Об оценках решений для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений с комплексным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ*)

Н, Р, Пинигина

В работах А. И. Кожанова [1-3] изучалась разрешимость начально-краевых задач для псевдопараболических уравнений

Au + But = f{x,t) (*)

с эллиптико-параболическими операторами A и B второго порядка, действующими по пространственным переменным. Метод исследования в указанных работах основан на регуляризации с последующим получением априорных оценок и предельным переходом. Другой подход к исследованию уравнений (*) основан на применении преобразования Лапласа, и этот подход приводит вновь к необходимости получать априорные оценки, но уже для эллиптических уравнений с вырождением, содержащих комплексный параметр. Именно такие уравнения и будут рассмотрены ниже, и целью работы при этом будет доказательство теорем существования регулярных решений (т. е. решений, имеющих все обобщенные производные, входящие в уравнение), а также доказательство наличия необходимых для возможного обращения преобразования Лапласа априорных оценок в зависимости от параметра.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (соглашение №14.А18.21.0367).

©2013 Пинигина Н. Р.

Перейдем к содержательной части работы.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" переменных х\,... ,хп с компактной и гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, а:(х),Ь:(х), г,^ = 1 ,...,п, а0(х), Ь0(х) — заданные действительнозначные функции, определенные при х (Е 0, А — комплексное число, /(х, А) — заданная комплекснозначная функция, определенная при х £ П,А е С, А и В — дифференциальные операторы, действие которых определяется равенствами

д ■■ д ■■

Аи = ^—(аг°(х)их.) + а0(х)и, Ви = —— (Ъп (х)их ) + Ъ0(х)и дхг дхг

(здесь и далее по повторяющимся индексам, если не оговорено против-

п

далее, что операторы А и В симметричны и эллиптико-параболичны: а^(х) = а?г(х), ЪгЦх) = &г(х), х € О, г, ] = 1, .. ., п;

& (хШз ■ ()- ^ (хШз ; П.

Краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся в области П решением уравнения

Ьи = Аи + АВи = /(х, А) (1)

и удовлетворяющую условию

и|Г = 0. (2)

Уравнение (1) можно свести к системе уравнений

( Аи\{х)А\Ви\{х) — АгВи2(х) =/(х, А), Аи х А Ви х А Ви х / х, А А А, А А, и х и х , и х и х ,

/ х, А / х, А , / х / х, А ,

и эта система в дальнейшем будет анализироваться.

А

Ниже через V = (VI,..., V") будем обозначать вектор внутренней

х

Теорема 1. Пусть А1 ^ О, оператор А + В эллиптический в Л, и пусть выполняются условия

а^(х)еС2(П), Ь*'(х) € С2(П), а0(х)еС(П), Ь0(х) € С(П); (4)

(Ба'(х),/?(х)) а'йеС1®, /? (х) е С1 (П),

О < С1аЦх)^ < < С2аЦх

о < СФ*1 (х)£ < ь« < <?2/Г(ж)£г2, ж е п, £ е м", 5 а*(ж) + /3*(ж) > к0 > 0 ж € О, % = 1, .. . ,п;

+ (а0*,(ж)Ь«(X)+ а0(ж)Ь0(ж))^ > 7о(£2 + (6)

7о >о, ей, п ,к,1 = !,...,«.;

АЛ(ж,А) е -МП), А/2(ж,А) е -МП), к |г = о, к|г = о, А е с. (ю)

Тогда задача (1), (2) имеет решение {и (ж), и (ж)} такое, что и (ж) е , и (ж) е н при этом для функций и (ж), «2(ж) при А ^ 1

будут выполняться оценки

Ь2Цж)щ^=0 Уж еГ;

|б«(*)| ^Му/Щх), ^^ '•./•/•• 1.....

ао(ж) ^ —ад < 0, &о(ж) ^ — <0 Уж € О;

(8)

(9)

(П)

J[(Aui)2 + (Au2)2] dx

Q

N

J f + f) dx + J{(Af)2 + (Af)2} dx ,

"n

n

j {(Bu.f + (Bw2)2] dx^^-j {fl + /I) dx,

(12)

n

n

n

J (U1 XiX^ U Xij dx fi

< J (л2 + /I) dx +J {(A fx)2 + (Af2)2}dx ,

"n

n

в которых числа N, N определяются функциями aij(x), bij(x), г, j = 1,..., n, ao(x)> bo(x), числом Ai, а также областью ft.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Пусть £ — положительное число. Рассмотрим семейство задач: найти функции ui(x), u(x), являющиеся решением системы уравнений

( An\ (x) + A Bu\ (x) + £Bu\ (x) — ABu2 (x) = f (x, A, ^ ^ [ Au2(x) + ABuH + £Bu^ + ABuH = f (x, A)

и удовлетворяющие условию (2).

