О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ МАКСИМАЛЬНЫХ БЕСКОНЕЧНО-ПОРОЖДЕННЫХ КЛАССОВ 01-ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Марченков Сергей Серафимович

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 519.716

doi:10.21685/2072-3040-2021-3-1

О перечислении максимальных бесконечно-порожденных классов 01-функций трехзначной логики

С. С. Марченков

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия

ssmarchen@yandex. ги

Аннотация. Актуальность и цели. Операция суперпозиции является основной операцией при исследовании функций многозначной логики. На базе этой операции определяются классификации функций многозначной логики, позволяющие решать важные проблемы выразимости и полноты. Однако если для булевых функций (функций двузначной логики) эти проблемы давно решены, то, например, для функций к-значной логики (при к > 3) проблема описания всех замкнутых классов, по-видимому, не может иметь удовлетворительного решения - в этом случае число замкнутых классов континуально. В связи с этим исследования по замкнутым (относительно операции суперпозиции) классам функций к-значной логики развиваются в направлении описания различных фрагментов решетки замкнутых классов: максимальных и минимальных классов, верхних и нижних конусов, конечных и счетных интервалов, определяемых содержательно интересными классами, и т.п. Одна из задач данного направления, поставленная С. В. Яблонским в начале 1980-х гг., - описать все максимальные бесконечно-порожденные классы решетки замкнутых классов. В 1986 г. Е. А. Михеева и Г. Тардош нашли примеры таких максимальных классов: Е. А. Михеева - при любом к > 3, Г. Тардош - при к = 8. Идеи Тардоша в дальнейшем развивала О. С. Дудакова. Вместе с тем при фиксированных к определить серии максимальных бесконечно-порожденных классов пока не удалось. В 2019 г. автор опубликовал статью, где в трехзначной логике определены 4 максимальных бесконечно-порожденных класса Щ — П4, которые состоят из функций, принимающих лишь значения 0 и 1 (такие же классы можно определить для функций, принимающих значения 0,2 и 1,2). Таким образом, появилась серия из 12 максимальных бесконечно-порожденных классов. Есть все основания полагать, что классами Щ — П4 исчерпываются все максимальные бесконечно-порожденные классы 01-функций. Доказать этот факт можно по следующей схеме. Сначала для каждого класса П, следует определить все «простейшие» функции от двух или трех переменных, которые получаются суперпозициями из произвольной функции, не принадлежащей классу Пг-. Затем необходимо перебрать всевозможные четверки «простейших» функций и с использованием известных достаточных условий конечной по-рождаемости установить конечную порождаемость замкнутых классов, содержащих выбранные четверки функций. Материалы и методы. В построениях и доказатель-

ствах используются методы теории функциональных систем. Результаты и выводы. Рассматривается класс П -функций трехзначной логики, принимающих только значения 0 и 1. В классе П определены 4 бесконечно-порожденных класса Щ — П 4, которые обладают свойством максимальности: всякий замкнутый класс из П, собственным образом содержащий любой из классов Щ — П4, является конечно-порожденным. Для каждого класса Пг- и произвольной функции f, не принадлежащей Пг- и существенно зависящей не менее чем от двух переменных, определяются все «простейшие» функции от двух или трех переменных, которые получаются суперпозициями функции f и которые не входят в класс Пt. В дальнейшем все эти

функции предполагается использовать для доказательства того, что в классе Пг- все

максимальные бесконечно-порожденные классы исчерпываются классами Щ — П4.

Подобное доказательство ориентировочно должно заключаться в анализе нескольких тысяч четверок, состоящих из полученных «простейших» функций.

Ключевые слова: бесконечно-порожденные классы, 01-функции трехзначной логики, теория функциональных систем

Финансирование: работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 19-01-00200.

Для цитирования: Марченков С. С. О перечислении максимальных бесконечно-порожденных классов 01-функций трехзначной логики // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 3. С. 3-16. doi:10.21685/2072-3040-2021-3-1

On the enumeration of maximal infinitely-generated classes of 01-functions in three-valued logic

