CC BY
23
Список литературы
1. Губко М. В. Математические модели оптимизации иерархических структур. М.: ЛЕНАНД, 2006. 264 с.
2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Под ред. Я. З. Цыпкина. М.: Наука, 1991. 432 с.
3. Щербатов И. А. Математические модели сложных слабоформализуемых систем: компонентный подход // Системы. Методы. Технологии. 2014. № 2 (22). С. 70-78.
4. Родионова Т. Е. Возможности применения регрессионных моделей для описания технического объекта // Радиоэлектронная техника. 2016. №1 (9). С. 178-182.
5. Кинякин В. Н., Слесарева Е. А. Системы регрессионных (одновременных) уравнений // Вестник экономической безопасности. 2016. № 4. С. 265-270.
6. Воевода А. А., Трошина Г. В. Оценивание параметров многоканальных статических объектов рекуррентным методом наименьших квадратов // Научный вестник НГТУ. 2017. Т. 68. № 3. С. 7-21.
7. Holland J. H. Studying Complex Adaptive Systems // Journal of Systems Science and Complexity. 2006. Vol. 19 (1). P. 1-8.
8. Юрков В. Ю. Математическое моделирование линейчатых моноидальных гиперповерхностей // Омский научный вестник. 2015. № 2 (140). С. 5-7.
УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛОЧНО-ПЛАСТИНЧАТОЙ НАНОСТРУКТУРЫ В ПОЛЕ БЕЛОГО ШУМА
NONLINEAR DYNAMICS OF THE CONTACT INTERACTION OF A THREE-LAYER PLATE-BEAM NANOSTRUCTURE IN A WHITE NOISE FIELD
Т. В. Яковлева, В. А. Крысько-мл., В. А. Крысько
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия
T. V. Yakovleva, V. A. Krysko-jr., V. A. Krysko
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russia
Аннотация. В работе впервые построена математическая модель контактного взаимодействия многослойной наноструктуры, состоящей из двух нанопластин и нанобалки между ними с малыми зазорами. Для описания размерно-зависимых эффектов данной наноструктуры применена модифицированная мо-ментная теория. Верхний и нижний слои представляют собой нанопластины, подчиняющиеся кинематической гипотезе Кирхгофа, а средний слой - нанобалку Эйлера-Бернулли. Контактное взаимодействие учитывается по модели Б.Я. Кантора. Нанопластины и нанобалка изотропные, упругие и соединены они через краевые условия. В работе изучено влияние величины зазора между слоями и шумового поля. Для решения и анализа этих конструктивно-нелинейных задач применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений, вейвлет-анализ, методы анализа знака старшего показателя Ляпунова. Система дифференциальных уравнений сводится к задаче Коши методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях и методом конечных разностей с аппроксимацией 0(h2) и 0(h4) по пространственной координате. Далее задача Коши решается методами Рунге-Кутты 4-го, 6-го, 8-го порядка точности по времени. Анализ показал, что величина зазора существенно влияет на контактное взаимодействие элементов многослойной наносистемы и на характер их сложных колебаний. Также наличие шумового поля вовлекает в контактное взаимодействие элементы, которые находились в покое при прежних значениях остальных параметров.
Ключевые слова: контактное взаимодействие наноструктуры, нелинейные колебания, аддитивный белый шум, балочно-пластинчатая наноструктура.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-294-300
I. Введение
Многослойные балочно-пластинчатые наноструктуры являются составными элементами конструкций современных приборов навигационных систем в авиа-космической отрасли, в нефтегазовом оборудовании, судостроении, гироскопии и в других областях. Так, например, микро- и наноразмерные балки и пластинки широко
используются в микро- и наноэлектромеханических системах (MEMS, NEMS), таких как датчики колебаний [1], микроприводы [2], микропереключатели [3]. Наличие малых зазоров между элементами конструкции обусловливает необходимость изучения влияния контактного взаимодействия на характер поведения всей наноструктуры. Наряду с этим, чрезвычайно важно изучение влияния размерно-зависимых параметров балочно-пластинчатых структур на характер их колебаний. Классическая механика твердого тела не в состоянии интерпретировать и предсказывать такое размерно-зависимое поведение. В настоящее время существует несколько теорий, позволяющих моделировать масштабные эффекты в континууме, такие как: моментная теория упругости [4], [5], нелокальная теория упругости [6], градиентная теория упругости [7] и поверхностная теория упругости [8]. Так, в работах [9], [10] впервые исследуется нелинейная динамика трехслойной микропластины. На основе теории пластин Кирхгофа и нелинейных деформаций фон Кармана получены нелинейные зависящие от размера поперечные и плоские уравнения движения. В работах [11], [12], [13] построены математические модели и изучено контактное взаимодействие нескольких балок. Целью исследования настоящей работы является построение математической модели и создание методов изучения контактного взаимодействия нанопластин и нанобалки в зависимости от размерно-зависимого параметра.