Покажем, что задача (Зе), (2) при фиксированном £ имеет решение такое, что ui(x) £ W|(fi), U2(x) ££ W|(fi). Воспользуемся методом продолжения по параметру [4]. Пусть к — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим краевую задачу: найти решение {ui(x),u2(x)} системы уравнений

( Aui(x) + ABui(x) + £Bu(x) — kABu(x = fi(x, A,

[ А^(^) + АВи(^) + + = /г(х, А), '

удовлетворяющее условию (2). Как известно [4], для разрешимости задачи (3£1^), (2) при всех к достаточно установить разрешимость в задачи (3£1о)) (2) и доказать наличие априорных оценок всевозможных решений задачи (Зе^), (2) в пространстве

(Зе,к)

Заметим, что при А1 > 0 итератор А + В эллиптичен, но его постоянная эллиптичности, вообще говоря, будет определяться числом А1; эллиптическим будет и оператор А + еВ. Из эллиптичности оператора А + еВ очевидным образом следует разрешимость задачи (Зе,о), (2) в пространстве Ш|(П) [5]. Покажем, что имеют место необходимые оценки.

Умножим первое уравнение системы на и(х), второе урав-

нение — па и2(х) и сложим. Интегрируя в полученном равенстве по частям и используя неравенство Юнга, получим

J агЦ х)(и и х» + и х, и2 х») Лх п

+ (А1 + е)/ь^( х)(щ хг ^^ хг ^о Лх-I Ых) + Мх)] )Лх

п п

< у I («1 + «1) ^х + ^ I (Л2 + /I) (¿ж

п п

> 0 — произвольное положительное число). Из этого неравенства при выполнении условий (5), (8) и (9) получаем первую априорную оценку

п п

/ аг(х)(и2+ и2х») Лх + (А + е) ^^ / вЧх)(и2х + их») Лх 4=1 п 4=1 п

+ J (и 1 + м1) ^х < 2(а0 + 60) / ^ + ^

п п

Для получения следующей оценки умножим первое уравнение системы (Зе,^) на (А + а второе уравнение — па (А + В)и2(х) и проинтегрируем. От полученного равенства, учитывая условие (6), нетрудно перейти к неравенству

J [(Аи)2 + (Аи2)2] Лх + [(Виг)2 + (Ви2)2] Лх

п п

^ [/1(А + В)и1+/2(А+В)и2]^х. (14)

Применяя неравенство Юнга, получим оценку

У [{лих)2 + (Ли2)2] ¿х + У {{вт)2 + (Ви2)2] ¿х < С(й) У (/ + /) ¿X, п п п

(15)

где — произвольная положительная постоянная, число С(^) определяется коэффициентами операторов Л В и числом ¿1. Из оценки (15) и второго основного неравенства для эллиптических операторов [6] следует оценка

Ни1 |Ц(П) + \\и2 |Ц(П) < С1 J (й + /I) ¿Х (16)

П

в которой число С определяется лишь коэффициентами операторов Л, В и числом е.

Из теоремы о методе продолжения по параметру и оценок (15), (16) получим, что краевая задача (Зе,^), (2) имеет решение при к € [0,1] такое, что и(х) € ^(П) и и2(х) € "ЩЩ.