S.S. Marchenkov

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia ssmarchen@yandex.ru

Abstract. Background. The superposition operation is the main operation in the study of multivalued logic functions. On the basis of this operation, classifications of multivalued logic functions are defined, which allow to solve important problems of expressiveness and completeness. However, if these problems have long been solved for Boolean functions (functions of two-valued logic), then, for example, for functions of k-valued logic (for k > 3), the problem of describing all closed classes seems to have no satisfactory solution -in this case, the number of closed classes is continuous. In this connection, research on closed (with respect to the superposition operation) classes of functions of k-valued logic develops in the direction of describing various fragments of the lattice of closed classes: maximum and minimum classes, upper and lower cones, finite and countable intervals defined by meaningful classes, etc. One of the tasks of this direction, set by S. V. Yablonsky in the early 1980s, is to describe all maximal infinitely generated classes of a lattice of closed classes. In 1986, E. A. Mikheeva and G. Tardosh found examples of such maximal classes: E.A. Mikheeva for any k > 3, G. Tardosh for k = 8. The ideas of Tardosh were further developed by O.S. Dudakova. However, for fixed k, it has not yet been possible to determine the series of maximal infinitely-generated classes. In 2019, the author published an article where 4 maximal infinitely-generated classes Щ — П4 are defined in three-

valued logic, which consist of functions that take only the values 0 and 1 (the same classes can be defined for functions that take the values 0,2 and 1,2).Thus, a series of 12 maximal infinitely-generated classes appeared. There is every reason to believe that the classes

П -П4 exhaust all maximal infinitely-generated classes of 01-functions. This fact can be proved by the following scheme. First, for each class Пг-, you should define all the "simplest" functions from two or three variables that are obtained by superpositions from an arbitrary function that does not belong to the class Пг-. Then it is necessary to iterate through

all possible fours of the "simplest" functions and, using known sufficient conditions of finite generatability, to establish the finite generatability of closed classes containing the selected fours of functions. Materials and methods. The constructions and proofs use the methods of the functional systems theory. Results and conclusions. We consider a class П of functions of three-digit logic that accept only the values 0 and 1. In the classroom П there are 4 infinitely-generated classes Щ -П4 that have the maximality property: every closed class of П that contains any of the classes Щ - П4 in its own way is finitely-generated. For each class П1 and an arbitrary function f that does not belong to П1 and

essentially depends on at least two variables, all "simplest" functions of two or three variables that are obtained by superpositions of the function f and that are not included in the

class П; are defined. In the future, all these functions are supposed to be used to prove that in the class П, all maximal infinitely-generated classes are exhausted by the classes П1 - П4. Such proof should roughly consist in the analysis of several thousand fours, consisting of the obtained "simplest" function.

Keywords: infinite-generated classes, 01-functions in ternary logic, theory of functional systems

Acknowledgments: the research was supported by the RFBR, project No. 19-01-00200

For citation: Marchenkov S.S. On the enumeration of maximal infinitely-generated classes of 01-functions in three-valued logic. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Pov-olzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(3):3-16. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-3-1

Введение

В вопросах классификации функций многозначной логики широкое распространение получил подход, основанный на операторах замыкания. Наиболее исследованным является оператор суперпозиции. Для булевых функций (функций двузначной логики) все замкнутые относительно суперпозиции классы были найдены Э. Постом [1, 2] (современное изложение результатов Поста имеется, например, в книгах [3, 4]). Таких классов оказалось счетное число, каждый из классов имеет конечный базис по суперпозиции.

В 1959 г. Ю. И. Янов и А. А. Мучник [5] обнаружили, что при любом k > 3 число замкнутых классов в Pk (множество всех функций k -значной логики) континуально. Оказалось также, что среди замкнутых классов в Pk имеются как замкнутые классы, не имеющие базиса, так и замкнутые классы со счетным базисом. Поэтому при исследовании решетки замкнутых классов в Pk в основном ограничиваются некоторыми содержательно интересными конечными либо счетными фрагментами.

В начале 1980-х гг. С. В. Яблонским была сформулирована задача о поиске максимальных (по включению) бесконечно-порожденных классов в Pk .В 1986 г. Е. А. Михеева [6] построила такие классы: при k = 3 максимальный класс на глубине 5 в решетке всех замкнутых классов и при

любом к >3 максимальные классы на глубине 3. В том же году Г. Тардош [7] установил существование подобного замкнутого класса в 8-значной логике на глубине 1 (предполный класс монотонных функций).

Задаче поиска всех максимальных бесконечно-порожденных классов 01-функций трехзначной логики посвящена работа автора [9]. В ней определены 4 бесконечно-порожденных замкнутых класса П — П 4, максимальность классов П1, П2 установлена в [9] (для классов П3, П4 этот вопрос также положительно решен и публикуется в журнале «Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика»).

