О первой краевой задаче для одного класса зарождающихся уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 517.946

О ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА*

Н, Р, Пинигина

Введение

В работах [1-4] изучались уравнения, неразрешенные относительно производной по временной переменной В этих работах были предложены методы, позволившие доказать существование регулярных решений.

В настоящей работе рассматриваются краевые задачи для вырождающихся уравнений соболевского типа. Как и в [1-4], основной целью данной работы будет доказательство существования регулярных решений.

Поскольку цель работы — получение достаточных (не минимальных) условий, обеспечивающих существование регулярных решений краевой задачи для изучаемых уравнений соболевского типа, предполагается, что коэффициенты всех возникающих ниже операторов настолько гладкие, насколько это необходимо.

1. Постановка задачи

Пусть Л — ограниченная область пространства М" переменных ... ,хп с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) гра-

* Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект №4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-13 гг.»

(Соглашение № 14.А18.21.0367)

©2012 Пинигина Н. Р.

ницей Г, ф = П х (0, а) х (О, Т) — цилиндрическая область, 0 < а < +сх),0 < Т < + х, 5 = Г х (0, а) х (0,Т). Функции а^ (х), х), = 1ао(х), Ьо(х), заданы при х £ П, у £ [0,а],

t е [О,Т].

Определим операторы А и В: оператор А эллиптико-параболичес-кий второго порядка вида

Аи = -^-(аР(х)их.) + а0(х)и, > 0, Ух € О, € М™, (1)

ох1 0

оператор В эллиптический такого же вида:

Ви = + ъ0(х)и, > т0|£|2,

т0 > 0, ж € О, Се м™,

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до и). Будем считать выполненными условия

аР(ж) = а^(х), Ъ^{х) = Ь^(ж), ж € О, ¿,.7 = 1, . .., п. (3)

Первая краевая задача. Найти решение уравнения

щ + Аиуу - Вп = /(х,у,г), (4)

удовлетворяющее условиям

и(х,у,г)= 0; (5)

п(х,0,г) = п(х, а,г) = 0, х еП, t е(0,Т); (6)

п(х,у,0) = 0, х еП, у е(0, а). (7)

Через V) будем обозначать анизотропное пространство Соболева с нормой

П П \ \ 2

X + X уу + ^ .

= I / И + уу~г V I - - - - - - I

V ¿,¿=1 ¿,¿=1 / /

Другие необходимые пространства будут определяться по ходу доказательств.

2. Существование решений

Ниже через v = (v\,..., vn) будем обозначать вектор внутренней нормали к границе Г в точке x.

Теорема 1. Пусть для операторов АпБ выполнены условия ( 1 )-(3). Кроме того, пусть выполнены условия

f{x,V,t),fy{x,y,t),fyy{x,y,t) G L2{Q), f(x,0,t) = f(x,a,t) = 0,

xGÛ, t G [0, T};

Ci <*'(*)£ < < С2а\х)&,

ci > 0, c2> 0, x g ïï, ее г; \axk(x)\ ^ M-\J aï {x) x G il, i,j,k=l,...,n, M>0, ^x) | <N;

aij{x)viv^ 0 Vx GT; (11)

ao(x) < ~âo < 0, b0(x) < -b0 <0 Vx G 0; (12)

aij(X) g C2(ÏÏ), bij(X) g C2(ÏÏ), a0(x) g C(ÏÏ), 6o(x) g C(ÏÏ). (13)

Тогда существует решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (5)-(7) и принадлежащее пространству Vq.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Пусть £ — положительное число, a*J(x), i,j = 1,... ,n, — функции вида

aj(x) = aij(x) + £bij(x),

Аа, Б, Ае и А£ — операторы, задаваемые равенствами

д д

A0u = —(alJ(x)uXj), B0u = —(blJ(x)uXj),

д ■■

AqeU = T—(al3(x)ux), Aeu = A0eu + a0(x)u. dxi

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти решение уравнения

LeU = ut + AEUyy - Bu = f(x,y,t), (4е)

удовлетворяющее условиям (5)-(7), а также условию

щ(х, у, Т) = О, х е 0, у е (0, а). (14)

В уравнении (4е) оператор Ае эллиптический. Следовательно, задача (4е), (5)-(7), (14) является известной задачей для уравнения составного типа вида

+ Ми = ¡(х,у,г),

разрешимость этой задачи в пространстве Я) известна (см. [5]).

Более того, при дополнительной гладкости функции /(х,у(а нужная гладкость у нас есть), уравнение (4е) можно дифференцировать по у и по Ь.