II. Постановка задачи
Построена математическая модель трехслойной наносистемы, которая состоит из двух параллельных нано-пластин и нанобалки, соединенных между собой через краевые условия, находящейся под действием поперечной нагрузки. Чертеж пластинчато-балочной конструкции приведен на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема
Для построения данной модели использованы следующие гипотезы: нанопластины и нанобалка изотропные, упругие; для описания нанопластин применена кинематическая гипотеза Кирхгофа, для нанобалки - Эйлера-Бернулли. Контактное взаимодействие между пластинками и балкой учитывается по модели Б.Я. Кантора [14]. Размерно-зависимые эффекты учтены на основе модифицированной моментной теории упругости [4], [5], Согласно которой учитываются моменты высшего порядка и дополнительный независимый материальный
параметр длины I, связанный с симметричным тензором градиента вращения. На основании вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получены дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия размерно-зависимых пластинчато-балочных систем:
Wj + swl = q(t) -
Pi
P2 П
12 Yi 2 Yi
2 V
_L дз Л2
1+\
2 д 4w, „ д w,
l + 2-
4
ду4 дх ду
+ K (w - W - К
Pi
24
P2 Y2 I д W
12 y2 2 y2 J дх'
2
+ f^T2 - K (wi - w2 - hk )Y1 + K (w2 - W3 - hk )Y2,
12 Yi 2 Yi
- K(w - W - К )^2
i дW + ^ ^ + 2 д4
Л2 дх4
ду4
дх2ду2
+
w2 + sw2 = -
w
3
здесь у. = a, у, = —, p =-1—--, p = —1—, w,, w,, W - функции прогибов пластин и балки соот-
1 h 2 h 1 (1 + -)(1 - 2-) 2 2(1 + -) 1
ветственно, К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта, \ - зазор между
пластиной и балкой (рис. 1); ^ = 1, если Wj > w2 + hk - есть контакт между верхней пластиной (wi) и балкой
(w2), иначе ^ = 0, = ~ [1 + sign(w} - h - W)]; = 1, если w2 > w3 + hk - есть контакт между нижней пластиной (w3) и балкой (w2), иначе Т2 = 0, \у2 =1 [1 + sign(w2 -hk -w3)] [14]. Система уравнений (1) записана
в безразмерном виде. Идея приведения к безразмерному виду представлена в работе [15].
2rand "rand max+1
q(x, У,t) = q0 sin(cpt) + a0 x ( ^ ^-- -1)- поперечная нагрузка, действующая на верхнюю пла-
стинку, где q0 - амплитуда, с - частота. Внешнее шумовое поле в виде белого шума воздействует только с внешней стороны верхней пластины. Белый шум - обобщенный стационарный случайный процесс X(t) с постоянной спектральной плотностью. Термин «белый» был присвоен по аналогии с белым светом, который в видимой части спектра имеет весь набор частот. В настоящей работе к нагрузке добавлен белый шум, который задается формулой a0 x (-2mnd--^, где ^ - это интенсивность шумового воздействия, rand() -
rand _ max+1
стандартная функция языка C++, принимающая случайное целое число от 0 до RAND_MAX, RAND_MAX -
2rand
константа, равная 65535. Выражение (--1) принимает произвольные дробные значения в диапа-
rand _ max+1
зоне (-1;1). Данная математическая модель белого шума предложена Perry R. Cook и Gary P. Scavone (Центр компьютерных исследовании в области музыки и акустики (CCRMA) Стэндфордского университета) [16].