Автор предполагает, что классы Щ — П4 являются единственными максимальными бесконечно-порожденными классами 01-функций трехзначной логики. Доказать этот факт можно следующим образом. Для каждого класса Пг- (1 < / < 4) и произвольной функции / , не принадлежащей классу Пг- и существенно зависящей не менее чем от двух переменных, необходимо найти все «простейшие» функции от двух или трех переменных, которые получаются суперпозициями функции / и которые также не принадлежат

классу Пг-. Это составляет первый этап решения поставленной задачи. На втором этапе следует перебрать все четверки «простейших» функций (в каждую четверку входит по одной функции, «порождаемой» каждым классом Пг-) и с использованием достаточных условий конечной порождаемости классов, установленных в [9], доказать конечную порождаемость любого замкнутого класса, содержащего рассматриваемую четверку функций. Этот этап представляется наиболее трудным из-за огромного числа вариантов, подлежащих рассмотрению.

В настоящей работе полностью выполнен первый этап: для каждого класса Пг- получены списки обозначенных выше простейших функций от двух или трех переменных. Списки по каждому классу содержат 10-16 функций. Таким образом, на втором этапе решения данной задачи предстоит перебрать несколько тысяч вариантов.

Основные понятия и предварительные сведения

Пусть к > 2, Ек ={0,...,к — 1} и Рк - множество всех функций на Ек (множество функций к -значной логики). Функции из Р2 называем булевыми функциями. Обозначим через П множество всех функций из Р3, принимающих только значения 0 и 1 (множество 01-функций). На множестве Р3 рассматриваем операцию (оператор) суперпозиции. Если Q с Рк, то пусть [ Q ] обозначает замыкание множества Q относительно операции суперпозиции. Множество Q называется замкнутым классом, если Q = . Обозначим через Q(n) множество всех функций из Q, зависящих от п переменных. Говорим, что замкнутый класс Q является конечно-порожденным, если существует такое п, для которого выполняется равенство Q = ^(п)]; в противном случае класс Q будем называть бесконечно-порожденным. Замкнутый класс

Q сП называем максимальным бесконечно-порожденным классом, если класс Q бесконечно-порожден и всякий замкнутый класс из П , собственным образом содержащий класс Q , является конечно-порожденным.

Пусть / е П(п). Булевым ограничением функции / называем ограничение функции / на множество Е^ (это подфункция функции /, которая

рассматривается на множестве Е2). Булево ограничение функции / обозначаем посредством В/. Если Q сП , то пусть BQ обозначает множество булевых ограничений всех функций из Q . Очевидно, что для функций из класса П булево ограничение является булевой функцией. Если класс Q замкнут, то BQ также является замкнутым классом.

Для представления функций из П будем использовать обычные булевы функции: «©» (сложение по модулю 2), «V » (дизъюнкция), «•» (конъюнкция) и «—» (отрицание). Функции /1(х),/2(х) из класса П задаются соответственно векторами значений (010), (001). В работе [9] установлено, что любую функцию / из класса П можно единственным образом представить в виде

с © ]§ /ал(хО •. • /о (Х ),

1 1 т т

где суммирование проводится по модулю 2; переменные х{ ,..., х{ попарно

1 т

различны, се{0,1} и 01,...,0т е{1,2}. Это представление будем называть полиномиальным представлением функции / и обозначать Ро1 (/).

Пусть П1 есть класс всех функций из П , полиномы которых имеют

вид

с © /1(х^) ©... © /1 (хк) © ^ /2 (х^) •. • /2 (Х1т),

где с е {0,1}.

Обозначим через П2 множество всех функций /(х1,..., хп) из П , таких, что либо В/ есть константа, либо найдется такое 1 < ■ < п, что функция / представима в виде

/1( х1) • М хЬ. • •, хг—1, х1+Ь. • •, хп ) © / 2( х1) • к2( x1,. , хг—1, хг+1,. • •, хп ) ©

©¿3( xl,., х—ь xг■+l,., хп ),

где В^1, В^3 - константы и все слагаемые полиномов РоЦ/^), Ро1(^;), отличные от 1, состоят только из множителей / .

Класс П3 определим следующим образом: функция / (х^..., хп) из П принадлежит классу П3 в том и только том случае, когда либо В/ -константа, либо ВДх^...,хп) = х1 V... V х1 и /(а^...,ап) = 1 на любом

1 т

наборе (а^...,ап) из Е™, для которого (а1 ,...,а■ ) е Е^Т и 1е {а, ,...,а■ }.

