CC BY
27
УДК 539.3
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ БАЛОК, ОПИСЫВАЕМЫХ ГИПОТЕЗАМИ ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ И ПЕЛЕХА-ШЕРЕМЕТЬЕВА-РЕДДИ
CHAOTIC DYNAMICS OF THE CONTACT INTERACTION OF TWO BEAMS DESCRIBED OF EULER-BERNOULLY AND PELEKH-SHEREMETYEV-REDDY HYPOTHESES
О. А. Салтыкова1,2, М. М. Стасюк1, В. А. Крысько1
'Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А, г. Саратов, Россия 2Томский политехнический университет, г. Томск, Россия
О. A. Saltykova1,2, Stasuk M. M.1,V. A.Krysko1
'Yuri Gagarin Saratov State Technical University, Saratov, Russia 2Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia
Аннотация. Балочные структуры находят широкое применение в качестве основных элементов конструкций в авиа- и ракетостроении, машиностроении и приборостроении. В процессе эксплуатации балки могут испытывать внешние воздействия различного вида, что приводит к контакту балок. В связи с этим построение математической модели контактного взаимодействия балок является актуальной задачей. Целью работы является построение математических моделей на основании кинематических гипотез первого (Эйлера-Бернулли) и третьего (Пелехе-Шереметьева-Редди) приближений, создание методов расчета сильно нелинейных (геометрическая и конструктивная нелинейности) механических структур под действием поперечных знакопеременных нагрузок. Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в безразмерном виде методом конечных разностей второго порядка точности сводится к задаче Коши, которая решается методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Исследована сходимость полученных решений в зависимости от интервалов разбиения по пространственной и временной координате. Накладывалось жесткое ограничение совпадения основных функций в хаотических колебаниях для n и 2n разбиений интервала интегрирования по пространственной координате. В качестве примера рассматривается нелинейная динамика двух балок, зазор между которыми 2h
равен единице Л1 =-= 1. В работе показано, что переход колебаний балочной структуры от гармони-
2h0
ческих к хаотическим происходит через субгармонический каскад бифуркаций. Исследована хаотическая фазовая синхронизация на базе вейвлета Морле. Вычислены значения старшего показателя Ляпунова методами Вольфа, Кантца и Розенштейна.
Ключевые слова: балка Эйлера-Бернулли, балка Пелеха-Шереметьева-Редди, хаотическая динамика, контактное взаимодействие, ляпуновские показатели, хаотическая фазовая синхронизация колебаний, метод конечных разностей.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-282-288
I. Введение
В настоящий момент механика контактного взаимодействия является одной из самых бурно развивающихся тем механики деформируемого твердого тела и широко применяется в различных областях науки. Многие узлы и конструкции, применяемые в машиностроении, строительстве, медицине и других областях, работают в условиях контактного взаимодействия. В связи с этим математическое моделирование контактного взаимодействия балок, пластин и оболочек является актуально, задачей современной науки. Объекты контактного взаимодействия могут описываться различными кинематическими гипотезами. Работы [0-8] посвящены задачам контактного взаимодействия элементов, с учетом кинематической гипотезы первого приближения. В работах [9-11] при построении математических моделей учитывается кинематическая гипотеза второго приближения. В статьях [10-13] исследуется хаотическая динамика контактного взаимодействия двух балок, описываемых гипотезой третьего приближения. Однако обзор научной литературы по данной тематике, позволяет сделать вывод, что нет работ по учету контактного взаимодействия балок, описываемых разными кинематическими гипотезами. Этому вопросу и посвящена настоящая работа.
II. Постановка задачи
В настоящей работе впервые исследуется нелинейная динамика контактного взаимодействия двух балок, описываемых кинематическими гипотезами первого (Эйлера-Бернулли) и третьего (Пелеха-Шереметьева-Редди) [10], [14] приближения. На верхнюю балку действует внешняя знакопеременная нагрузка. Нижняя балка (балка 2) понимается как упругое основание для балки 1 и приходит в движение благодаря контакту с балкой 1. Рассматриваемая структура (рис.1) из двух балок представляет собой двумерную область пространства Я2 с декартовой системой координат, введенной следующим образом: в теле балки 2 фиксируется линия приведения, называемая срединной линией г = 0, ось ОХ направлена слева направо вдоль срединной линии, ось 02 -вниз, перпендикулярно ОХ. Между балками есть зазор \. В указанной системе координат структура из двух балок, как двумерная область О, определяется следующим образом: О = {г е [0, я] - И < 2 < Ик + 3И}, 0 < t < да.
Рис. 1. Расчетная схема балочной структуры
Геометрическая нелинейность балок принята по модели Т. фон Кармана, а контактное взаимодействие описывается моделью Кантора Б.Я. [15]. Уравнения движения, граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона-Остроградского.
