CC BY
9
2012
УДК 517.925
Доклады БГУИР
№ 1 (63)
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В.Э. ЖАВНЕРЧИК
Институт информационных технологий Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники Козлова, 28, Минск, 220037, Беларусь
Поступила в редакцию 14 ноября 2011
Получены достаточные условия существования нескольких изолированных периодических решений уравнения х + f (х, х)х + g(х) = 0.
Ключевые слова: изолированное периодическое решение, предельный цикл, фазовая плоскость, простая замкнутая кривая.
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
х + /(х, х) х + g (х) = 0 (1)
в предположении, что функции /(х, х) и g (х) непрерывны и удовлетворяют условиям, гарантирующим для (1) единственность решения задачи Коши. Этим уравнением можно описать различные динамические системы, имеющие существенно нелинейный характер.
Уравнение (1) и его частные случаи исследовались многими авторами, [1, 2]. Заменим уравнение (1) эквивалентной системой дифференциальных уравнений
Г х = у,
\ (2)
Iу = -/(х, у)у - g(х).
В данной работе получены достаточные условия существования нескольких предельных циклов системы (2) и указана область их месторасположения. При этом для отыскания предельных циклов системы (2), соответствующих изолированным периодическим решениям уравнения (1), используется теорема Пуанкаре-Бендиксона [1]. Введем обозначения:
г(х) =(-1) * Ь * а - хХ = Ь * (а *- а *X
Я* (х) = (-1)* Ь* - f ( х, г (х)),
Dj = {(х; у)| а,* < х < а2J, ЬJ (а,* - х) < (-1)*у < ЬJ (а2J - х)},
где Ь., а.. - действительные числа; I, * - натуральные числа.
Лемма. Пусть существуют числа Ь* > 0 и а1* < а2* такие, что при * = 1 или * = 2 выполняются условия:
1) g (а,;) < 0, g (а2.) > 0;
2) г2 * (х) Я2 * (х) < g (х) < г * (х) Я1 * (х) при х е [а1 *, а2 * ].
Тогда в фазовой плоскости существует простая замкнутая кривая, которую (при возрастании ^ пересекают траектории системы (2): при . = 1 выходят из конечной области, ограниченной этой кривой, а при . = 2 входят в указанную область.
Для доказательства леммы рассмотрим на фазовой плоскости хОу область D. - параллелограмм PjQjRjSj с вершинами в точках Р. (а1.; 0), Qj (а2. ;(-1)^I.), Rj (а2.; 0), Б. (а1.; (-1)11.) и со сторонами, определяемыми уравнениями:
РО : у = г. (х); О Я : х = а2.; Я Б : у = г2. (х); БР : х = а,..
Из условия 1) следует, что на границе параллелограмма Р.О.Я.Б. не содержится особых точек системы (2). Вычислим полную производную функций и.(х, у) = у + (-1)1 X х = С и и (х) = х = С по времени t в силу системы (2) в точках границы дD. параллелограмма Р.О.Я.Б.. С учетом условия 2) заключаем, что фазовые траектории системы при возрастании t пересекают границу параллелограмма Р.О.Я.Б.: при . = 1 выходят из параллелограмма, а при . = 2 входят в указанный параллелограмм.
Теорема 1. Пусть существуют числа X. > 0, а.. (I = 1,2; . = 1, т +1) такие, что:
1) ап < 0 < а21, (-1)'а. < (-1)'а.+„ I = 1, 2; ] = 1, т;
2) xg(х) > 0 при х е [а1 т+„ а2 т+1]\{0};
3) тг. (х)Я2. (х) < g(х) < г. (х)Я. (х) при х е [а1., а2.], ] = 1, т +1.
Тогда система (2) имеет по крайней мере т предельных циклов, причем в каждом параллелограмме D (. = 2, т +1) на плоскости хОу расположено не менее . -1 предельных циклов, из которых [. / 2] устойчивы и [(. -1) / 2] неустойчивы.
