этом автокорреляционные функции обоих компонентов весьма разнообразны: дельтаобраз-ные, гладкие и знакопеременные экспоненциально-косинусные, экспоненциальные и иные, весьма экзотические для некоторых вариантов перестановок. Важно, что для первого компонента вектора претендентов в двух случаях генерируется периодически-коррелированный
процесс, который является одновременно двумерным случайным процессом, что демонстрирует потенциальные возможности перестановочных технологий генерирования случайных процессов с одновременно заданным законом распределения вероятностей и автокорреляционной зависимостью.
Библиографический список
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1981. 721 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения; в 2 т.; пер. с англ. М.: Наука, 1984. 1280 с.
4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 8-е изд., испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2005. 448 с.
5. Петров А.В. Моделирование процессов и систем. СПб.: Лань, 2015. 288 с.
6. Петров А.В. Основы теории полиномиальных стохастических взаимосвязей. Иркутск: Изд -во ИРНИТУ, 2016. 170 с.
7. Петров А.В. О подходах к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных процессов // Вестник ИрГТУ. 2016. № 2 (109). С. 29-38.
8. Петров А.В. Моментные функции бинарного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 9. С. 65-73. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-65-73
9. Петров А.В. Новые функциональные возможности перестановочной процедуры генерирования бинарного случайного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 10. С. 119-127. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-119-127
10. А. с. № 2017610908. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, Российская Федерация. Расчет вероятностей компонентов перестановочной процедуры / А.В. Петров; правообладатель: ФГБО ВО «Иркутский национальный исследовательский технический университет»; заявл. 20.09.2016; опубл. 18.01.2017.
11. Петров А.В. К вопросу анализа вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 11. С. 102-109. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-11-102-109
12. Петров А.В. О систематизации вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 12. С. 119-128. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-12-119-128
13. Polge A.J., Holliday E.M., Bhagavan B.K. Generation of a pseudo-random set with desired correlation and probability distribution. Simulation, 1973. К1о. 5. P. 138-158.
14. Гладышев Е.Г. О периодически коррелированных случайных последовательностях // Доклады АН СССР. 1961. Т. 137. № 5.
15. Яворский И.Н., Юзефович Р.М., Кравец И.Б., Мацько И.Й. Свойства оценок характеристик периодически коррелированных случайных процессов при предварительном определении периода коррелированности // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 2012. Т. 55. № 8. С. 3-14.
16. By Keh-Shin Lii, Murray Rosenblatt M. Estimation for almost periodic processes // The Annals of Statistics 2006. Vol. 34. No. 3. Р. 1115-1139.
17. Рожков В.А. Статистическая гидрометеорология. Часть 1. Термодинамика. СПб: ИД Санкт-Петербургского государственного университета, 2013. 188 с.
18. Игнатов Н.А. Прогнозирование временных рядов с регулярными циклическими компонентами с помощью модели периодически коррелированных случайных процессов // Научные труды: Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН. 2011. Т. 9. С. 461-477.
References
1. Bronstein I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i studentov vysshikh uchebnykh zavedeni [A handbook on mathematics for engineers and university students]. Moscow: Nauka Publ., 1981, 720 p. (In Russian)
2. Korn G., Korn T.M. Spravochnik po matematike dlya uchenykh i inzhenerov [A handbook on mathematics for scientists and engineers]. Moscow: Nauka Publ., 1974, 832 p. (In Russian)
3. Feller W. Introduction to the theory of probability and its applications, 1984, 1280 p. (Russ. ed.: Vvedenie v teoriju verojatnostej i ee prilozhenija. Mosсоw, Nauka Publ., 1984, 1280 р.) (In Russian)
4. Gnedenko B.V. Kurs teorii veroyatnosti [Course of the theory of probability]. Mosraw: Editorial URSS Publ., 2001, 318 p. (In Russian)
5. Petrov A.V. Modelirovaniye protsessovi sistem [Modeling of processes and systems]. St. Petersburg: Lan Publ., 2015, 288 p. (In Russian)
6. Petrov A.V. Osnovy teorii polinomial'nykh stokhasticheskikh vzaimosvyazei [Fundamentals of the theory of polynomial stochastic relationships]. Irkutsk, IRNITU Publ., 2016, 170 p.
7. Petrov A.V. On approaches to the probabilistic analysis of permutable procedures of random process generation. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 2 (109), pр. 29-38. (In Russian)
8. Petrov A.V. Momentary functions of a binary process. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical Universi-
ty], 2016, vol. 20, no. 9, pp. 65-73. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-65-73
9. Petrov A.V. New functionalities of the permutation procedure for binary random process generation. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, vol. 20, no. 10, pp. 119-127. (In Russian) DOI: 10.21285/18143520-2016-10-119-127
10. Petrov A.V. Vychisleniye veroyatnostey komponentov protsedury perestanovok [Probability calculation of permutation procedure components]. Certificate of authorship, no. 2017610908, 2017.
11. Petrov A.V. On the analysis of probabilistic properties of binary permutation procedure components Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, vol. 20, no. 11, pp. 102-109. (In Russian) DOI: 10.21285/18143520-2016-11-102-109
12. Petrov A.V. On systematization of the probabilistic properties of binary permutation procedure components. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, vol. 20, no. 12, pp. 119-128. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2016-12-119-128
13. Polge A.J., Holliday E.M., Bhagavan B.K. Generation of a pseudo-random set with desired correlation and probability distribution. Simulation, 1973, no. 5, p. 138-158.
14. Gladyshev E.G. On periodically correlated random sequences. Doklady Akademii Nauk SSSR [Proceedings of the USSR Academy of Sciences]. 1961, vol. 137, no. 5. (In Russian)
15. Yavorsky I.N., Yuzefovich R.M., Kravets I.B., Matsko I.I. Properties of estimators of periodically correlated random process characteristics under preliminary determination of the correlation period. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii, Radioelectronics [Radioelectronics and Communications Systems]. 2012, vol. 55, no. 8, pp. 3-14. (In Russian)
16. By Keh-Shin Lii, Murray Rosenblatt M. Estimation for almost periodic processes. The Annals of Statistics 2006, vol. 34, no. 3, pp. 1115-1139.
17. Rozhkov V.A. Statisticheskaya gidrometeorologiya, Chast' 1, Termodinamika [Statistical hydrometeorology. Part 1. Thermodynamics]. St. Petersburg: St. Petersburg State University Publ., 2013, 188 p. (In Russian)
18. Ignatov N.A. Prediction of time series with regular cyclic components using the model of periodically correlated random processes. Nauchnyye trudy: Institut narodnokhozyaystvennogo prognozirovaniya RAN [Scientific works: Institute of Economic Forecasting RAS]. 2011, vol. 9, pр. 461-477. (In Russian)
Критерии авторства
Петров А.В. полностью подготовил статью и несет ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Petrov A.V. has prepared the article for publication and bears the responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 15.12.2017 г. The article was received 15 December 2017