III. Теория
Уравнения движения балок с учетом контактного взаимодействия по модели Кантора Б.Я. примут вид:
1
Л2 63
4 sV^i
5 dx3 4 dx4
+ k 2
13
+ [L3(w1 ,«1 ) + L1 Ol ,«1)+ 3L2(w1 , w1 )
Л 2
. д 2w dw-, + q( x, t)---s—1 = 0;
dt2 dt
дх дх2
+ (-l)'K(wi - W2 - hk)Y-
d 2u
d «
i + L4(wi, wi)-—= 0
dx 2 dt2
204 d2Vxi 48 d3wi Gl3
E
315 dx2 315 dx3
Vxl +
dwL dx
=0
1 \ s , т ( \ 1 d4 W2 I d2 w9
(w9, w9) + L (u7, w9 )----2 v
Л2 [ 6( 2, 2) 5V 2, 2' 12 dx4 \
+ (-l)'K(wi - W2 - hk)Y = 0,
dt2
d Vxl dt2
dw
-s—2 + dt
d u7
dx 2
- + L7 (w2, w2 )-
d u2 1t2"
Здесь i = 1,2 - порядковый номер балок,
(1)
л д2w1 ди1 т . ч d2wl (dwx |2 L1(w1, u1) = —-i—L2 (w1, w1) = —2" \ — I , L3(w1, «1) = dx2 dx dx v dx )
T . . dw, d2w, T , ч д2щ dw7 ди7 d2w9 т „
L4(wi, w1) = ^ ^ 2L , L5(u2, w2) = ^ 22 „2 > L6(w2, w2) =
3 д2 w2 ( dw2 dx
L7 (w2, w2) =
dwL d «
dx dx2 '
d2w dw7
дх дх2 дх2 дх дх дх2 2 дх2 {дх У ' 2 2 дх2 дх
- нелинейные операторы, ух1 - функция поперечного сдвига, wi, ы1 - функции прогибов и перемещений ба-
0
2
лок соответственно, К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта, Ик -
зазор между балками, толщина балок Ь = 1.
Для моделирования контактного взаимодействия балок по модели Кантора Б.Я. в уравнения балок необходимо ввести слагаемое (-1)'^(и1 - и2 - Ик )Т, ' = 1,2 - номер балки, функция Т определена формулой
Т =1 ^ + sign(Wl-кк - и2)],
^ ^ ч 1 'к - и2)], то есть Т = 1, если есть контакт между балками - и1 > и2 + Нк, иначе контакта нет.
К уравнениям следует присоединить граничные в случае жесткого защемления и начальные условия. Граничные условия для балки модели Пелеха-Шереметьева-Редди:
И! (0, г) = (1, г) = 0; и (0, г) = и (1, г) = 0; ух1 (0, г) = Гх1 (1, г) = 0;
дих (0, г) _ И (1, г) _ ди (0, г) _ дих (1, г) _
дх дх дх дх
16 д2^х1 (0,г) д3и1(0,г)_о. 16 д2Гх1(\г) д3и1(1,г)_р, (2)
5 дх2 дх3 '5 дх2 дх3 ;
136 У1М - 0.038 = 0; 136 УМ - 0.038 д^ИМ = 0.
315 дх дх2 315 дх дх2
Начальные условия для балки модели Пелеха-Шереметьева-Редди:
и1( хг )и=и1( x, г ^=гх1( x, г )и=0,
дwl(x,г) =ди^| _ д/хАхг^ =0 (3)
1г=0 дг 1г=0 дг 1г=0 .
дг ^=0 дг ^=0 дг ^=0 Граничные условия для балки модели Эйлера-Бернулли:
И2(0, г) = И2(1, г) = и2(0, г) = ^(1, г) == = 0. (4)
дх дх
Начальные условия для балки модели Эйлера-Бернулли:
И2(х)| = 0, и2(х)| = 0, ^| = 0, МО| = 0. (5)
24 \г=0 24 \г=0 дг 'г=0 дг 'г=0 Система дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия были приведены к безразмерному виду с помощью параметров:
4
_и_иа_х„ а _ а - г
и = —, и =-, х = —, Я = 7—г, а = а-, г = —,
2' (2И)2 а (2й) (2к)4 Е т
(6)
а Eg _ а _ уха 2'
с' \ у ' с ' х (2к)' 1 2к0
Здесь Е - модуль Юнга, g - ускорение свободного падения, у - удельный вес материала, р - плотность, 2к - высота, 2к0 - толщина балки в центре, а - длина балки. Черточки над безразмерными параметрами для простоты опущены. На балку 1 действует поперечная, распределенная по поверхности знакопеременная нагрузка вида:
а=%М®рг), (7)
где 00 - амплитуда, ® р - частота вынуждающих колебаний.
Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши) методом конечных разностей с аппроксимацией 0(с2), где с - шаг по пространственной координате. Исследуется сходимость решения в зависимости от числа узлов в методе конечных разностей. Задача Коши по времени решается методами типа Рунге - Кутты. На основании описанного алгоритма создан программный комплекс на языке Си, позволяющий решать поставленную задачу в зависимости от управляющих параметров 00, юр |. Обеспечено непроникновение элементов
структуры друг в друга.
Для анализа контактного взаимодействия балочной структуры применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы исследования нелинейной динамики. Строятся сигналы, спектры
мощности Фурье, вейвлет спектры Морле, фазовые портреты, псевдо отображения Пуанкаре, вычисляются значения старшего показателя Ляпунова, используя три разных алгоритма - Вольфа, Кантца, Розенштейна.
IV. Результаты экспериментов
2к
В качестве примера рассматривается задача, когда зазор между балками Я =-= 1. Геометрические пара-
2к0
метры балок одинаковы Я = 40. Исследуемая система диссипативная е = 1. В качестве управляющего параметра выступает амплитуда вынуждающей нагрузки о0 , ® р = 5.1 - частота близка к частоте собственных колебаний балки первого приближения.
При а0 = 9000, до контактного взаимодействия, колебания балки 1 хаотические, на частоте вынуждающих
колебаний ®р= 5.1 и линейно-зависимых от нее частотах 3®/16 , 2®/5 , 11®/14 (табл. 1).
ТАБЛИЦА 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЛКИ 1 ПРИ ^ = 9000
Балка 1
Спектр мощности Фурье
Псевдоотображение Пуанкаре
Вейвлет спектр
2D фазовый портрет )
В табл. 2 и 3 приведем спектры мощности, отображения Пуанкаре, вейвлет-спектры Морле, фазовые портреты балок при а0 = 12750 и а0 = 27750 соответственно. В табл. 4 показаны вейвлет-спектры Морле хаотической фазовой синхронизации балок.
ТАБЛИЦА 2
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЛОК ПРИ д0 = 12750
Балка 1
Балка 2
Спектр мощности Фурье
Псевдоотображение Пуанкаре
Спектр мощности Фурье
Псевдоотображение Пуанкаре
ОКОНЧАНИЕ ТАБЛИЦЫ 2
2Б фазовый портрет м>(^[)
ТАБЛИЦА 3
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЛОК ПРИ д0 = 27750
Балка 1
Балка 2
Спектр мощности Фурье
Псевдоотображение Пуанкаре
Спектр мощности Фурье
Псевдоотображение Пуанкаре
Вейвлет-спектр
2Б фазовый портрет )
Вейвлет-спектр
2Б фазовый портрет
Показатели Ляпунова
Вольф
Розенштейн
Кантц
Вольф
Розенштейн
Кантц
0.00164
0.03041
0.02005
0.00175
0.04217
0.02134
ТАБЛИЦА4
ВЕЙВЛЕТ-СПЕКТР ХАОТИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ
V. Обсуждение результатов
На графиках спектра мощности при д0 = 12750 (табл. 2) выделяются семь частот, являющихся линейной комбинацией частоты ® р = 5Л. В таком случае имеет место субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов периода семь. При а0 = 27750 (табл. 3) на графиках спектра мощности для балок выделяются три частоты, являющиеся линейной комбинацией частоты ®р, и можно говорить о субгармоническом каскаде бифуркаций устойчивых предельных циклов периода три. Таким образом, с увеличением амплитуды вынуждающих колебаний происходит стабилизация колебательного процесса. Все показатели Ляпунова положительные, что свидетельствует о хаотическом характере колебаний структуры. Вейвлет спектры, с помощью которых можно исследовать изменение частотных характеристик во времени, для на грузки а0 = 12750 демонстрируют появление частоты о/7 при г > 400, что характерно для обеих балок. Псевдоотображения Пуанкаре, как
и фазовые портреты, представляют собой разрушающийся тор для балки 1, для балки 2 - странный аттрактор (табл. 2). При трехчастотных колебаниях (табл. 3) псевдоотображение Пуанкаре и фазовый портрет представляют собой три устойчивых предельных цикла, на вейвлет-спектрах также отражены три частоты на всем временном интервале.
Графики вейвлет-спектров хаотической фазовой синхронизации существенно отличны между собой (табл. 4). При % = 12750 видна перестройка синхронизации во времени, при г > 400 колебания синхронизируются на
частотах ор /7 и 5®р /7. При г < 200 колебания синхронизируются на частот вынуждающих колебаний. Увеличение нагрузки приводит к синхронизации колебаний на трех основных частотах.
VI. Выводы и заключение
В работе исследован переход колебаний балочной структуры (балка 1 - модель Пелеха-Шереметьева-Редди, балка 2 - модель Эйлера-Бернулли) от гармонических колебаний к хаотическим. Сценарий охарактеризован как переход к хаосу через субгармонический каскад бифуркаций.