Класс П4 сопряжен с классом П3 относительно перестановки 2х + 1(тоа 3).

Функция f (хц,...,хп) из Pk называется мажоритарной, если п >3 и для любого /,1 <i <п, выполняется тождество /(у,...,у,х{,у,...,у) = у.

В [9] получены следующие достаточные условия конечной порождае-мости замкнутых классов из П .

Утверждение 1. Если замкнутый класс Q сП содержит функцию с мажоритарным булевым ограничением, то класс Q - конечно-порожденный.

Пусть ф(у) обозначает одну из функций / (у), (у) © /2 (У) •

Утверждение 2. Если замкнутый класс Q сП содержит функцию

ф(У)' /2 (х) V ф(У2)' /2 (х), то класс Q является конечно-порожденным.

Следствие. Пусть замкнутый класс Q сП содержит функцию вида с © ф(х) © ф(у)/2(г), где с е {0,1} . Тогда класс Q конечно порожден.

Доказательство. Заметим, во-первых, что достаточно рассмотреть случай, когда с = 0. В самом деле, булево ограничение функции /(х) = 1 © ф(х) © ф(х) /2 (х) есть х © 1. Поэтому, подставляя функцию 1 © ф(х) © ф(у)/2 (г) в функцию /(х), мы избавимся от слагаемого 1.

Далее подставим функцию ф(У1) © ф(У2)/2 (х) в функцию ф(г) © ©ф(У1)/2(х) на место переменной г и получим функцию ф(У1)© ©ф( У1) х) ©ф( У2) х), которая, как нетрудно заметить, равна функции ф(У1) /2 (х) © ф(У2) /2 (х) . Непосредственно проверяем, что последняя функция совпадает с функцией ф(л)х) V ф(У2)/2(х). Следствие доказано.

Обозначим через deg 1 (/) -степень полинома функции / (максимальное число функций /1 , которые входят в слагаемое полинома),

рассматриваемую только для нелинейных слагаемых полинома.

Утверждение 3. Пусть замкнутый класс Q сП содержит такие

функции I (х, у, г) и g , что В1 (х, у, г) = х © у © г, Bg е Ь и deg 1 (g) > 1. Тогда класс Q является конечно-порожденным.

Основные результаты

Перейдем к исследованию неодноместных функций / из множества П \ П1. Нас будут интересовать функции от двух или трех переменных, которые можно получить из функции / и которые не входят в класс П1.

Итак, пусть / - неодноместная функция из множества П \ П1. Рассмотрим возможные случаи для функции В/.

1. Функция В/ существенно зависит по крайней мере от двух переменных.

Пусть сначала функция В/ линейна. Тогда ввиду соотношения / йЩ /1 -степень полинома функции / не меньше 1. Кроме того, суперпозициями функции / можно, очевидно, получить такую функцию I(х,у,г), что

В1 (х,у,г) = х © у © г . Применяя утверждение 3, заключаем, что всякий замкнутый класс функций из П , содержащий функцию / , будет конечно порождаем.

Пусть теперь функция В/ нелинейна. Известно (см., например, [3, 4]), что из всякой нелинейной булевой функции суперпозициями можно получить одну из функций ху V хг V уг, х V у, х - у . Если получилась функция ху V хг V уг , то ввиду утверждения 1 вновь приходим к тому, что всякий замкнутый класс из П , содержащий функцию / , является конечно-порожденным.

Таким образом, дальнейшим исследованиям подлежат функции / из П \ П1, которые порождают функции с булевыми ограничениями

х V У, х' у. (1)

2. Функция В/ существенно зависит только от одной переменной (пусть это будет х1 ).

Тогда Ро1(/) включает линейную часть с © /1(х^, где с е{0,1}, а каждое из остальных слагаемых содержит множитель /2 . Кроме того, ввиду соотношения / йЩ среди данных слагаемых есть хотя бы одно, в которое входит множитель /1 . Заметим также, что полное отождествление переменных в функции / дает одну из функций с © / (х), с © / (х) © /2 (х), из которых суперпозициями получается одна из функций (х), (х) © /2 (х) (в дальнейшем будем обозначать ее через ф(х)). Кроме того, поскольку булево ограничение каждой из функций 1 © / (х), 1 © / (х) © /2 (х) равно х , далее можно предполагать, что в полиноме функции / константа с равна 0. Выберем в Ро1 (/) слагаемое вида

ЛЦ)•.••'71(х! )'/2(хк1)'/2(хк X (2)

1 р 1 ч

где р, ч > 1, число ч выбрано наименьшим возможным, число р -наименьшим возможным для данного ч .

