CC BY
58
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3, 534.1
В.А. Крысько, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ДВУХСЛОЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ЗАЗОРА
МЕЖДУ СЛОЯМИ1
Исследуется нелинейная динамика гибких прямоугольных в плане двухслойных пластин под действием внешней продольной знакопеременной нагрузки. Выявлено, что применение классического аппарата - Фурье анализа не позволяет увидеть точную картину частотных характеристик колебаний в каждый момент времени, в то время как вейвлет анализ, как математический микроскоп, дает возможность оценить ее более конкретно, увидеть ее эволюцию с течением времени.
Метод установления, нелинейная динамика, контактное взаимодействие, оболочки
V.A. Krysko, E.Yu. Krylova, I.V. Papkova
NONLINEAR DYNAMICS OF PARAMETRIC OSCILLATIONS BILAYER DISTRIBUTED
SYSTEMS IN VIEW OF CLEARANCE BETWEEN THE LAYERS
We study the nonlinear dynamics of the flexible rectangular bilayer plates under the action of external longitudinal alternating loads. It has been found that application of the Fourier analysis as the classical system will not provide the precise picture of the frequency characteristics for every time point. Meanwhile, the Wavelet analysis regarded as the mathematical microscope allows conducting a more detailed estimation in terms of its evolution over time.
Method of establishment, nonlinear dynamics, contact interaction of the shell
Введение. Настоящая работа посвящена изучению явления хаотической синхронизации двухслойных гибких прямоугольных в плане оболочек. До настоящего времени одной из самых важных характеристик выявления хаотических колебаний системы являлся Фурье спектр [1-3]. Но авторами настоящей работы было выяснено, что при наличии перемежаемости в сигнале математический аппарат быстрого преобразования Фурье не позволяет в полной мере проанализировать характер нелинейных колебаний и построить, как это традиционно делалось, сценарии перехода системы в хаос, что необходимо для нахождения способа предотвращения потери устойчивости системы, в то время как вейвлет-преобразование позволяет видеть эволюцию частотных характеристик колебаний во времени. Вейвлет-преобразование представляет собой как бы непрерывный банк оконных преобразований Фурье с различными окнами для каждой частоты. Изучение хаотической синхронизации и прогнозирование колебаний двухслойных гибких прямоугольных в плане оболочек при помощи вейвлет-анализа будут проводиться впервые. В силу своих свойств вейвлет-преобразование позволяет глубже изучить процесс перехода колебаний системы в состояние хаоса, а также выявить качественно новые сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим. Практическое изучение подобных задач является очень важным, так как в результате перехода колебаний системы из гармонических в хаотические возникает явление жесткой потери устойчивости и разрушения конструкций, чего можно избежать с помощью прогнозирования характера колебаний. В настоящее время проблема прогно-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 12-01-31204 мол_а)
зирования хаоса и исследования хаотической синхронизации в многослойных механических системах в известной нам литературе освещена крайне мало.
Постановка задачи. В рамках нелинейной классической теории рассмотрим двухслойную сферическую гибкую изотропную упругую оболочку на прямоугольном плане с постоянной жесткостью и плотностью, находящуюся под действием нагружения различного типа (продольного, поперечного равномерно распределенного по верхнему слою оболочки). Нагрузка приложена только к верхнему слою оболочки. Здесь рассматриваются задачи теории оболочек, составленных из эквидис-циальных слоев и взаимодействующих односторонне. Конструкции, включающие в качестве элементов подобные оболочки, широко распространены в технике. Слои, как правило, проскальзывают с трением или свободно. Появление зон сцепления маловероятно, поскольку контактное давление невелико. Условия контакта между слоями могут зависеть от координат и включают все виды несовершенного одностороннего контакта. Условия спайки слоев не рассматриваются. Функция контактного давления исключена из числа неизвестных. Порядок разрешающей системы нелинейных дифференциальных уравнений равен произведению числа слоев на порядок системы уравнений, то есть по сути дела мы имеем модель Болотина-Новичкова. Поведение слоев подчинено теории Кармана-Власова, одинаково для всех слоев. В настоящей работе рассматриваются двухслойные оболочки
= {х,у,г 1(х,у)е [0;а]х[0;Ь],ге [-к;к]}, 0 < г < » .