Исследована хаотическая фазовая синхронизация колебаний структуры. Обнаружено явление перестройки колебательного процесса во времени.
Показано явление стабилизации колебательного процесса при увеличении амплитуды вынуждающих колебаний.
Источник финансирования. Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ 16-11-10138.
Список литературы
1. Осипенко М. А. О точности модели Бернулли-Эйлера в контактных задачах для балок // Вестник ИжГТУ им. МТ Калашникова. 2013. №. 2. С. 147-149.
2. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Krysko V. A. On the contact interaction between two rectangular plates // Nonlinear Dynamic. 2016. Vol. 84, no 4. P. 2729-2748.
3. Awrejcewicz J., Krysko-jr V. А., Yakovleva Т. V., Krysko V. A. Alternating chaos versus synchronized vibrations of interacting plate with beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. Vol. 88. P. 21-30.
4. Яковлева Т. В., Крысько В. А. Контактное взаимодействие физически нелинейной трехслойной пластинчато-балочной конструкции в температурном поле // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 6. С. 9-14.
5. Пожарский Д. А. Контактная задача для полого цилиндра // Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81, № 6. С. 727-733.
6. Яковлева Т. В. [и др.]. Контактное взаимодействие пластины с системой балок при наличии зазоров с учетом белого шума // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2015. №. 4. С. 259-272.
7. Крысько В. А., Крысько А. В., Салтыкова О. А., Папкова И. В. Нелинейная динамика контактного взаимодействия балочных элементов МЭМС с учетом гипотезы Эйлера-Бернулли в температурном поле // Динамика систем, механизмов и машин. 2017. Т. 5, №. 1. С. 128-136. DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-128-136.
8. Krysko V. A., Pavlov S. P., Zhigalov М. V., Dobriyan V. V. The study of chaotic dynamics using Lyapunov exponents for functionally graded size dependent beams with transversal shifts // Chapter 13 in the book Advanced Engineering Research and Applications (AERA). India, 2017. P. 163-186.
9. Saltykova O. A., Krysko V. A. Chaotic Dynamics of Two Timoshenko Beams with a Gap // International Journal of Applied Engineering Research. 2016. Vol. 11, no 21. С. 10392-10397.
10. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear behavior of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 1. Governing equations and static analysis of flexible beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. Vol. 93. P. 96-105.
11. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear behavior of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 2. Chaotic dynamics of flexible beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. Vol. 93. P. 106-121.
12. Салтыкова О. А., Папкова И. В., Крысько В. А. Хаотическая динамика двух балок, описываемых кинематической гипотезой третьего приближения в случае малых прогибов // Динамика систем, механизмов и машин. 2017. Т. 5. №. 1. С. 165-172. DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-165-172.
13. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Pavlov S. P., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Chaotic dynamics of the size-dependent non-linear micro-beam model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 50. P. 16-28.
14. Reddy J. N. A simple higher-order theory for laminated composite plates //Journal of applied mechanics. 1984. Vol. 51, no 4. P. 745-752.
15. Кантор Б. Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. Киев: Наукова думка, 1991. 136 с.
УДК 514.185:512.7
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕПРОТИВОРЕЧИВЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
IDENTIFICATION OF CO-ORDINATED MULTI-AGENTS SYSTEM GEOMETRIC MODELS
В. Ю. Юрков
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
V. Yu. Yurkov
Omsk state pedagogical university, Omsk, Russia
Аннотация. Современные технические и технологические системы относятся к сложным многокомпонентным системам. Построение математических моделей таких систем представляет собой актуальную задачу. Целью статьи является преодоление противоречий в процессе моделирования, возникающих из-за множественности математического описания компонентов. В статье предлагается учитывать геометрические критерии непротиворечивости при использовании метода наименьших квадратов для оценки параметров модели. Учет геометрических критериев непротиворечивости показан на нескольких примерах. Модели систем или их компоненты строятся в виде моноидальных гиперповерхностей в пространстве входных переменных.
Ключевые слова: параметрическая идентификация, многокомпонентная система, образующая, метод наименьших квадратов.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-288-294
I. Введение
Решение задачи математического (геометрического) моделирования многокомпонентных слабоформализу-емых систем даже в статическом состоянии представляется достаточно сложным. Основные этапы моделирования хорошо известны [1]. К ним могут относиться следующие: накопление информации о системе, идентификация независимых переменных (далее - входов), идентификация структуры (компонентная, иерархическая и др.), генерирование множества возможных математических описаний «входы - выход», выбор оптимального математического описания, идентификация параметров модели, оценка непротиворечивости модели, верификация модели и т. д. [2]. Одним из широко применяемых методов параметрической идентификации моделей с известной структурой является метод наименьших квадратов [3]. Этот метод применяется для обработки