Заменим в функции / переменные х^,...,ху переменной х^ , а

переменные х^,...,хк - переменной хк1 . Полученную функцию обозначим

через /1 . Заметим, что в полиноме функции /1 будет присутствовать слагаемое (х^)' /2 (хк1). В самом деле, согласно выбору параметра ч

всякое слагаемое в Ро1(/1) вида (2) и отличное от слагаемого (2) имеет /2 -«суффикс» длины, не меньшей ч . Если этот суффикс не совпадает с /2 (хк1)'.' /2 (хк ), то при подстановке переменной х^ такой суффикс не

превратится в /2 (хк1). Если же суффикс совпадает с /2 (х^) •...' /2 (хк ),

то аналогичные рассуждения применимы к «префиксу» (х^)•...'ху ).

Как отмечалось, в полиноме функции /1 нет слагаемых, отличных от /1 (х1), которые состоят только из сомножителей /1. Если же имеется слагаемое S вида (2), отличное от слагаемого / (х^) • / (х^), то в S

непременно входят сомножители /1(х5), /2(х{), где (5, t) Ф (■1,к1). Заменим в функции /1 переменную х5 переменной . В результате слагаемое S обратится в 0, а слагаемое /1(х^) • /2(хк1) сохранится. Проделав эту

процедуру несколько раз, мы добьемся того, что в полиноме образовавшейся функции /2 будет присутствовать слагаемое /1 (х^) • / (хк1), но не будет

слагаемых с указанными выше сомножителями /1(х5), /2(х1) . Наконец, заменим в функции /2 каждую переменную ху, где V Ф к , функцией ф(xv). Полученную функцию обозначим через /3 .

Из построений следует, что функция /3 может существенно зависеть только от переменных х1, х^, х^ (переменная х1 может совпадать с любой из

переменных х^, х^ ), при этом функцию /3 можно записать в виде

если к =1, и в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/1 (х1) © ф(х^) • /2(х1) © а • /2 (х1), (3)

ф(х1) © ф(х^) • /2(хк1) © а • /2(хк1) (4)

в противном случае (здесь ае{0,1}). Формулу (3) перепишем в более компактной форме:

/1(х1) © (а ©ф(х^))/2 (х1).

В формуле (4) заменим переменную х^ переменной х1:

ф(х1) © ф(х1)/2 (хк1) © а • /2 (хк1).

В зависимости от значения константы а получаем следующие 4 функции (переменные х^, х^ заменяем переменной х2):

/!(х1) ©ф(х2)/2(х1), /1(х1) ©ф(х2)/2(х1), ф(х1)/2(х2), ф(х^ V /2(х2). (5)

3. Функция В/ является константой (обозначим ее с ).

Сразу отметим, что из функции / можно получить константу с -достаточно подставить функцию / (х,..., х) в себя. Далее проводим с функцией / те же преобразования, что и в пункте 2: выделяем в Ро1(/) слагаемое (2) и производим соответствующие отождествления переменных до получения функции /2. А далее при получении функции /3 вместо функций ф(xv) используем константу с . В результате, если переименовать

переменные и опустить константу с, то полином функции /3 будет содержать слагаемое / (х1)' /2 (х2) и, возможно, некоторые из слагаемых

Л( х2)' /2( х1), /2( х1)' /2( *2), /2( х1), /2( х2).

Если положить /4(х1, х2) = /3(/3(х1, х2), х2), то в полиноме функции /4 останется слагаемое /\(х1)'/2(х2) и, возможно, слагаемое /2(х2). Таким образом, полином функции /4 может иметь лишь вид

с © /1(х1)' /2(*2), или с © /1(х1)' /2(х2) © /2(х2) = с © х^' /2(*2). (6)

Подведем итог проделанным построениям.

Теорема 1. Пусть функция / из множества П \ П1 существенно зависит не менее чем от двух переменных. Тогда суперпозициями функции / можно получить функцию из множества П \ П1 одного из следующих типов:

1) имеющую булево ограничение вида (1);

2) равную одной из функций (5), (6).

Перейдем к исследованию функций из множества П \ П2 . Пусть / (хь... , хп) еП \ П2 . Тогда В/ отлична от константы. Рассмотрим два возможных случая для функции В/ .