Рис. 1. Расчетная схема
Исходными являются уравнения теории пологих оболочек, записанные в безразмерном виде [4, 5]:
4 2 Э2 и д2 и д2 и Эи
V + Ь-;^) + У ^ + 44 - Рх —г- Ру —~г±К(- - кк - ^2)^ = —-т + £ -
Эу2 "у Эх2 “'-1 ”2'- Эг2 Эг
(1.1)
V4^ =— — .(и ;w ) — V2w
т 2 т т т
д2и д2Е д2и д2Е д2и д2Е
г/.,. г \ т т . т т о т т ~
где, Е(ит, Рт ) =——-——— + ——:——---------------2^——Т-;-- известный нелинейный оператор,
дх ду дх ду дхду дхду
у = 2 [1 + sign(w1 - кк - и2)] ит и Ет - функция прогиба и усилия, где т = 1; 2, К - коэффициент
жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта. ^ = 1, если w1 > и2 + кк - есть
контакт между пластинами, иначе ^ = 0 ; и2 - функции прогибов верхней и нижней пластины
соответственно.
Система уравнений (1.1) приведена к безразмерному виду следующим образом:
- , а2 Т , Ь2 1 1 - Ек _ Ек
х = ах , у = Ьу . кх = К-, ку = ку-. кх = - , ку = _ , Ч = Ч— , рх = рх-ЬТ .
3
-Р , Хх = — , где а, Ь - размеры прямоугольной оболочки в плане по х и у Eg Ь
_ Ек аЬ
р’=р• г= и
соответственно, к - толщина оболочки, g - ускорение силы тяжести, Р = ]к, где у - объемный вес материала, Ях, Яу - радиус кривизны срединной поверхности по х и у соответственно. Для за-
- - - к г п — ЕкА
мкнутой цилиндрической оболочки: х = ах , у = Яу , к = к — (к = и ), д = д ——-,
у у Я2 а Я
Ек аЯ I р а
рх = рх—т-, т = — , X =— , где а и Я = Я - длина и радиус замкнутой цилиндрической
х Я2 к ] Eg 2 Я у
оболочки (рис. 2.1.1с). Здесь г - время, £ - коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки, V - коэффициент Пуассона для изотропного материала V = 0.3, Е - модуль упругости, рх (г), ру (г) - продольные нагрузки, д(х, у, г) - поперечная нагрузка. Далее черта над
безразмерными величинами для простоты опущена.
К уравнениям (1.1) присоединим граничные условия: шарнирное опирание на гибкие несжимаемые ребра:
д2 w д2 Е
= 0; = 0; ¥п = 0; —— = о при х = 0;1;
дх2 дх
(1.2)
д2™ д2Е
= 0; —— = 0; Еп = 0; —— = 0 при у = 0;1
ду ду
д'№п
Начальные условия wп (х, у) 1г=0 = $\( х, у), —-— = ^2( х, у). (1.3)
дг
Для сведения распределенной системы (1.1) к системе с сосредоточенными параметрами воспользуемся методом конечных разностей с аппроксимацией О (с2) по пространственным переменным х и у .
Задачу Коши будем решать методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. На каждом шаге по времени решается система линейных алгебраических уравнений, которое получается из второго уравнения системы относительно функции усилия методом обратной матрицы. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.
Численный эксперимент. Численный эксперимент проводился для двухслойной прямоугольной в плане оболочки с геометрическими параметрами кх = ку = 0; 12; 24, находящейся под
действием продольной знакопеременной нагрузки р = р1$1п( а рг), которая приложена только в верхней оболочке. Исследования проводились для квадратной в плане двухслойной оболочки X = 1 с зазором между оболочками кк = 0.25 и коэффициентом диссипации £ = 1.
Рассмотрим зависимость максимального прогиба от амплитуды вынуждающей знакопеременной нагрузки рх (^шах) (рис. 2). Под графиком расположены шкалы характера колебаний. Для каждой пары кх = ку = 0; 12; 24 были построены сигналы для всех комбинаций управляющих параметров |р:, ар }, гдеар = 6;13.35; 26. Анализ полученных данных поводился на основе Фурье анализа.
Условные обозначения указаны под графиком. Колебания рассматривались на временном интервале 0 < г < 128. С увеличением вынуждающей силы на всех трех графиках вначале наблюдаются затухающие колебания. При соприкосновении оболочек происходит резкий рост максимального прогиба ^шах и колебания системы становятся квазипериодическими. Далее незначительное движение по амплитуде вынуждающей нагрузки р1 приводит систему в хаотическое состояние. На графике р1(^шах) наблюдается рост максимального прогиба и серии скачков. Следует отметить, что при увеличении кривизны оболочки зона затухающих колебаний увеличивается. В задачах с геометрической и конструктивной нелинейностью гармонические колебания обнаружены не были, бифуркации удвоения, утроения, независимые частоты были найдены, однако на графиках спектров мощностей также присутствует хаотическая составляющая. Это объясняется тем, что с течением времени происходит «включение» и «выключение» частот с малой мощностью.
Для более детального исследования поведения двухслойной системы были построены (таблица) сигналы для верхней (И) и нижней (1) пластинок, спектры мощности (с, 1), двумерный вейвлет спектр (а, ф и трехмерный (Ь, е) и график разности фаз (§).
