Структурные функции в генерировании бинарного случайного процесса перестановочными методами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 519.233.5

http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-2-67-74

СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ В ГЕНЕРИРОВАНИИ БИНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ МЕТОДАМИ

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Нахождение новых и модернизация известных методов генерирования случайных процессов с заданными статическими (закон распределения вероятностей) и динамическими (корреляционная и структурная функции) вероятностными свойствами. МЕТОДЫ. Основными методами исследования являются методы теории вероятностей, математической статистики и численные методы. РЕЗУЛЬТАТЫ. Объектом исследования является перестановочная технология генерирования случайных процессов с одновременно задаваемым законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией. Данная технология проста в программной реализации, обладает высоким быстродействием и позволяет вводить требуемые вероятностные свойства с точностью их отражения, достаточной для инженерного применения (например, в имитационном моделировании). В качестве закона распределения вероятностей генерируемого процесса принят бернуллиевский (бинарный) закон. Рассмотрены характеристики, отражающие вероятностные зависимости в генерируемых реализациях случайных процессов. Изучены структурные функции бинарного процесса, генерируемого посредством перестановочной процедуры. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Проведение исследований позволило расширить возможности оценивания вероятностных зависимостей за счет использования структурных функций. Этот инструмент оценивания зависимостей обладает более широкими индикативными свойствами, состоящими в возможности выявления случайных процессов со стационарными приращениями.

Ключевые слова: случайные процессы, генерирование, закон распределения вероятностей, автокорреляционная зависимость, структурные функции, перестановочная технология.

Информация о статье. Дата поступления 18 января 2018 г.; дата принятия к печати 24 января 2018 г.; дата он-лайн-размещения 27 февраля 2018 г.

Формат цитирования: Петров А.В. Структурные функции в генерировании бинарного случайного процесса перестановочными методами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 2. С. 67-74. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-2-67-74

STRUCTURAL FUNCTIONS IN BINARY RANDOM PROCESS GENERATION BY PERMUTATION METHODS A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov, Irkutsk, 664074, Russian Federation

ABSTRACT. The PURPOSE of the paper is search for new and modernization of known methods for generating random processes with given static (probability distribution law) and dynamic (correlation and structure functions) probabilistic properties. METHODS. The main research methods are the methods of probability theory, mathematical statistics and numerical methods. RESULTS. The object of the study is a permutation technology for generating random processes with simultaneously set probability distribution law and autocorrelation function. This technology is simple in software implementation, has high speed and allows to enter required probability properties with the accuracy of their reflection sufficient for engineering application (for example, in simulation modeling). The Bernoulli (binary) law has been taken as a law of generated process probability distribution. The characteristics reflecting probabilistic dependencies in generated implementations of random processes have been considered. The structural functions of the binary process generated by a permutation procedure have been studied. CONCLUSION. The conducted research allowed to expand the possibilities of probabilistic dependency estimation due to the use of structural functions. This dependency estimation tool has broader indicative properties as it is able to identify random processes with stationary increments. Keywords: random processes, generation, law of probability distribution, autocorrelation dependence, structural functions, permutation technology.

Article info. Received January 18, 2018; accepted January 24, 2018; available online February 27, 2018.

For citation: Petrov A.V. Structural functions in binary random process generation by permutation methods. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 2, pp. 67-74. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-2-67-74

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: [email protected]

Alexander V. Petrov, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: [email protected]

Введение

Одной из ключевых задач как теоретических, так и практических исследований является нахождение зависимостей между процессами, параметрами и явлениями. Наилучшим обоснованно считается получение количественных описаний зависимостей и стремление найти математическую форму этих описаний.

Известны два вида зависимостей -функциональная (детерминированная) и стохастическая. Функциональная зависимость является ключевым понятием математического анализа.

Стохастическая (вероятностная) зависимость устанавливает соответствие между конкретным значением величины X и множеством значений величины Y, причем последняя принимает значения с определенной вероятностью.

Этот вид зависимости говорит о соответствии (прямом или противоположном) между ТЕНДЕНЦИЯМИ проявлений X и Y. Проявление стохастической зависимости происходит «в среднем». Пределы стохастической зависимости - функциональная зависимость и независимость. Между этими крайностями лежат все остальные разновидности стохастической зависимости.

Как отмечалось в [7], допустимо говорить о том, что функциональная зависимость является в существенной степени идеализацией. Объясняется это объективной необходимостью введения условий и ограничений на компоненты и сами функции, функционалы, операторы с тем, чтобы нивелировать неизбежные погрешности измерений и изменения внешних условий и помех. Это обусловлено невозможностью (без использования вероятностных понятий) дать характеристику влиянию этих внешних воздействий. Отсюда ясно, что, несмотря на все сложности применения и описания стохастических зависимостей, они являются более близкими к «правде».