К уравнениям (1) следует присоединить нулевые начальные условия, условия непроникновения одной системы в тело другой и граничные условия - шарнирное опирание:
wl3 = 0; w|'3 \х = 0; при x = 0;1; wl3 = 0; w|'3 \ = 0; при y = 0;1;
w2 = 0; w2 \х = 0; при x = 0;1, ( )
III. Теория
Полученные системы конструктивно нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (1) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях по пространственным переменным x и y , которая, в свою очередь решается методом
Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Функции w , W и w2, являющиеся решениями системы (1), приближенно аппроксимируем выражением в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат:
N N N
w13 = ЕЕ A kj (t) sm(kяx) sin(j^y), w2 = E A, (t)sin(kmc) . (3)
, k=1 j=1 k=1 V '
В результате контактного взаимодействия между элементами система уравнений является нелинейной, таким образом решить ее аналитическим путем не представляется возможным. Поэтому для подтверждения достоверности результатов решение было проведено методом конечных разностей с аппроксимацией 0(h2) и 0(h4) и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях, исследовалась сходимость методов при разном количестве членов ряда (3) и разном количестве разбиений в методе конечных разностей 0(h2), 0(h4). Точность устанавливалась по правилу Рунге. Дальнейшее исследование результатов проводилось качественным методом теории дифференциальных уравнений. Для этого проанализированы сигналы, сечения Пуанкаре, фазовые портреты, спектры мощности Фурье, а также применен вейвлет-анализ. В качестве материнского вейвлет-преобразования были выбраны разные вейвлеты: Морле, Гаусс 8, 16, 32, Хаара, с целью получения достоверных результатов. Предпочтение отдано вейвлету Морле, поскольку он обладает лучшей информативностью в каждый момент времени. На базе вейвлет анализа создан метод изучения фазовой хаотической синхронизации механических динамических систем. С этой целью вводится фаза хаотического сигнала. Хаотическая фазовая синхронизация означает, что происходит захват фаз хаотических сигналов, при этом амплитуды этих сигналов остаются не связанными друг с другом и выглядят хаотическими. Захват фаз приводит к совпадению частот сигналов. Частота хаотического сигнала определяется как средняя скорость изменения фазы. В случае приме-
нения вейвлетных преобразований вейвлетная поверхность характеризует поведение системы на каждом временном масштабе в любой момент времени. Существенная зависимость от начальных условий является основополагающей чертой хаоса согласно определению, сформулированному Гуликом [17]. Также наличие хаоса возможно тогда, когда функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической.
В исследованиях, приведенных ниже, будем следовать определению хаоса, данному Гуликом. С этой целью предложена методология по выявлению истинного хаоса для механических систем. На необходимость исключения накопления численной погрешности, которую легко принять за хаос, обратил внимание Лози. Для этого в настоящей работе: 1) задачи рассмотрены как системы с бесконечным числом степеней свободы, 2) системы дифференциальных уравнений в частных производных сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений несколькими разными методами (методом конечных разностей, методом Бубнова-Галеркина и др.), 3) задача Коши решена несколькими разными методами типа Рунге-Кутты, 4) исследована сходимость этих методов, 5) исследованы знаки старшего показателя Ляпунова по трем методам: Вольфа [18], Канца [19] и Розенштейна [20] для достоверности результатов.
IV. Результаты экспериментов
В работе в качестве примера рассмотрен вопрос хаотической динамики полноразмерной (в системе (1) у2 = 0) трехслойной механической структуры, состоящей из двух параллельных пластин, между которыми присутствует балка, расположенная по центру пластин, зазор между элементами кк = 0.1 (рис. 1). Изучим характер поведения такой многослойной системы под действием внешней распределенной знакопеременной нагрузки д(х, у, ?) = $,т(р, приложенной на верхнюю пластину, при этом будем учитывать контактное
взаимодействие слоев. Здесь частота внешнего воздействия о = 5 выбрана близкой к частоте собственных колебаний пластины, е = 1, ¡л = 0.3.
Зададим величину амплитуды внешней нагрузки = 0.5 , в этом случае верхняя пластина совершает гармонические колебания на частоте ор = 5 и не касается подкрепляющей балки. Балка и нижняя пластина находятся в состоянии покоя. При = 1 происходит контактное взаимодействие верхней пластины и балки, их колебания носят сразу же хаотический характер на утроении периода: о р /3 = 1.66, 2о р /3 = 3.33 и ор = 5 (рис. 2 а,с).
2-1 ■ •г--г
■4-
Ор/3 и ©р N
1
с а
Рис. 2. Спектры мощности Фурье (а,с) и 2D вейвлет-спектры (Ъ,ф для верхней пластины и балки соответственно при д0 = 1
а
Фазовые портреты представляют собой странные аттракторы. На графиках вейвлет-спектров для верхней пластины и балки наблюдаются зоны перемежаемости частот в разные моменты времени (рис. 2Ь,ф, при этом доминирующей частотой колебаний пластины по-прежнему остается ор = 5 . Также в отдельные моменты времени происходит хаотическая фазовая синхронизация колебаний верхней пластины и балки в окрестности частоты 2ор / 3 . Также в ходе исследований был посчитан старший показатель Ляпунова по трем методам.
