CC BY
29
ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
УДК 539.3
О ПАМЯТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ В ТЕОРИИ ГИБКИХ ПЛАСТИН
© 2011 г. Я. Аврейцевич\ Е.Ю. Крылова2, И.В. Папкова2, Т.В. Яковлева2, В.А. Крысько1
'Технический университет, Лодзь (Польша)
2Саратовский государственный технический университет
Поступила в редакцию 16.05.2011
Впервые исследуется нелинейная динамика гибких прямоугольных в плане пластин под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки. Анализ характера колебаний производится с помощью качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Впервые для механических систем выявлено, что смена характера колебаний происходит с некоторой задержкой по времени.
Ключевые слова: нелинейные колебания, диссипативные системы, пластины, фурье-анализ, вейвлет-анализ, сдвиговая знакопеременная нагрузка.
Основные уравнения
В рамках нелинейной классической теории рассмотрим пластину на прямоугольном плане с постоянной жесткостью и плотностью при действии знакопеременного внешнего сдвигового давления £ = ^іп юрґ, где Юр , 50 - частота и амплитуда внешнего воздействия соответственно.
Исходными являются уравнения теории пологих оболочек [1, 2] в безразмерном виде:
1
д 2 її
ы = 0; —— = 0; її=0; ---- = 0 при х1 = 0;1,
дх2 дх12
д 2 ы
дх22
= 0; її=0;
д 2 її дх 2
=0 при х2 = 0; 1,
х1, Х2Н=0 = 0
ды
~дГ
= 0.
,Т7 4 Ч ТГ т-\ д2М с№
--------—(Ух w) - Ь(м,Е) + —— + е——
12(1 -ц2) Л д/2 д/
. д 2 м
- д(Х1,х2,/) + 2£—— = 0,
дхду
4Е + 2 Ь( м, w) = 0, (1)
где м и Е — функция прогиба и усилия.
К уравнениям (1) присоединим граничные условия:
и начальные условия
Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей с аппроксимацией О(И2) по пространственным переменным. Система обыкновенных дифференциальных уравнений по времени решается методом Рунге — Кутта четвертого порядка.
Анализ полученных результатов
Рассмотрим пластину под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки, заданной в виде £ =
При изучении колебаний системы при различных вариантах управляющих параметров нагрузки в произвольной точке пластины строились: сигнал, фазовый и модальные портреты в трехмерной постановке, спектр мощности, поверхности и линии равных прогибов, автокорреляционные функции; вычислялись изменения знака старшего показателя Ляпунова. Впервые введено понятие модального портрета, характеризующего изменение во времени произвольной точки поверхности пластины с помощью прогиба, первой и второй производной по про-
странственным координатам. Данная характеристика необходима для исследования перехода поверхности пластины в состояние хаоса, т.е. для изучения пространственно-временного хаоса. Было установлено, что поведение пластины вне зоны хаотических колебаний характеризуется симметрией линий равных прогибов и четким периодом по времени в сигнале и поверхностях.
Исследуем поведение пластины под действием нагрузки с параметрами 50 = 8.4 и юр = 26. Вейвлет-спектр Морле (рис. 1) и сигнал позволяют увидеть, что частотные характеристики колебаний системы на разных интервалах времени существенно отличаются.
ю
25
20
15
10
5
0
100 150 200 250 Ї
Рис. 1
Происходит потеря устойчивости системы не только при изменении некоторых управляющих параметров, но и при их фиксированных значениях с течением времени. При исследовании поведения пластины с помощью вейвлет-
анализа было выявлено три временных интервала: tе [50; 56], tе [130; 225], tе [230; 286], где характер ее колебаний различен, т.е. наблюдается перемежаемость по времени. На рис. 2 приведены: линии равных прогибов в различные моменты времени, модальные портреты, спектры мощности Фурье, сигналы для центральной точки пластины на соответствующих интервалах времени.
На первом временном интервале (рис. 2а), колебания системы происходят на двух частотах, это квазипериодические колебания. Частота возбуждения затухла, но появились две независимые частоты. При рассмотрении эволюции поверхностей и линий равных прогибов с течением времени четко видна диагональная симметрия и присутствует период по времени.
Далее следует продолжительная по времени зона пространственно-временного хаоса (рис. 26), о чем свидетельствуют хаотические пятна на модальных и фазовых портретах, сигнал и положительность Ляпуновских показателей. При изучении этой области выяснилось, что в начале хаотического окна (рис. 2б, А) на линиях равных прогибов не наблюдается симметрии, хотя память о ее недавнем присутствии еще сохраняется. В центре интервала симметрия полностью нарушается (рис. 2б, Б, С).
На последнем интервале сигнал соответствует гармоническим колебаниям (рис. 2е), что подтверждают все характеристики. Поверхности и линии равных прогибов лишь на конце рассматриваемого интервала соответствуют по-
А в с Модальный п-т Спектр мощности Сигнал
с -5 -ю
. ; | - ІЖ) • ь/ „І! ЛД; 1 1 “I ..Г Iе 1 ш :: А 1 і НМЛ ш 11 п
* ■ » я * г ж
а) 5СКК56 зона квазипериодических колебаний
А в С Модальный п-т Спектр мощности Сигнал
- ШІ1Ш «Яг 1 о ■ • 0 і 1 и "ПІР А У ш •|уч \[ «1 *, * 51 [и к '!■
■ * - 1 и 1и 0 Ю 20 Я Я Ж V Ш ІЛ
130<К225 зона хаотических колебаний
А в С Модальный п-т Спектр мощности Сигнал
Ні . ю 1 ~ * » |у||| Л- 0 -з 1 1 Л в да шш 1 (г 1 11 Г ]
1 • і » 10 20 . Я» ш Ш ш, т» »
в) ЗС-'КЛоб зо>:с. гэ^!,:о- !гчр,с::с:;^.' кз.г.тоэн;"н
Рис. 2
ведению пластины в условиях гармонических колебаний при данных параметрах нагрузки, т.е., несмотря на то, что колебания пластины идут на одной частоте — частоте внешней возбуждающей силы, характер изгибания пластины не мгновенно становится гармоническим, для этого требуется некоторое время. Так, характер изгибания пластины становится идентичен гармоническому лишь начиная с t = 284.
Таким образом, можно сделать вывод, что поведение пластины под действием сдвиговой знакопеременной сжимающей нагрузки устанавливается не сразу, эффект, накопленный в зонах хаоса, гасится лишь с течением времени. Чем больше окно предшествующих хаотических колебаний, тем дольше сглаживается память о
нем. То же можно сказать и о переходе системы в состояние хаоса. Необходимо некоторое время для установления хаотического характера изгибания пластины после зон квазипериодических колебаний.
Итак, при смене характера колебаний пластины под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки впервые в нелинейных механических системах обнаружена некоторая временная задержка, т. е. память системы.
Список литературы
1. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. 420 с.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.:, Наука, 1972. 432 с.
ON THE MEMORY OF DIFFERENTIAL SYSTEMS IN THE THEORY OF FLEXIBLE PLATES J. Awrejcewicz, E. Yu Krylova, I. V Papkova, T V. Yakovleva, V.A. Krysko
Nonlinear dynamics of flexible rectangular plates under an external shearing sign-altemating load is studied for the first time. The character of the oscillations is analyzed using a qualitative theory of differential equations and nonlinear dynamics. For the first time, for mechanical systems, it has been discovered that changing of the oscillation character occurs with some time delay
Keywords: nonlinear oscillations, dissipative systems, plates, Fourier's analysis, wavelets analysis, shearing alternating load.