Известен [2] набор требований к любым числовым характеристикам:

• они должны представлять собой

величины, зависящие от функционирования системы, которые, по возможности, просто вычисляются, исходя из математического описания системы;

• они должны давать наглядное представление об одном из свойств системы;

• они должны допускать (в пределах возможного) приближенную оценку по экспериментальным данным.

Принципиально важным в этом списке является второе требование. Отрицательным примером пока еще неисполнения этих требований служат начальные, центральные и смешанные моменты теории вероятностей. При этом порядки моментов ограничиваются только целочис-ленностью и неотрицательностью. (По-видимому, ранее просто не задумывались о снятии этих ограничений.) Для начальных моментов известно физическое толкование лишь момента первого порядка - математического ожидания. Для центральных моментов второе требование выполняется для порядков 2, 3 и 4. Для смешанных центральных моментов порядка 1,1 - корреляционный момент.

Моменты как числовые вероятностные характеристики, вычисляемые для одной случайной величины, могут быть названы статическими характеристиками, так как они отражают свойства отдельно взятого случайного объекта. Когда речь идет о моментах, распространенных на две и большее число случайных величин, то дополнительно вводят характеристики стохастической связи, и потому (в определенной мере) динамических характеристиках. Отличительной чертой этого множества объектов является их разделение: качественные и количественные. К первым отнесем регрессию, обеспечивающую определение характера связи, - линейную и нелинейную. Вторые (например, корреляционный момент) оценивают тесноту связи в количественной форме.

Классификация характеристик вероятностных взаимосвязей

В основу классификации положены определяющие способы исчисления вероятностных характеристик взаимосвязи:

• усреднение произведений;

• усреднение разностей;

• условные характеристики;

• другие.

Каждый класс, в свою очередь, разбивается на подклассы:

• автохарактеристики;

• взаимные характеристики.

Каждый подкласс также разобьем на

составляющие:

• основные;

• производные - характеристики, получаемые из основных посредством тех или иных математических преобразований.

И, наконец, последней градацией будет разделение на числовые и функциональные вероятностные характеристики взаимосвязи случайных объектов.

Исследуемые нами вероятностные характеристики, отражающие взаимосвязи между случайными объектами, представляют собой математическое описание взаимодействия двух (или большего числа) случайных величин. Это описание выражается в виде усредненных в вероятностном смысле арифметических операций над случайными величинами или некоторыми функциями над ними.

Из этого перечня выпадают две операции - сложение и деление. Первая -по причине того, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий и, следовательно, не позволяет оценить степень вероятностной взаимосвязи. Вторая - по причине возможного деления на ноль. Усредненная разность носит название структурной, а усредненное произведение - корреляционной функции.

Приведем список вероятностных характеристик взаимосвязей [5]:

• корреляционный момент;

• коэффициент корреляции;

• автокорреляционная функция;

• нормированная автокорреляци-

онная функция;

• взаимный корреляционный момент;

• коэффициент взаимной корреляции;

• взаимная корреляционная функция;

• нормированная взаимная корреляционная функция;

• частный коэффициент корреляции;

• множественный коэффициент корреляции;

• моментная функция;

• взаимная моментная функция;

• интервал корреляции;

• функция регрессии;

• ранговый коэффициент корреляции Спирмэна;

• ранговый коэффициент корреляции Кендалла;

• спектральная функция (плотность);

• взаимная спектральная функция (плотность);

• структурная функция;

• функция когерентности;

• условная дисперсия (скедастиче-ская функция);

• условная функция распределения вероятностей;

• условная плотность распределения вероятностей;

• корреляционные отношения;

• коэффициент коллигации;

• функция коллигации.

Далее рассматриваются моментные, автокорреляционные и соответствующие структурные функции при условии стационарности в широком смысле случайного

процесса {Х(г\ X е Т}, Т={0,1,...}.

Моментной функцией называется момент вида.

в *£ *) (г', г") = м {х1 (г') • X* (г")}

или в центрированной форме

В^ (I', I ") =

= М {[ X ( I') - шх (0 ] 1 • [ X (I") - шх ((] ^ }.