Перейдем к получению следующих оценок. Пусть Л2 Ф 0. Умножим первое уравнение системы (Зе) на — -^и2(х), второе — на щ(х), сложим и проинтегрируем по области П. Применяя неравенство Юнга и условия теоремы, нетрудно получить неравенство

/ ъгц и Х6 и ^ + и2 Х6 и ж») ¿X

п

+ Ь0 I (и1 + м2) с£г < у I (и1 + и1) Лх + 2(52 |Л212 / ^ + ^ п п п

При (5 = у^о получим следующую оценку:

J ^(Ах*. + ¿Х+ J (и2 + Из) ^Х < ^^ У (/2 + /|) (¿X. (17) ®=1 п п 2 п

Умножим первое уравнение системы (Зе) на Ли(х), второе уравне-

Аи х

J[(Аи)2 + (А-^)2] 3,х + (е + А1) J(Ащ ■ Вщ + Аи2 ■ Вп2) Лх п п

= У [/Ащ + /А^] Лх. (18) п

Вследствие условия (6) выполняется

J (Ащ ■ Вщ + Ащ ■ Вщ) Лх п

(см. [7]). В правой части (18) дважды интегрируем по частям. В силу условия (8) все граничные интегралы, появляющиеся при двукратном интегрировании, будут равны нулю. Используя оценку (17) и неравенство Гёльдера, придем к оценке

I[{Ач-,)2 + {Ач2)2} ¿х^-^!(Л2 + /|) ¿х + 1 {(А/1)2 + (А/2)2} ¿х . п п п

(19)

Умножим первое уравнение системы (Зе) на Ви2, второе — на ■цВи 1, сложим и проинтегрируем по области П. Получим равенство

/[(Ви 1)2 + (Ви2)2] д,х = ——- I (/1-ВМ2 — /2Вщ) <1х. п п

Применяя в правой части неравенство Юнга, нетрудно прийти к оценке

У {{Вт)2 + (Ви2)2} ¿X < -1 у (/2 + /I) ¿с. (20)

п " п

АВ

основное неравенство для эллиптических операторов [6] дают оценку

N

1КНш^п) + Нш^п) <

|А |

У (Л + Л) Лх + у {(А/1)2 + (А/2)2} Лх

(21)

в которой постоянная N определяется коэффициентами операторов А и Б, а, также областью П. Из оценки (21) следует, что в семействе задач (Зе), (2) можно перейти к пределу и тем самым получить решение системы (3), а далее уравнения (1) из пространства Все полученные выше оценки сохранятся.

Теорема доказана.

Замечание 1. В случае 0 < |А21 имеет место оценка

в которой постоянная N определяется функциями а®^ж), Ъг® (ж), г, ] = 1,... ,п, ао(ж), Ьо(ж) и областью П. Доказательство проводится аналогично случаю А2 ^ 1-

Теорема 2. Пусть выполняются условия (4)-(6), (9), (10) теоремы 1 п существуют а > 0, во >0 такие, что

ж) > а > 0, Ж > Л > 0, ж еГ, г=1,...,п. (7')

Тогда существует решение и(ж) уравнения (1), принадлежащее и удовлетворяющее условию (2), при этом для функций и (ж), и (ж) будут выполняться оценки (11) и

в которой числа N4, N определяются функциями а^(ж), Ь®^ж), г,= 1,..., п, ао(ж), Ьо(ж), числом А1, а также областью П.

Доказательство. Вновь рассмотрим задачу (Зе), (2). Для ее решения также будет справедлива оценка (17). Рассмотрим равенство

п

п

п

(18). После интегрирования по частям получим

j [(Aul)J + (Au2)-J]dx+(е + Аl) j а®7Ь (щх,хкщхгх» +^х,-хкщхгх») Лх

п п

+ Л + + 1з + Д + 4 + Ь = J[/Ащ + /Ащ] Лх + 11Г + /2Г, (22)

где

I = -

Ь = -

еА

еА

У (^ Ьк1)Хг( щ хг щ х, + щ2 хг щ х,) П

У (а®7Ьх»)х^щхгщх, + щ2хгщх,) Лх,

1з = (е + А1) У ах5к ьх»(щхг щх, + хг щх,) Лх, п

и = -(е + А1) У {а®7Мщх»щх, + щ2х»^х,) - (а47Ь0х»)х,- (щ2 + щ,)} Лх, П

4 = - (е + А1) У {Ь47 ^(щ х» щ х, + щ2 х» х,) - (Ь®7 а0х») х, (^ + Ц,)} Лх,

п

/е = (е + А1) У ао(х)Ьд(х) (^1 + ^) Лх,

Лг = (е + А1)

А

' дхк

+ (Ьы(и1х1 + и2х1))ик

щ2хг щ2хк) V'

/2Г = ^^ У [^(х^х)^«,^ +-

г

+ ахк (х)Ьк(( хК х» х, ""Ь щ2х» щ2 х,

При выполнении условия (6)

1\+ Ь

>0.