1. Функция В/ существенно зависит по крайней мере от двух переменных.

Известно [3, 4], что из всякой булевой функции, существенно зависящей не менее чем от двух переменных, суперпозициями можно получить одну из функций

х V У, х' У, х © У © г (7)

или функцию ху V хг V уг . Так же как при рассмотрении класса П1, случай функции ху V хг V уг приводит к конечной порождаемости класса, содержащего функцию / . Поэтому для дальнейших исследований мы оставляем лишь такие функции / из П \ П2 , которые порождают функции с булевыми ограничениями (7) (заметим, что в этом пункте мы не можем применить утверждение 3, поскольку условие / й П2 еще не гарантирует, что /1 -степень полинома функции / больше 0).

2. Функция В/ существенно зависит только от одной переменной (пусть это будет переменная х1 ).

Заметим, что функция / (х,..., х) совпадает с одной из функций

/1( х), 1 © /1( х), /1( х) © /2( х), 1 © /1( х) © /2( х). (8)

Очевидно, что из функций 1 © (х), 1 © (х) © /2 (х) можно получить функции /1 (х), /1 (х) © /2 (х). Поэтому пусть ф(х) - функция этого вида, которая порождается функцией ряда (8). Представим функцию / в виде

/ (хЬ..., хп ) = /1( х1)' Й1( х2,., хп) © /2( х)' Ъг( х2,., хп) © Лэ( х2,., хп),

где Bhy=\ и Bh- = const. Полагая fi(xi,..., xn ) = f (ф^), X2,..., xn), приходим к представлению

fl(xi,.,Xn) = Ф(xx) • hi(X2,.,Xn) eh-(X2,.,Xn).

Поскольку f g П2, j -степень одного из полиномов Pol (hi), Pol (h-) отлична от 0.

2.1. Пусть сначала не равна нулю j -степень полинома Pol (hi). Возьмем в полиноме функции hi слагаемое вида (2), где p, q > i, число q выбрано наименьшим возможным, а число p - наименьшим возможным для данного q. Далее повторим для функции hi все те отождествления переменных и подстановки функций ф(Xv), которые мы проводили для функции f из множества П \ П. В результате этих преобразований функция f превратится в функцию f (Xi, x^ , x^), функция

h- - в функцию h( x^, x^i), и при этом будет справедливо равенство

fi(xi, xi , xki) = Ф( xi) • (i e Ф( xi ) • j (xki ) e a • j (xki )) e h( xi , xki ), (9)

где a e {0,i} и слагаемые полинома функции h (за исключением i) составлены из сомножителей ф( x^), 72 (x^) (при наличии в слагаемом сомножителя

ф(Xjii) обязательно должен быть сомножитель j2(x^)). Заменяя переменные

Xi, Xi , x^i переменными x, y, z , приходим к следующим двум функциям

fi( x, y, z):

ф(x)(ie ф(y)72(z)) eh(y,z), ф(x)(ieфy)j2(z)) eh(y,z).

Первую из функций (9) в зависимости от функции h(y, z) можно представить в одной из следующих форм:

ф(x)(i e ф(y)j2 (z)), ф(x)(i e ф(y) j2 (z)) e i, ф(x)(i e фy)j2(z)) e 72 (z),

ф x) e ф( x)9(y) j'2 (z), ф( x)(i e ф( y) j2( z)) e i e j2( z), ф xMy) j2( z),

ф(x) e^(x)ф(y)j2(z) e j2(z), фx^(y) j2(z) e j2(z). (i0)

Рассмотрим вторую из функций (9). Положим f (x, y, z) = = fi(fi(x,y,z),y,z). Восемь возможных случаев полинома функции h(y,z) приводят к следущим пяти функциям f2(x, y, z) :

ф(x)(i e ф(y)j'2 (z)), ф(x)(i e ф(y)j'2 (z)) e i, (ф( x) e j2 (z))(i e ф y) j2 (z)) e 72 (z), (ф(x) e j2(z))(ie ф(y)j2(z)) e Ъ(z), ф(x)(ie фy)j2(z)) e фy)j2(z). (ii)

Первая функция получается, если полином функции h(y, z) равен одной из функций 0, ф(y) j2 (z), i e j2 (z) e ф(y) j2 (z); вторая функция - когда

h = 1; третья - когда h = j (z); четверая - когда h = 1 © j2 (z); пятая - когда

h = 1 © ф(у)j2(z) •

2.2. Пусть ji -степень полинома функции hi равна 0. В силу условия f й П2 ji -степень полинома функции h- должна быть отлична от 0. Так же как в п. 2.1, отождествлением переменных и подстановкой функции ф приводим функцию h- к одному из видов

С © ф(*2) • j2(хз), с © ф(Х2) • j2(хз).