Для стационарного в широком смысле случайного процесса

{Х(/}, 1 е Т}, Т={0,1,...} центрированная моментная функция имеет вид

В? (т) =

= м {[ X (|)-Шх]' •[ X (| + !)-шд.]|

Физические свойства, отражаемые моментной функцией, исследованы в [7]. Отметим также, что при / = у = 1 моментная функция в£д} (|I") есть корреляционная функция Кг,1} (т) ■

Автокорреляционная функция - это корреляционный момент вида

Kx" (т) =

■M {[ X ( t )-m J 1 •[ X (t+т)-m J x},

где т = I"-1'.

Нормированная автокорреляционная функция - это коэффициент корреляции вида

rX (т ) =

_КТ (т)

D

Корреляционные характеристики тщательно рассмотрены во многих источниках с точки зрения теории и практики.

Структурная функция

Идея использования разностей для оценки поведения функций, а в практических применениях разности для оценки погрешностей вычислений не нова [8].

Структурная функция первого порядка отражает величину вероятностной взаимосвязи, определяемую через разности значений случайной величины:

DX (т) = M (X(t) - X(t -т))2

(1)

Верхний индекс свидетель-

ствует о том, что для исчисления структурной функции используются первые разности. Самостоятельным и интересным для практики представляется вопрос изучения структурных функций порядка, который больше единицы.

Ясно, что структурная функция связана (при условии стационарности случайного процесса) с корреляционной функцией:

DX (т) = 2-oX-(1-

r(т)).

(2)

Из последнего выражения следуют свойства структурной функции первого порядка: (т) = (-т) и (0) = 0.

Но введение понятия структурной функции позволило расширить возможности оценки вероятностных зависимостей и как таковых свойств случайных процессов.

Как правило, при проведении теоретических и прикладных исследований вероятностных объектов вопросам оценивания стационарности в широком смысле и эргодичности не уделяется достаточного внимания. В лучшем случае делается предположение, но вот какого-либо количественного доказательства не приводится. А обоснованность предположения о стационарности или (тем более) эргодичности случайного процесса определяет правильность выбора вероятностно-статистического инструментария для исследования.

Существуют специальные статистические процедуры проведения такой проверки [1, 6]. Но они требуют определенных объемов статистических вычислений и проверок гипотез.

Если же при изучении какого-либо случайного процесса отсутствует уверенность в его стационарности, то это не всегда является свидетельством необходимости исследовать этот процесс в рамках теории нестационарных случайных процессов.

Существуют так называемые случайные процессы со стационарными приращениями. По большому счету это нестационарные процессы, но они включают стационарные процессы в качестве частного случая. Описание такого рода процессов были впервые даны А.Н. Колмогоровым [4].

Ключевым свойством структурной функции, которое можно и необходимо использовать для анализа стационарности (или нестационарности) случайного процесса, является поведение этой функции при неограниченном изменении времени.

В [3], например, такая индикаторная роль структурной функции сформулирована следующим образом:

• структурная функция стационарного процесса ограничена и с течением

времени выходит на установившееся значение;

• структурная функция нестационарного процесса с течением времени неограниченно возрастает.

Из определения структурной функции стационарного случайного процесса следует, что она зависит только от расположения значений процесса в реализации т, а не от текущего момента времени I Это позволяет утверждать, что структурная функция стационарного случайного процесса при ь ^ т стремится к установившемуся значению 2 -о2х. Очевидно, что это

свойство структурной функции является ключевым в решении вопроса о стационарности процесса. Объясняется это тем, что термин «неограниченно возрастает» менее четок и сложнее доказывается, нежели подтверждение факта стремления структурной функции к конкретному значению -удвоенной дисперсии.

Перестановочная технология генерирования бинарного случайного процесса

В [7-14] представлена перестановочная технология генерирования коррелированных реализаций случайной величины с бинарным (бернуллиевским) законом распределения вероятностей. По своей сути это исключительно простая по реализации процедура воспроизведения случайных чисел, имеющих не обязательно бинарное, но и произвольное распределение, и требуемую автокорреляционную функцию (АКФ). При этом достигается возможность генерирования весьма широкого класса АКФ, имея в виду их форму, а в некоторых случаях и генерирования двумерного бинарного случайного процесса.

Суть перестановочной технологии состоит в организации отбора по некоторому правилу D генерируемого значения из набора претендентов, называемого вектором претендентов £/(?)■ В случае генерирования бинарного случайного процесса количество вариантов правил D равно 16 для двумерного вектора претендентов.