Для верхней пластины старший показатель Ляпунова по методу Вольфа равен 0.00374, по методу Розенштейна равен 0.06997, по методу Канца равен 0.01855. Все три метода дают положительный знак старшего показателя Ляпунова, что характеризует хаотическое состояние системы согласно определению хаоса по Гулику [17]. Нижняя пластина находится в состоянии покоя.
При амплитуде нагрузки q0 = 1.5 наступает контактное взаимодействие всех трех элементов многослойного пакета. При этом происходит перестройка характера всей системы. Обе пластины и балка совершают хаотические колебания на частоте возбуждения ор = 5 . Спектры мощности представляют собой сплошные пьедесталы, а фазовые портреты - странные аттракторы, причем для пластин на фазовых портретах появляется петля. Для верхней пластины старший показатель Ляпунова имеет положительный знак: по методу Вольфа равен 0.00241, по методу Розенштейна равен 0.06776, по методу Канца равен 0.02839. Графики разности фаз свидетельствуют о том, что увеличивается хаотическая фазовая синхронизация колебаний, теперь она осуществляется в диапазоне частот о е [4;7] и на частоте ор /3 = 1.66 на всем интервале времени. Синхронизация в основном наблюдается у нижней пластины и балки. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к полной синхронизации колебаний многослойной системы.
V. О влиянии внешнего шума и величины зазора на характер колебаний структуры при действии поперечной знакопеременной нагрузки на верхнюю пластину
Изучим влияние внешнего шумового поля на контактное взаимодействие системы. С этой целью поместим верхнюю пластину в поле белого шума, то есть добавим шум в поперечную нагрузку, приложенную к верхней
пластине, при прежнем значении зазора Ьк. Положим д0 = 1 и интенсивность шума а0 = 1*10 4. В этом случае в контактное взаимодействие вступают все три элемента структуры: балка соприкасается с верхней пластиной и с нижней пластиной (рис. За). Спектры мощности Фурье для каждого элемента представляют собой сплошной пьедестал (рис. ЗЬ). Для верхней пластины старший показатель Ляпунова имеет положительный знак: по методу Вольфа равен 0.00230, по методу Розенштейна равен 0.06762, по методу Канца равен 0.03269.
■к] -- __ -г.
...... /| \ •П2
1 1 1
-з
II
а
Ь
Рис. 3. Совместные колебания и спектр мощности Фурье при д0 = 1 и интенсивность шума а0 = 1*10
4
Увеличим зазор между слоями балочно-пластинчатой структуры до кк = 0.15 . В этом случае при отсутствии шума (а0 = 0) и под действием поперечной нагрузки с амплитудой = 1 происходит контактное взаимодействие только верхней пластины и балки, нижняя пластина находится в состоянии покоя. Спектры мощности Фурье для верхней пластины и балки представляют собой сплошной пьедестал, фазовые портреты - странные аттракторы. Для верхней пластины старший показатель Ляпунова имеет положительный знак: по методу Вольфа равен 0.00216, по методу Розенштейна равен 0.06255, по методу Канца равен 0.03550. Далее постепенно будем увеличивать шумовое воздействие на верхнюю пластину при прежних остальных параметрах, и при интенсивности шума а0 = 20 в контактное взаимодействие вступают все три элемента структуры, верхняя пластина соприкасается с балкой, и нижняя пластина соприкасается с балкой. Спектры мощности Фурье для каж-
дого элемента представляют собой сплошной пьедестал, фазовые портреты - сплошное пятно. Характер колебаний обеих пластин и балки хаотический. Для верхней пластины старший показатель Ляпунова имеет положительный знак: по методу Вольфа равен 0.00167, по методу Розенштейна равен 0.07187, по методу Канца равен 0.02752.
Увеличим зазор между слоями балочно-пластинчатой структуры hk = 0.2 . Так как отдельные уравнения системы являются линейными, то максимальный прогиб равен 0,2, поэтому максимальный зазор для таких систем hk = 0.2 . В этом случае при отсутствии шума (а0 = 0) и под действием поперечной нагрузки с амплитудой
q0 = 1 происходит контактное взаимодействие только верхней пластины и балки, нижняя пластина находится в состоянии покоя. Характер колебаний хаотический на утроении периода. Для верхней пластины старший показатель Ляпунова по методу Вольфа равен 0.00220, по методу Розенштейна равен 0.05861, по методу Канца равен 0.01987. Показатели Ляпунова по всем трем методам положительные, что подтверждает хаотическое состояние системы. Контактное взаимодействие всех трех элементов начинается при действии шума с интенсивностью а0 = 30, при этом характер их колебаний хаотический. Для верхней пластины старший показатель Ляпунова имеет положительный знак: по методу Вольфа равен 0.00179, по методу Розенштейна равен 0.07420, по методу Канца равен 0.02833.