В силу компактности и гладкости границы Г существует положительное число р такое, что в области Пр = {ж € О : ¿(ж, Г) < р} операторы АБ

Для второго слагаемого (22) имеет место представление Ь-(и^и+ ^^_) ¿ж

п

= У а®5 Ьк1( и х,- хк и х№ + и2 х, хк и х№) ¿ж

+ / а®5 Ьк1(их,-хких№ + их,хих№) ¿ж.

fi\fi р

Согласно (7') выполняется неравенство

n ,, n ,,

I a®j ^ XiXj + U dx > ka 53 J A M2 XiXj) dx

®'j=1 fi ®"?=1 fip n „

53 J Ux,x^ M2xixj dX 0 < ^ < aA-

®'J_1 fi\fi р

Проанализируем граничные интегралы. В области ftp для интегралов /ir ввиду [8] и теорем вложения [6,9] выполняется неравенство

n n

^lr 1 < + Al) 53 / (M1 x,x^ М2xixj dx + Ci5) 53 / + dx/

■ся

n „ n „

|/2г | < ф + А!) £ j Кx,x^ Ux4xj dx + ]Г j (■

ется

wj + UJ dx,

®'J=lr

где 6 — произвольное положительное число, С(6) определяется коэф-

А Б А

Проведенные рассуждения позволяют от (22) перейти к неравен-

ству

1х»х,- + и2х»х,-) ¿ж

С

щ

[(Аи)2 + (Аи2)2] ¿ж + (е + А)^ / (и

Пр

п „

+ (£ + 53 / в х4х^ и2х,х3) ¿ж П\П р

У (/ + /) ¿ж + |{(А/)2 + (А/2)2} ¿ж

О о

п п

+ 26(е + А1) 53 / (

) ¿ж+^6) 53 / ( и! + и) ¿ж.

Подбирая 6 малыми и фиксируя, с учетом оценки (17) получим неравенство

Аи Аи ¿ж

р

п п

Умножая первое уравнение системы (Зе) на --^Ви^, а второе — на -^Вщ, придем к равенству

У[(Би)2 + (Би2)2] ¿ж п

1 Г 1 г

= т-— / (АщВщ — Аи2Ви\) (1х + ——- / (/1 Вм2 — /2Вм1) йх. |А | |А |

а а

Применяя неравенство Юнга в правой части, получим Би Би ¿ж

2

< — / [(£«1)2 + (Ви2)2] <1Х + / [(АМ1)2 + (АМ2)2] <1Х

+ у /[(Виг )2 + (Ви2)2} dx + ^ J [ f2 + /|] dx.

Q " fi

Подбирая S малым и фиксируя, после применения неравенства (24) получим оценку

У [(Bui)2 + (Bu2)2] dx + J [(Au)2 + (Auf] dx Q Q

[A2 + ffldx + ]t\jl{Afl)2 + {Ah)2] dx■

J n n

Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, завершающим доказательство теоремы 1. Теорема доказана.

Замечание 2. Оценки теорем 1 и 2 свидетельствуют о поведении решений задачи (1), (2) при |А21 ^ те. Именно это необходимо для обращения преобразования Лапласа. Вместе с тем нетрудно получить оценки, свидетельствующие о поведении решения при А ^ те.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов Л. If. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // Докл. РАН. 1992. Т. 236, № 5. С. 781-786.

2. Kozbanov А. I Certain classes of degenerate Sobolev-Galpern equation // Sib. Adv. Math. 1994. V. 4, N 1. P. 65-94.

3. Кожанов А. И. Существование «почти регулярных» решений граничной задачи для одного класса линейных соболевских уравнений нечетного порядка / / Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т. 4, вып. 1. С. 29-37.

4. Kozbanov А. I. Composite type equation and inverse problem. Utrecht: VSP, 1999.

5. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

7. Кожанов А. И. Линейные обратные задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа // Вести. Южно-Уральск. ун-та. Мат. моделирование и программирование. 2012. Вып. 11, № 5. С. 33-42.

8. Ладыженская О. А. Об интегральных оценках, сходимости приближенных методов и решений в функционалах для линейных эллиптических операторов / / Вестник ЛГУ. 1958. № 7. С. 60-69.

9. Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

г. Якутск

21 декабря 2012 г.