Как отмечалось в [7-14], каждое правило D определяется четырьмя функциями вида:

P ^(г) = +1) =

(3)

= k2,u2(t + 1) = k3 } =

= P {Y(t) = kl,Ul(t + 1) = k2\ •P {X(t +1) = k3} = = P {Y(t) = khUl(t +1) = k2 }• Pk3 =

=Pt {kl,k2}• py, kl,k 2' k3 = 0,1

Выражение (3) можно представить в виде четырех функций:

Pt {0,0) = fl [Pt-l {kl,k2)• ph Pt {0,1) = f2 [ Pt-l {kl,k2 )• pk3 Pt {1,0)= f3 [Pt-l {kl,k2)• pk3 Pt {1,1) = f4 [Pt-l {kl,k2)• py

(4)

Особенностью такой перестановочной процедуры является идентичность функций и /4 во всех 16-ти вариантах

правил D. Эти функции всегда зависят только от определенных комбинаций из (4) и не могут выглядеть иначе как

Р (0,0) = (1 - р) • Р(-1 (0,0) +

+(1 - р) • Р-1 (1,0), (5)

Р (1,1) = р • р_ 1 (0,1) + р • р_ 1 (1,1),

где Р {Х(г) = 7} = р; Р{Х(г) = 0} = р+я=1.

Функции /2 и формируются всеми возможными комбинациями неисполь-

зованных в (5) элементов:

р• Р-1(0,0); (1 -р)• Р-1(0,1); р• Р-1(1,0); (1 -р)• Р-1(1,1).

Используя полученные в [7] выражения для автокорреляционных функций

компонентов вектора претендентов и(г) и выражение (2) - ^(т) = 2 -а^ -(1 - гх(т))

для нахождения структурной функции, найдем для простейшей перестановочной процедуры структурные функции компонентов и(г) таблице. Отметим, что

а = р •(1 - р) ■

№ / No.

Структурные функции D1(x) / Structural functions D1(x)

1, 2 , 4-7, 10, 11, 14, 16

2 -О

2-oY-|1 + p-(1 - p)-( х)т-3-ит_з| —

2 - x

= 2-o2

2-ст2 -

1 - (-1)т

( x)т

2 (1 - x2)

= 2-ot

( „т -(т-1)

2 -o2-

1 +

p - z

2-p

z-U

2 - z

+ U,

2 - z

= 2-o2

12

2-o2 -

'1 + -ÏJ(-1)j -j^4j I-p^(1 -PУ p- (1 - p) j=0

v

= 2-o2-|1 + p - (1 - p )

(1 + p)

т-j-2 v j 1

2 - X- Г

2 - X

-2 -J (-1)jj-X 2j

j=0

+ X-U

= 2 - o2

2 - X

13

= 2-ст2

15

2-CT2

1 - (-1)

т (y)

( т-1)

(1 - >2 )

= 2-ст2

3

8

9

1

Структурные функции генерируемого процесса Y(t) Structural functions of the generated process Y(t)

В таблице использованы следующие обозначения: x = 2-p• (1 - p),

y

= Vp- (1 - p), * = J

(1 - PÏ

x =

V

1 - p

n

V m У

- биноминальный коэффициент,

Ги ( • ) - полином Чебышева 1-го порядка,

и ( • ) - полином Чебышева 2-го порядка, [•] - целая часть числа.

Анализ результатов, отраженных в таблице, показывает, что при т^даструктурная функция стремится к установившемуся значению 2- а]. Таким образом, перестановочная процедура генерирования бинарного случайного процесса с двумерным вектором претендентов обеспечивает воспроизведение стационарного случайного процесса.

Выводы

Объектом исследования является перестановочная технология генерирования случайных процессов с одновременно задаваемым законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией. Данная технология проста в программной реализации, обладает высоким быстродействием и позволяет вводить требуемые вероятностные свойства с точностью их отражения, достаточной для инженерного применения (например, в имитационном моделировании). В качестве закона распределения вероятностей генерируемого процесса изучался бернуллиевский (бинар-

ный) закон. Проведение исследований позволило расширить возможности оценивания вероятностных зависимостей за счет использования структурных функций. Этот инструмент оценивания зависимостей обладает более широкими индикативными свойствами, состоящими в возможности выявления случайных процессов со стационарными приращениями. Применение структурных функций позволило доказать, что генерируемые перестановочной процедурой бинарные случайные процессы являются стационарными.

Библиографический список

1. Петров А.В. Основы теории полиномиальных стохастических взаимосвязей. Иркутск: Изд-во ИРНИ-ТУ, 2016. 170 с.

2. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Советское радио, 1973. 439 с.

3. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

4. Петров А.В. Конечные разности как инструмент анализа поликорреляции // Вестник ИрГТУ. 2016. № 5 (112). С. 87-94.