Таким образом, краевая задача (4е), (5)-(7), (14) имеет семейство решений ие(х,у,£). Покажем, что для этого семейства имеют место «хорошие» априорные оценки. При получении оценок индекс «е» для удобства опустим.

Рассмотрим равенство (являющееся следствием уравнения (4е))

Ь а Ь а

J ! J Ьеи(х,у,г)и(х,у,г) 1х1у1т = J J J/(х,у,т)и(х,у,т) 1х1у1т. ООП ООП

Интегрируя слева по частям, используя условия теоремы и неравенство Юнга, получаем первую априорную оценку

а Ь а

J ! и2(х,у,г) 1х1у + J J J а*иух¿(х,у,т)иуХб (х,у,т) 1х1у1т о п ооп

Ь а Ь а

J ! J и2у{х,у,г) 1х1у1т + J J J и (х,у,т) 1х1у1т

ООП ООП

ООП

На следующем шаге рассмотрим равенство

а Ь а

п Ь а

УУУх,у,т)1х1у1т ^ N. (15)

J ! J Ь£и(х,у,г)щ(x,y,т)1x1y1т = JJJ/(х,у,г)щ(х, у, т) 1х1у1т.

ООП ООП

Интегрируя по частям слева и справа, применяя условия теоремы и неравенство Юнга, получим

Ь а

ООП о п

а п а

J ! ь?у{х,у,~Ь)З,хЗу + ^^ J ! ь2Хн(х,уЗхЗу ^ N. (16)

уУ

о п

Для получения третьей априорной оценки рассмотрим равенство, полученное из (4е) умножением на Б$и(х,у,1), и проанализируем равенство

Ь а

J ! J Ьеи(х,у,г)Би(х,у,г) ЗхЗуЗг

ООП

Ь а

= J J J 1(х,У,т)Бои(х,у,г) ЗхЗуЗт.

ООП

Это равенство нетрудно преобразовать в неравенство

а

! J их А х,у,Ь)иХ}( х,у,Ь)ЗхЗу

^х.

о п

Ь а

д д

-— (а13 (х)иух ) —- (Ъы (х)иущ) ЗхЗуЗт

дхк дхг

^ *ух,) V 7 ух\

ООП

Ь а Ь а

£ J J J(Боиу)2 ЗхЗуЗт + J J J(Бои)2 ЗхЗуЗт

ООП ООП

Ь а

а4 (х)иух^ —— (Ъы (х)иуХ1)г/к

' дхг

д

о о г

а%3[х)иух^-—{0-{х)иуХ1)щ

ЗБЗуЗт < Щ. (17)

Поскольку и(х,у,1) = 0 при х € Г, то иу(х,у,Ь) = 0 и, далее, иухз.= иухк^^ (в силу обращения в нуль касательной производной). Отсюда граничный интеграл будет равен нулю в силу условия (11). Получаем неравенство

а

! J ихЛх,у,ь)их^х,у,г)3х(у

а1Цх х)Ьк1( х)иуХ^ Хк и,уХ1Х1 3,х3,у3,т

Ь а

J ! J(Виу)2 ЗхЗуЗт + J J !(Бои)2 ЗхЗуЗт

о п

ООП

Ь а

ООП

<

ООП

ООП

Ь а

аи х)ьк иуХп иуХг х1 ЗхЗуЗт

а ню к ^ ^^'^Ь к - ги ух ^ ги ух I (■'^х ((у (т

ООП

Ь а

агЧ.х)Ък} иухкиухх ЗхЗуЗт

(18)

ухк ухг х

ООП

Постоянные Л^, в = 1,4, определяются лишь коэффициентами операторов А и Б числом Т. Первый и третий интегралы в правой части (18) оцениваются с помощью неравенства Юнга, условия (10) и оценки (16), второй конечен в силу (15) и (16). В результате получаем неравенство

п а Ь а

и2х,(х,у,г)3х3у + агЦх)Ьк1{х)иуххкЩхх ЗхЗуЗт

г

о п

ООП

ь а ь а

! J ! (Биу)2 ЗхЗуЗт + J ! J(Бои)2 ЗхЗуЗт

ООП

ООП

п 1 а

{х,у,т)3х3уё,т + С(6), (19)

£ а

п

г:=1Ь о п

в котором 6 — произвольное положительное число, а число С(5) определяется функциями /(х,у,{), аг: (х),Ъы (х), ао(х),Ъо(х). Неравенство (19) и второе основное неравенство для эллиптических операторов вме-

5

п 1 а

uУx¿xfc (х, у, т) ^¿уЗт ^ М\;

■>к-1 ООП

(20)

п 1 а

?// (х,у,т)<1'х<1у<1т < М_.