- ■'і1
- к = к5. =0 1 " і
Ґ к* = ку^=12 кх = ку = 24 , і -
□
Условные обозначения
Затухающие колебания
Бифуркации, независимые частоты и их линейные комбинации
Хаос
: 2 4 6 3 1 12 14 16 13 20 1
1 1 1
к* = ку к. = кг
к* = к,
Рис. 1. Шкалы характера колебаний в зависимости от управляющих параметров \р1,Юр } Некоторые характеристики колебаний пластины (р = 7.68 * 8Іп(6 * ґ) )
Исследования проводились для двухслойной гибкой прямоугольной в плане пластинки, находящейся под действием продольной знакопеременной нагрузки р = р^Ш^*?), действующей только на верхнюю оболочку, с геометрическими параметрами кх = ку = 0, Я = 1, Ък = 0.25, є = 1.
В численном эксперименте с р1 = 7.68 (таблица) был получен хаотический сигнал с перемежаемостью (И, І), спектр мощности верхней пластинки (с) - сплошной пьедестал, что характерно для хаоса на частоте возбуждения, а спектр мощности нижней пластинки (і) показывает хаос на первой бифуркации. Однако вейвлет-спектры (а, Ь, ё, е) показывают, что имеет место «включение» и «вы-
ключение» частот, т.е. хаос не всюду по времени. Например, на интервале t Є (40,60) наблюдаются гармонические колебания. Кроме того, на 3D вейвлет спектре (b) видно, что максимальное значение энергетической составляющей у верхней пластинки не всегда находится на частоте возбуждения, а мигрирует на частоту тр = 1.5 , что сопровождается изменением равновесного состояния пластинок.
При сопоставлении сигнала (h, i), вейвлет спектров (a, d) и графика разности фаз (g) можно отметить, что фазовая синхронизация (черный цвет) наблюдается на частоте возбуждения и на некоторых промежутках по времени на частоте, равной половине частоты возбуждения. Фазовая синхронизация пропадает (белый цвет), когда максимальное значение энергетической составляющей переходит с частоты возбуждения на другую частоту.
При детальном исследовании характера колебаний двухслойной пластинки, находящейся под действием продольной знакопеременной нагрузки, приложенной к верхней пластинке, было выявлено, что результаты, полученные на основании вейвлет и Фурье преобразований, не противоречат, а существенно дополняют друг друга. Так на вейвлет спектрах сложно оценивать результат, если мощность одних частот существенно превышает мощность других, первые просто поглощают последних. Но это легко устранить, если рассматривать вейвлет спектр не на всем интервале частот, а частями. В то время как Фурье спектр демонстрирует все частоты, встречающиеся на рассматриваемом интервале времени очень наглядно. Однако вейвлет-преобразование позволяет исследовать изменение частотных характеристик колебаний системы во времени. А так как частотное наполнение сигнала может существенно меняться с течением времени его анализ на всем временном интервале с помощью быстрого преобразования Фурье приводит к принципиально ошибочным результатам. Но если рассматривать Фурье спектр на каждом из временных интервалов, где характер колебаний различен, противоречий с вейвлет спектром не будет. Вейвлет-анализ является тем «микроскопом», который позволяет анализировать систему в каждый момент времени, а не интегрально.
Заключение. В результате проведенных исследований были получены шкалы характера колебаний оболочки, которые позволяют выделять как безопасные параметры внешнего воздействия, так и наиболее опасные. Это позволит прогнозировать режимы колебаний и избегать перевода колебаний в неблагоприятные режимы, что очень важно при использовании подобных пластин в инженерных конструкциях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Awrejcewicz J. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics I J. Awrejcewicz, V.A. Krysko II Nonlinear Dynamics. 2001. № 24. P. З7З-З98.
2. Крысько В.А. Динамика и статика секториальных оболочек I В.А. Крысько, И.В. Кравцова II Вестник СГТУ. 2004. № З.
3. Awrejcewicz J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems I J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.F. Vakakis. Springer-Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. З56 p.
4. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем I А.С. Вольмир. М.: Физматгиз, 196З. SS0 с.
5. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения I Б.Я. Кантор. Киев: Наук. думка, 1990. 1З6 с.
Крысько Вадим Антонович -студент Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Крылова Екатерина Юрьевна -
аспирант кафедры «Математика и моделирование»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Папкова Ирина Владиславовна -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 11.12.12, принята к опубликованию 01.03.13
Vadim A. Krysko -
Graduate
Gagarin Saratov State Technical University
Ekaterina Yu. Krylova -
Postgraduate
Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Irina V. Papkova -
Ph. D., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