Действительно, из приведенной выше леммы вытекает существование в фазовой плоскости хОу простой замкнутой кривой дD. (. = 1, т +1), которую пересекают траектории системы (2): при j нечетном выходят из параллелограмма D., а при j четном входят в указанный параллелограмм. Из условия 1) теоремы следует, что параллелограмм D. содержится внутри
параллелограмма D1 (. = 1, т). Следовательно, между кривыми дD. и дD.+1 при j нечетном находится по крайней мере один устойчивый предельный цикл и при j четном - неустойчивый. Теорема 2. Пусть существуют числа X. > 0, а.. (' = 1, 2; . = 2, т +1) такие, что:
1) а12 < 0 < а22, (-1)'а.. < (-1)'^.+„ I = 1, 2; ] = 2, т;
2) xg(х) > 0 при х е [а т+\, а2 „+^{0};
3) г2. (х)Я2. (х) < g(х) < г. (х)Я . (х) при х е [а1., а2.], ] = 2, т +1;
4) f (0, 0) < 0.
Тогда система (2) имеет по крайней мере т предельных циклов, причем в каждом параллелограмме D (. = 2, т +1) на плоскости хОу расположено не менее . -1 предельных циклов, из которых [. / 2] устойчивы и [(. -1) / 2] неустойчивы.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Отметим лишь, что в качестве внутренней границы искомой кольцевой области с внешней границей дD2 можно взять лежащую в окрестности начала координат плоскости хОу одну из кривых однопарамет-рического семейства кривых
Х(х, у) = - у2 +| g= С. 2 0
Рассмотрим дифференциальное уравнение
х + Х Л (х) х *+1 + g (х) = 0,
которое эквивалентно системе
х = у,
п (3)
у = -Х (х) у*+1 - g(x),
к=0
где п е N; функции /к (х) (к = 0, п) и g(х) удовлетворяют условиям:
/21 (-х) = /21 (х), / = 0,1,..., [п/2];
Л+Д-х) = -У2/+1 (х), / = 0,1,..., [(п -1)/2]; g (-х) = - g (х).
Обозначим:
^(х) = (-1)*(а. -х), RJ(х) = (-1УX. /к(х)г*(х),
к=0
DJ = {(х; у)||х| < а., |у + (-1)*х| < X.а.},
где , а. е R; . е N.
Из теоремы 1 вытекает утверждение.
Следствие 1. Пусть существуют числа X. > 0, а. (. = 1, т +1) такие, что:
1) 0 < а < а- < ... < ат+{;
2) g(х) > 0 при х е (0, а,^];
3) г. (х)RJ (х) < g(х) при |х| < а , . = 1, т +1.
Тогда система (3) имеет по крайней мере т предельных циклов, причем в каждом параллелограмме DJ (. = 2, т +1) на плоскости хОу расположено не менее . -1 предельных циклов, из которых [. / 2] устойчивы и [(. -1) / 2] неустойчивы. Из теоремы 2 вытекает утверждение.
Следствие 2. Пусть существуют числа X. > 0, а. (. = 2, т +1) такие, что:
1) 0 < а2 < аз < ... < ат+,;
2) g(х) > 0 при х е (0, а,^];
к=0
3) r.(x)Rj(x) < g(x) при |x| < a., j = 2, m +1;
4) /o(0) < 0.
Тогда система (3) имеет по крайней мере m предельных циклов, причем в каждом параллелограмме D (j = 2, m +1) на плоскости xOy расположено не менее j -1 предельных циклов, из которых [ j / 2] устойчивы и [(j -1) / 2] неустойчивы.
ON PERIODIC SOLUTIONS OF THE SECOND ORDER EQUATION
V.E. ZHAVNERCHIK Abstract
The sufficient conditions for the existence of several isolated periodic solutions of the equation x + /(x, x)x + g(x) = 0 are obtained.
Список литературы
1. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1974.
2. Амелькин В.В., ЖавнерчикВ.Э. // Вестн. Белорус. ун-та. Сер.1. 1996. №2. С. 36-41.