г>:=1 ООП

Заметим, что из условия /(х, у, 0) = 0 следует равенство

и4(х,у,0) = 0, х€ О, у €[0,а]. (21)

Дважды продифференцируем уравнение (4е) по перемен ной у и умножим на иуу. Повторяя для полученного равенства все выкладки, с

помощью которых анализировалось равенство (17), получим оценку п 1 а

¿УУJи1уухгхк(х,у,т)Зх<1у<1т < Щ, (22)

г>к=1 ООП

в (20), (22) М1-М3 определяется функциями /(х,у,^, агЦх), Ъкг(х), а х Ъ х

Оценки (15), (16), (20) и (22) позволяют в семействе задач (4е), (5)-(7), (14) перейти к пределу (детали можно найти в [4]) и в пределе получить решение и(х,у,Ь) исходной краевой задачи из требуемого класса.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (8)—(10), (12), (13) теоремы 1, и пусть существует такое а > 0, что

«г(х) ^ а > 0 Ух € Г, г = 1,... ,п. (23)

Тогда существует решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (5)-(7) и принадлежащее пространству У).

Доказательство. Вновь рассмотрим задачу (4е), (5)-(7), (14). Для ее решения также будут справедливы оценки (15), (16). Рассмотрим равенство

= J J J 1{х,у,т)Ааеи{х,у,т)3,хЗуЗ,т. (24)

ООП

Интегрируя по частям, применяя неравенство Юнга и используя оценку (15), нетрудно перейти к неравенству

а

ООП

а

а

а

+ £

111'ви)2 ЗхЗуЗг < 11+|/21 + |/3| + |/гК К- (25)

ООП

где

Ь а

1х = ахк(х)Ък1 (х)ихх ихЗхЗуЗг,

ООП

Ь а

12 = агЦх х)Ъ%.{ х)ихк х6 их1 ЗхЗуЗг,

ООП

Ь а

Н= аХк (х)ЪХ1. (х)их, их1 ЗхЗуЗг,

ООП

1г =

о о г

t a

д

а%3 (x)uXj щ (Ъы (х)их

д

- а13 (x)uXj — (Ъы {x)uxi)vk

dSdydr.

Третье слагаемое левой части (25) оценивается снизу интегралом

t a

Г ~42x.xk

ООП

I I I al{x)u2x.xAx,y,r) dxdydr, > 0. (26)

Проанализируем интегралы в правой части неравенства (25). Для каждого слагаемого первого интеграла, имея в виду условие (10), получим

t a

III a*k x)uxixi uXj dxdydr

t a

M J J J vV(x)\uXiXl I\bkl(x)IIuXj I dxdydr

ООП

t a

<

ООП

t a t a

P f f f о - - - M

I I I а1(х)и2ХгХ1 dxdydr + — / / j (bkl (x))2v2x^ dxdydr.

ООП ООП

Во втором интеграле вследствие неравенства Коши — Буняковского и условия (9) будет

t a

^ J J J2 ^Х^удгг

ООО

п г а п г а

с п г г г п С С С

/ aг(x)u2XгXkdxdydr + / u2Xldxdydт,

к=1 о о п 1=1 о о п

(здесь и выше 6 — произвольное положительное число). Далее, |/з | — конечная величина в силу оценки (16). Суммируя, получаем неравен-

ство

п Ь а

\к\ + \/2 \+\/з I < /I *ЧФъХ1(х,г,€)сЪс1ус1т + К2, (27)

1=1 о о п

в котором ¿1 — произвольное положительное число, а число К определяется числом ¿1 и коэффициентами а^ (х), Ь^ (х), ао(х), Ьо(х).

Проанализируем граничные интегралы. Через П^, ¿0 > 0, обозначим множество точек П, отстоящих от границы Г на расстояние, меньшее чем ¿о, т. е. = {х £ П : <(х, Г) < ¿0}, П = П^ и (П \ П¿0). Выберем ¿о настолько малым, чтобы выполнялось неравенство аг(х) ;:г (это возможно вследствие условия (23) и гладкости функций аг(х)). Тогда выполняется оценка снизу

^2111 а\х)< х^ х,у,т)<х<у<т п Ь а

¿// у «чх)мХ,хЛх,у,т)<1х<1у<1т

к=1 о о п\п п Ь а

/ / у2хъхк{х,У,т)д,хАуд,т

к-!Ь 0 Пйо

^ Ь а

^2 / х)иХ,хк( х,у,т)<х<у<т. (28)

к_1 о о п\пг

Для интеграла /г имеет место оценка

|7г\ < Р^ У <х + С(р) J и2<х,

к

в котором р — произвольное положительное число, С(р) определяется границей Г и числом р (см. доказательство второго основного неравенства для эллиптических операторов [6]).