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2016-5-87-94

5. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов / Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 464 с.

6. Петров А.В. Моделирование процессов и систем. СПб.: Изд-во «Лань», 2015. 288 с.

7. Карташов В.Я., Новосельцева М.А. Анализ стационарности случайного процесса с помощью модели структурной функции в форме непрерывной дроби //

Вестник Томского Государственного Университета. 2002. № 1. С. 55-60.

8. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // ДАН СССР 1940. Т. 26. № 1. С. 115-118.

9. Петров А.В. О подходах к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных процессов // Вестник ИрГТУ. 2016. № 2 (109). С. 29-38.

10. Петров А.В. Моментные функции бинарного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. № 9 (116). С. 65-73.

11. Петров А.В. Новые функциональные возможности перестановочной процедуры генерирования бинарного случайного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 10. С. 119-127. DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2016-10-119-127

12. А. с. № 2017610908, Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Расчет вероятностей компонентов перестановочной процедуры / А.В. Петров; правообладатель: федеральное государственное бюд-

жетное образовательное учреждение высшего образования «Иркутский национальный исследовательский технический университет»; заявл. 20.09.2016; опубл. 18.01.2017. 13. Петров А.В. К вопросу анализа вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 11 (118). С. 102-109. DOI:

http://dx.doi.org/10.21285/10.21285/1814-3520-2016-11-102-109

14. Петров А.В. О систематизации вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 12 (119). С. 119-128. DOI:

http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2016-12-119-128

References

1. Petrov A.V. Osnovy teorii polinomial'nykh sto-khasticheskikh vzaimosvyazei [Fundamentals of the theory of polynomial stochastic relationships]. Irkutsk, IRNITU Publ., 2016. 170 p.

2. Buslenko N.P., Kalashnikov V.V., Kovalenko I.N. Lektsii po teorii slozhnykh system. [Lectures on the theory of complex systems]. Moscow: Soviet Radio Publ., 1973. 439 p. (In Russian)

3. Mirskiy G.J. Kharakteristiki stokhasticheskoy vzai-mosvyazi i ikh izmereniya [Characteristics of stochastic relationships and their measurement]. M.: Energoizdat Publ., 1982. 320 p.

4. Petrov A.V. Finite differences as a tool of polycorel-lation analysis. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, no. 5 (112), pp. 87-94. (In Russian). DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2016-5-87-94

5. Bendat J., Piersol A. Random Data: Analysis and Measurement Procedures. M.: Mir, 1974. 464 p. (Russ. ed.: Izmereniye i analiz sluchaynykh protsessov. Moscow, Mir Publ., 1974, 464 p.).

6. Petrov A.V. Modelirovaniye protsessov i sistem [Modeling of processes and systems]. St. Petersburg: "Deer" Publ., 2015, 288 p. (In Russian).

7. Kartashov V.Ya., Novoseltseva M.A. Analysis of random process stationarity using the model of a structure function in the form of a continued fraction Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta [Tomsk State University Journal], 2002, no. 1, pp. 55-60. (In Russian).

8. Kolmogorov A.N. Wiener Spiral and some other interesting curves in the Hilbert space. Doklady Akade-mii nauk SSSR [Proceedings of the USSR Academy of Sciences], 1940, vol. 26, no. 1, pp. 115-118. (In Russian).

Критерии авторства

Петров А.В. полностью подготовил статью и несет ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Aвтор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

9. Petrov A.V. On approaches to the probabilistic analysis of permutable procedures of random process generation. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 2 (109), pp. 2938. (In Russian).

10. Petrov A.V. Momentary functions of a binary process. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, no. 9 (117), pp. 65-73. (In Russian).

11. Petrov A.V. New functionalities of the permutation procedure for binary random process generation, Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, no. 10 (117), pp. 119-127. (In Russian). DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2016-10-119-127

12. Petrov A.V. Vychisleniye veroyatnostey kompo-nentov protsedury perestanovok [Probability calculation of permutation procedure components]. Certificate of authorship, no. 2017610908, 2017.

13. Petrov A.V. On the analysis of probabilistic properties of binary permutation procedure components. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, vol. 20, no. 11 (118), pp. 102-109. (In Russian).

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/10.21285/1814-3520-2016-11-102-109

14. Petrov A.V. On systematization of the probabilistic properties of binary permutation procedure components Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, no. 12 (119), pp. 119-128. (In Russian). DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2016-12-119-128

Authorship criteria

Petrov A.V. has prepared the article for publication and bears the responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.