При этом полином функции hi либо примет вид 1 © j2 (x-), либо будет равен 1 (поскольку j -степень полинома функции h1 равна 0). Таким образом, в рассматриваемом случае из функции f можно получить одну из функций

с © ф(Х1) © ф(Х2) • j2(Х3), с © ф(Х1) © ф(Х2) • j2 (Х3), с © ф(Х1) • j2(Х3) © ф(Х2) • j2(Х3), с © ф(Х1) • j2(Х3) © ф(Х2) • j2(Хз). (12)

Теорема 2. Пусть функция f принадлежит множеству П \ П2 . Тогда суперпозициями функции f можно получить функцию из множества П \ П2 одного из следующих типов:

1) имеющую булево ограничение вида (7);

2) равную одной из функций (10)-(12).

Перейдем к классу П- . Пусть f еП \ П- . Из определения класса П-следует, что f (Х1,...,Хп) удовлетворяет следующим условиям: Bf Ф const и если Bf (Х1,..., Хп) = xi v ... v xi , то существует такой набор (01,., an) е E-,

1 m

что (ai ,...,ai )е Em, f(01,.,an) = 0 и 1е (a, ,...,ai }. Рассмотрим возмож-

1 m 1 m

ные случаи для функции Bf.

1. Если Bf не является дизъюнкцией (к дизъюнкциям относим обе константы), то, используя известные результаты по булевым функциям [-, 4], заключаем, что суперпозициями функции f можно определить функцию, булево ограничение которой совпадает с одной из функций

Х, Х1Х2, Х1 v Х2Х-, Х1 © Х2 © Х- (1-)

или с функцией Х1Х2 v Х1Х- v Х2Х-. В последнем случае, как это отмечалось выше, вхождение в замкнутый класс функции f обеспечивает конечную порождаемость класса.

2. Пусть теперь Bf (Х1,..., Хп) = Х1 v ... v Хт и существует набор

a = (a1,...,an)е E- , который удовлетворяет сформулированным выше условиям.

Положим ф(х) = f (x,..., х). Очевидно, что ф(х) e(j1(x), j^x) © j2(x)}. Проведем в функции f следующие отождествления переменных: заменим переменной x все переменные Xj, для которых aj = 1, переменной

у - все переменные х/, для которых а/ = 0 , и переменной г - все остальные переменные. Получим функцию g(х,у,г), для которой g(1,0,2) = 0, Bg(х,у,г) = х , если а1 = ... = ат =1, и Bg(х,у,г) = х V у , если 0е {аь...,ат}.

2.1. Предположим, что Bg(х,у, г) = х .

Пусть gl(x,у,г) = g(ф(х),ф(у),г). Тогда, конечно, gl(1,0,2) = 0 и Bgl(х, у, г) = х . Кроме того, функция gl представима в виде

Из условия gl(1,0,2) = 0 получаем ¿2 Ф ¿4. В результате приходим к шести вариантам для функции gl:

(если ¿1 = ¿3 = 0),

(если Ь = 0, ¿3 = 1),

(если ¿1 = 1, ¿3 = 0, первая функция получена при отождествлении переменных х, у ).

Если же ¿1 = ¿3=1, то после отождествления переменных х, у приходим к функциям (14).

2.2. Пусть Bg(х,у, г) = х V у .

Вновь положим gl(х, у, г) = g(ф(х), ф(у), г). Функция gl теперь будет представима в виде

Условие gl(1,0,2) = 0 также дает неравенство ¿2 Ф ¿4. При Ъ1= ¿3=0 приходим к двум функциям gl: в одном случае при отождествлении переменных х, у получаем первую из функций (14), во втором случае приходим к функции

При ¿1 =0^3 =1 получаем функции

Если Ъ =1^3 =0, то имеем функции

Наконец, при ¿1 = ¿3=1 после отождествления переменных х, у получаем две функции (14).

Теорема 3. Пусть функция / принадлежит множеству П \ П3 . Тогда суперпозициями функции / можно получить функцию из множества П \ П3 одного из следующих типов:

1) имеющую булево ограничение вида (13);

2) равную одной из функций (14)-(19).