Существенно уменьшим зазор hk = 0.05 . В этом случае под влиянием поперечной нагрузки с амплитудой
q0 = 1 в контактное взаимодействие вступают все три элемента структуры, верхняя пластина соприкасается с балкой, и нижняя пластина соприкасается с балкой. Происходит бифуркации Хопфа, и колебания носят хаотический характер. Для верхней пластины старший показатель Ляпунова имеет положительный знак: по методу Вольфа равен 0.00153, по методу Розенштейна равен 0.06341, по методу Канца равен 0.02845.
VI. Выводы и заключение
Величина зазора между элементами структуры существенно влияет на характер колебаний. При величине зазора 0.05 < hk < 0.2 хаос возникает на утроении частоты возбуждения, появляются зоны перемежаемости. При значении зазора hk < 0.05 хаос происходит на первой бифуркации Хопфа. Переход от гармонических колебаний к хаотическим происходит по сценарию Помо-Манневиля.
В работе на каждом этапе исследования решение и анализ проводились несколькими альтернативными методами, исследовалась их сходимость: метод Бубнова-Галеркина и метод конечных разностей для сведения к задаче Коши; методы типа Рунге-Кутты для решения задачи Коши; разные материнские вейвлеты и Фурье анализ для определения характера колебаний; метод Вольфа, Розенштейна и Канца для нахождения старшего показателя Ляпунова. Тем самым подтверждается достоверность результатов.
Наличие шумового поля оказывает существенное влияние, так как вовлекает в контактное взаимодействие элементы, которые находились в покое при прежних неизменных управляющих параметров системы.
Источник финансирования. Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант
№ 18-38-00878 мол_а, № 16-08-01108a, № 16-01-00721a, № 18-01-00351а.
Список литературы
1. Fu Y., Zhang J. Electromechanical dynamic buckling phenomenon in symmetric electric fields actuated mi-crobeams considering material damping // Acta Mech. 2010. Vol. 212. Р. 29-42.
2. M. Moghimi Zand, and Ahmadian M. T. Static pull-in analysis of electrostatically actuated microbeams using homotopy perturbation method // Appl. Math. Model. 2010. Vol. 34. Р. 1032-1041.
3. Jia X. L., Yang J., Kitipornchai S. Pull-in instability of geometrically nonlinear micro-switches under electrostatic and Casimir forces // Acta Mech. 2011. Vol. 218. Р. 161-174.
4. Mindlin R. D. Tiersten H. F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Ration.Mech. Anal. 1962. Vol. 11. Р. 415-448.
5. Toupin R. A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. Р. 385-414.
6. Eringen A. C. Nonlocal polar elastic continua // Int. J. Eng. Sci. 1972. Vol. 10. Р. 1-16.
7. Aifantis E. C. Strain gradient interpretation of size effects // Int. J. Fract. 1999. Vol. 95. Р. 299-314.
8. Gurtin M. E., Weissmuller J. and Larche F. The general theory of curved deformable interfaces in solids at equilibrium // Philos. Mag. A. 1998. Vol. 78. Р. 1093-1109.
9. Ghayesh M. H. Nonlinear dynamics of multi-layered microplates // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. May 20. 2017. DOI:10.1115/1.4037596.
10. Ghayesh M. H., Farokhi H. Nonlinear dynamics of microplates // International Journal of Engineering Science. 2015. Vol. 86(0). Р. 60-73.
11. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Pavlov S. P., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Chaotic dynamics of the size-dependent non-linear micro-beam model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 50. P. 16-28. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.02.015
12. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear behaviour of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 1: Governing equations and static analysis of flexible beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2017.03.005.
13. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear behaviour of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 2. Chaotic dynamics of flexible beams. Journal: International Journal of Non-Linear Mechanics. P. 106-121.
14. Кантор Б. Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения // АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения. Киев: Наук. думка, 1990. 100 с.
15. Awrejcewicz J., Krysko V. A. Jr., Yakovleva T. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear dynamics of contact interaction of a size-dependent plate supported by a size-dependent beam. Chaos. 2018. Vol. 28. 053102. DOI: 10.1063/1.5022854.
16. Cook Perry R., Scavone Gary P. Center for Computer Research in Music and Acoustics.
17. Denny Gulick. Encounters with Chaos, McGraw-Hill, New York, 1992.
18. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Phys-ica. 1985. Vol. D16. P. 285-317.
19. Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D. 1993. Vol. 65. Р. 117-134.
20. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 185. Р. 77-87.