Ь а

Учитывая (26)-(28), получаем, что следствием (25) является неравенство

Ь а Ь а

J ! J (Аеи(х,у,г))2 3х3у3т + &о®о J ! J и2Х.Хк{х,Ь,^3х3у3г

ООП О О пг0

Ь а

+ 2J J J x)uХ¿Хfc(х,у,г)3х3у3г о о п\пг0 Ь а

о 0 Пг0 Ь а

11 I х}и*хХхЛ х,у,т)3х3у3т

о о п\пг0 Ь а

^ 2^ / / / аг(x)u?X.X(x,y,r) dxdydr

2р / / / x' у' ^ dxdydT

о О Пг0

t a

+ 2C(p)JJ j u2(x,y,r) dxdydr + K?J. (29)

ООП

Обозначим а = max оц (x) Выберем S2 таким, чтобы выполнялись

i=l:n

4Ö2Ü < кдсу-о и ¿2 < ко, и перепишем (29) в виде

t a

j j j (Aeu{x,y,T))2 dxdydr

t a

+ (k0a0 — 4i25) J j J u2XiXk (x, у, г) ЗхЗуЗт

ООП

t a

— у J al{x)u1XiXk(x,y,r) dxdydr 0 0 n\nä

Вследствие леммы Гронуолла получаем оценку

(А£и(х,У,т))2 (х(у(т ^2Кцв2т = К- (30)

ООП

Оценка (30) означает, что

А0и + еВ0и = р е (31)

Рассмотрим равенство

Т а Та

J ! J(Аои + еВои)Аои(1х(1у(М = J J J <^(х,у,~Ь)А$иЗ,хЗуЗ;Ь.

ООП ООП

Т а

Повторяя для интеграла е / / / АдиВои ¿хв/уА все выкладки, которые

ООП

делались при анализе аналогичного интеграла левой части равенства (24), получим, что следствием включения (31) и условий теоремы будет включение Ади е )-Рассмотрим равенство

г а

J ! J ЬЕит(х,у,т)А0еит(х,у,т)3х(у3т

ООП

г а

= УУУ 1т (х,у,т)А0еит( х,у,т) (х(у(т

ООП

(являющееся следствием продифференцированного по переменной £ уравнения (4е)). Повторяя все выкладки, которые делались при анализе равенства (24), придем к включениям

А0щ + еВ0щ е Ь2^), А0щ е Ь2(<^).

Заметим, что из этих включений и оценок (15), (16) следует включение В0и е им)-

Дважды дифференцируя уравнение (4е) по переменной t и анализируя равенство

t a

LeuTT(x, y, t)AqeuTT{x, y, t) dxdydr oon

t a

— Ill fTT (x, y, t)A0eUtt{x, y, t) dxdydr,

ООП

тем же образом, каким анализировалось равенство (24), получим включения

A'utt + eBtfutt е UXQ), Autt е l2{Q).

Отсюда Bout е L2(D). Вследствие эллиптичности оператора B0 из этого включения вытекают оценки

T a

^xixjti^y^) dxdydt < М0, i,j = l,n, (32)

ООП

постоянная Mq в которых определяется коэффициентами atj (x), btj (x), b0(x). Организуя стандартный процесс перехода к пределу по параметру регуляризации (см., например, [2,4]), получим, что краевая задача (4)-(7) имеет решение, для которого выполняются оценки (15), (16) с е = 0, а также оценка (32). А это и дает требуемое. Теорема доказана.

Замечание. Случай неоднородных начальных условий (6) и (7) нетрудно свести к рассматриваемому случаю однородных условий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // Докл. РАН. 1992. Т. 236, № 5. С. 781-786.

2. Kozbanov А. I. Certian classes of degenerate Sobolev-Galpern equation // Sib. Adv. Math. 1994. V. 4, N 1. P. 65-94.

3. Кожанов А. И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, неразрешенных относительно старшей производной // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 2. С. 359-376.

154

Пинигин a if. P.

4. Kozbanov A. I. Composite type equation and inverse problem. Utrecht: VSP, 1999.

5. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Якутск

31 мая 2012 г.