Как отмечалось, класс П4 сопряжен с классом П3 относительно перестановки 2х + 1(mod 3), поэтому все результаты, полученные выше для класса П3, переносятся на класс П4 путем перехода к сопряженным функциям. Мы не будем формулировать отдельно теорему для класса П4, а только приведем функции, сопряженные с функциями из (13)-(19), помечая

соответствующие формулы штрихом:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Список литературы

1. Post E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. Vol. 4-, № 4. P. 16--185.

2. Post E. L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Annals of Math. Studies. 1941. Vol. 5. P. 1-122.

Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций. М. : Физматлит, 2000. 126 с.

4. Марченков С. С. Основы теории булевых функций. М. : Физматлит, 2014. 1-5 с.

5. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании к -значных замкнутых классов, не имеющих базиса // Доклады Академии наук СССР. 1959. Т. 127, № 1. С. 44-46.

6. Михеева Е. А. О существовании в к -значной логике максимальных классов, не имеющих конечного базиса // Доклады Академии наук СССР. 1986. Т. 287, № 1. С. 49-52.

7. Михеева Е. А. Построение в Рк максимальных классов, не имеющих конечных базисов // Дискретная математика. 1998. Т. 10, № 2. C. 1-7-159.

8. Tardos G. A not finitely generated clone of monotone operations // Order. 1986. Vol. P. 211-218.

9. Дудакова О. С. Об одном семействе предполных классов функций к -значной логики, не имеющих конечного базиса // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2006. № 2. С. 29--2.

10. Марченков С. С. Конечно- и бесконечно-порожденные классы 01-функций трехзначной логики // Математические вопросы кибернетики. 2019. №. 19. С. 21--6.

References

1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions. Amer. J. Math. 1921;43(4): 163—185.

2. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic. Annals of Math. Studies. 1941;5:1-122.

3. Marchenkov S.S. Zamknutye klassy bulevykh funktsiy = Closed classes of Boolean functions. Moscow: Fizmatlit, 2000:126. (In Russ.)

4. Marchenkov S.S. Osnovy teorii bulevykh funktsiy = Fundamentals of the theory of Boolean functions. Moscow: Fizmatlit, 2014:135. (In Russ.)

5. Yanov Yu.I., Muchnik A.A. On the existence of k-valued closed classes without a basis. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the Academy of Sciences of USSR. 1959;127(1):44-46. (In Russ.)

6. Mikheeva E.A. On the existence in k-valued logic of maximal classes without a finite basis. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the Academy of Sciences of USSR. 1986;287(1):49-52. (In Russ.)

7. Mikheeva E.A. Construction in maximal classes without finite bases. Diskretnaya matematika = Discrete Math. 1998;10(2):137-159. (In Russ.)

8. Tardos G. A not finitely generated clone of monotone operations. Order. 1986;3:211-

9. Dudakova O.S. On a family of pre-field classes of functions of k-valued logic that do not have a finite basis. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika = Bulletin of Moscow University. Series 1: Mathematics. Mechanics. 2006;(2):29-32. (In Russ.)

10. Marchenkov S.S. Finitely and infinitely generated classes of 01-functions of three-valued logic. Matematicheskie voprosy kibernetiki = Mathematical issues in cybernetics. 2019;(19):21-36. (In Russ.)

E-mail: ssmarchen@yandex.ru

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.04.202i

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 25.05.202i Принята к публикации / Accepted i0.06.202i

218.

Информация об авторах / Information about the authors

Сергей Серафимович Марченков доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математической кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия г. Москва, Ленинские горы, 1)

Sergey S. Marchenkov

Doctor of physical and mathematical

sciences, professor, professor

of the sub-department of mathematical

cybernetics, Lomonosov Moscow

State University (1 Leninskiye gory

street, Moscow, Russia)

О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ МАКСИМАЛЬНЫХ БЕСКОНЕЧНО-ПОРОЖДЕННЫХ КЛАССОВ 01-ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Марченков Сергей Серафимович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Марченков Сергей Серафимович

ON THE ENUMERATION OF MAXIMAL INFINITELY-GENERATED CLASSES OF 01-FUNCTIONS IN THREE-VALUED LOGIC

Текст научной работы на тему «О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ МАКСИМАЛЬНЫХ БЕСКОНЕЧНО-ПОРОЖДЕННЫХ КЛАССОВ 01-ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ»